लीनियर असमेकताएँ अभ्यास 1
प्रश्न:
वास्तविक x के लिए असमीयता को हल करें। x + x/2 + x/3 < 11
उत्तर:
- x + x/2 + x/3 < 11
- 3x + 3x/2 < 33
- 4.5x < 33
- x < 33/4.5
- x < 7.33
प्रश्न:
असमीयता को हल करें और समाधान का ग्राफ नंबर रेखा पर दिखाएँ: 3(1−x) < 2(x+4)
उत्तर:
चरण 1: असमीयता के दोनों पक्षों से 2x घटाएँ। 3(1−x) - 2x < 2(x+4) - 2x
चरण 2: असमीयता के बाईं तरफ को सरल बनाएँ। 3 - 3x - 2x < 2x + 8
चरण 3: असमीयता के दाईं तरफ को सरल बनाएँ। -x < 10
चरण 4: x के लिए समाधान करें। x > -10
समाधान का ग्राफ नंबर रेखा पर दिखाया गया है:
-10 ————> x —————>
प्रश्न:
−12x > 30 को हल करें, जब (i) x एक प्राकृतिक संख्या हो। (ii) x एक पूर्णांक हो।
उत्तर:
(i) जब x एक प्राकृतिक संख्या हो:
चरण 1: दोनों पक्षों को -12 से विभाजित करें ताकि x एक पक्ष पर हो।
-12x > 30 x < -2.5
चरण 2: प्राकृतिक संख्याएँ सकारात्मक पूर्णांक होती हैं, इसलिए x 0 से अधिक और -2.5 से कम होना चाहिए। इसलिए, x एक प्राकृतिक संख्या होने पर कोई समाधान नहीं है।
(ii) जब x एक पूर्णांक हो:
चरण 1: दोनों पक्षों को -12 से विभाजित करें ताकि x एक पक्ष पर हो।
-12x > 30 x < -2.5
चरण 2: पूर्णांक में नकारात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं, x -2.5 से कम किसी भी संख्या हो सकता है। इसलिए, समाधान सेट x < -2.5 है।
प्रश्न:
3x + 8 > 2 को हल करें, जब (i) x एक पूर्णांक हो। (ii) x एक वास्तविक संख्या हो।
उत्तर:
(i) जब x एक पूर्णांक हो, 3x + 8 > 2 को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है 3x > -6। इस असमीयता के समाधान सेट x > -2 है।
(ii) जब x एक वास्तविक संख्या हो, 3x + 8 > 2 को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है 3x > -6। इस असमीयता के समाधान सेट x > -2 है।
प्रश्न:
5x - 3 ≥ 3x - 5
उत्तर:
- 5x - 3 ≥ 3x - 5
- 5x - 3x ≥ 3 - 5
- 2x ≥ -2
- x ≥ -1
प्रश्न:
किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड A प्राप्त करने के लिए, पांच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 अंक) में औसत 90 अंक या उससे अधिक प्राप्त करना चाहिए। अगर सुनीता के पहले चार परीक्षाओं में 87, 92, 94 और 95 अंक हैं, तो सुनीता को पाठ्यक्रम में ग्रेड A प्राप्त करने के लिए पांचवीं परीक्षा में कम से कम कितने अंक प्राप्त करने चाहिए?
उत्तर:
चरण 1: पहले चार परीक्षाओं में सुनीता द्वारा प्राप्त किए गए औसत अंकों की गणना करें।
87 + 92 + 94 + 95 = 368
औसत = 368/4 = 92
चरण 2: ग्रेड A प्राप्त करने के लिए सुनीता द्वारा प्राप्त किए गए पांच परीक्षाओं में कुल अंक गणना करें।
90 अंक x 5 परीक्षाएं = 450 अंक
चरण 3: सुनीता द्वारा पाठ्यक्रम में ग्रेड A प्राप्त करने के लिए पांचवीं परीक्षा में कम से कम अंक गणना करें।
450 - 368 = 82
इसलिए, सुनीता को पाठ्यक्रम में ग्रेड A प्राप्त करने के लिए पांचवीं परीक्षा में कम से कम 82 अंक प्राप्त करने चाहिए।
प्रश्न:
एक आदमी को एक ही लंबाई (91 सेमी.) के एक ही टुकड़े से तीन लंबाईयाँ काटनी है। दूसरी लंबाई सबसे छोटी से 3 सेमी लंबी होनी चाहिए और तीसरी लंबाई सबसे छोटी से 5 सेमी अधिक होनी चाहिए। सबसे छोटी टुकड़े की संभावित लंबाई क्या है?
