पर्म्युटेशन्स और कॉम्बिनेशन मिस्कैलेनिअस अभ्यास
प्रश्न:
5 पुरुषों और 4 महिलाओं को चार पुरानी जगहों में बैठाना आवश्यक है ताकि महिलाएं समय-समय पर बैठ सकें। ऐसी कितनी व्यवस्थाएं संभव हैं?
उत्तर:
चरण 1: यहां 4 महिलाएं और 5 पुरुष हैं।
चरण 2: महिलाओं को समय-समय पर बैठना चाहिए, जिसका अर्थ है कि पहली, तीसरी, पांचवीं और सातवीं जगहें।
चरण 3: पुरुषों को विषम स्थान धारित करना होगा, जिसका अर्थ है कि दूसरी, चौथी, छठी और आठवीं जगहें।
चरण 4: संभवतः व्यवस्थाओं की संख्या 4 विषम स्थानों में 5 पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीकों के बराबर है, जो 5!/(5-4)! = 5! है।
चरण 5: इसलिए, संभवतः व्यवस्थाओं की संख्या 5! = 120 है।
प्रश्न:
परीक्षा पत्र में 12 प्रश्न हैं, जिन्हें दो भागों में A और B में विभाजित किया गया है। भाग A में 7 प्रश्न और भाग B में 5 प्रश्न हैं। उम्मीदवार को कम से कम 3 सवालों का चयन करके 8 सवाल का प्रयास करना आवश्यक है। उम्मीदवार सवालों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं?
उत्तर:
उत्तर:
- कुल प्रश्नों की संख्या = 12
- भाग A में 7 प्रश्न हैं और भाग B में 5 प्रश्न हैं
- एक उम्मीदवार को 8 प्रश्नों का प्रयास करना है, जिसमें से कम से कम 3 प्रश्नों का चयन होना चाहिए A और B दोनों भागों से में
- भाग A से 3 प्रश्नों का चयन करने के लिए तरीकों की संख्या = 7C3 = 35
- भाग B से 5 प्रश्नों का चयन करने के लिए तरीकों की संख्या = 5C5 = 1
- इसलिए, सवालों का चयन करने की कुल तरीकों की संख्या = 35 x 1 = 35
प्रश्न:
25 छात्रों वाली एक कक्षा से एक भ्रमण पार्टी के लिए 10 छात्र चुनने हैं। एक कक्षा में 3 छात्र हैं जो यह ठान लेते हैं कि वे सभी उत्सव पार्टी में शामिल होंगे या वे कोई नहीं होंगे। यात्रा पार्टी को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
उत्तर:
उत्तर:
- कक्षा में 25 छात्र हैं।
- भ्रमण पार्टी के लिए 10 छात्रों को चुनना होगा।
- यहां 3 छात्र हैं जो यह ठान लेते हैं कि वे सभी यात्रा पार्टी में शामिल होगें या वे कोई नहीं होंगें।
इसलिए, यहां दो संभावित परिदृश्य हैं:
परिदृश्य 1: 3 छात्रों को यात्रा पार्टी में शामिल होना चाहिए: इस मामले में, यात्रा पार्टी 22C7 तरीकों से चुनी जा सकती है।
परिदृश्य 2: 3 छात्रों को यात्रा पार्टी में शामिल नहीं होना चाहिए: इस मामले में, यात्रा पार्टी 22C10 तरीकों से चुनी जा सकती है।
अतः, यात्रा पार्टी को चुनने की कुल तरीकों की संख्या 22C7 + 22C10 तरीकों के बराबर है।
प्रश्न:
समस्त S को साथ में ले जाने के लिए शब्द ASSASSINATION के पत्रों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: शब्द ASSASSINATION के पत्रों को वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करें: AACIINNOSSST
चरण 2: सभी S को साथ में लाएँ: SSSAAACIINNO
चरण 3: पत्रों को व्यवस्थित करने की कुल संख्या की गणना करें: 8!/(3!2!) = 336
प्रश्न:
शब्द EQUATION के सभी पत्रों का उपयोग करके, कितने तरीकों से शब्दों को बनाया जा सकता है, जिसमें स्वर और व्यंजन एक साथ हों?
