SATHEE: Principle of Mathematical Induction Exercise 1

Sankhyikiya Anyonyata Ka Sidhant Vyayam 1

अभिप्रेति: बेस स्थिति:

n = 1 के लिए, वक्तव्य 1.3 = 3 = ((2*1-1)*3⁽1+1)+3)/4 सत्य है।

आभासित स्थिति:

के लिए किसी भी n = k के लिए वक्तव्य सही है, जिसका अर्थ है, 1.3 + 2.3² + 3.3³ + … + k.3^k = ((2k-1)*3⁽k+1)+3)/4

अब हमें प्रमाण करना होगा कि निश्चित है k+1 के लिए वक्तव्य सही है।

1.3 + 2.3² + 3.3³ + … + k.3^k + (k+1).3⁽k+1) = ((2k-1)3⁽k+1)+3)/4 + (k+1).3⁽k+1) = 3⁽k+1)((2k-1)/4 + (k+1)) = 3⁽k+1)*(2k+3)/4 = ((2(k+1)-1)*3⁽(k+1)+1)+3)/4

इसलिए, गणितीय अभिप्रेति के सिद्धांत के अनुसार, 1.3+2.3²+3.3³+…..+n.3n=((2n−1)3⁽n+1)+3)/4 सभी n∈N के लिए सत्य हैं।

हेंस, यह कथन n = k+1 के लिए सत्य है।

गणितीय संकलन के अनुसार, यह कथन सभी n∈N के लिए सत्य है।

प्रश्न:

1.2+2.2²+3.2³+……………..+n.2n=(n−1)2⁽n+1)+2 के लिए सत्य है ए: केवल प्राकृतिक संख्या n ≥ 3 बी: सभी प्राकृतिक संख्या n सी: केवल प्राकृतिक संख्या n ≥ 5 डी: कोई भी

उत्तर:

ए: केवल प्राकृतिक संख्या n ≥ 3

प्रश्न:

निम्नलिखित श्रंखला को n पदों और अनंत में जोड़ें 1/(1.4)+1/(4.7)+1/(7.10)+….

उत्तर:

n पदों के लिए:

1/(1.4)+1/(4.7)+1/(7.10)+….+1/(3n-2.3n-1)

अनंत के लिए:

1/(1.4)+1/(4.7)+1/(7.10)+….+1/(3n-2.3n-1)+…∞

प्रश्न:

साबित करें कि 3⁽2n+2)−8n−9 8 से विभाज्य है, जहां n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

उत्तर:

n = 1 की जगह,

3⁽2(1)+2)−8(1)−9 = 3⁴ − 8 − 9

3⁴ − 8 − 9 = 81 − 8 − 9 = 64 − 9 = 55

क्योंकि 55 8 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह n = 1 के लिए सत्य नहीं है।

n = 2 की जगह,

3⁽2(2)+2)−8(2)−9 = 3⁶ − 16 − 9

3⁶ − 16 − 9 = 729 − 16 − 9 = 704 − 9 = 695

क्योंकि 695 8 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह n = 2 के लिए सत्य नहीं है।

n = 3 की जगह,

3⁽2(3)+2)−8(3)−9 = 3⁸ − 24 − 9

3⁸ − 24 − 9 = 6561 − 24 − 9 = 6528 − 9 = 6519

क्योंकि 6519 8 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह n = 3 के लिए सत्य नहीं है।

n = 4 की जगह,

3⁽2(4)+2)−8(4)−9 = 3¹0 − 32 − 9

3¹0 − 32 − 9 = 59049 − 32 − 9 = 59008 − 9 = 58999

क्योंकि 58999 8 से विभाज्य है (58999 ÷ 8 = 7375), इसलिए यह n = 4 के लिए सत्य है।

इस प्रकार, 3⁽2n+2)−8n−9 8 से विभाज्य है, जहां n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

प्रश्न:

प्राकृतिक संख्या n के लिए निम्नलिखित को महाज्ञापन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करें:

उत्तर:

2ⁿ ≥ n!

उत्तर: चरण 1: साबित करें कि यह कथन n=1 के लिए सत्य है। 2¹ = 2 ≥ 1! = 1, इसलिए यह कथन n=1 के लिए सत्य है।

चरण 2: मान लें कि यह कथन n=k के लिए सत्य है, जहां k एक विचित्र सकारात्मक पूर्णांक है।

2^k ≥ k!

