विद्युत आवेश और क्षेत्र
अध्याय 1
विद्युत आवेश और क्षेत्र
MCQ I
~~ 1.1 चित्र 1.1 में, $y$-अक्ष पर स्थित दो सकारात्मक आवेश $q_2$ और $q_3$ एक आवेश $q_1$ पर $x$-अक्ष पर कुल विद्युत बल का नेट प्रभाव $+x$ दिशा में होता है। अगर $(x, 0)$ पर एक सकारात्मक आवेश $Q$ जोड़ा जाता है, तो $q_1$ पर बल
(a) $+x$-अक्ष के साथ बढ़ेगा।
(b) $+x$-अक्ष के साथ घटेगा।
(c) $-x$-अक्ष की ओर होगा।
(d) आवेश $Q$ के $q_2$ और $q_3$ के सम्पर्क के कारण बदलेगा लेकिन बढ़ेगा।
~~ 1.2 एक अंशीय विषाणुक आवेश को एक अकेले चुंबकीय गोलाकार परिसर के पास लाया जाता है (चित्र 1.2)। विद्युत क्षेत्र सबसे अच्छी तरह से निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
(i)
(iii)
(ii)
(iv)
चित्र 1.2
(a) चित्र (i)
(b) चित्र (ii)
(c) चित्र (iii)
(d) चित्र (iv)
~~ 1.3 सतह के माध्यम से विद्युत विस्तार
(a) चित्र 1.3 (iv) में सबसे बड़ा है।
(b) चित्र 1.3 (iii) में सबसे छोटा है।
(c) चित्र 1.3 (ii) चित्र 1.3 (iii) के समान है लेकिन चित्र 1.3 (iv) से छोटा है।
(d) सभी चित्रों के लिए समान है।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
चित्र 1.3
~~ 1.4 पांच आवेश $q_1, q_2, q_3, q_4$, और $q_5$ अपनी स्थितियों पर ठहराए जाते हैं जैसा कि चित्र 1.4 में दिखाया गया है। $S$ गाउसीय सतह है। गाउस का कानून निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$ \oint_S \mathbf{E} . d \mathbf{s}=\frac{q}{\varepsilon_0} $
निम्नलिखित कथनों में से कौन सही है?
(a) उपरोक्त समीकरण के बाएं हाथ की $\mathbf{E}$ का $q_1, q_5$ और $q_3$ से योगदान होगा जबकि उसके दाएं हाथ का $q$ का $q_2$ और $q_4$ से ही योगदान होता है।
(b) उपरोक्त समीकरण के बाएं हाथ की $\mathbf{E}$ का सभी आवेशों से योगदान होगा जबकि उसके दाएं हाथ का $q$ का $q_2$ और $q_4$ से ही योगदान होता है।
चित्र 1.4
कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा: (सी) पीछे की मूल समीकरण के बाएं हाथ पर $\mathbf{E}$ की एक योगदान होगा। इसके बाद $q$ के बयां हाथ पर $q_1, q_3$ और $q_5$ से ही एक योगदान होगा।
(डी) बाएं हाथ पर तारकीय $\mathbf{E}$ और दाएं हाथ पर $q$ दोनों ही केवल $q_2$ और $q_4$ से योगदान प्राप्त करेंगे।
~~ 1.5 चित्र 1.5 में विद्युत धनुष $\mathbf{p}$ दिखाई गई है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
(ए) धनुष को कोई बल अनुभव नहीं होगा।
(ब) धनुष को दाहिने की ओर बल का अनुभव होगा।
(सी) धनुष को बाएं की ओर बल का अनुभव होगा।
(डी) धनुष को ऊपर की ओर बल का अनुभव होगा।
~~ 1.6 एक बिंदु चार्ज $+q$, एक अलग कर धातु पर से दूरी $d$ पर रखा गया है। तपांतर में बिंदु $P$ पर क्षेत्र है
(ए) सतह के लिए माइम नदि रखी गई है और सतह से दूर हो रही है।
