Conic Sections अभ्यास 03 क्या है
सवाल: गोलाकार नामक कर्णों की संयोजनाओं, त्रिज्याओं, मेजोर धुरी की लंबाई, माइनर धुरी, विपथता और लाटस रेक्टम की लंबाई तलाश करें जबकि गोलाकार 36x^2+4y^2 = 144 हो।
उत्तर: कर्ण: (0, ±6√2) त्रिज्याएँ: (±6, 0) मेजर धुरी: 12 माइनर धुरी: 6√2 विपथता: √2/3 लाटस रेक्टम: 12√2
सवाल: इस स्थिति को पूरा करने वाले गोलाकार के लिए समीकरण ढूंढें: मेजर धुरी के अंत (± 3, 0), माइनर धुरी के अंत (0, ± 2)।
उत्तर: चरण 1: एक गोलाकार केंद्र की पहचान करें। गोलाकार केंद्र (0, 0) है।
चरण 2: अवर और माध्यम धुरियों की लंबाई की गणना करें। मेजर धुरी की लंबाई 3 है और माइनर धुरी की लंबाई 2 है।
चरण 3: अंत में तथ्यों को समीकरण में स्थानांतरित करें। गोलाकार के लिए समीकरण है: (x^2)/(3^2) + (y^2)/(2^2) = 1
सवाल: इस स्थिति को पूरा करने वाले गोलाकार के लिए समीकरण ढूंढें: मेजर धुरी के अंत (0, ±√5), माइनर धुरी के अंत (±1, 0)।
उत्तर:
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सबसे पहले, गोलाकार केंद्र की पहचान करें। गोलाकार केंद्र (0, 0) है।
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अगले, मेजर और माइनर धुरियों की लंबाई की गणना करें। मेजर धुरी की लंबाई √5 है, और माइनर धुरी की लंबाई 1 है।
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अंत में, गोलाकार के समीकरण की गणना करने के लिए एकल लक्ष्य सूत्र का उपयोग करें। गोलाकार के समीकरण है: (x^2)/(√5)^2 + (y^2)/(1^2) = 1
सवाल: इस स्थिति को पूरा करने वाले गोलाकार के लिए समीकरण ढूंढें: मेजर धुरी x-धुरी पर, केंद्र मूल पर है और बिंदुओं (4,3) और (6,2) से गुजरता है।
उत्तर:
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एक गोलाकार का समीकरण तथ्य सूत्र द्वारा दिया गया है: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1
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क्योंकि मेजर धुरी x-धुरी पर है, समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x-0)²/a² + (y-0)²/b² = 1
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समीकरण में बिंदुओं (4,3) और (6,2) को बदलते हुए, हमें मिलता है: (4-0)²/a² + (3-0)²/b² = 1 और (6-0)²/a² + (2-0)²/b² = 1
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ऊपरी समीकरणों को हल करके, हम चलने को पाते हैं: a² = 4 और b² = 5
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इसलिए, गोलाकार का समीकरण है: (x-0)²/4 + (y-0)²/5 = 1
सवाल: गोलाकार x2/36+y2/16=1 की विपथता क्या है? ए 2√5/4 ब 2√13/6 सी 2√5/6 डी 2√13/14
उत्तर: उत्तर: ब 2√13/6
सवाल: केंद्र (0,0) पर, मेजर धुरी y-धुरी पर है और बिंदुओं (3,2) और (1,6) से गुजरता है। a, b की मानें खोजें।
उत्तर:
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एक गोलाकार का मानक रूपण इस प्रकार होता है: x2/a2 + y2/b2 = 1
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उपयुक्त समीकरण में दो बिंदुओं की संख्याओं को भरें: (3)2/a2 + (2)2/b2 = 1 (1)2/a2 + (6)2/b2 = 1
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a और b के लिए हल करें: 9/a2 + 4/b2 = 1 1/a2 + 36/b2 = 1
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दो समीकरणों को घटाएं: 8/a2 - 32/b2 = 0
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दोनों तरफ चार से विभाजित करें: 1/a2 - 4/b2 = 0
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दोनों तरफ दोर के रूप में विभाजित करें: -1/b2 + 1/a2 = 0