चरण 3: साबित करें कि यह कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

2⁽k+1) = 22^k ≥ 2k! (मान ले कि कथन के अनुसार) ≥ (k+1)*k! (क्योंकि k! ≥ 1 के कारण) = (k+1)! (गुणफल ज्ञात करने के परिभाषा के कारण)

इसलिए, यह कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

चरण 4: चरण 1, 2 और 3 से, यह प्रमाणित होता है कि यह कथन सभी n∈ के लिए सत्य है।

प्रश्न:

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+……….+1/(1+2+3+…..n)=2n/(n+1)

उत्तर:

चरण 1: 1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + …….. + 1/(1 + 2 + 3 + …. n)

चरण 2: 1 + 1/3 + 1/6 + …….. + 1/(n(n+1)/2)

चरण 3: 1 + (2/3) + (2/6) + …….. + (2/n(n+1))

चरण 4: 1 + (2/3) + (2/6) + …….. + (2/n(n+1)) = (2/3) + (2/6) + …….. + (2/n(n+1)) + 1

चरण 5: (2/3) + (2/6) + …….. + (2/n(n+1)) + 1 = 2n/(n+1)

प्रश्न:

n(n+1)(n+5) का 3 का गुणितक है।

उत्तर:

यह निर्धारित करें कि ’n’ 3 का गुणितक है या नहीं।
यदि ’n’ 3 का गुणितक है, तो ’n+1’ और ’n+5’ भी 3 के गुणितक होंगे।
’n’, ’n+1’ और ’n+5’ को साथ गुणा करें, ताकि ’n(n+1)(n+5)’ मिले।
’n(n+1)(n+5)’ 3 का गुणितक होगा, यदि ’n’, ’n+1’, और ’n+5’ सभी 3 के गुणितक हों।

सवाल:

क्या 10⁽2n−1)+1 11 से विभाज्य है?

उत्तर:

चरण 1: 10⁽2n−1)+1 = 11k, जहां k एक पूर्णांक है।

चरण 2: 10⁽2n−1) = 11k - 1

चरण 3: 10⁽2n−1) = 11(k - 1)

चरण 4: 10⁽2n−1)/11 = k - 1

चरण 5: 10⁽2n−1)/11 = (k - 1) + 1

चरण 6: 10⁽2n−1)/11 = k

चरण 7: इसलिए, 10⁽2n−1)+1 11 से विभाज्य है अगर 10⁽2n−1)/11 कोई पूर्णांक है।

सवाल:

सिद्ध कीजिए: (2n+7)<(n+3)²

उत्तर:

दिया गया है, (2n+7)<(n+3)²

चरण 1: अभिव्यक्ति को ऐसे पुनर्लेखित करें कि (2n+7)<(n²+6n+9)

चरण 2: असमता के दोनों पक्षों से 2n को घटाएं,

2n+7-2n<n²+6n+9-2n

चरण 3: असमता को सरल बनाएं,

7<n²+4n+9

चरण 4: दोनों पक्षों से 9 को घटाएं,

7-9<n²+4n+9-9

चरण 5: असमता को सरल बनाएं,

-2<n²+4n

चरण 6: असमता को 4 से भाग करें,

-2/4<(n²+4n)/4

चरण 7: असमता को सरल बनाएं,

-1/2<n+n²/4

चरण 8: असमता के दाईं ओर क्वाड्रेटिक अभिव्यक्ति को ग्रुप में बांटें,

-1/2<n(1+n/4)

चरण 9: (1+n/4) से असमता को भाग करें,

-1/2/(1+n/4)<n

चरण 10: असमता को सरल बनाएं,

-4/[4+n]<n

चरण 11: असमता को (4+n) से गुना करें,

-4<n(4+n)

चरण 12: असमता को n से भाग करें,

-4/n<4+n

चरण 13: असमता को सरल बनाएं,

-4/n<n+4

इसलिए, (2n+7)<(n+3)² सिद्ध हुआ है।

सवाल:

सिद्ध करें कि आपसी संपर्क के लिए गणितीय प्राथमिकता के नियम का उपयोग करके सभी n∈N के लिए निम्नलिखित का सत्यापन करें: 1.2+2.3+3.4+……+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)/3]

उत्तर:

Step 1: Prove for n=1

LHS = 1 = (3¹−1)/2 = RHS

Therefore, the statement holds for n=1.

Step 2: Assume the statement holds for n=k

1+3+3²+……..+3⁽k−1) = (3^k−1)/2

Step 3: Prove for n=k+1

LHS = 1+3+3²+……..+3⁽k−1) + 3^k

RHS = (3⁽k+1−1)/2

Substituting the assumed statement

LHS = (3^k−1)/2 + 3^k

= (3⁽k+1−1)/2

RHS = (3⁽k+1−1)/2

LHS = RHS

Therefore, the statement holds for n=k+1.

Step 4: By mathematical induction, the statement holds for all values of n.

