विद्युतस्थैतिक स्थितिबद्धता और प्रतिधर्मता

अध्याय 2

इलेक्ट्रोस्टेटिक संभावना और कैपेसिटेंस

MCQ I

~~ 2.1 एक कैपैसिटर $4 \mu F$ का योग करेंगे जैसा कि सर्किट में दिखाया गया है (चित्र 2.1)। बैटरी की आंतरिक प्रतिरोध $0.5 \Omega$ है। कैपैसिटर प्लेटों पर चार्ज की मात्रा होगी

(a) 0

(b) $4 \mu C$

(d) $8 \mu C$

चित्र 2.1

~~ 2.2 एक सकारात्मक चार्जित कण शांतिपूर्ण विद्युत क्षेत्र में शांति से छोड़ा जाता है। चार्ज की विद्युत संभावना ऊर्जा

(a) समान होती है क्योंकि विद्युत क्षेत्र विन्यास है।

(b) बढ़ती है क्योंकि चार्ज विद्युत क्षेत्र के साथ चलता है।

(d) घटती है क्योंकि चार्ज विद्युत क्षेत्र के विपरीत चलता है।

~~ 2.3 चित्र 2.2 में कुछ समकोण संभावना रेखाएँ अंतरित होती हैं। चार्जयुक्त वस्तु को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ ले जाते हैं।

(i)

(ii)

चित्र 2.2

(iii)

(a) चित्र (i) में किया गया कार्य सबसे अधिक है।

(b) चित्र (ii) में किया गया कार्य सबसे कम है।

(d) चित्र (iii) में किया गया कार्य चित्र (ii) से अधिक है लेकिन चित्र (i) में उससे समान है।

~~ 2.4 चार्जित चौकोर गुणों की सतह पर इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावना $100 V$ है। इस संबंध में दो बयान दिए गए हैं:

$S_1$ : गोलाकार की किसी भी बिंदु पर, विद्युत प्रतिसंध शून्य है।

$S_2$ : गोलाकार की जो भी बिंदु पर है, वह इलेक्ट्रोस्टेटिक संभावना $100 V$ है।

निम्नलिखित में से कौन सा सही बयान है?

(a) $S_1$ सही है, लेकिन $S_2$ झूठा है।

(b) $S_1 & S_2$ दोनों झूठे हैं।

(d) $S_1$ सही है, $S_2$ भी सही है लेकिन बयानों में स्वतंत्र हैं।

~~ 2.5 जिन चार्जों के कुल योग शून्य नहीं होते हैं उनके दूरबीनी समकोण संभावनाएँ लगभग होती हैं

(a) गोलाकार।

(b) तलवार।

(d) ऊर्वरेखायों।

~~ 2.6 एक समानान्तर ताल धात्विक दो कैपेसिटर मोड़ें में बनाया गया है। इनमें से एक खंड $d_1$ और तत्वांक $k_1$ वाला है और

चित्र 2.3

दूसरे के पास मोटाई $d_2$ और विलेक्ट्रिक धारकांक $k_2$ होती है, जैसा कि चित्र 2.3 में दिखाया गया है। यह व्यवस्था एक विलेक्ट्रिक मोम के रूप में समझा जा सकता है जिसकी मोटाई $d(=d_1+d_2)$ और प्रभावी विलेक्ट्रिक धारकांक $k$ होती है। $k$ होता है

(अ) $\frac{k_1 d_1+k_2 d_2}{d_1+d_2}$

(ब) $\frac{k_1 d_1+k_2 d_2}{k_1+k_2}$

(स) $\frac{k_1 k_2(d_1+d_2)}{(k_1 d_1+k_2 d_2)}$

(द) $\frac{2 k_1 k_2}{k_1+k_2}$

MCQ II

~~ 2.7 $\hat{\mathbf{z}}$ दिशा में एक समान विद्युत फील्ड को विचार करें। संभावना है कि प्रभावी विद्युत धारा में कोई परिवर्तन नहीं होगा

