सीमाएँ और अवकलन अन्य अभ्यास (Seemayein aur Avakalan Anya Abhyaas)
प्रश्न: निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज ढूंढें (यह समझ लिया जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर निर्धारित और m और n पूर्णांक हैं): (x^2+1)cos x
उत्तर:
- अवकलज की गणना करने के लिए चेन नियम का उपयोग करें:
d/dx[(x^2 + 1)cos x] = d/dx[(x^2 + 1)]cos x + (x^2 + 1)d/dx[cos x]
- पहले शब्द का अवकलज जांचें:
d/dx[(x^2 + 1)] = 2x
- दूसरे शब्द का अवकलज जांचें:
d/dx[cos x] = -sin x
- अवकलज को सदिश में उपयोग करें:
d/dx[(x^2 + 1)cos x] = 2xcos x - (x^2 + 1)sin x
प्रश्न: निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज first principle से ढूंढें: cos(x−π/8)
उत्तर: चरण 1: फ़ंक्शन को पहचानें, f(x) = cos(x−π/8)।
चरण 2: फ़ंक्शन के अवकलज को गणित के परिभाषा का उपयोग करके ढूंढें:
df/dx = lim h→0 (cos(x-π/8 + h) - cos(x-π/8))/h
चरण 3: कोसाइन के लिए योग और व्यतिकरण तत्वों का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाएँ:
df/dx = lim h→0 (cos(x+h-π/8) - cos(x-π/8))/h
चरण 4: कोसाइन के लिए गुण और योग तत्व का उपयोग करके समीकरण को और भी सरल बनाएँ:
df/dx = lim h→0 (cos(x-π/8)cos(h) - cos(x-π/8)cos(h))/h
चरण 5: समीकरण को सरल बनाएँ:
df/dx = lim h→0 (cos(x-π/8)(1 - cos(h))/h
चरण 6: कोसाइन के लिए घात घटाने से समीकरण को सरल बनाएँ:
df/dx = lim h→0 (cos(x-π/8)(2sin^2(h/2))/h
चरण 7: साइन के लिए दोहराव की पहचान का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाएँ:
df/dx = lim h→0 (cos(x-π/8)(2sin(h)cos(h))/h
चरण 8: फ़ंक्शन के अवकलज की गणित की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन का अवकलज ढूंढें:
df/dx = lim h→0 (2sin(h)cos(x-π/8))/h = 2cos(x-π/8)lim h→0 (sin(h))/h = 2cos(x-π/8)·1 = 2cos(x-π/8)
प्रश्न: निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज ढूंढें (यह समझ लिया जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर निर्धारित और m और n पूर्णांक हैं) : (x+a)
उत्तर: उत्तर:
-
पहले, घाती सूत्र का उपयोग करें: (x+a) का अवकलज = d/dx (x+a) = 1
-
क्योंकि a एक स्थायी है, इसलिए अवकलज 1 के बराबर है। इसलिए, (x+a) का अवकलज = 1
प्रश्न: निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज ढूंढें (यह समझ लिया जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर निर्धारित और m और n पूर्णांक हैं) : a/x^4−b/x^2+cos x
उत्तर: उत्तर: a/x^4 का अवकलज = -4a/x^5 b/x^2 का अवकलज = -2b/x^3 cos x का अवकलज = -sin x
इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन का अवकलज -4a/x^5 -2b/x^3 -sin x होता है।
प्रश्न: निम्नलिखित फ़ंक्शनों का अवकलज ढूंढें (यह समझ लिया जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर निर्धारित और m और n पूर्णांक हैं) : cosx/(1+sin x)
उत्तर: चरण 1: दिए गए फ़ंक्शन को cos x/1+sin x के रूप में पुनर्लेखित करें
चरण 2: फ़ंक्शन के अवकलज का ढूंढें quotient rule का उपयोग करके
अवकलज = (1+sin x)(-cos x) - (cos x)(-sin x) / (1+sin x)^2
चरण 3: अवकलज को सरल बनाएँ
अवकलज = -cos^2 x - sin^2 x / (1+sin x)^2
चरण 4: अवकलज को सरल बनाने के लिए double angle identity का उपयोग करें
