द्विपद सूत्र अभ्यास 1
प्रश्न:
बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके, बताएं कि कौन सा नंबर अधिक है (1.1)^10000 या 1000।
उत्तर:
जवाब:
- बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके, हम (1.1)^10000 को इस प्रकार के शब्दों का योग में विस्तृत कर सकते हैं: (1.1)^10000 = ∑ (nCk) (1.1)^k (0.1)^(10000-k)
- 1000 एक स्थायी है, यह बदलाव नहीं करता है।
- इसलिए, (1.1)^10000 1000 से अधिक है।
प्रश्न:
बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके (102)^5 का मूल्यांकन करें।
उत्तर:
जवाब: चरण 1: बार-बार 96 को खुद से गुणा करें:
(96)^3 = 96 x 96 x 96
चरण 2: 96 x 96 की गणना करें:
(96)^3 = 96 x 96 x 96 = 9216 x 96
चरण 3: 9216 x 96 की गणना करें:
(96)^3 = 9216 x 96 = 8840192
प्रश्न:
बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके (101)^4 का मूल्यांकन करें।
उत्तर:
जवाब: चरण 1: बाइनोमियल सूत्र का उपयोग करके, (a+b)^n = Σ(nCk)akbn-k, यहां n घात है और k योग-संकेत का सूचकांक है।
चरण 2: बाइनोमियल सूत्र में a = 101, b = 0, और n = 4 को प्रतिस्थापित करें।
चरण 3: जोड़बंदी की गणना करें।
चरण 4: (101)^4 = Σ(4Ck)101k0-k = Σ(4Ck)101k = 1 + 404 + 30,301 + 1,210,404।
चरण 5: इसलिए, (101)^4 = 1 + 404 + 30,301 + 1,210,404।
प्रश्न:
अभिव्यक्ति (2x−3)^6 का विस्तार करें।
उत्तर:
(2x−3)^6 = (2x)^6 − 6(2x)^5(3) + 15(2x)^4(3)^2 − 20(2x)^3(3)^3 + 15(2x)^2(3)^4 − 6(2x)(3)^5 + (3)^6
= 64x^6 - 1152x^53 + 5460x^43^2 - 8640x^33^3 + 5460x^23^4 - 1152x*3^5 + 3^6
प्रश्न:
(1−2x)^5 का विस्तार करें।
उत्तर:
(1−2x)^5 =
1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5
प्रश्न:
(1/3+1/x)^6 का विस्तार करें।
उत्तर:
उत्तर: चरण 1: (1/3 + 1/x)^6 = चरण 2: (1/3)^5 + 5(1/3)^4(1/x) + 10(1/3)^3(1/x)^2 + 10(1/3)^2(1/x)^3 + 5(1/3)(1/x)^4 + (1/x)^5 चरण 3: 1/243x^5 + 5/27x^4 + 10/9x^3 + 10/3x^2 + 5/x + 1/x^5 चरण 4: 1/243x^5 + 5/27x^4 + 10/9x^3 + 10/3x^2 + 5 + 1/x^5
प्रश्न:
(x+1/x)^6 का विस्तार करें।
उत्तर:
(x+1/x)^6 = (x^2 + 1)/x^2)^6 = (x^12 + 6x^10 + 15x^8 + 20x^6 + 15x^4 + 6x^2 + 1)/x^12
हेतु सपुर्द-और सपुर्द () द्वारा, हमलें (1,1) को ही ज्यादा () की तूलना में पातें हैं:
(1.1)^10000 = (1 + 0.1)^10000 =
1 + 10000(0.1) + (10000)(10000-1)/2 (0.1)^2 + …. + (10000)(0.1)^10000
- चूंकि 0.1 के घाती संख्याओं में आती हैं, हम दूसरे शब्दों को छोड़ें और कह सकतें हैं कि (1.1)^10000 लगभग है:
1 + 10000(0.1) = 1100
- क्योंकि 1100 सौ से अधिक हैं, (1.1)^10000 1000 से बड़ा हैं।
प्रश्न:
(ए+ब)^4−(ए−ब)^4 ढूंढें। इसलिए, (√3+√2)^4−(√3−√2)^4 की मान्यता करें।
उत्तर:
चरण 1: (ए+ब)^4−(ए−ब)^4 = (ए^4 + 4ए^3ब + 6ए^2ब^2 + 4एब^3 + ब^4) − (ए^4 − 4ए^3ब + 6ए^2ब^2 − 4एब^3 + ब^4)
चरण 2: (ए+ब)^4−(ए−ब)^4 = 8ए^3ब + 16ए^2ब^2 + 8एब^3
चरण 3: ए = √3 और ब = √2 के स्थान पर स्थानांतरित करतें, हम पातें हैं
(√3+√2)^4−(√3−√2)^4 = 8(√3)(√2)^3 + 16(√3)^2(√2)^2 + 8(√3)^3(√2)
चरण 4: अधिक सरल रूप में सुधार करतें, हम पातें हैं
(√3+√2)^4−(√3−√2)^4 = 24√6 + 32√12 + 24√3
चरण 5: इसलिए, आवश्यक उत्तर हैं
(√3+√2)^4−(√3−√2)^4 = 80√3
प्रश्न:
दिखायें की 9^(n+1)−8n−9 को 64 में विभाज्य हैं, जबकि n एक सकारात्मक पूर्णांक हैं।
उत्तर:
- 9^(n+1) - 8n - 9
- 9^(n+1) - 8n - 9 = 9(9^n) - 8n - 9
- 9(9^n) - 8n - 9 = 9(9^n) - 8n - 9 + 8n
- 9(9^n) - 8n - 9 + 8n = 9(9^n) - 9 + 8n
- 9(9^n) - 9 + 8n = 9(9^n) - 9 + 8(8)
- 9(9^n) - 9 + 8(8) = 9(9^n) - 9 + 64
- 9(9^n) - 9 + 64 = 64(9^n - 1/8)
- 64(9^n - 1/8) 64 में विभाज्य हैं
इस प्रकार, 9^(n+1)−8n−9 64 में विभाज्य हैं, जबकि n एक सकारात्मक पूर्णांक हैं।