(अ) सभी स्थानों पर।

(ब) किसी भी $x$ के लिए एक दिए गए $z$ के लिए।

(स) किसी भी $y$ के लिए एक दिए गए $z$ के लिए।

(द) किसी दिए गए $z$ के लिए $x$ - $y$ सतह पर।

~~ 2.8 समांतर क्षेत्र

(अ) बिजली क्षेत्र की तुलना में अधिक बड़े क्षेत्रों में करीब आएंगे।

(ब) एक कंडक्टर के तीखी किनारों के पास अधिक भीड़ होगी।

(स) अधिक आवेश घनत्व के क्षेत्रों के आस-पास अधिक भीड़ होगी।

(द) हमेशा बराबर अंतराल के होंगे।

~~ 2.9 $A$ से $B$ तक एक समान विद्युतीय साधन को ले जाने के लिए किया गया काम

(अ) निर्धारित नहीं किया जा सकता है जैसा कि $-\int_A^{B} \mathbf{E} . d \mathbf{1}$ है

(ब) $-\int_A^{B} \mathbf{E} \cdot \boldsymbol{{}d} \mathbf{1}$ के रूप में परिभाषित होना चाहिए

(स) शून्य है।

(द) एक गैर-शून्य मान ले सकता है।

~~ 2.10 एक स्थिर मानक स्थानीयता में

(अ) विद्युत फील्ड समान होता है

(ब) विद्युत फील्ड शून्य होता है

(स) क्षेत्र के अंदर कोई आवेश नहीं हो सकता है।

(द) विद्युत फील्ड आवश्यकता से बदलेगा अगर एक आवेश क्षेत्र के बाहर रखा गया है।

~~ 2.11 चित्र 2.4 में दिखाए गए सर्किट में। पहले कुंजी $K_1$ बंद होती है और कुंजी $K_2$ खोली जाती है। फिर $K_1$ खोला जाता है और $K_2$ बंद होता है (क्रम महत्वपूर्ण है)। [यहां ले $C_1$ और $C_2$ पर चार्ज के रूप में $Q_1{ }^{\prime}$ और $Q_2{ }^{\prime}$ और $V_1$ और $V_2$ कोललच्छित कीजिए।]

फिर

चित्र 2.4

(अ) $C_1$ पर चार्ज पुनर्वितर्तित होती है जिससे $V_1=V_2$

(ब) $C_1$ पर चार्ज पुनर्वितर्तित होती है जिससे $Q_1{ }^{\prime}=Q_2{ }^{\prime}$

(स) $C_1$ पर चार्ज पुनर्वितर्तित होती है जिससे $C_1 V_1+C_2 V_2=C_1 E$

(द) $C_1$ पर चार्ज पुनर्वितर्तित होती है जिससे $Q_1{ }^{\prime}+Q_2{ }^{\prime}=Q$

~~ 2.12 यदि कंडक्टर पर एक विद्युत धारा $V \neq 0$ है और इसके बाहर कहीं भी चार्ज नहीं हैं, तो

(अ) सतह पर या उसके आंतरिक स्थानों पर चार्ज होगी।

(ब) कंडक्टर के शरीर में कोई चार्ज नहीं हो सकती।

(स) केवल सतह पर ही चार्ज होगी।

(द) सतह के आंतरिक स्थानों पर चार्ज होगी।

~~ 2.13 एक समरेखीय पटल धारक पीछे दिए गए चित्र 2.5 में एक बैटरी से जुड़ा होता है। दो स्थितियां को विचार करें:

अ: कुंजी $K$ को बंद रखा जाता है और कैपेसिटर की प्लेट्स को इन्सुलेटिंग हैंडल का उपयोग करके दूर ले जाया जाता है।

बी: कुंजी $K$ खोली जाती है और कैपेसिटर की प्लेट्स को इन्सुलेटिंग हैंडल का उपयोग करके दूर ले जाया जाता है।

