चुंबकत्व और पदार्थ
अध्याय 5
चुंबकत्व और पदार्थ
MCQ I
~~ 5.1 एक $n$ चक्रवाती, औसत त्रिज्या $R$ और प्रायिक त्रिज्या $a$ वाला टोरायड परमाणु $I$ धारी होता है। इसे एक सदृश्य के रूप में एक समतल मेज पर रखा जाता है जो $x$ - $y$ तल माना जाता है। इसका चुंबकीय मोमेंट $\mathbf{m}$
(a) गैर-शून्य होता है और प्रांगण की दिशा में होने के कारण जीड़ पक्ष में होता है।
(b) टोरायड के धुरी के साथ एकांत्रित होता है $(\mathbf{m}=m \hat{\boldsymbol{{}\phi}})$।
(c) शून्य होता है, अन्यथा टोरायड के बाहरी दूरी पर $r^{3}$ के रूप में गिरने वाला एक क्षेत्र होगा।
(d) केंद्रवर्ती रूप से सिद्ध हो रहा है।
~~ 5.2 पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के केंद्र में रखे गए एक बिंदु गुंथरासर की तुलना से मॉडल बनाया जा सकता है। बिंदु गुंथरासर का धुरी धुरी पृथ्वी के धुरी के साथ $11.3^{\circ}$ का एक दोष बनाता है। मुंबई में, तटवर्ती निर्णय लगभग शून्य होता है। तब,
(a) तटवर्ती निर्णय $11.3^{\circ} W$ से $11.3^{\circ} E$ के बीच बदलता है।
(b) सबसे कम तटवर्ती निर्णय $0^{\circ}$ है।
(c) बिंदु गुंथरासर की धुरी और पृथ्वी की धुरी द्वारा परिभाषित तल पास होता है।
(d) पृथ्वी पर औसत तटवर्ती सदृश हमेशा नकारात्मक होनी चाहिए।
~~ 5.3 एक स्थायी चुंबक के कमरे के तापमान पर
(a) प्रत्येक अणु का चुंबकीय मोमेंट शून्य होता है।
(b) व्यक्तिगत अणुओं के पास गैर-शून्य चुंबकीय मोमेंट होता है जो सभी पूरी तरह से सरणीबद्ध होते हैं।
(c) डोमेन पूर्णतः बाध्य होते हैं।
(d) डोमेन सभी प्रमाणों में संपूर्ण रूप से सांद्र होते हैं।
~~ 5.4 दो आदर्शीत संयंत्रों का विचार करें: (i) एक सदृश कपैसिटर जिसमें बड़े प्लेट और छोटे अंतर होते हैं और (ii) एक लंबी सोलेनॉइड जिसकी लंबाई $L \gg>$, पार्श्वचाप की त्रिज्या होती है। (i) में $\mathbf{E}$ आपूर्ति को पतता के रूप में एक स्थिर बताया है जो प्लेट के बीच एकांत्रित होता है और बाहरीता होता है। (ii) में चुंबकीय क्षेत्र स्तरवरती होता है और बाहरीता होता है। हालांकि, ये आदर्श धारणाएँ मूल कानूनों के विपरीत हैं जैसे कि:
(a) मामूली वस्तु के लिए (i) स्थिरचालन का कानून के विपरीत है।
(b) मामूली वस्तु के लिए (ii) चुंबकीय क्षेत्र का कानून के विपरीत है।
(c) (i) $\oint \mathbf{E} . d \mathbf{l}=0$ पर सहमत होता है।
(d) (ii) $\oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=I _{e n}$ के विपरीत होता है।
~~ 5.5 एक पैराचुंबक सैंपल को $4 K$ के तापमान पर $0.6 T$ के बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में रखने पर सक्रिय चुंबकीय मोमेंट $8 Am^{-1}$ दिखाता है। जब वही सैंपल $16 K$ के तापमान पर $0.2 T$ के बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो उसका चुंबकीय मोमेंट होगा
(a) $\frac{32}{3} Am^{-1}$
(b) $\frac{2}{3} Am^{-1}$
(c) $6 Am^{-1}$
(d) $2.4 Am^{-1}$.