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दोनों तरफ a2b2 से गुणा करें: a2b2 - b2a2 = 0
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कारक के रूप में लिखें: a2(b2 - a2) = 0
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a और b के लिए हल करें: a2 = 0 b2 = a2
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इसलिए, a = 0 और b = 0 हैं।
उत्तर: फोकस की संयोजना ढूंढें।
एक एलिप्स की फोकस की संयोजनाएं (h ± c, k) द्वारा दी जाती है, जहां h और k एलिप्स के केंद्र की संयोजना हैं और c केंद्र से फोकस तक की दूरी है।
इस मामले में, एलिप्स का समीकरण 16x^2+y^2=16 है।
हम देख सकते हैं कि अंडाशा का केंद्र (0, 0) पर है।
इसलिए, फोकस की संयोजनाओं के संयोजनाओं के संयोजन (±4, 0) हैं।
चरण 2: परिसर के संयोजन का पता लगाएं।
अंडाशा का एक अंश की लंबाई में दिए गए अंडाशा के संयोजनों को (h ± a, k) द्वारा दिया जाता है जहां h और k अंडाशा के केंद्र के संयोजन हैं और a प्रमुख धुरी की लंबाई है।
इस मामले में, अंडाशा की समीकरण 16x^2 + y^2 = 16 है।
हम देख सकते हैं कि अंडाशा का केंद्र (0, 0) पर है।
इसलिए, संयोजनों के संयोजन (±4, 0) हैं।
चरण 3: प्रमुख धुरी की लंबाई का पता लगाएं।
अंडाशा की मुख्य धुरी की लंबाई 2a द्वारा दी जाती है जहां a केंद्र से संयोजनों तक दूरी है।
इस मामले में, अंडाशा की समीकरण 16x^2 + y^2 = 16 है।
हम देख सकते हैं कि केंद्र से संयोजन तक की दूरी 4 है।
इसलिए, प्रमुख धुरी की लंबाई 8 है।
चरण 4: अप्रमुख धुरी की लंबाई का पता लगाएं।
अंडाशा की अप्रमुख धुरी की लंबाई 2b द्वारा दी जाती है जहां b केंद्र से संयोजनों तक की दूरी है।
इस मामले में, अंडाशा की समीकरण 16x^2 + y^2 = 16 है।
हम देख सकते हैं कि केंद्र से संयोजनों तक की दूरी 4 है।
इसलिए, अप्रमुख धुरी की लंबाई 8 है।
चरण 5: विभूति का पता लगाएं।
अंडाशा की विभूति e = c/a के द्वारा दी जाती है जहां c केंद्र से संयोजनों तक की दूरी है और a केंद्र से संयोजन की दूरी है।
इस मामले में, अंडाशा की समीकरण 16x^2 + y^2 = 16 है।
हम देख सकते हैं कि केंद्र से संयोजन तक की दूरी 4 है और केंद्र से संयोजन की दूरी 4 है।
इसलिए, विभूति e = 4/4 = 1 है।
चरण 6: लेटस रैक्टम की लंबाई का पता लगाएं।
अंडाशा की लेटस रैक्टम की लंबाई 2b/e द्वारा दी जाती है जहां b केंद्र से संयोजनों तक की दूरी है और e विभूति है।
इस मामले में, अंडाशा की समीकरण 16x^2 + y^2 = 16 है।
हम देख सकते हैं कि केंद्र से संयोजन तक की दूरी 4 है और विभूति 1 है।
इसलिए, लेटस रैक्टम की लंबाई 2b/e = 8/1 = 8 है।
अभी आपके सवाल पर आते हैं:
स्थानिकता से महत्वपूर्ण धुरी की लंबाई 26, संयोजन (±5,0) से संतुष्ट होने वाले अंडाशा के लिए समीकरण खोजें।
उत्तर:
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एक अंडाशा के लिए एक समीकरण इस प्रारूप में लिखा जा सकता है: (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
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एक अंडाशा की महत्वपूर्ण धुरी सबसे लंबा व्यास होती है और इसकी लंबाई 26 होती है। इसका अर्ध या समी-महाद्वीधुरी, a, 13 है।
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एक अंडाशा के संयोजनों को इस समीकरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है: c^2 = a^2 - b^2, यहां c केंद्र और संयोजनों के बीच की दूरी है। इस मामले में, c = 5 और a = 13। इसलिए, b = sqrt(169 - 25) = 12।
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अंडाशा का समीकरण है: (x-5)^2/13^2 + (y-0)^2/12^2 = 1