सही विकल्प का चयन करें।

(अ) अ: $Q$ समान रहती है लेकिन $C$ परिवर्तित होती है।

(ब) बी: $V$ समान रहती है लेकिन $C$ परिवर्तित होती है।

(स) अ: $V$ समान रहती है और इसलिए $Q$ बदलती है।

कन्टेंट का हिंदी संस्करण है: सामग्री 2.5

(द) बी में: $Q$ पहले जैसा ही होता है और इसलिए $V$ परिवर्तित होता है। छोटे गोला बड़े गोले के के मुकाबले अधिक या कम होता है।

VSA

~~ 2.14 चारों दिशाओं वाले दो चुंबकीय गोलों की रेडियां R1 और R2 की बहु उद्घाटन, यदि R1 > R2 हो तो बड़े गोले में छोटे गोले से अधिक चार्ज होता है। बताइए कि छोटे गोले का चार्ज घनत्व बड़े गोले की तुलना में अधिक या कम होता है।

~~ 2.15 नि: शुल्क इलेक्ट्रॉन क्या ऊंची विभाव क्षेत्र में या निचली विभाव क्षेत्र में चल सकते हैं?

~~ 2.16 एक ही चार्ज को मालीयस्त्रीय परिधि वाले दो पड़ों के बीच क्या एक व्यापक अंतर हो सकता है?

~~ 2.17 क्या निःशुल्क स्थान में पोटेंशियल फ़ंक्शन में अधिकतम या न्यूनतम हो सकता है?

~~ 2.18 एक परीक्षण चार्ज को एक बिंदु चार्ज के विभाव क्षेत्र में चलाया जाता है, दो अलग-अलग बंद मार्गों में (आरंभिक 2.6 चित्र देखें)। पहला मार्ग इलेक्ट्रिक क्षेत्र की लाइनों के साथ और कोनों के उल्लंघन के तत्व होता है। दूसरा मार्ग एक आयताकार लूप होता है जिसका क्षेत्र पहले लूप के बराबर होता है। दोनों मामलों में काम किया गया कम होता है?

चित्र 2.6

SA

~~ 2.19 साक्षीय क्षेत्र के साथ एक बंद युटिलिधिम आवरण द्वारा साक्षीय आकार दिखाएँ जो उस भीतर कोई चार्ज नहीं है, वह एक साक्षीय आयताकार क्षेत्र घिरना चाहिए।

~~ 2.20 कैपेसिटर के प्लेटों के बीच कुछ उत्तीबोधक होता है, और कैपेसिटर को एक DC स्रोत से जोड़ा जाता है। बैटरी अब डिसकनेक्ट हो जाती है और फिर उत्तीबोधक हटा दिया जाता है। क्या कैपेसिटेंस, इसमें संचित ऊर्जा, इलेक्ट्रिक क्षेत्र, संचित चार्ज और वोल्टेज बढ़ेंगे, घटेंगे या स्थिर रहेंगे।

~~ 2.21 सिलेंडर में निर्वाध आवरणित, अनचार्जित द्वारकारी एक चार्ज के निकट क्रियाशील, किन्तु कोई अन्य द्वारकारी न होने पर अविच्छेद्य शरीर का विभाव कणिका निकटतम और विस्तारिततम के बीच अवधारित होना चाहिए।

~~ 2.22 एक बिंदु चार्ज $-q$ की पाठ्यक्षेत्र के केंद्र से रेडियस $R$ के एक चार्ज $+Q$ के कारण एक्सियों से स्थानीय ऊर्जा की गणना करें। ग्राफ को देखकर, क्या आप देख सकते हैं कि $-q$ केंद्र से स्थानांतरित कर दिया जाता है (एक्सिस के अनुसार) तो क्या होगा?