उत्तर:
-
सबसे पहले, शब्द EQUATION में अक्षरों की संख्या को गिनें। इसमें 8 अक्षर हैं।
-
व्यंजनों और स्वरों की संख्या को निर्धारित करें। EQUATION में 4 स्वर (E, U, A, O) और 4 व्यंजन (Q, T, I, N) हैं।
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एक समय में सभी 8 अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या की गणना करें। इसे सभी स्वरों और व्यंजनों को एक साथ गुणा करके किया जा सकता है: 4 x 4 = 16।
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क्योंकि स्वरों और व्यंजनों को एक साथ होना चाहिए, इसलिए बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या कुल की आधी होती है: 16/2 = 8।
इसलिए, 8 शब्द, अर्थ सहित या अर्थहीन, एक समय में शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं ताकि स्वर और व्यंजन साथ हो।
प्रश्न:
वर्णों EXAMINATION के सभी विभिन्न अनुक्रमणिकाओं को जैसा एक शब्दकोश में सूचीबद्ध किया जाता है, पहले शब्द से पहले कितने शब्द होते हैं जिनकी प्रारंभिक अक्षर E से शुरू होता है?
उत्तर:
चरण 1: शब्द EXAMINATION में वर्णों की कुल संख्या गणित करें। उत्तर: 10
चरण 2: शब्द EXAMINATION के 10 वर्णों के कुल अनुक्रमणिकाओं की गणना करें। उत्तर: 10! = 3,628,800
चरण 3: सूची में उन शब्दों की संख्या की गणना करें जिनकी प्रारंभिक अक्षर E से अलग अक्षर से शुरू होती है। उत्तर: E से अलग अक्षर से शुरू होने वाले (26 - 1) x 10! = 3,606,720 शब्द हैं।
चरण 4: शब्द EXAMINATION के 10 वर्णों के कुल अनुक्रमणिकाओं से E से पहले के पहले शब्दों की संख्या को घटाएं। उत्तर: 3,628,800 - 3,606,720 = 22,080 शब्द सूची में E से पहले के पहले शब्दों के पहले शब्दों से पहले हैं।
प्रश्न:
2 स्वर और 3 व्यंजन के प्रत्येक के साथ-साथ, शब्द DAUGHTER के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्दिक ऐसे शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: शब्द DAUGHTER में वर्णों की कुल संख्या गणित करें। उत्तर: 8
चरण 2: 2 स्वर और 3 व्यंजन के साथ-साथ संभव योग्यता की संख्या की गणना करें। उत्तर: संभवता की संख्या 8C3 = 56 है।
चरण 3: बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या की गणना करें। उत्तर: बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या 56 है।
प्रश्न:
अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर और 21 व्यंजन होते हैं। वर्णमाला से दो अलग स्वर और दो अलग्ग व्यंजन के साथ-साथ शब्द बनाए जा सकते हैं, उनकी संख्या क्या है?
उत्तर:
चरण 1: वर्णमाला में उपलब्ध कुल अक्षरों की संख्या की गणना करें।
5 स्वर + 21 व्यंजन = 26 अक्षर
चरण 2: दो अलग स्वर और दो अलग्ग व्यंजन के साथ-साथ संभावित योग्यता की संख्या की गणना करें।
संभावित योग्यता की संख्या = 5 × 4 × 21 × 20 = 16,800
चरण 3: योग्यता से बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या की गणना करें।
शब्दों की संख्या = 16,800 × 2! = 33,600
प्रश्न:
9 लड़कों और 4 लड़कियों में से (i) ठीक 3 लड़कियाँ होने पर (ii) कम से कम 3 लड़कियाँ होने पर (iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ होने पर, 7 की समिति बनायी जानी है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?