MCQ II
~~ 5.6 $S$ एक चुंबकीय पदार्थ गोले की सतह है।
(a) $\mathbf{B}$ की रेखाएँ आवश्यक रूप से $S$ में निरंतर होती हैं।
(b) कुछ $\mathbf{B}$ की रेखाएँ $S$ के बारे में अनिरंतर होती हैं।
(c) $\mathbf{H}$ की रेखाएँ आवश्यक रूप से $S$ में निरंतर होती हैं।
(d) $\mathbf{H}$ की रेखाएँ सभी $S$ में निरंतर नहीं हो सकती हैं।
~~ 5.7 चुंबकीयता का प्राथमिक मूल बिंदु
(a) परमाणु धाराओं में होता है।
(b) पौली अस्थिरता सिद्धांत में होता है।
(c) अणुओं के ध्रुवीय प्रकृति में होता है।
(d) इलेक्ट्रॉन के स्वाभाविक स्पिन में होता है।
~~
5.8 एक लंबी सोलेनॉइड के में 1000 टर्न प्रति मीटर होती है और इसे $1 एमपी$ की धारा लगी होती है। इसमें मजबूत लोहे की धातुचुंबकता ($\mu_r=1000$) होती है। धातुचुंबक कुरी समय से बहुत ज्यादा तापमान पर गर्म हो जाती है, $T_c$।
(a) सोलेनॉइड में $\mathbf{H}$ फ़ील्ड (लगभग) परिवर्तित होता है लेकिन $\mathbf{B}$ फ़ील्ड बहुत अधिक कम होता है।
(b) सोलेनॉइड में $\mathbf{H}$ और $\mathbf{B}$ फ़ील्ड (लगभग) परिवर्तित नहीं होते हैं।
(c) मजबूत लोहे में मेंगनईटियाई पक्ष दिशा बदल जाती है।
(d) मजबूत लोहे में मेंगनईटियाई पक्ष लगभग $10^8$ गुना कम होता है।
~~ 5.9 एक परामाणुतांत्रिक गुणक से एक मात्री में विद्यमान विभेद सारणी से कंडक्टिंग गोलाकार सुरंग द्वारा आवरकता कराने और मैग्निटोस्टेटिक आवरण की विभेद के बीच में प्रमुख अंतर होता है।
(a) विद्युतस्थापना के क्षेत्र रेखाएं इंधन समाप्त हो सकती हैं और कंडक्टर में मुक्त आवेश होते हैं।
(b) $\mathbf{B}$ की रेखाएँ भी समाप्त हो सकती हैं लेकिन कंडक्टर उन्हें समाप्त नहीं कर सकता है।
(c) $\mathbf{B}$ की रेखाएँ किसी भी पदार्थ पर समाप्त नहीं हो सकती हैं और पूर्ण आवरण संभव नहीं होता है।
(d) उच्च परमानुमान पदार्थ की क्षेत्र को यात्रा करने के लिए प्रयोग किए जा सकते हैं। $\mathbf{B}$ की रेखाएँ को आंतरिक क्षेत्र से विचलित करने के लिए।
~~ 5.10 पृथ्वी पर चुंबकीय क्षेत्र को पृथ्वी के केंद्र में रचनात्मक दिपोल की तुलना में मॉडल किया जाता है। भौगोलिक समतल पर एक बिन्दु पर धनुष का अवक्षेप
(a) हमेशा शून्य होता है।
(b) विशेष बिंदुओं पर शून्य हो सकता है।
(c) सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है।
(d) सीमित होता है।
VSA
~~ 5.11 एक प्रोटॉन में इलेक्ट्रॉन की तरह स्पिन और चुंबकीय क्षणिका होती है। तो फिर इसका प्रभाव धातुचुंबकता में क्यों अनदेखा किया जाता है?
