त्रिविमीय ज्यामिति के परिचय विविध अभ्यास (Trivimeey Jyamiti ke Parichay Vividh Abhyas)
प्रश्न:
समकोण ABC की माध्यिकाओं की लंबाई क्या है जिसके कोण A(0,0,6),B(0,4,0) और (6,0,0) हैं।
उत्तर:
चरण 1: समकोण के पक्षों की मध्यबिन्दुओं की गणना करें। AB के मध्यबिन्दु की गणना करने के लिए, दो बिंदुओं के x-निर्देशिका की औसत और y-निर्देशिका की औसत का औसत लें: AB का मध्यबिन्दु: (0+6)/2, (0+4)/2, (6+0)/2 = (3,2,3) BC का मध्यबिन्दु की गणना करने के लिए, दो बिंदुओं के x-निर्देशिका की औसत और y-निर्देशिका की औसत का औसत लें: BC का मध्यबिन्दु: (6+0)/2, (4+0)/2, (0+0)/2 = (3,2,0) AC का मध्यबिन्दु की गणना करने के लिए, दो बिंदुओं के x-निर्देशिका की औसत और y-निर्देशिका की औसत का औसत लें: AC का मध्यबिन्दु: (0+6)/2, (4+0)/2, (6+0)/2 = (3,2,3)
चरण 2: मध्यबिन्दुओं और बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करें। AB के मध्यबिन्दु और बिंदु A के बीच की दूरी को दूरी के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: AB के मध्यबिन्दु और बिंदु A के बीच की दूरी = √((3-0)^2 + (2-0)^2 + (3-6)^2) = 5 BC के मध्यबिन्दु और बिंदु B के बीच की दूरी को दूरी के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: BC के मध्यबिन्दु और बिंदु B के बीच की दूरी = √((3-0)^2 + (2-4)^2 + (0-0)^2) = 2 AC के मध्यबिन्दु और बिंदु C के बीच की दूरी को दूरी के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: AC के मध्यबिन्दु और बिंदु C के बीच की दूरी = √((3-6)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2) = 5
चरण 3: माध्यिकाओं की लंबाई निर्धारित करें। बिंदु A से माध्यम की लंबाई की गणना करके AB के माध्यबिन्दु और बिंदु AC के माध्यबिन्दु के बीच की दूरी जोड़कर की जा सकती है: बिंदु A से माध्यम की लंबाई = 5 + 5 = 10 बिंदु B से माध्यम की लंबाई की गणना करके AB के माध्यबिन्दु और बिंदु BC के माध्यबिन्दु के बीच की दूरी जोड़कर की जा सकती है: बिंदु B से माध्यम की लंबाई = 2 + 5 = 7 बिंदु C से माध्यम की लंबाई की गणना करके AC के माध्यबिन्दु और बिंदु BC के माध्यबिन्दु के बीच की दूरी जोड़कर की जा सकती है: बिंदु C से माध्यम की लंबाई = 5 + 2 = 7
इसलिए, त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लंबाई हैं A(0,0,6), B(0,4,0) और C(6,0,0) अनुसार 10, 7 और 7 अनुसार।
प्रश्न:
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बिंदु R के निर्देशांक ढूंढ़ने के लिए हमें पहले रेखा खंड के मध्यबिन्दु के निर्देशांक ढूंढ़ने की आवश्यकता है।
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बिंदु P और Q के बीच के रेखा सेगमेंट के मध्यबिन्दु को P और Q के x, y और z निर्देशांकों का औसत लेकर मिला सकता है।
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मध्यबिन्दु का x-निर्देशांक (2+8)/2 = 5 है।
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मध्यबिन्दु का y-निर्देशांक (-3+0)/2 = -1.5 है।
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मध्यबिन्दु का z-निर्देशांक (4+10)/2 = 7 है।
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क्योंकि हम जानते हैं कि बिंदु R रेखा सेगमेंट पर स्थित है और इसका x-निर्देशांक 4 है, इसलिए बिंदु R के निर्देशांक (4, -1.5, 7) हैं।
प्रश्न:
हालया त्रिभुज PQR के केंद्रीय बिन्दु को यदि प(2a,2,6), Q(−4,3b,−10) और R(8,14,2c) है, तो आ की मान की मान्यता की जांच करें
जवाब:
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एक त्रिभुज का केंद्रीय बिन्दु उस त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं के छेद की सूचना देता है।
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एक त्रिभुज की माध्यिका उस बिंदु को जोड़ती है जो विपरीत सिरे के बीच का बीच-बिंदु होता है।
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सिर PQ का बीची अंश (−1, 2.5b, −8) होता है।
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सिर QR का बीची अंश (4, 8.5b, −4) होता है।
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सिर PR का बीची अंश (5a, 8, 4c) होता है।
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तीनों बीची अंशों के x-निर्देशों को बराबर समान करके a की मान की मान्यता पाएं:
−1 = 5a a = −1/5
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तीनों बीची अंशों के y-निर्देशों को बराबर समान करके b की मान की मान्यता पाएं:
2.5b = 8.5b b = 8/5
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तीनों बीची अंशों के z-निर्देशों को बराबर समान करके c की मान की मान्यता पाएं:
−8 = 4c c = −2
स्टेप ९: y-अक्ष पर बिंदु की निर्देशांक जो बिंदु P(3,-2,5) से 5√2 की दूरी पर होते हैं, हैं (0, ±√82)।