उत्तर:
-
छोटी टुकड़ी की लंबाई को x लीजिए।
-
दूसरी टुकड़ी x + 3 सेमी लंबी होनी चाहिए।
-
तीसरी टुकड़ी x की दोगुनी होनी चाहिए, इसलिए यह x + 5 सेमी लंबी होनी चाहिए।
(i) x < 2
(ii) x < 2
(i) 5x - 3 < 7 5x < 10 x < 2
(ii) 5x - 3 < 7 5x < 10 x < 2.0
Question:
Solve for x: x/2=x/3+1.
Answer:
Step 1: Multiply both sides of the equation by 2.
2x/2 = x/3 + 1*2
Step 2: Simplify the left side of the equation.
2x/2 = 2x/3 + 2
Step 3: Simplify the right side of the equation.
2x/2 = 2(x/3 + 1)
Step 4: Subtract x/3 from both sides of the equation.
2x/2 - x/3 = 2 + x/3
Step 5: Simplify the left side of the equation.
x/2 = 2 + x/3
Step 6: Subtract x/2 from both sides of the equation.
0 = 2 + x/3 - x/2
Step 7: Simplify the right side of the equation.
0 = x/6 + 2
Step 8: Subtract 2 from both sides of the equation.
-2 = x/6
Step 9: Multiply both sides of the equation by 6.
-12 = x
Question:
Solve:3(2−x)≥2(1−x) when x is an integer.
Answer:
- 3(2−x)≥2(1−x)
- 3(2-x) ≥ 2 - 2x
- 6 - 3x ≥ 2 - 2x
- 4 ≥ -x
- x ≤ 4
Question:
Solve: 3(x−2)/5≤5(2−x)/3
Answer:
- Multiply both sides by 15: 3(x−2) ≤ 5(2−x)
- Simplify: 3x - 6 ≤ 10 - 5x
- Add 5x to both sides: 8x - 6 ≤ 10
- Add 6 to both sides: 8x ≤ 16
- Divide both sides by 8: x ≤ 2
Question:
Solve the following quadratic equation. 3x^2−2x−1=0
Answer:
Step 1: Rewrite the equation in the form ax^2 + bx + c = 0. In this case, a = 3, b = -2 and c = -1.
Step 2: Calculate the discriminant (b^2-4ac). In this case, the discriminant is (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4+12 = 16.
Step 3: Calculate the two solutions using the quadratic formula. The two solutions are x = (2 ± √16)/6
Step 4: Simplify the solutions. The two solutions are x = 1 ± 2√2/3
Question:
Ravi obtained 70 and 75 marks in first two unit test. Find the minimum marks he should get in the third test to have an average of at least 60 marks.
Answer:
-
Let the marks obtained in the third test be ‘x’.
-
Average = (70+75+x)/3
-
60 = (70+75+x)/3
-
60*3 = 70+75+x
-
180 = 70+75+x
-
180-70-75 = x
-
x = 35
Therefore, Ravi should obtain at least 35 marks in the third test to have an average of at least 60 marks.
Question:
Solve the inequalities for real x. 3(x−1)≤2(x−3)
Answer:
- 3(x−1) ≤ 2(x−3)
- 3x - 3 ≤ 2x - 6
- 3x ≤ 2x - 3
- 3x - 2x ≤ -3
- x ≤ -3
Question:
Solve the inequality and show the graph of the solution on number line:
Answer:
2x + 4 ≤ 8
Step 1: Subtract 4 from both sides: 2x ≤ 4
Step 2: Divide both sides by 2: x ≤ 2
The graph of the solution on the number line is:
|—-|—-|—-|—-|—-| -3 -2 -1 0 1 2
Question:
x/2≥(5x−2)/3−(7x−3)/5
Answer:
- x/2 ≥ (5x - 2)/3 - (7x - 3)/5
- 3x/2 ≥ 5x/3 - 7x/5
- 3x/2 - 5x/3 + 7x/5 ≥ 0
- (3x - 10x + 15x)/10 ≥ 0
- 18x/10 ≥ 0
- x ≥ 0
Question:
Solve: 3x−7>5x−1
Answer:
-
Add 7 to both sides: 3x > 5x + 6
-
Subtract 5x from both sides: 3x - 5x > 6
-
Simplify: x > 6