अवकलज = -1 / (1+sin x)^2
उत्तर:
चरण 4: अभिविन्यास सुलभ करें
उत्तर: फ़ंक्शन f(x) का विलोमं भिन्न: -1
-
प्रारूप में समानता के अनुसार फ़ंक्शन को दोबारा लिखें: f(x) = sin(x+1)
-
पहले सिद्धांत से प्राथमिकता में फंक्शन का अवकलन करें: f’(x) = lim h->0 [f(x+h) - f(x)]/h
-
फंक्शन f(x) को समीकरण में बदलें: f’(x) = lim h->0 [sin(x+h+1) - sin(x+1)]/h
-
समीकरण को सरल रूप में लाएं: f’(x) = lim h->0 [sin(x+h)cos(1) + cos(x+h)sin(1) - sin(x+1)]/h
-
आगे सरल रूप में लाएं: f’(x) = lim h->0 [cos(1)sin(x+h) + sin(1)cos(x+h) - sin(x+1)]/h
-
f’(x) के लिए हल करें: f’(x) = cos(1)cos(x) + sin(1)sin(x) - sin(x+1)
-
उत्तर: f’(x) = cos(1)cos(x) + sin(1)sin(x) - sin(x+1)
-
डेरिवेटिव लें f(x) का उपयोग करते हुए डेरिवेटिव की परिभाषा का: f’(x) = lim h->0 (sin(x+1+h) - sin(x+1))/h
-
संक्षेप में व्यक्ति: f’(x) = lim h->0 (sin(x+h+1) - sin(x+1))/h
-
पहचान sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) का उपयोग करें: f’(x) = lim h->0 (sin(x+1)cos(h) + cos(x+1)sin(h) - sin(x+1))/h
-
संक्षेप में व्यक्ति: f’(x) = lim h->0 (cos(x+1)sin(h))/h
-
संक्षेप में उपयोग करें sin(a) = a जब a छोटा हो: f’(x) = lim h->0 (cos(x+1)h)/h
-
संक्षेप में व्यक्ति: f’(x) = lim h->0 cos(x+1)
-
सीमा मूल्यांकन करें: f’(x) = cos(x+1)
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शन की डेरिवेटिव ढूंढें (यह समझना है कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर मान और m और n पूर्णांक हैं) : (ax+b)/(cx+d)
उत्तर:
दिया गया है: f(x) = (ax+b)/(cx+d)
चरण 1: फ़ंक्शन को f(x) = u/v के रूप में पुनर्लेखित करें
f(x) = (ax+b)/(cx+d) = (ax+b)/v, जहां v = (cx+d)
चरण 2: डेरिवेटिव की गणना के लिए व्यवक्रम का उपयोग करें
f’(x) = [v(du/dx) - u(dv/dx)]/v^2
चरण 3: समीकरण में u और v के मान स्थानांतरित करें
f’(x) = [v(a) - (ax+b)(c)]/v^2
चरण 4: समीकरण को सरल करें
f’(x) = [cx+d)(a) - (ax+b)(c)]/[(cx+d)^2]
f’(x) = [acx+ad - acx - bc]/[(cx+d)^2]
f’(x) = ad/[(cx+d)^2]
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की डेरिवेटिव ढूंढें (यह समझना है कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर मान और m और n पूर्णांक हैं) : (ax^2+sin x)(p+q cos x)
उत्तर:
चरण 1: दिए गए अभिव्यक्ति को उपयोग करके गिनती का निकाल लें
चरण 2: पूर्वमें अभिव्यक्ति, (ax^2 + sin x), का डिफरेंशिएशिएटिव, पॉवर नियम का उपयोग करके
चरण 3: द्वितीय अभिव्यक्ति, (p + q cos x), का डिफरेंशिएशिएटिव, चेन नियम का उपयोग करके
चरण 4: दोनों डिफरेंशिएटिव को मिलाकर अंतिम उत्तर प्राप्त करें
उत्तर: (2ax + cos x)(p + q cos x) + (ax^2 + sin x)(-q sin x)
प्रश्न:
यदि फ़ंक्शन 4√x−2 की डेरिवेटिव a/√x है। a की मान्यता ढूंढें।
उत्तर:
- a की मान्यता ढूंढने के लिए एक डिफ़िनीशन का उपयोग करें:
a = (4√x - 2)’ = 4/2√x
- समीकरण में x = 1 को भरें और a के लिए हल करें:
a = 4/2√1
- a की मान्यता ढूंढने के लिए सरल करें:
a = 4
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की डेरिवेटिव ढूंढें (यह समझना है कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर मान और m और n पूर्णांक हैं) :(4x+5 sin x)/(3x+7 cosx)
उत्तर:
- दिए गए अभिव्यक्ति को इसकी सरलतम रूप में पुनर्लेखित करें:
(4x + 5sin x) / (3x + 7cos x)
- डिफ़रेंशिएशिएटिव ढूंढने के लिए व्यक्ति अनुपात का उपयोग करें:
[(3x + 7cos x)(4) - (4x + 5sin x)(-7cos x)] / (3x + 7cos x)^2
- डिफ़रेंशिएशिएटिव को सरल करें:
[12x + 28cos x + 28x - 35sin x] / (3x + 7cos x)^2
- और सरल करें:
[40x + 28cos x - 35sin x] / (3x + 7cos x)^2
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों की डेरिवेटिव ढूंढें (यह समझना है कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर मान और m और n पूर्णांक हैं) :x/(1+tan x)
उत्तर:
रूप बदलें x/1+tan x प्राप्त करने के लिए
व्यक्ति का उपयोग करें व्यक्ति के लिए
निमित्तक के लिए पहले अंश की व्यवक्रम का निकाल लें
निकालने का निकाल = 1
स्टेप 4: नामकारक की अवकलज का पाठ्यक्रम खोजें
नामकारक का अवकलज = सेक^2 x
स्टेप 5: अंशक नामकक्ष और नामकारक के नामक को बदलें
x/(1+टैन x) का नामकारक = 1/सेक^2 x - x सेक^2 x/(1+टैन x)^2
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों का उपग्रहण खोजें (इसे समझा जाना है कि a, b, c, d, p, q, r, s और s को नजरअंदाज करते हुए निश्चित गैर-शून्य स्थायी संख्या हैं और m और n अंचलिक हैं): x^4(5 sin x - 3 cos x)
उत्तर:
उत्तर: स्टेप 1: x^4 का अवकलज लें x^4 का अवकलज = 4x^3
स्टेप 2: 5 sin x का अवकलज लें 5 sin x का अवकलज = 5 cos x
स्टेप 3: -3 cos x का अवकलज लें -3 cos x का अवकलज = -3 (-sin x)
स्टेप 4: अवकलजों को मिलाएं x^4 (5 sin x - 3 cos x) का अवकलज = 4x^3 (5 cos x - 3 (-sin x))
स्टेप 5: सरलीकरण करें x^4 (5 sin x - 3 cos x) का अवकलज = 20x^3 sin x + 9x^3 cos x
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों का उपग्रहण खोजें (इसे समझा जाना है कि a, b, c, d, p, q, r और s एक के बराबर गैरशून्य स्थायी संख्याएँ हैं और m और n अंक हैं): sin(x+a)/cosx
उत्तर:
स्टेप 1: दिए गए व्यंजन को sin(x+a) * cosx^-1 के रूप में पुनर्लेखित करें।
स्टेप 2: उपग्रहण के लिए भाजक नियम लागू करें।
स्टेप 3: sin(x+a) का अवकलज = cos(x+a)
स्टेप 4: cosx^-1 का अवकलज = -cosx^-2
स्टेप 5: पूरक के अवकलजों को गुणा करें।
स्टेप 6: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
उत्तर: sin(x+a)/cosx का उपग्रहण है cos(x+a) * -cosx^-2 = -sin(x+a)cosx^-2।
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों का उपग्रहण खोजें (इसे समझा जाना है कि a, b, c, d, p, q, r और s एक के बराबर गैरशून्य स्थायी संख्याएँ हैं और m और n अंक हैं): (x+cosx)(x-tanx)
उत्तर:
- (x + cosx)(x - tanx) का उपग्रहण ढूंढने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें:
d/dx [(x + cosx)(x - tanx)] = (x + cosx)d/dx (x - tanx) + (x - tanx)d/dx (x + cosx)
- पहले शब्द का उपग्रहण ढूंढें:
(x + cosx)d/dx (x - tanx) = (x + cosx)(1 - sec2x)
- दूसरे शब्द का उपग्रहण ढूंढें:
(x - tanx)d/dx (x + cosx) = (x - tanx)(1 + cosx)
- दो उपग्रहणों को जोड़ें:
d/dx [(x + cosx)(x - tanx)] = (x + cosx)(1 - sec2x) + (x - tanx)(1 + cosx)
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शन का उपग्रहण खोजें (यह समझने के लिए होना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s एक निर्दिष्ट अनुशासित गैर-शून्य संख्या हैं और m और n अंचलिक हैं): (ax+b)^n