उत्तर:
(i) ठीक 3 लड़कियाँ होने पर:
4 लड़कियाँ और 9 लड़के होते हैं, इसलिए चुनने के लिए कुल लोगों की संख्या 13 है।
हमें 4 उपलब्ध लड़कियों में से 3 लड़कियाँ चुननी होती हैं। इसका मतलब है 4C3 तरीकों से किया जा सकता है, जो 4 के बराबर होता है।
अब हमें 9 उपलब्ध लड़कों में से 4 लड़के चुनने होते हैं। इसका मतलब है 9C4 तरीकों से किया जा सकता है, जो 126 के बराबर होता है।
Question: एक सामूहिक 7 का समिति बनाने के लिए कुल तरीकों की संख्या क्या है, जिसमें सटीक रूप से 3 लड़कियों की होती है? 4 x 126 = 504 है।
(ii) कम से कम 3 लड़कियां:
हमें मौजूदा 4 लड़कियों में से 3 लड़कियां चुनने की जरूरत है। इसे 4C3 तरीकों में किया जा सकता है, जो 4 के बराबर है।
अब हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 4 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C4 तरीकों में किया जा सकता है, जो 126 के बराबर है।
हमें यह भी ध्यान में रखना होगा कि समिति में 4 लड़कियां होने की स्थिति को भी विचार में लेना चाहिए। इसे 4C4 तरीकों में किया जा सकता है, जो 1 के बराबर है।
अब हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 3 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C3 तरीकों में किया जा सकता है, जो 84 के बराबर है।
इसलिए, कम से कम 3 लड़कियों के साथ 7 का समिति बनाने के लिए कुल तरीकों की संख्या 4 x 126 + 1 x 84 = 616 है।
(iii) अधिकतम 3 लड़कियां:
हमें उस स्थिति को विचार में लाना चाहिए जब समिति में 0, 1, 2 और 3 लड़कियां होती हैं।
मामला 1: 0 लड़कियां
हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 7 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C7 तरीकों में किया जा सकता है, जो 36 के बराबर है।
मामला 2: 1 लड़की
हमें मौजूदा 4 लड़कियों में से 1 लड़की चुनने की जरूरत है। इसे 4C1 तरीकों में किया जा सकता है, जो 4 के बराबर है।
अब हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 6 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C6 तरीकों में किया जा सकता है, जो 84 के बराबर है।
मामला 3: 2 लड़कियां
हमें मौजूदा 4 लड़कियों में से 2 लड़कियां चुनने की जरूरत है। इसे 4C2 तरीकों में किया जा सकता है, जो 6 के बराबर है।
अब हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 5 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C5 तरीकों में किया जा सकता है, जो 126 के बराबर है।
मामला 4: 3 लड़कियां
हमें मौजूदा 4 लड़कियों में से 3 लड़कियां चुनने की जरूरत है। इसे 4C3 तरीकों में किया जा सकता है, जो 4 के बराबर है।
अब हमें मौजूदा 9 लड़कों में से 4 लड़के चुनने की जरूरत है। इसे 9C4 तरीकों में किया जा सकता है, जो 126 के बराबर है।
इसलिए, 3 लड़कियों के साथ कम से कम 7 का समिति बनाने के लिए कुल तरीकों की संख्या 36 + 4 x 84 + 6 x 126 + 4 x 126 = 864 है।
प्रश्न:
0,1,3,5,7 और 9 अंकों से जो 10 से विभाज्य हैं और कोई अंक दोहराया नहीं जाता है, उनमें से कितने 6-अंकी आंकड़े बनाए जा सकते हैं?
उत्तर:
उत्तर:
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0,1,3,5,7 और 9 छह अंक हैं।
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कोई भी अंक दोहराया नहीं जाना चाहिए, इसलिए 6-अंकी संख्याएं अद्वितीय होनी चाहिए।
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संख्याएं 10 से विभाज्य होनी चाहिए।
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इसलिए, संख्याओं का अंत 0 के साथ होना चाहिए।
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इसलिए, अंतिम अंक पहले से ही 0 के रूप में तय हो गया है।
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अब, हमें शेष 5 अंकों को इस प्रकार से व्यवस्थित करना है कि संख्या 10 से विभाज्य हो।
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अंकों का योग 10 से विभाज्य होना चाहिए।
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संभवित कम्बिनेशन 01357, 01379, 03157, 03179, 05137, 05139, 07135, 07139, 09135, 09137 हैं।
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इसलिए, 0,1,3,5,7 और 9 अंकों से विभाज्य होने वाले और कोई अंक दोहराए नहीं जाने वाले 10 6-अंकी आंकड़े बनाए जा सकते हैं।
प्रश्न:
एक पत्तर के सेट में से 5-कार्ड की कटौती की संख्या निर्धारित करें, यदि प्रत्येक 5-कार्ड का चयन में सिर्फ एक राजा होता है।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: एक पत्तर के सेट में 4 राजा होते हैं।
चरण 2: जिन कार्डों में से सिर्फ एक राजा चुना जाता है, उसमें 48 कार्ड रह जाते हैं, और उनमें से 4 कार्डों को चुनने के लिए तरीकों की संख्या उनमें से 4 राजा चुनने की प्राप्ति से गुणा करने के बराबर होती है।
अध्याय 3: बचे हुए 48 कार्ड में से 4 कार्ड का चयन करने के तरीकों की संख्या, 48C4 के बराबर होती है।
अध्याय 4: 4 राजाओं में से 1 राजा का चयन करने के तरीकों की संख्या, 4C1 के बराबर होती है।
अध्याय 5: जिनमें सिर्फ़ एक राजा शामिल होने वाले 5-कार्ड संयोजनों की संख्या, 48C4 x 4C1 = 10,096 के बराबर होती है।
