तीन आयामी ज्यामिति अभ्यास 2 का परिचय
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प्रश्न:
निम्नलिखित बिंदुओं के बीच दूरी ढूंढें: (i) (2,3,5) और (4,3,1) (ii)(−3,7,2)और ((2,4,−1) (iii) (−1,3,−4) और (1,−3,4) (iv) (2,−1,3) और (−2,1,3)
उत्तर:
(i) दूरी = √((4-2)² + (3-3)² + (1-5)²) = √(4+0+16) = √20 = 4.4721
(ii) दूरी = √((2-(-3))² + (4-7)² + ((-1)-2)²) = √(5+9+9) = √23 = 4.7958
(iii) दूरी = √((1-(-1))² + ((-3)-3)² + (4-(-4))²) = √(2+36+16) = √54 = 7.3484
(iv) दूरी = √((-2-2)² + (1-(-1))² + (3-3)²) = √(4+2+0) = √6 = 2.4495
प्रश्न:
साबित करें कि बिंदु (−2,3,5),(1,2,3) और (7,0,−1) संरेखित हैं।
उत्तर:
चरण 1: बिंदु (−2,3,5) और (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण की गणना करें।
(−2,3,5) और (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण को इस प्रकार लेते हैं: ax + by + cz = d
उपरोक्त समीकरण में (−2,3,5) और (1,2,3) के संचारधारियों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह मिलता है: -2a + 3b + 5c = d a + 2b + 3c = d
उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर, हमें यह मिलता है: a = -3, b = 5, c = -2, d = 13
चरण 2: चरण 1 में प्राप्त समीकरण में बिंदु (7,0,-1) की संचारधारियों को प्रतिस्थापित करें।
चरण 1 में प्राप्त समीकरण में बिंदु (7,0,-1) की संचारधारियों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह मिलता है: -3(7) + 5(0) + (-2)(-1) = 13 -21 - 2 = 13
चरण 3: चरण 2 में प्राप्त समीकरण सत्य है या नहीं, इसे जांचें।
चरण 2 में प्राप्त समीकरण -23 = 13 है जो गलत है।
इसलिए, बिंदु (−2,3,5),(1,2,3) और (7,0,−1) संरेखित नहीं हैं।
प्रश्न:
निम्नलिखित को सत्यापित करें (i) (0,7,−10),(1,6,−6) और (4,9,−6) एक ब्रह्माण त्रिभुज के कोणों के बिंदु हैं (ii) (0,7,10),(−1,6,6) और (−4,9,6) एक कोणस्पर्शी त्रिभुज के कोणों के बिंदु हैं (iii) (−1,2,1),(1,−2,5),(4,−7,8) और (2,−3,4) एक समतलक के कोणों के बिंदु हैं
उत्तर:
(i) (0,7,−10),(1,6,−6) और (4,9,−6) एक ब्रह्माण त्रिभुज के कोणों के बिंदु होने की सत्यापन के लिए, हमें यह जांचनी होगी कि दो ओरों की लम्बाई बराबर है।
AB = (0,7,−10) और (1,6,−6) का होता है और AC = (0,7,−10) और (4,9,−6) का।
हम दूरी का आकलन करके AB और AC की लंबाई निर्धारित करते हैं।
AB = √((1-0)²+(6-7)²+(−6-(−10))²) = √(1+1+16) = √18
AC = √((4-0)²+(9-7)²+(−6-(−10))²) = √(16+4+16) = √36
क्योंकि AB = AC, तो त्रिभुज ब्रह्माण है।
(ii) (0,7,10),(−1,6,6) और (−4,9,6) एक कोणस्पर्शी त्रिभुज के कोणों के बिंदु होने की सत्यापन के लिए, हमें जांचनी होगी कि इनमें से कोई एक कोण 90° है।
हम दूरी का आकलन करके ओरों की लंबाई निर्धारित करते हैं।
AB = √((−1-0)²+(6-7)²+(6-10)²) = √(1+1+16) = √18
AC = √((−4-0)²+(9-7)²+(6-10)²) = √(16+4+16) = √36
BC = √((−4-(−1))²+(9-6)²+(6-6)²) = √(9+9+0) = √18
फिर हम प्याथगोरस का सिद्धांत उपयोग करके कोण का आकलन करते हैं।
AB² + AC² = BC²
18² + 36² = 18²
324 + 1296 = 324
इसलिए, AB और AC के बीच कोण 90° है, इसलिए त्रिभुज कोणस्पर्शी है।
(iii) (−1,2,1),(1,−2,5),(4,−7,8) और (2,−3,4) एक समतलक के कोणों के बिंदु होने की सत्यापन के लिए, हमें जांचनी होगी कि विपरीत ओरें बराबर हैं।
AB = (−1,2,1) और (1,−2,5) का होता है और CD = (1,−2,5) और (4,−7,8) का।
हम दूरी का आकलन करके AB और CD की लंबाई निर्धारित करते हैं।
जब दो समान मिटर के दूरी पर है, x = ±√46, y, z; के सेट का समीकरण ज्ञात होता है।