~~ 2.23 रेडियस $R$ के एक चार्ज $Q$ द्वारा बहुविभाजित एक चार्ज के कारण एक्सियों पर विभाव की गणना करें।

LA

~~ 2.24 रेडियस $r_0$ वाले अनंत सिलेंडर के लिए बद्धिपक्षियाँ का समीकरण ढूंढें जिसमें रेखात्मक घनत्व $\lambda$ की चार्ज हो।

~~ 2.25 दो बिंदु चार्ज $+q$ और $-q$ को $(-d / 2,0,0)$ और $(d / 2,0,0)$ पर रखा जाता है, क्रमश:। उस सत्ताक्षेत्र की समीकरण ढूंढें जहां विभाव शून्य होता है।

२.२६ एक समांत प्लेट कैपेसिटर एक ऐसी द्वित्तीय से भरी हुई है जिसकी अवरोही अनुपातिता आवेशित वोल्टेज $(यू)$ के साथ बदलती है जैसे $\varepsilon=\alpha U$ जहां $\alpha=२ वी^{-१}$। कोई ऐसी कैपेसिटर जिसमें कोई द्वित्तीय नहीं है, को $U_0=७८ वी$ तक चार्ज किया जाता है। फिर उसे द्वित्तीय वाले अचार्य के साथ आवेशित किया जाता है। कैपेसिटर पर अंतिम वोल्टेज ढूंढें।

२.२७ एक कैपेसिटर दो वृत्ताकार प्लेटों से बना होता है जिसका त्रिज्या $आर$ प्रत्येक, दुरी $डी$ से अलग होता है। कैपेसिटर को एक स्थिर वोल्टेज से जोड़ा जाता है। निम्न जटिलताओं वाले विशर्षित तंत्रिक दीस्ता जाता है जो वंशीक अकार से भरी हुई ईमारत की एक केंद्र पर रखी जाती है। यदि फैल एम है

तो सबसे कम वोल्टेज ढूंढें जो डिस्क को उठाने के लिए आवश्यक हो, यदि डिस्क का मास $एम$ हो।

~~ २.२८ (ए) प्राथमिक कण मॉडल में, एक न्यूट्रॉन में एक ऊपर क्वार्क [चार्ज (२/३) ई] और दो नीचे क्वार्क [चार्जेज $-(१/३)$ ई] से बना होता है। मान लें कि वे एक त्रिकोणीय आकार वाले न्यूट्रॉन को बनाते हैं जिसकी ओर्डर $१०^{-१५} मी$ के आदेश का होता है। न्यूट्रॉन की धार्मिक आणविक संभावनाशील ऊर्जा की गणना करें और उसे उसके मास ९३९ $मीवी$ के साथ तुलना करें।

(बी) एक प्रोटॉन के लिए उपरोक्त व्यायाम को दोहराओ जो कि दो नीचे और एक ऊपर क्वार्क से बना है।

~~ २.२९ दो धातुयुक्त गोलाकों, एक के त्रिज्या $आर$ और दूसरे के त्रिज्या $२ आर$, उन्होंने साथ लाकर अलग किया। वे उपयोगी नई द्वितीयता चार्ज घनत्व पर क्या होगी?

~~ २.३० चित्र २.७ में दिखाए गए सर्किट में, प्रारंभ में $क_१$ बंद किया गया और $क_२$ खुला था। प्रत्येक कैपेसिटर पर कितना चार्ज होता है।

तब $क_१$ खोल दिया गया और $क_२$ बंद किया गया (क्रम महत्वपूर्ण है)। अब प्रत्येक कैपेसिटर पर कितना चार्ज होगा? $[सी=१ माइक्रो फैराड]$।

चित्र २.७

~~ २.३१ एक वर्तमान वी के कक्ष में वर्तमान $क्यू$ चार्ज के कारण एक दुर्भाग्य है। एक उच्चतम बिंदु की लचीलीमा का पता लगाएँ, जीसिने सतह पर बांटा चार्ज $क्यू$ समान नियत्रक के साथ।