(ब) सतह के लिए माइम नदि रखी गई है लेकिन सतह की ओर दूषित है।
चित्र 1.5
(सी) केंद्रीय चार्ज से लक्ष्य की ओर त्रिज्यामित क्षेत्र है।
(डी) केंद्रीय चार्ज की ओर त्रिज्यामित क्षेत्र है।
~~ 1.7 एक गोल-चंद्रमा सक्रिय रूप से चार्जित है। केंद्र से दूरी पर एक बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र होता है
(ए) विमान्याग ₹ द्वारा।
(ब) विमान्याग ₹ से।
(सी) एक दिशा में कलयीज में ढाली हो रही है।
(डी) एक दिशा में कलयीज के द्वारा दूषित हो रही है।
MCQ II
~~ 1.8 यदि एक सतह पर $\oint _{\mathbf{s}} \mathbf{E} . d \mathbf{S}=0$ हो, तो
(ए) सतह के अंदर और उपर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
(ब) सतह के अंदर विद्युत क्षेत्र आवश्यकतानुसार होता है।
(सी) सतह में प्रवेश करने वाले विद्युत परमाण्य और सतह से बाहर निकलने वाली विद्युत परमाण्य की संख्या बराबर होनी चाहिए।
(ड) सभी आरोहण सत्व आवश्यकतानुसार सतह के बाहर होने चाहिए।
~~ 1.9 एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र है
(ए) हमेशा निरंतर होता है।
(ब) केवल तब निरंतर होता है जब उस बिंदु पर कोई चार्ज नहीं होता।
(सी) केवल तब असंख्यात होता है जब उस बिंदु पर एक नकारात्मक चार्ज होता है।
(ड) केवल तब असंख्यात होता है जब उस बिंदु पर चार्ज होता है।
~~ 1.10 यदि विश्व में केवल एक ही प्रकार के चार्ज होते, तो
(ए) किसी भी सतह पर $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S} \neq 0$ होगा।
(ब) केवल तब $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S}=0$ होगा जब चार्ज सतह के बाहर हो।
(सी) $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S}$ की परिभाषा नहीं की जा सकती है।
(ड) $\oint_s \mathbf{E} . d \mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा अगर चार्ज की मात्रा $q$ सतह के अंदर होती।
~~ 1.11 एक क्षेत्र में अलग-अलग प्रकार के चार्ज होते हैं लेकिन कुल चार्ज शून्य है। क्षेत्र के बाहर स्थित बिंदुओं पर
(ए) विद्युत क्षेत्र निरंतर शून्य है।
(ब) विद्युत क्षेत्र केवल चार्ज वितरण के द्विघटक के कारण होता है।
(सी) प्रमुख विद्युत क्षेत्र $\propto \frac{1}{r^{3}}$ होता है, बड़े $r$ के लिए, यहां $r$ इस क्षेत्र में एक मूल से दूरी है।
ड्रेवर्डों
1.20 एक पैसा सिक्का $Al-Mg$ अलॉय से बना होता है और इसका वजन $0.75 g$ होता है। इसकी भुजा $17 mm$ की अनुपातित होती है। यह विद्युतीय रूप से निष्क्रिय होता है और पॉजिटिव और नेगेटिव चार्जों की बराबर मात्रा होती है।
केवल एल द्वारा बने पैसा सिक्के को इस्तेमाल करके, सकारात्मक और नकारात्मक चार्जों की मात्रा की मात्रा का पता लगाएं। आप इस मात्रा से क्या निष्कर्ष निकालते हैं?