उत्तर:
उत्तर:
स्टेप 1: अवकलज की ऊर्ध्वगामीयता के लिए शक्ति नियम का प्रयोग करें।
अवकलज = n(ax + b)^(n-1) * a
स्टेप 2: अवकलज को सरल बनाएं।
अवकलज = an(ax + b)^(n-1)
प्रश्न:
निम्नलिखित फ़ंक्शन का उपग्रहण खोजें (यह समझने के लिए होना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s एक निर्दिष्ट अनुशासित गैरशून्य संख्या हैं और m और n अंचलिक हैं): (x^2cos(π/4))/sin x
उत्तर:
दिया गया है, f(x) = (x^2cos(π/4))/sin x
स्टेप 1: फ़ंक्शन को उत्पाद नियम का उपयोग करके पुनर्लेखित करें
f(x) = (x^2cos(π/4))/sin x = x^2cos(π/4) . (1/sin x)
स्टेप 2: उपग्रहण का उपयोग करें
f’(x) = [2xcos(π/4) . (1/sin x)] + [x^2cos(π/4) . (-cos x/sin^2 x)]
स्टेप 3: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं
f’(x) = [2xcos(π/4) . (1/sin x)] + [x^2cos(π/4) . (-cos x/sin^2 x)]
उत्तर: चरण 1: समीकरण को x/sin^2x = x(sin^2x)^-1 के रूप में पुन: लिखें
चरण 2: यूसम के दोनों पक्षों को ले डेरिवेटिव करें: d/dx[x(sin^2x)^-1] = (sin^2x)^-1d/dx[x] + xd/dx[(sin^2x)^-1]
चरण 3: दाईं ओर के समीकरण को सरल करें:
विषय:
d/dx[x(sin^2x)^-1] = (sin^2x)^-11 + x(-2sinxcosx)*(sin^2x)^-2
चरण 4: समीकरण को और भी सरल करें: d/dx[x(sin^2x)^-1] = (sin^2x)^-1 - 2xsinxcosx*(sin^2x)^-2
सवाल:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों का विभेदन ढूंढें (यह समझा जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर सांकेतिक हैं और m और n अभिप्रेत पूर्णांक हैं): (x+secx)(x−tanx)
उत्तर:
चरण 1: फ़ंक्शन को इस तरह से पुनः लिखें: (x + secx)*(x - tanx)
चरण 2: फ़ंक्शन के विभेदन के लिए गुणन नियम का उपयोग करें: d/dx [(x + secx)(x - tanx)] = (d/dx [x + secx])(x - tanx) + (x + secx)*(d/dx [x - tanx])
चरण 3: अवयवों के विभेदन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें: d/dx [x + secx] = 1 + (d/dx [secx]) d/dx [x - tanx] = 1 - (d/dx [tanx])
चरण 4: secx और tanx के विभेदन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें: d/dx [secx] = secx*tanx d/dx [tanx] = sec^2x
चरण 5: समीकरण में secx और tanx के विभेदन को स्थानांतरित करें: d/dx [(x + secx)(x - tanx)] = (1 + secxtanx)(x - tanx) + (x + secx)(1 - sec^2x)
चरण 6: समीकरण को सरल करें: d/dx [(x + secx)(x - tanx)] = x - tanx + secxtanx + x - secx*sec^2x
चरण 7: समीकरण को और भी सरल करें: d/dx [(x + secx)(x - tanx)] = 2x - (tanx + secxsec^2x)
सवाल:
निम्नलिखित फ़ंक्शनों का विभेदन ढूंढें (यह समझा जाना चाहिए कि a, b, c, d, p, q, r और s निर्धारित गैर-शून्य स्थिर सांकेतिक हैं और m और n पूर्णांक हैं): (ax+b)^n(cx+d)^m
उत्तर:
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फ़ंक्शन को विस्तारित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें: (ax + b)^n की विभेदन = n(ax + b)^(n-1) * (a) (cx + d)^m की विभेदन = m(cx + d)^(m-1) * (c)
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दो विभेदनों को गुणा करें: n(ax + b)^(n-1) * (a) * m(cx + d)^(m-1) * (c)
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समीकरण को सरल करें: nm(ax + b)^(n-1) * (cx + d)^(m-1) * (ac)