~~ २.३२ दो चार्ज $क्यू_१$ और $क्यू_२$ को स्थानियक $ड$ पर रखा गया है, जहाँ $(0,0, d)$ and $(0,0,-d)$ क्रमशः। झरोखों का पता लगाएं जहां वोल्टेज शून्य है।

~~ २.३३ दो चार्ज $-क्यू$ प्रत्येक द्वारा प्रथमिक दूरी $२ ड$ पर अलग हैं। तीसरे चार्ज $+क्यू$ मध्यवर्ती स्थान $ओ$ पर रखा जाता है। दृष्टि में रखने वाली प्रातिशतिक ऊर्जा ढूंढें $ओ$ से छोटी दूरी $एक्स$ के कारण $-क्यू$ चार्जों के कारण। पी.ई. वन बनाएं बनाएं। के साथ $एक्स$ और मना हो जाएं कि चार्ज $ओ$ स्थिर न्यक्ति में है।

अध्याय २

~~ २.१ (ड)

~~ २.२ (सी)

~~ २.३ (सी)

~~ २.४ (सी)

~~ २.५ (ए)

~~ २.६ (सी)

~~ २.७ (ब), (सी), (ड)

~~ २.८ (ए), (ब), (सी)

~~ २.९ (ब), (सी)

~~ २.१० (ब), (सी)

~~ २.११ (ए), (ड)

~~ २.१२ (ए), (ब)

~~ २.१३ (सी) और (ड)

~~ २.१४ और बेहतर।

~~ २.१५ निर्माण।

~~ २.१६ हां, अगर आकार अलग है।

~~ २.१७ नहीं।

~~ २.१८ चुंबकीय क्षेत्र सापेक्षता है, कार्य दोनों मामलों में शून्य होगा।

what is the hi version of content: 2.19 Suppose this were not true. The potential just inside the surface would be different from that at the surface resulting in a potential gradient. This would mean that there are field lines pointing inwards or outwards from the surface. These lines cannot at the other end be again on the surface, since the surface is equipotential. Thus, this is possible only if the other end of the lines are at charges inside, contradicting the premise. Hence, the entire volume inside must be at the same potential.

~~ 2.20 C will decrease Energy stored $=\frac{1}{2} C V^{2}$ and hence will increase. Electric field will increase.

Charge stored will remain the same.

$V$ will increase.

~~ 2.21 Consider any path from the charged conductor to the uncharged conductor along the electric field. The potential will continually decrease along this path. A second path from the uncharged conductor to infinity will again continually lower the potential further. Hence this result.

~~ 2.22

$U=\frac{-q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R \sqrt{1+z^{2} / R^{2}}}$

The variation of potential energy with $z$ is shown in the figure.

The charge $-q$ displaced would perform oscillations. We cannot conclude anything just by looking at the graph.

~~ 2.23 $ \quad V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}$

~~ 2.24 To find the potential at distance $r$ from the line consider the electric field. We note that from symmetry the field lines must be radially outward. Draw a cylindrical Gaussian surface of radius $r$ and length $l$. Then

$\oint \mathbf{E} . d \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0} \lambda 1$

Or $E_r 2 \pi rl=\frac{1}{\varepsilon_0} \lambda l$

$\Rightarrow E_r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$

Hence, if $r_0$ is the radius,

$ V(r)-V(r_ 0)= - \int_{r_0^r}^{r} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=\frac{\lambda} {2 \pi \varepsilon_ 0} \ln \frac{r _0}{r}$

For a given $V$,

$\ln \frac{r}{r_0}=-\frac{2 \pi \varepsilon_0}{\lambda}[V(r)-V(r_0)]$

$\Rightarrow r=r_0 e^{-2 \pi \varepsilon_0 V r_0 / \lambda} \cdot e^{+2 \pi \varepsilon_0 V(r) / \lambda}$

The equipotential surfaces are cylinders of radius

$r=r_0 e^{-2 \pi \varepsilon_0[V(r)-V(r_0)] / \lambda}$

~~ 2.25 Let the plane be at a distance $x$ from the origin. The potential at the point $P$ is

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{[(x+d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{[(x-d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}$

If this is to be zero.