~~ 1.21 उदाहरण 1.20 के मुद्रा को ध्यान में रखें। यह विद्युतीय रूप से निष्क्रिय होता है और पॉजिटिव और नकारात्मक चार्जों की बराबर मात्रा होती है जिनकी मात्रा $34.8 kC$ होती है। मान लें कि इन बराबर चार्जों को ‘दूसरे बिंदु चार्जों’ में संरेखित किया जाता है जो कि (i) $1 सेमी$ $(\sim \frac{1}{2} \times.$ एक पैसा सिक्के की व्यास चौराहट की $)$, (ii) $100 यार्ड$ ( एक लंबे इमारत की लंबाई) और (iii) $10^{6} मीटर$ ( पृथ्वी की त्रिज्या) से अलग किया जाता है। तीनों मामलों में प्रत्येक ऐसे चार्ज पर बल क्या होगा? इन परिणामों से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?
~~ 1.22 चित्र 1.10 में आमोनियम क्लोराइड, $NH_{4}Cl$ के एक क्रिस्टल यूनिट की प्रतिष्ठानिक एकता दिखाई गई है। आमोनियम आणु, खुले वर्तुलों द्वारा प्रतिष्ठापित होते हैं, जैसा कि एक खांड के कोनों पर स्थित होते हैं $0.40 nm$ की भुजाओं वाले बट्टे के, जबकि एक $Cl$ आणु खांड के केंद्र में स्थित होता है। एन्हेलियम अपयश एक इलेक्ट्रॉन अभाव में है जबकी $Cl$ आणु $q$ अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन रखता है।
(i) $Cl$ आणु के ऊपर $8 Cs$ आणुओं के कारण नेट विद्युत क्षेत्र क्या होगा?
(ii) मान लीजिए कि चोर $A$ पर क्षेत्री के माध्यम से हो गया है। अब $Cl$ आणु पर नेट बल क्या होगा $7$ शेष $Cs$ आणुओं के कारण?
~~ 1.23 दो चार्जों $q$ और $-3 q$ को $x$-अक्ष पर दृश्यमान किया जाता है जो ’ $d$ ’ दूर होते हैं। तीसरे चार्ज $2 q$ को कहां रखा जाना चाहिए ताकि यह किसी भी बल का सामना न करे?
~~ 1.24 चित्र 1.11 में तीन बिंदु चार्ज A, B और C के चार्ज के आस-पास का विद्युत क्षेत्र प्रदर्शित है।
(a) कौन से चार्ज पॉजिटिव हैं?
(b) कौन सा चार्ज सबसे अधिक प्रमाण है? क्यों?
(c) चित्र के किस क्षेत्र या क्षेत्रों में विद्युत क्षेत्र शून्य हो सकता है? अपना उत्तर समर्थित करें।
(i) A के पास, (ii) B के पास, (iii) C के पास, (iv) कहीं नहीं।
~~ 1.25 पांच चार्ज, प्रत्येक $a$ की गुणधर्मी पंचकोण के कोनों पर रखे गए होते हैं (चित्र 1.12)।
(a) (i) पंचकोण के केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र क्या होगा?
(ii) $A$ केंद्र से चार्ज हटाए गए हो तो केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र क्या होगा?
(iii) $A$ पर चार्ज $q$ को $-q$ से बदल दिया जाए तो केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र क्या होगा?
(b) यदि पंचकोण को चार्ज $q$ वाली हर एक कोनों के साथ बदल दिया जाए, तो आपका (a) के जवाब पर क्या असर होगा?