~~ 5.12 एक पतली गोलीयगर्भित चुंबक जिसकी लंबाई $10 सेमी$ होती है, में $M=10^{6} A / m$ होती है। चुंबकीय संचालन धारा $I_M$ की गणना करें।
~~ 5.13 $N_2(\sim 5 \times 10^{-9})$ (STP पर) और $Cu(\sim 10^{-5})$ की डाइअमैग्नेटिक प्रतिबलता के बीच मात्रात्मक अन्तर की गणितीय व्याख्या करें।
~~ 5.14 आणुयुक्ति की दृष्टिकोण से, अपवर्तकता, पैरामैग्नेटिंज़म और धातुचुंबकता के लिए तापमान पर आधारभूत अवधारणा की चरणी के बारे में चर्चा करें।
~~ 5.15 एक सुपरकन्डक्टिंग पदार्थ का एक गोला तरल नाइट्रोजन में डुबोया जाता है और एक बार मैग्नेट के पास रखा जाता है। (i) यह किस दिशा में हिलेगा? (ii) इसकी चुंबकीय क्षणिका की दिशा क्या होगी?
SA
~~ 5.16 निकटतमता $R$ की गोला परिधि के लिए केंद्र पर एक बिंदु चुंबक के चुंबकीय क्षेत्र के लिए गौस का कानून सत्यापित करें। चुंबकीय क्षणिका के द्वारा।
~~
5.17 तीन एक ही आकार की बार चुंबक एक साथ बाधाग्रस्त हैं। यह सिस्टम चुंबकीय क्षेत्र में धीमी रूप से परिवर्तनशील क्षेत्र में शामिल होता है। पाया जाता है कि चुंबकों की एक की उत्तर-दक्षिण ध्रुवीक क्षेत्र चित्र ५.१ में दिखाई गई है। शेष दोनों के के क्षेत्र होंगे।
चित्र ५.१
~~ 5.18 मानकता बीच विद्युतस्थापना और विद्युद्ध क्षेत्रों के बीच पार्थक चलनचित्र को विशेष तौर पर प्रमाणित करना चाहिए। (i) विद्युतदिप का आंदोलन $\mathbf{p}$ विद्युतस्थापना क्षेत्र में $\mathbf{E}$ और (ii) चुंबकीय दिपोल के आंदोलन के खिलाफ मेगास्टेटिक में।
कन्टेंट का हाई संस्करण क्या है: $\mathbf{m}$ एक चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ में। $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{p}$, $\mathbf{m}$ के लिए एक सेट के शर्तों को लिखें जिनके तहत दो गतियों की पुष्टि होती है। (मान लें समान आदिकारी प्रारंभिक शर्तें।)
~~ 5.19 एक मेड़ का चुंबकीय घटक $\mathbf{B}$ में एक्सिस के लिए मध्यवर्ती पॉइंट के लिए दोहर कार्यकारी अवधियों $T$ का अवधि है। प्रत्येक टुकड़े के लिए समान अवधि $T^{\prime}$ होगी?
~~ 5.20 (i) $\mathbf{H}$ के लिए ऐंपियर का कानून और (ii) $\mathbf{B}$ की लाइनों की निरंतरता का उपयोग करके इस नतीजे पर पहुँचें कि एक मेड़ के भीतर, (a) $\mathbf{H}$ की लाइनें $N$ ध्रुव से $S$ ध्रुव तक चलती हैं, जबकि (b) $\mathbf{B}$ की लाइनें $S$ ध्रुव से $N$ ध्रुव तक चलनी चाहिए।
लिपि
