द्विपद प्रमेय अभ्यास २
सवाल:
(9x−1/3√x)18 के विस्तार में 13वां पद ढूंढें, x≠0
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: (9x−1/3√x)18 का विस्तार लिखें, x≠0
(9x−1/3√x)18 = (9x)18 - (1/3√x)18
चरण 2: विस्तार में 13वें पद को खोजें
(9x)18 के विस्तार में 13वा पद है (9x)13।
(1/3√x)18 के विस्तार में 13वें पद है (1/3√x)13।
चरण 3: (9x−1/3√x)18 के विस्तार में 13वा पद गणित करें, x≠0
(9x−1/3√x)18 के विस्तार में 13वें पद है (9x)13 - (1/3√x)13।
सवाल:
(x^2−y)^6 के विस्तार में सामान्य विफलक को लिखें
उत्तर:
(x^2)^6 - 6(x^2)(y)^5 + 15(x^2)(y)^4 - 20(x^2)(y)^3 + 15(y)^4 - 6(y)^5 + (y)^6
सामान्य पद: a6x2^6 - 6a5x2y5 + 15a4x2y4 - 20a3x2y3 + 15a2y4 - 6a1y5 + a0y6
सवाल:
(x−2y)^12 के विस्तार में 4वा पद खोजें
उत्तर:
उत्तर:
चरण 1: (x−2y)^12 को (x^2 - 4xy + 4y^2)^6 के रूप में लिखें
चरण 2: (x^2 - 4xy + 4y^2)^6 का विस्तार करने के लिए द्विपदीय उदाहरण का उपयोग करें
चरण 3: विस्तार में 4वा पद है 6x^4y^2
विषय: 7. (ए)^(के+के) = (ए)^म अगर क = म और (ए)^(के+के) = (ए)^न अगर क = न
- अतः, ए^म और ए^न के समीकरणों में (मCम) (नCन) = (मCन)
प्रश्न: साबित कीजिये की अभिव्यक्ति (1+x)^2n के x^n का सम्मिश्रण x^n की अभिव्यक्ति (1+x)^2n−1 के x^n के सम्मिश्रण की तुलना में दोगुना होता है.
उत्तर:
- बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके (1+x)^2n और (1+x)^2n−1 का विस्तार कीजिये।
(1+x)^2n = Σ(nCk)(1^(2n-k))(x^k)
(1+x)^2n−1 = Σ(nCk)(1^(2n-1-k))(x^k)
- दो अभिव्यक्तियों में x^n का सम्मिश्रण तुलना कीजिये।
(1+x)^2n के x^n का सम्मिश्रण = nCn = 1
(1+x)^2n−1 के x^n का सम्मिश्रण = nCn−1 = n/(n-1)
- सिद्ध कीजिये की (1+x)^2n के x^n का सम्मिश्रण (1+x)^2n−1 के x^n के सम्मिश्रण की दोगुनाई होती है।
1 = 2(n/(n-1))
2n = n
n = n
अतः, (1+x)^2n के x^n का सम्मिश्रण (1+x)^2n−1 के x^n के सम्मिश्रण की दोगुनाई होती है।
प्रश्न: (1+x)^m के विस्तार में x^2 का सम्मिश्रण 6 होने के लिए m का एक सकारात्मक मान खोजें।
उत्तर: (1+x)^m = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ….
a_2 = x^2 का सम्मिश्रण
a_2 = (m)(m-1)/2
6 = (m)(m-1)/2
6(2) = m(m-1)
12 = m^2 - m
m^2 - m - 12 = 0
(m-4)(m+3) = 0
m = 4 या m = -3
हम सकारात्मक m के लिए खोज रहे हैं,
m = 4
प्रश्न: (x+3)^8 के विस्तार में x^5 का सम्मिश्रण क्या है? ए: 1542 बी: 1512 सी: 2512 डी: 12 ई: 4
उत्तर: उत्तर: बी: 1512