चित्र 1.12
LA
1.26 1959 में Lyttleton और Bondi ने सुझाव दिया कि यदि पदार्थ एक नेट आवेश ले, तो ब्रह्मांड का विस्तार समझा जा सकता है। मान लें कि ब्रह्मांड हाइड्रोजन परमाणुओं से बना हुआ है जिसका एक नंबर घनत्व $N$ है और जो स्थिर रूप से बना हुआ है। प्रोटॉन पर चार्ज हो: $e_p=-(1+y) e$ जहां $e$ इलेक्ट्रॉनिक चार्ज है।
(a) ऐसा य का महत्वपूर्ण मान ढूंढें जिससे विस्तार शुरू हो सके।
(b) दिखाएं कि विस्तार की वेग बिंदु से दूरी के अनुपात में होती है।
1.27 विचार करें वक्रीयता $R$ वाले गोला का। चार्ज की घनत्व के रूप में वितरित है
$ \begin{aligned} \rho(r) & =k r & & \text{जब } r \leq R \\ & =0 & & \text{जब } r>R \end{aligned} $
(a) सभी बिंदुओं $r$ पर इलेक्ट्रिक फ़ील्ड ढूंढो।
(b) मान लें कि गोले पर कुल चार्ज $2e$ है जहां $e$ इलेक्ट्रॉनिक चार्ज है। ऐसी दो प्रोटॉन ऐसी स्थान पर जमा किए जा सकते हैं जहां हर एक को शक्ति शून्य होती है। मान लें कि प्रोटॉन का इंट्रोडक्शन नकर विषार चार्ज वितरण को बदलता है।
1.28 दो ठोस और एकसमान कंडक्टिंग प्लेटें $(\alpha & \beta)$ हैं, प्रत्येक की सतह क्षेत्र $S$ है, जो कि $-Q$ और $q$ को चार्ज देती है, अब एक तीसरी सोची समस्त प्लेट $(\gamma)$, जो कि मुक्त होने के लिए है, प्लेट के अलावा के साइड पर है जो कि $q$ चार्ज के साथ रखी गई है मेजबानी $d$ दूरी पर है (सूचना 1.13। तीसरी प्लेट छोड़ी जाती है और प्लेट $\beta$ से टकराती है। सोचो कि टक्कर लचीली है और संपर्क का समय $\beta & \gamma$ के बीच चार्ज वितरण के लिए पर्याप्त है।
(a) टक्कर से पहले प्लेट $\gamma$ पर कार्य कर रहा विद्युत फील्ड खोजें।
(b) टक्कर के बाद $\beta$ और $\gamma$ पर चार्ज ढूंढें।
(c) टक्कर के बाद प्लेट $\gamma$ की वेग ढूंढें और प्लेट $\beta$ से $d$ दूरी पर।
1.29 SI/mks A प्रणाली के अलावा, एक और उपयोगी इकाई प्रणाली है, cgs (सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड) प्रणाली कही जाती है। इस प्रणाली में कुलौम का नियम यह होता है
$ \mathbf{F}=\frac{Qq}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{{}r}} $
जहां दूरी $r$ को $cm(=10^{-2} m)$ में मापा जाता है, बल $F$ dynes $(=10^{-5} N)$ में और चार्ज को विद्युतास्त्रिय इकाइयों (इसके आंतरिक इकाइयां es units कही जाती हैं) में मापा जाता है, जहां
एक esu श्रेणी चुंबकीय चार्ज $=\frac{1}{[3]} \times 10^{-9} C$
संख्या [3] वास्तव में रफ्क़ सतह में प्रकाश की गति है जो कि अब यहां पर घर्षणमहत्वपूर्ण रूप से ली जाती है $c=2.99792458 \times 10^{8}$ $m / s$। एक अंदाज़ी तहित दी तो $(m / s)$ में $c=[3] \times 10^{8}$ होती है।
(i) दिखाएं कि cgs यूनिट में कुलौम का नियम प्रदान करता है
1 esu चार्ज $=1$ (दाइन) $)^{1 / 2} cm$।
इकाईयों के आयाम को मास $M$ के, लंबाई $L$ के और समय $T$ के रूप में प्राप्त करें। दिखाएं कि यह मास $M$ और $L$ के अंश में दिया जाता है। (ii) 1 esu चार्ज $=x C$ लिखें, जहां $x$ एक आयातिताक्षर है। दिखाएं कि यह
$ \frac{1}{4 \pi \in_0}=\frac{10^{-9}}{x^{2}} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} $
$x=\frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ के साथ, हमारे पास हैं