~~ 5.21 एक बिंदु डीपोल $\mathbf{m}=m \hat{\mathbf{k}}$ के चुंबकीय क्षेत्र के लिए ऐंपियर का कानून सत्यापित करें। $C$ को क्लॉकवाइज़ समयगत पूर्णत्रिज्या $R$ और उद्देश्य पर केंद्र वाले पहले चतुष्पाद की माध्यमिकता के बिना बहने के साथ दौड़ते हुए, (i) $z$-अक्ष से $z=a>0$ से $z=R$ तक; (ii) $x-z$ तस्वीर के पहले चतुर्भुज के लिए; (iii) $x$-अक्ष से $x=R$ से $x=a$ तक, और (iv) $x-z$ तस्वीर के पहले चतुर्भुज के लिए।
~~ 5.22 चुंबकीय अनुरोधन का आयाम $\chi$ क्या है? एक $H$-परमाणु का विचार करें। $\chi$ के लिए एक व्यक्ति के आयाम के रूप में अभिनिर्मित करके एक व्यक्ति के पैरामीटरों से एक आयाम के आदानों को अन्यत्र इंगित करें: $e, m, v, R$ और $\mu_0$। यहां, $m$ इलेक्ट्रॉनिक मास है, $v$ इलेक्ट्रॉनिक वेग है, $R$ बोह्र त्रिज्या है। अंकों की अनुमानित संख्या को प्राप्त करें और बहुत सारे ठोस सामग्रियों के लिए $|\chi| \approx 10^{-5}$ के मान के साथ तुलना करें।
~~ 5.23 धरातल के चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए धरातल डिपोल मॉडल का अनुमान यह है: $B_V=$ चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 m \cos \theta}{r^{3}}$ $B_H=$ चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिजाधर घटक $=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sin \theta m}{r^{3}}$ $\theta=90^{\circ}-$ माध्य की वज़न पर मापा गया है। हिसाब करें (i) $|\mathbf{B}|$ कम सर्वंचच स्थान; (ii) चिढ़ बांध शून्य है; और (iii) चिढ़ बांध $\pm 45^{\circ}$ है।
~~ 5.24 जिस तस्वीर से चुंबक की धुरी और पृथ्वी की धुरी एक दूसरे के साथ मिलती हैं, सी द्वारा बनाया गया तस्वीर $S$ है। $P$ चुंबकीय निर्देशांक और भूगोलीय निर्देशांक के संदर्भबिंदु पर होने हैं। $Q$ भूगोलीय और चुंबकीय निर्देशांक के संयोजन बिंदु हैं। $P$ और $Q$ पर घुमाव और चिढ़ धनात्मक और धुंधात्मक दुरों को प्राप्त करें।
~~ 5.25 दो वर्तमान करने वाली प्लेनर तार वाली कोइलें होती हैं, प्रत्येक लम्बाई $L$ से बनी होती हैं। $C_1$ वृत्ताकार होती है (त्रिज्या $R$) और $C_2$ वर्गाकार होती है (पक्ष $a$)। वे ऐसे निर्मित किए जाते हैं कि जब वे समान वर्गीकृत बी में रखे जाते हैं और समान वर्तमान लेते हैं, तो वे समान आंतरण की अवधि रखते हैं। $a$ को $R$ के प्रारूप में पाएं।
अध्याय 5
~~ 5.1 (c)
~~ 5.2 (a)
~~ 5.3 (c)
~~ 5.4 (b)
~~
5.5 (बी)
~~ 5.6 (ए), (ड)
~~ 5.7 (ए), (ड)
~~ 5.8 (ए), (ड)
~~ 5.9 (ए), (क), (ड)
~~ 5.10 (बी), (क), (ड)
~~ 5.11 $ \mu_p \approx \frac{e \hbar}{2 m_p}$ और $\mu_e \approx \frac{e \hbar}{2 m_e}, \hbar=\frac{h}{2 \pi}$
$\mu_e \gg \mu_p$ क्योंकि $m_p \gg m_e$.