$\frac{1}{[(x+d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}=\frac{1}{[(x-d / 2)^{2}+h^{2}]^{1 / 2}}$

Or, $(x-d / 2)^{2}+h^{2}=(x+d / 2)^{2}+h^{2}$

अंश: $\Rightarrow x^{2}-d x+d^{2} / 4=x^{2}+d x+d^{2} / 4$

या, $2 d x=0$

इससे $x=0$

समीकरण एक समतल का है $x=0$।

~~ 2.26 अंतिम वोल्टेज $U$ हो : यदि $C$ कैपेसिटर प्राकृतिक विधुतिकरण के बिना है, तो कैपेसिटर में चार्ज होता है

$Q_1 = C U$

यदि विधुतिकरण के साथ कैपेसिटर का कैपेसिटेंस $\varepsilon C$ है। इसलिए कैपेसिटर पर चार्ज है

$Q_2 = \varepsilon U = \alpha C U^{2}$

प्रारंभिक चार्ज कैपेसिटर पर था

$Q_0 = C U_0$

चार्ज के संरक्षण से,

$Q_0 = Q_1 + Q_2$

या, $C U_0 = C U + \alpha C U^{2}$

अतएव $\alpha U^{2} + U - U_0 = 0$

$\therefore U = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \alpha U_0}}{2 \alpha}$

$ \begin{aligned} & =\frac{-1 \pm \sqrt{1+624}}{4} \\ & =\frac{-1 \pm \sqrt{625}}{4} \text{ वोल्ट } \end{aligned} $

क्योंकि $U$ धनात्मक है

$ U = \frac{\sqrt{625}-1}{4}=\frac{24}{4}=6 V $

~~ 2.27 जब डिस्क नीचे प्लेट के संपर्क में होता है, पूरा प्लेट समता होता है। एक परिवर्तन $q^{\prime}$ डिस्क में स्थानांतरित होता है।

डिस्क पर इलेक्ट्रिक फ़ील्ड होता है

$= \frac{V}{d}$

इसलिए $q^{\prime} = -\varepsilon_0 \frac{V}{d} \pi r^{2}$

डिस्क पर कार्यरत बल होता है

$ -\frac{V}{d} \times q^{\prime} = \varepsilon_0 \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2} $

यदि डिस्क उठाना है, तो

$ \begin{aligned} & \varepsilon_0 \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2} = m g \\ & \Rightarrow V = \sqrt{\frac{m g d^{2}}{\pi \varepsilon_0 r^{2}}} \end{aligned} $

~~ 2.28 $ U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0}$ $\begin{Bmatrix} \frac{q_d q_d}{r} - \frac{q_u q_d}{r} - \frac{q_u q_d} {r} \end{Bmatrix}$

$= \frac{9 \times 10^{9}}{10^{-15}}(1.6 \times 10^{-19})^{2}{(1 / 3)^{2}-(2 / 3)(1 / 3)-(2 / 3)(1 / 3)}$

$= 2.304 \times 10^{-13}{\frac{1}{9}-\frac{4}{9}}=-7.68 \times 10^{-14} J$

$ = 4.8 \times 10^{5} eV= 0.48 MeV= 5.11 \times 10^{-4}(m_n c^{2}) $

संपर्क से पहले

$Q_1 = \sigma .4 \pi R^{2}$

$Q_2 = \sigma .4 \pi(2 R^{2})= 4(\sigma .4 \pi R^{2})= 4 Q_1$

संपर्क के बाद :

$ \begin{aligned} Q_1^{\prime}+Q_2^{\prime} & =Q_1+Q_2=5 Q_1 \\ & =5(\sigma .4 \pi R^{2}) \end{aligned} $

वे बराबर बिन्दुओं पर होंगे:

$\frac{Q_1^{\prime}}{R}=\frac{Q_2^{\prime}}{2 R}$

$\therefore Q_2^{\prime}=2 Q^{\prime}$.

