द्विचरणी सूत्र विविध अभ्यास (Dvicharanī Sūtra Vividh Abhyās)
सवाल:
(4√2+1/4√3)n का पांचवाँ आंकड़ा पांचवें आंकड़े से विस्तार का अनुपात √6:1 है, तो n क्या है?
उत्तर:
कदम 1: समस्या को सुलझाने के लिए दिए गए समीकरण को इंद्रधनुश के अनुरूप ’n’ अक्षर को आइसोलेट करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें।
(4√2+1/4√3)n/((4√2+1/4√3)n-4) = √6:1
कदम 2: समीकरण के दोनों ओर के अनुपात को (4√2+1/4√3)n-4 से गुणा करें, बाईं ओर का अंश घटाने के लिए क्रमबद्ध कीजिए।
(4√2+1/4√3)n = (√6:1)(4√2+1/4√3)n-4
कदम 3: समीकरण की दाईं ओर को सरलीकृत कीजिए।
(4√2+1/4√3)n = (4√6+1/4√3)n-4
कदम 4: समीकरण के दाएं ओर से (4√2+1/4√3)n को घटाएँ।
0 = (4√6+1/4√3)n-4 - (4√2+1/4√3)n
कदम 5: समीकरण की दाईं ओर को सरलीकृत कीजिए।
0 = (4√6-4√2+1/4√3)n-4
कदम 6: समीकरण की दोनों ओर को (4√6-4√2+1/4√3) से भाग कीजिए।
n = 4/(4√6-4√2+1/4√3)
सवाल:
द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (1+2x)^6(1-x)^7 के उत्पन्न में x^5 का संकेतक ढूंढें।
उत्तर:
उत्तर: कदम 1: द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (1+2x)^6 का विस्तार करें (1 + 2x)^6 = 1 + 12x + 54x^2 + 216x^3 + 672x^4 + 1728x^5 + 3024x^6
कदम 2: द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (1-x)^7 का विस्तार करें (1 - x)^7 = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7
कदम 3: दोनों विस्तारों को गुणा कीजिए: (1 + 12x + 54x^2 + 216x^3 + 672x^4 + 1728x^5 + 3024x^6)(1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7)
कदम 4: x^5 के सभी संकेत को संग्रह कीजिए 1728x^5
कदम 5: उत्पन्न (1+2x)^6(1-x)^7 में x^5 का संकेतक 1728 है।
सवाल:
द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (3x^2−2ax+3a^2)^3 का विस्तार कीजिए।
उत्तर:
उत्तर:
द्विघात सिद्धांत का इस्तेमाल करते हुए,
(3x^2−2ax+3a^2)^3 =
3^3x^6 - 3^2(2a)x^5 + 3^2(2a)^2x^4 - 3(2a)^3x^3 + 3(2a)^4x^2 - (2a)^5x + (2a)^6
सवाल:
यदि एक और b विभिन्न पूर्णांक हैं, तो साबित करें कि जब n एक सकारात्मक पूर्णांक हो तो a−b a^n−b^n का एक आंकड़े है।
उत्तर:
प्रमाण:
a और b विभिन्न पूर्णांक हों।
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एक आंकड़े के परिभाषा के अनुसार, हमें दिखाना होगा कि a^n−b^n a−b से विभाज्य है।
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हम a^n−b^n को (a−b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + … + ab^(n-2) + b^(n-1)) के रूप में लिख सकते हैं।
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चूंकि कोष्ठक में विश्लेषित सभी शब्द a-b से विभाज्य होते हैं, इसलिए a^n-b^n भी a-b से विभाज्य होता है।
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इसलिए, जब n एक सकारात्मक पूर्णांक हो तब a-b a^n-b^n का समकोण है।
प्रश्न:
विस्तार का उपयोग करें (1+x/2-2/x)^4, x≠0 और विस्तार में शब्दों के कोफीशियंट का योग t होता है। 10000t का निर्णय करें
उत्तर:
(1 + x/2 - 2/x)^4
= (1 + x/2)^4 - 4(1 + x/2)^3(2/x) + 6(1 + x/2)^2(2/x)^2 - 4(1 + x/2)(2/x)^3 + (2/x)^4
= 1 + 4(x/2) + 6(x/2)^2 + 4(x/2)^3 + (x/2)^4 - 4(1 + 3(x/2) + 3(x/2)^2 + (x/2)^3)(2/x) + 6(1 + 2(x/2) + (x/2)^2)(2/x)^2 - 4(1 + (x/2))(2/x)^3 + (2/x)^4
= 1 + 4(x/2) + 6(x/2)^2 + 4(x/2)^3 + (x/2)^4 - 8/x - 24(x/2)/x - 24(x/2)^2/x - 8(x/2)^3/x + 12/x^2 + 48(x/2)/x^2 + 24(x/2)^2/x^2 - 8/x^3 - 8(x/2)/x^3 + 1/x^4
तथा विस्तार में शब्दों के कोफीशियंट का योग t होता है
t = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 - 8 - 24 - 24 - 8 + 12 + 48 + 24 - 8 - 8 + 1
t = 104
10000t = 1040000