सवाल:
चुनें गए शर्तों को पूरा करने वाले अंडाशा के लिए समीकरण ढूंढें: महत्वपूर्ण धुरी की लंबाई 16, संयोजन (0,±6)।
उत्तर:
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पहले, दिए गए जानकारी के साथ एक अंडाशा का समीकरण पहचानें। महत्वपूर्ण धुरी की लंबाई 16 और संयोजन (0, ±6) वाले एक अंडाशा का समीकरण है: (x^2)/16 + (y^2)/36 = 1
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फिर, महाद्वीधुरी की लंबाई की गणना करें।
The hi version of the content is: बड़ी धुरी की लंबाई को सूत्र a^2 = c^2 - b^2 का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जहां a बड़ी धुरी की लंबाई है, b छोटी धुरी की लंबाई है और c फोकस के बीच की दूरी है। इसलिए, बड़ी धुरी की लंबाई है: a^2 = 36 - 16 = 20 a = √20 = 4.472135955
- अंतिम रूप में, उभयधुरी का केंद्रीय संकेतांकों को कैलकुलेट करें। उभयधुरी के केंद्रीय संकेतांकों को निर्धारित करने के लिए सूत्र (h, k) = (0, 0) का उपयोग किया जा सकता है। इसलिए, उभयधुरी के केंद्रीय संकेतांक हैं: (h, k) = (0, 0)
सवाल:
निम्न शर्तों को पूरा करने वाली उभयधुरी के लिए समीकरण ढूंढें b=3, c=4, ऊर्ध्व मिलनारा कोणों परम द्वारा ऊर्ध्वाचार केंद्र
उत्तर:
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केंद्र पर ऊर्ध्वाचार और छोटी और बड़ी धुरी की लंबाई 2a और 2b क्रमिक रूप से 2a और 2b होने वाली उभयधुरी की मानक समीकरण दिया जा सकता है: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
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दिया हुआ b = 3 और c = 4 होने के कारण, ऊर्ध्वाचार की समीकरण लिखा जा सकता है: (x^2/4^2) + (y^2/3^2) = 1
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ऊर्ध्वाचार को ऊर्ध्व मिलनारा पर स्थानांतरित करने के लिए, हमें यह शर्त जोड़नी होगी कि ऊर्ध्वाचार के बीच की दूरी 2c के बराबर हो। इसलिए, ऊर्ध्वाचार की समीकरण है: (x^2/4^2) + (y^2/3^2) = 1 + (x^2/c^2) = 1
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सरलीकरण करके, ऊर्ध्वाचार की समीकरण है: (x^2/4^2) + (y^2/3^2) - (x^2/16) = 1
सवाल:
ऊर्ध्वाचार के फोकस के संकेतांक, ऊसर, बड़ी धुरी की लंबाई, छोटी धुरी की लंबाई, विमार्जन और लंबघोट रैक्टम की लंबाई य, ऊर्ध्वाचार विन्हती के संकेतांक ढूंढें x^2/25+y^2/100=1
उत्तर:
A. फोकस की संयोजित निर्देशांक: (0, ±√75)
B. ऊसर की संयोजित निर्देशांक: (±5, 0)
C. बड़ी धुरी की लंबाई: 10
D. छोटी धुरी की लंबाई: 5
E. विमार्जन: √75/5
F. लंबघोट रैक्टम की लंबाई: 5√75
सवाल:
x^2/16+y^2/9=1 रूपी उभयधुरी का एकोर्ड पॉजिटिव x-अक्ष पर फोकस के माध्यम से होने वाले केंद्रक पर 90 ʘ का कोण उत्पन्न करता है। उसके य-अक्ष को काटने पर बिंदुओं के संयोजित निर्देशांक क्या होते हैं। ए (0,±4√7/13) ब (0,±2√7/31) स (0,±12√7/31) द (0,±√7/31)
उत्तर:
चरण 1: उभयधुरी एक प्रकार की कोनिक धारा है, और इसकी समीकरण को Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 रूप में लिखा जा सकता है, जहां A, B, C, D, E और F स्थिर हैं।
चरण 2: समस्या में दी जाने वाली उभयधुरी की समीकरण को x^2/16 + y^2/9 = 1 रूप में लिखा जा सकता है, जिसे सरलित करके 16x^2 + 9y^2 = 144 मिल सकता है।
चरण 3: ऊर्ध्वाचार की समीकरण फिर से स्थानांतरित विन्हती पर लिखा जा सकता है जो कि 16x^2 + 9y^2 - 144 = 0 होती है।
चरण 4: पॉजिटिव x-अक्ष पर फोकस के माध्यम से होने वाले ऊर्ध्वाचार की समीकरण को y = mx रूप में लिखा जा सकता है, जहां m ऊर्ध्वाचार की ढाल है।