~~ 5.12 $ B l=\mu_0 M l=\mu_0(I+I_M)$ और $H=0=I$
$M l=I_M=10^{6} \times 0.1=10^{5} एम्पीयर$।
~~ 5.13 $ x \alpha$ घनत्व $\rho$। अब $\frac{\rho_N}{\rho _{Cu}}=\frac{28 ग्राम / 22.4 लीटर}{8 ग्राम / सेमी-सीसी}=\frac{3.5}{22.4} \times 10^{-3}=1.6 \times 10^{-4}$।
$\frac{x_N}{x _{Cu}}=5 \times 10^{-4}$ (दिए गए डेटा से)।
इसलिए मुख्य अंतर density के द्वारा आवेदन किया जाता है।
~~ 5.14 डायमैगनेटिज़म ध्रुवीय गति के इलेक्ट्रॉनों के मारक क्षणिकताओं की वजह से होता है जो लागू शक्ति के विपरीत मारक क्षणिकताओं के विकास के होते हैं और इसलिए ताप पर अधिक प्रभावित नहीं होता।
पैरामैगनेटिज़म और फेरोमैगनेटिज़म आवेदित शक्ति के दिशा में परमाणु मारक क्षणिकताओं के संरेखण के कारण होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, इस संरेखण को बाधित किया जाता है और इसलिए दोनों की susceptibility तापमान बढ़ने से कम होती है।
~~ 5.15 (इ) मैग्नेट से दूर। (ई) माग्नेटिक क्षणि किया जाता है बायां से दाएं
~~ 5.16
$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{3 \mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^{3}}, m=m \hat{\mathbf{k}}$
$d \mathbf{s}=\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r}^{2} \sin \theta d \theta c$
$0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq$
$\oint \mathbf{B} . d \mathbf{s}=\frac{\mu_0 m}{4 \pi} \int \frac{3 \cos \theta}{r^{3}} r^{2} \sin \theta d \theta$
$=0[$ की वजह से $\theta$ निर्देशीय है $]$।
~~ 5.17 कुल $ m=0$। इसका केवल विकल्प चित्र में दिखाया गया है।
~~ 5.18 $E(r)=c B(r), p=\frac{m}{c}$। विकर्षण और अभिलोमन के विरोधी के साथ भार और क्षणिकता के समान होते हैं।
~~ 5.19 $ T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{m B}} \quad I^{\prime}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} I$ और $m^{\prime}=\frac{m}{2} . \quad T^{\prime}=\frac{1}{2} T$
~~ 5.20 एक लाइन के माध्यम से माग्नेटिक ज़ीबर को ध्यान में रखें। यह बंद होना चाहिए। अम्पेरियन लूप को $\mathbf{C}$ मानें।
$\int _{\Theta}^{P} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=\int _{\Omega}^{P} \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} \cdot d \boldsymbol{{}l}>0$
$\oint _{P G P} \mathbf{H} . d \mathbf{l}=0$
$\int_D^{Q} \mathbf{H} . d \mathbf{l}<0$
$P \to Q$ मैग्नेट के अंदर है।
इसलिए $\mathbf{H}$ और $d \boldsymbol{{}l}$ के साथ एक तुक्क हो रहा है।
~~ 5.21 (इ) $Z$ अक्ष के साथ
$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \mathbf{m}}{r^{3}}$
कंटेंट का हिंदी संस्करण है:
$\int_a^{R} \mathbf{B} . d \mathbf{l}=\frac{\mu_0}{4 \pi} 2 m \int_a^{R} \frac{d z}{z^{3}}=\frac{\mu_0 m}{2 \pi}(-\frac{1}{2})(\frac{1}{R^{2}}-\frac{1}{a^{2}})$
(ii) व्यास $R$ के चारों भुजों के लिए
$B_0=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{-\mathbf{m} \cdot \hat{\boldsymbol{{}\theta}}}{R^{3}}=\frac{-\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{R^{3}}(-\sin \theta)$ B. $d \boldsymbol{{}l}=\frac{\mu_0 m}{4 \pi R^{2}} \sin \theta d$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{{}B} \cdot \overrightarrow{{}d l}=\frac{\mu_0 m}{4 \pi R^{2}}$
(iii) $x$-अक्ष के साथ
$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}(\frac{-m}{x^{3}})$
$\int \mathbf{B} . d \mathbf{1}=0$
(iv) व्यास $a$ के चारों भुजों के लिए B. $d \mathbf{1}=\frac{-\mu_0 m}{4 \pi a^{2}} \sin \theta d \theta, \int \mathbf{B} . d \mathbf{l}=-\frac{-\mu_0 m}{4 \pi a^{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta d \theta=\frac{-\mu_0 m}{4 \pi a^{2}}$
जोड़ें $\oint_C \mathbf{B} . d \mathbf{1}=0$
~~ 5.22 $\chi$ आयासी है।
$\chi$ प्रेरित होने पर चुम्बकीय कप में निर्मित होता है जब $H$ पर पलटने परः पंद्रह के साथ धर्तीय प्रकार के तरंगों का प्रतिस्थापन करता है। $H$ आणविक इलेक्ट्रॉनों के साथ अद्यतनित होता है, जो अपने आयामन के माध्यम से संयुक्तिक मौजस्तर पर कपल होता है। अवेशन का प्रभाव $m$ पर है जिसमें और एकंत्रकता $I$ शामिल होती है जिसमें अद्यतनितता $e$ का और एक अंश है। “अद्यतनितता” $Q$ आयामों पर नहीं निर्भरता होती है।
$\chi=\mu_0 e^{2} m^{\alpha} v^{\beta} R^{\gamma}$
$\mu_0 c^{2}=\frac{1}{c^{2}} \frac{e^{2}}{\varepsilon_0} \sim \frac{1}{c^{2}} \frac{e^{2}}{\varepsilon_0 R} \cdot R \sim \frac{\text{ Energy length }}{c^{2}}$ $[\chi]=M^{0} L^{0} T^{0} Q^{0}=\frac{ML^{3} T^{-2}}{L^{2} T^{-2}} M^{\alpha}(\frac{L}{T})^{\beta} L^{\gamma} Q^{0}$
$\alpha=-1, \beta=0, \gamma=-1$
$\chi=\frac{\mu_0 e^{2}}{m R} \sim \frac{10^{-6} \times 10^{-38}}{10^{-30} \times 10^{-10}} \sim 10^{-4}$.