सवाल: इसके प्रमाण दें: x²n−y²n को x+y से विभाज्य है।

उत्तर: चरण 1: समीकरण के बाएं भाग को विस्तार करें: x²n−y²n = x²n + (-y²n)

चरण 2: समीकरण के बाएं भाग में कसों बीज निकालें: x²n−y²n = (xⁿ)(xⁿ) + (-yⁿ)(yⁿ)

चरण 3: समीकरण के बाएं भाग में समान पदों को समूह बनाएं: x²n−y²n = (xⁿ)(xⁿ) + (-1)(yⁿ)(yⁿ)

चरण 4: समीकरण के बाएं भाग से (xⁿ) को सामान्य गुणक निकालें: x²n−y²n = (xⁿ)(xⁿ + (-1)(yⁿ))

चरण 5: समीकरण के बाएं भाग से (yⁿ) को सामान्य गुणक निकालें: x²n−y²n = (xⁿ)(yⁿ)(xⁿ + (-1))

चरण 6: समीकरण के बाएं भाग से (x + y) को सामान्य गुणक निकालें: x²n−y²n = (x + y)(xⁿ)(yⁿ)(xⁿ + (-1))

चरण 7: क्योंकि (x + y) समीकरण का एक गुणक है, इससे x²n−y²n x + y से विभाज्य है। इसलिए, x²n−y²n x + y से विभाज्य है।

1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+…+1/k(k+1)(k+2) = k(k+3)/(4(k+1)(k+2))

Adding 1/(k+1)(k+2)(k+3) to both sides of the equation:

1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+…+1/k(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+3)/(4(k+1)(k+2)) + 1/(k+1)(k+2)(k+3)

Simplifying the right side of the equation:

= (k(k+3)(k+1)(k+2)+1)/(4(k+1)(k+2)(k+3))

Expanding and simplifying the numerator:

= (k^2(k+3)(k+2)+1)/(4(k+1)(k+2)(k+3))

Rearranging the terms in the numerator:

= ((k^3 + 5k^2 + 6k + 2)+1)/(4(k+1)(k+2)(k+3))

Combining like terms in the numerator:

= (k^3 + 5k^2 + 6k + 3)/(4(k+1)(k+2)(k+3))

Factoring out k+1 from the denominator:

= (k^3 + 5k^2 + 6k + 3)/(4(k+1)^2(k+3))

Simplifying further:

= ((k+1)(k^2 + 4k + 3))/(4(k+1)^2(k+3))

Canceling out (k+1) on the numerator and the denominator:

= (k^2 + 4k + 3)/(4(k+3))

Factoring the numerator:

= ((k+1)(k+3))/(4(k+3))

Canceling out (k+3) on the numerator and the denominator:

= (k+1)/4

Therefore, the equation holds true for n=k+1.

By the principle of mathematical induction, the equation 1/(1.2.3)+1/(2.3.4)+1/(3.4.5)+…+1/(n(n+1)(n+2))=n(n+3)/(4(n+1)(n+2)) holds true for all n∈N.

ककप्लसी3)/(4(कप्लसी1)(कप्लसी2)) + 1/(कप्लसी1)(कप्लसी2)(कप्लसी3)

समीकरण के बाएं हिस्से को सरलीकृत करके, हम प्राप्त करते हैं: (क(कप्लसी3)+4(कप्लसी1)(कप्लसी2))/(4(कप्लसी1)(कप्लसी2)(कप्लसी3))
फिर, हम समीकरण के दाएं हिस्से को इस तरह से लिख सकते हैं: (कप्लसी1)(कप्लसी4))/(4(कप्लसी2)(कप्लसी3))
समीकरण के बाएं और दाएं हिस्सों को तुलना करके, हम देख सकते हैं कि वे बराबर हैं।
इसलिए, न=कप्लसी1 के लिए यह कथन सत्य है।
गणितीय उद्घाटन के सिद्धांत के द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह कथन सभी n के लिए सत्य है।

प्रश्न:

गणितीय उद्घाटन का उपयोग करके सिद्ध करें

उत्तर:

गणितीय उद्घाटन एक सिद्धांत का उपयोग करने का एक प्रमाणित करने वाला तरीका है जिसका उपयोग किया जाता है ताकि किसी कथन को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य सिद्ध किया जा सके। गणितीय उद्घाटन का उपयोग करने के लिए, हमें सबसे पहले सिद्ध करना होगा कि यह कथन पहली प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है (आमतौर पर 0 या 1 का उपयोग होता है)। फिर हमें सिद्ध करना होगा कि यदि यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है, तो यह अगली प्राकृतिक संख्या के लिए भी सत्य होना चाहिए।

चरण 1: प्रथम प्राकृतिक संख्या के लिए यह सिद्ध करें।

चरण 2: मानें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए यह कथन सत्य है।

चरण 3: दिखाएं कि अगली प्राकृतिक संख्या (n+1) के लिए यह कथन सत्य है।

चरण 4: सारांश निकालें कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।

प्रश्न:

1+2+3+…+n<1/8(2n+1)²

उत्तर:

1+2+3+…+n = (n(n+1))/2
(n(n+1))/2 < 1/8(2n+1)²
n(n+1) < 1/4(2n+1)²
n² + n < 1/4(4n² + 4n + 1)
n² + n - 1/4(4n² + 4n + 1) < 0
5n² + 5n - 1 < 0
5n² + 5n + 1 - 1 < 0
5n² + 5n + 0 < 0
(5n + 1)(n + 0) < 0
n < -1/5

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