चरण 5: ऊर्ध्वाचार का कोण केंद्र पर 90 ʘ होता है, जिसका मतलब ऊर्ध्वाचार की ढाल 0 होती है।
चरण 6: उभयधुरी के एकोर्ड की समीकरण फिर से लिखी जा सकती है जो y = 0x या सिर्फ y = 0 होती है।
चरण 7: ऊर्ध्वाचार की समीकरण में y = 0 को सब्स्टिट्यूट करने पर, हमें 16x^2 = 144 मिलता है, जो सरलित करके x^2 = 9 में बदल सकता है।
चरण 8: दोनों ओरों का वर्गमूल लेकर, हमें x = ±3 मिलता है।
पदावंश 9: एलिप्स के लिए मान x = ±3 के बदले में डालते हैं, हमें y = ±4√7/13, ±2√7/31, ±12√7/31, और ±√7/31 मिलता है।
इसलिए, य-अक्ष को कटते हुए तार के संबंधित बिन्दुओं के संयोजनांक हैं (0, ±4√7/13), (0, ±2√7/31), (0, ±12√7/31), और (0, ±√7/31)।
प्रश्न:
वृत्त 4x2+9y2=36 और अतिलोमी 4x2−y2=4 का एक समान भोजन है और यह इसके सतहों पर लंबवत प्रक्षेपण करते हैं तो दो वृत्तों के संबंधित बिंदुओं के संयोजनांकों का समतल घुमाव के माध्यम से वृत्त की समीकरण होगी ए समान ब √5(x^2+y^2)−3x−4y=0 सी √5(x^2+y^2)+3x+4y=0 डी x^2+y^2=25
उत्तर:
उत्तर: ब √5(x^2+y^2)−3x−4y=0
प्रश्न:
एलिप्स की समीकरण ढूंढें, यदि फोकस (±3,0) है, ए=4।
उत्तर:
उत्तर: पदावंश 1: दो फोकस (±c,0) वाले माजर धुरी के साथ एलिप्स की समीकरण निम्नलिखित होती है (x - 3)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
पदावंश 2: c और a के मानों को बदलते हुए, हमें यह मिलता है (x - 3)^2/4^2 + y^2/b^2 = 1
पदावंश 3: b की गणना करते हुए, हमें यह मिलता है b = √(4^2 - (x - 3)^2)
प्रश्न:
वक्र के लिए x^2/4+y^2/25=1, उस रेखा के वे बिंदु ढूंढें जहां स्पर्श को (i) वे समान्य के परालल हैं (ii) वे विभाजक के परालल हैं
उत्तर:
(i) वे समान्य के परालल हैं
पदावंश 1: दिए गए समीकरण को y के साथ भिन्न करके समान्य की ढीलता को प्राप्त करें।
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}
पदावंश 2: समान्य का ढीलापन 0 होना चाहिए तब तकनीकी या पराजीमी ब्रॉड रेखा परालल होती है।
\frac{dy}{dx} = 0
पदावंश 3: x के लिए समीकरण को हल करें।
-\frac{x}{2y} = 0
x = 0
पदावंश 4: दिए गए समीकरण में x = 0 डालें ताकि y के लिए संबंधित मान मिलें।
\frac{0^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1
y^2 = 25
y = \pm 5
इसलिए, समान्य के परालल बिंदु (0, 5) और (0, -5) हैं।
(ii) वे विभाजक के परालल हैं
पदावंश 1: दिए गए समीकरण को x के साथ भिन्न करके विभाजक की ढीलता को प्राप्त करें।
\frac{dx}{dy} = -\frac{2y}{x}
पदावंश 2: विभाजक का ढीलापन अनंत होना चाहिए तब तकनीकी या पराजीमी ब्रॉड रेखा परालल होती है।
\frac{dx}{dy} = \infty
पदावंश 3: y के लिए समीकरण को हल करें।
-\frac{2y}{x} = \infty
y = 0
पदावंश 4: दिए गए समीकरण में y = 0 डालें ताकि x के लिए संबंधित मान मिलें।
\frac{x^2}{4} + \frac{0^2}{25} = 1
x^2 = 4
x = \pm 2
इसलिए, विभाजक के परालल बिंदु (2, 0) और (-2, 0) हैं।
प्रश्न:
परेक्षक (±5,0) और फोकस (±4,0) वाली एलिप्स का समीकरण है ए x^2/25+y^2/16=1 ब x^2/9+y^2/25=225 सी x^2/9+y^2/25=1 डी x^2/4+y^2/5=20
उत्तर:
उत्तर: सी x^2/9+y^2/25=1
प्रश्न:
परेक्षक (±6,0) और फोकस (±4,0) वाली एलिप्स की समीकरण ढूंढें
उत्तर:
उत्तर: पदावंश 1: माजर और माइनर धुरियों की लंबाई निर्णय करें। माजर धुरी = 6 - 4 = 2 माइनर धुरी = 6 + 4 = 10
पदावंश 2: एलिप्स की भौजी तथा विकर्णता निकालें। विकर्णता = (माजर धुरी/माइनर धुरी) = (2/10) = 0.2
पदावंश 3: एलिप्स के केंद्र की गणना करें। केंद्र = (6 + 4)/2 = 5
पदावंश 4: एलिप्स की समीकरण निर्णय करें। एलिप्स की समीकरण = (x-5)²/2² + (y-0)²/10² = 1