~~ 5.23
(i) $|\mathbf{B}|=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{R^{3}}(4 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta)^{1 / 2}$
$\frac{|\mathbf{B}|^{2}}{(\frac{\mu_0}{4 \pi R^{3}})^{2} m^{2}}=3 \cos ^{2} \theta+1$, $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर न्यूनतम।
$|\mathbf{B}|$ चुम्बकीय समांतर क्षेत्र में न्यूनतम होता है।
(ii) $\tan$ (कोणीय झुकाव) $=\frac{B_V}{B_H}=2 \cot$
$\theta=\frac{\pi}{2}$ पर कोणीय झुकाव का पता नहीं चलता है। माग्नेटिक समांतर फिर से लोकनीय स्थल होता है।
(iii) कोणीय झुकाव $\pm 45^{\circ}$ होता है जब $|\frac{B_V}{B_H}|=1$ हो
$2 \cot \theta=1$
$\theta=\tan ^{-1} 2$ लोकनीय स्थल है।
~~ 5.24 प्रतीक्षान्त वार्ता करें।
- $P$ $S$ में है (सुई उत्तर की ओर दिखाएगी)
तट्टी $=0$
$P$ चुंबकीय समांतर पर भी है।
$\therefore$ झुकाव$=0$ 2. $Q$ चुंबकीय समांतर पर है।
$\therefore$ झुकाव$=0$
लेकिन तट्टी $=11.3^{\circ}$।
~~ 5.25 पासक के बारे में देखें चित्र।
- $P$ $S$ में है (सुई उत्तर की ओर दिखाएगी)
विभक्तिता$=0$
$P$ चुंबकीय समांतर पर भी है।
$\therefore$ झुकाव$=0$
- $Q$ चुंबकीय समांतर पर है।
$\therefore$ झुकाव$=0$
लेकिन विभक्तिता$=11.3^{\circ}$।
~~ 5.25 $ \quad n_1=\frac{L}{2 \pi R}$
$n_2=\frac{L}{4 a}$
$m_1=n_1 IA$
$m_2=n_2 I A_2$
$ =\frac{L}{2 \pi R} I \pi R \quad=\frac{L}{4 a} I a^{2}=\frac{L}{4} I c $
यहां ही संस्करण की यह है: $I_1=\frac{M R^{2}}{2}$ (एक व्यास के माध्यम से क्षैतिज धारण का क्षणबल)
$I_2=\frac{M a^{2}}{12}$
$\omega_1^{2}=\frac{m_1 B}{I_1} \quad \omega_2^{2}=\frac{m_2 B}{I_2}$
$\frac{m_1}{I_1}=\frac{m_2}{I_2}$
$ \frac{L R}{2 \pi} \times \frac{I}{\frac{M R^{2}}{2}}=\frac{\frac{L}{4} I a}{\frac{M a^{2}}{12}} \Rightarrow a=\frac{3 \pi}{4} R $