$\therefore 3 Q_1^{\prime}=5(\sigma .4 \pi R^{2})$

$\therefore Q_1^{\prime}=\frac{5}{3}(\sigma .4 \pi R^{2})$ और $Q_2^{\prime}=\frac{10}{3}(\sigma \cdot 4 \pi R^{2})$

$\therefore \sigma_1=\frac{5}{3} \sigma$ और $\therefore \sigma_2=\frac{5}{6} \sigma$.

~~ 2.30 प्रारंभ में : $V \propto \frac{1}{C}$ और $V_1+V_2=E$

$\Rightarrow V_1=3 V$ और $V_2=6 V$

$\therefore Q_1=C_1 V_1=6 C \times 3=18 \mu C$

$Q_2=9 \mu C$ और $Q_3=0$

बाद में : $Q_2=Q_2^{\prime}+Q_3$

$C_2 V+C_3 V=Q_2 \quad \Rightarrow V=\frac{Q_2}{C_2+C_3}=(3 / 2) V$

$Q_2^{\prime}=(9 / 2) \mu C$ और $Q_3^{\prime}=(9 / 2) \mu C$

~~ 2.31 $ \quad \sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}$

कन्टेंट का हिंदी संस्करण यह है: $d U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 2 \pi r d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}$

$\therefore U=\frac{\pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{2 r d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}$

~~ 2.32 $ \begin{aligned} & \quad=\frac{2 \pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}[\sqrt{r^{2}+z^{2}}]_0^{R}=\frac{2 \pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}[\sqrt{R^{2}+z^{2}}-z] \\ & =\frac{2 Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^{2}}[\sqrt{R^{2}+z^{2}}-z] \\ & \frac{q_1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}+\frac{q_2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}=0 \\ & \therefore \frac{q_1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}=\frac{-q_2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}} \end{aligned} $

इस प्रकार, कुल पोटेंशियल शून्य होने के लिए, $q_1$ और $q_2$ के बीच विपरीत चिन्ह होना चाहिए। वर्गणना और सरलीकरण करके, हम प्राप्त करते हैं।

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+[\frac{(q_1 / q_2)^{2}+1}{(q_1 / q_2)^{2}-1}](2 z d)+d^{2}=0$

यह समीकरण एक गोला की समीकरण है जिसका केंद्र $(0,0,-2 d[\frac{q_1{ }^{2}+q_1{ }^{2}}{q_1^{2}-q_1^{2}}])$ पर है।

नोट: यदि $q_1=-q_2 \Rightarrow$ फिर $z=0$, जो मध्य-बिंदु के माध्यम से होने वाला एक समतल का है।

~~ 2.33 $U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}{\frac{-q^{2}}{(d-x)}+\frac{-q^{2}}{(d-x)}}$

$U=\frac{-q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 d}{(d^{2}-x^{2})}$

$\frac{dU}{dx}=\frac{-q^{2} \cdot 2 d}{4 \pi \in_0} \cdot \frac{2 x}{(d^{2}-x^{2})^{2}}$

$ \begin{aligned} & U_0=\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d} \quad \frac{dU}{dx}=0 \text{ at } x=0 \\ & x=0 \text{ is an equilibrium point. } \\ & \frac{d^{2} U}{dx^{2}}=(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \in_0})[\frac{2}{(d^{2}-x^{2})^{2}}-\frac{8 x^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{3}}] \end{aligned} $

$ =(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \in_0}) \frac{1}{(d^{2}-x^{2})^{3}}[2(d^{2}-x^{2})^{2}-8 x^{2}] $

$x=0$ पर

$\frac{d^{2} U}{dx^{2}}=(\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \epsilon_0})(\frac{1}{d^{6}})(2 d^{2})$, जो $<0$ है।

इसलिए, अस्थिर संतुलन।

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चुंबकत्व और पदार्थ