त्रिमात्रिक ज्यामिति का परिचय अभ्यास 3
प्रश्न:
(−2,4,7) और (3,-5,8) बिंदुओं को जोड़ने से बने रेखा खंड को YZ-कवरने वाले व्यास द्वारा किस अनुपात में विभाजित किया जाता है?
उत्तर:
यदि (−2,4,7) और (3,-5,8) बिंदुओं को जोड़ने से बने रेखा खंड के बीच विभाजित बिन्दु के संख्यागणित को P (x, y, z) से दिखाने के लिए आवेदन करें।
इसलिए,
PQ / PR = YZ / XY
यहां PQ और PR बिंदुओं (−2,4,7) और (3,-5,8) को संयोग करने वाले वेक्टर हैं।
इसलिए,
| PQ | = √((3 - (-2))² + (-5 - 4)² + (8 - 7)²) = √((5)² + (-9)² + (1)²) = √(25 + 81 + 1) = √107
| PR | = √((0 - (-2))² + ((1/2) - 4)² + (0 - 7)²) = √((2)² + ((-7/2) - 4)² + (-7)²) = √(4 + (15/2)² + 49) = √(4 + 225/4 + 49) = √((16 + 225 + 196)/4) = √(437/4)
अब, इन्हें समान रखें, हमारे पास:
√(107) / √(437/4) = YZ / XY
वंशेषी काटी को लागू करते हैं:
(107) / (437/4) = YZ / XY
(107) / (437/4) = 4YZ / XY
XY = 4YZ * [(437/4) / (107)]
XY = YZ * (437/107)
इसलिए, YZ-कवर YZ-केंद्रित बिंदु के नामित क्षेत्र के अनुपात में निगदित अनुपात के समान 437/107 है।
कदम 1: रेखा सेगमेंट की मध्यबिंदु की गणना करें। मध्यबिंदु = ( (-2 + 3 )/2 , ( 4 + -5 )/2 , ( 7 + 8 )/2 ) = ( (1)/2 , (-1)/2 , (15)/2 ) = ( 0.5 , -0.5 , 7.5 )
कदम 2: दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें। दूरी = √((3-(-2))2 + (-5-4)2 + (8-7)2) = √(52 + (-9)2 + 12) = √(25 + 81 + 1) = √107
कदम 3: YZ-समतल द्वारा लाइन सेगमेंट को विभाजित करने वाले अनुपात की गणना करें। अनुपात = मध्यबिंदु से (-2,4,7) तक की दूरी / कुल दूरी = √((-2-0.5)2 + (4-(-0.5))2 + (7-7.5)2) / √107 = √(2.52 + 4.52 + (-0.5)2) / √107 = √(6.25 + 20.25 + 0.25) / √107 = √(26.75) / √107 = 5.2 / 10.3 = 0.5048543689320389
प्रश्न:
पॉइंट P(4,2,−6) और Q(10,−16,6) को जोड़ने वाली रेखा सेगमेंट को त्रीसेक्ट करने वाले पॉइंट की संयोजनाएँ ढूंढें
उत्तर:
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फ़ॉर्मूला का उपयोग करके पॉइंट P और Q को जोड़ने वाली रेखा सेगमेंट के मध्यबिंदु की गणना करें: मध्यबिंदु = (P + Q)/2
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दिए गए निर्देशिकाओं को सूत्र में अंतर्निहित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: मध्यबिंदु = ((4,2,-6) + (10,-16,6))/2
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मध्यबिंदु की संयोजनों को प्राप्त करने के लिए समीकरण को सरल बनाएँ: मध्यबिंदु = (14,-7,0)/2
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प्रत्येक संयोजन को 2 से भाग करके मध्यबिंदु की संयोजनों को प्राप्त करें: मध्यबिंदु = (7,-3.5,0)
इसलिए, पॉइंट P(4,2,-6) और Q(10,-16,6) को जोड़ने वाली रेखा सेगमेंट को त्रिंसेक्ट करने वाले पॉइंट की संयोजनाएँ (7,-3.5,0) हैं।
प्रश्न:
प्रदत्त हैं कि P(3,2,−4), Q(5,4,−6) और R(9,8,−10) संग्रहीत हैं। Q ने PR को किस अनुपात में विभाजित किया है?
उत्तर:
कदम 1: बिंदु P और Q के बीच की दूरी की गणना करें। P और Q के बीच की दूरी = √((5-3)^2 + (4-2)^2 + (-6-(-4))^2) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3
कदम 2: बिंदु P और R के बीच की दूरी की गणना करें। P और R के बीच की दूरी = √((9-3)^2 + (8-2)^2 + (-10-(-4))^2) = √(36 + 36 + 36) = √108 = 6√3
कदम 3: Q ने PR को किस अनुपात में विभाजित किया है, उसे गणना करें। Q ने PR को विभाजित किया है, वह अनुपात = P और Q के बीच की दूरी / P और R के बीच की दूरी होगा = 2√3 / 6√3 = 1/3