यहाँ content है:
& \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=[3]^{2} \times 10^{9} \frac{Nm^{2}}{C^{2}} \
& \quad \text{ या, } \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}=(2.99792458)^{2} \times 10^{9} \frac{Nm^{2}}{C^{2}} \text{ (सटीक रूप से) } \end{aligned}
~~ 1.30 दो चार्जों का तुल्यांक $-q$ प्रत्येक $2d$ दूर पर फिक्स होते हैं। एक तीसरा चार्ज $q$ पर मात्रिक का मध्यबिंदु पर रखा जाता है और यह थोड़ा सा $x$ बिंदुगत हो जाता है ($x«d$) जो दो फिक्स चार्जों के यूनियन से परिभाषित रेखा के ऊपरोंती होती है, जैसा चित्र 1.14 में दिखाया गया है। दिखाएं कि $q$ साधारित शरीर के समयगत ऊल्लिंगन का करेगा।
$T=[\frac{8 \pi^{3} \varepsilon_0 m d^{3}}{q^{2}}]^{1 / 2}$
~~ 1.31 कुल चार्ज $-Q$ एक बाज़ार के अवस्थित शरीर के आलोमा पर वितरित है। एक छोटा परीक्षण चार्ज $+q$ जिसका मात्रक $m$ है बाज़ार के केंद्र में रखा गया है और उसे बाज़ार के द्वार हारे जाने का यह आह्वान दिया गया है।
(अ) दिखाएं कि कण एक साधारित शरीर के ऊल्लिंगन का करेगा।
(ब) इसका समयगत अवधि प्राप्त करें।
(ii) $\frac{F_2}{F_1}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}=\frac{(10^{-2} m)^{2}}{(10^{2} m)^{2}}=10^{-8} \Rightarrow F_2=F_1 \times 10^{-8}=1.1 \times 10^{15} N$
(iii) $\frac{F_3}{F_1}=\frac{r_1^{2}}{r_3^{2}}=\frac{(10^{-2} m)^{2}}{(10^{6} m)^{2}}=10^{-16}$
$F_3=10^{-16} F_1=1.1 \times 10^{7} N$.
Conclusion: When separated as point charges these charges exert an enormous force. It is not easy to disturb electrical neutrality.
~~ 1.22 (i) शून्य, सदर्भता के कारण।
(ii) एक +वाल ऐसा $Cs$ आयन हटाना उस विस्थान को अलग नगेटिव $Cs$ ऐसे आयन को जोड़ने के बराबर है।
तो, कुल बल
$F=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}}$
जहां $r=$ $Cl$ आयन और $Cs$ आयन के बीच की दूरी है।
$ \begin{aligned} & =\sqrt{(0.20)^{2}+(0.20)^{2}+(0.20)^{2}} \times 10^{-9}=\sqrt{3(0.20)^{2}} \times 10^{-9} \\ & =0.346 \times 10^{-9} m \end{aligned} $
तो, $F=\frac{(8.99 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{(0.346 \times 10^{-9})^{2}}=192 \times 10^{-11}$
$=1.92 \times 10^{-9} N$
उत्तर: $1.92 \times 10^{-9} N$, $A$ से $Cl^{-}$ की ओर दिशा में
~~ 1.23 P पर: $2 q$ पर जोर के कारण बाएं और $-3 q$ पर जोर के कारण दाएं होता है।
$\therefore \frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 x^{2}}=\frac{6 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0(d+x)^{2}}$
$\therefore(d+x)^{2}=3 x^{2}$
$\therefore 2 x^{2}-2 d x-d^{2}=0$
$x=\frac{d}{2} \pm \frac{\sqrt{3} d}{2}$
(-वाले अंक कोशिष करे क्योंकि ये $q$ और $-3 q$ के बीच होता है और इसलिए अस्वीकार्य है।)
$x=\frac{d}{2}+\frac{\sqrt{3} d}{2}=\frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$ $q$ की बांएं ओर।
~~ 1.24 (a) आयन $A$ और $C$ पॉजिटिव हैं क्योंकि इनसे विभाजन रेखाएँ उगामयामान होती हैं।
(b) आयन $C$ का आपेक्षिक मात्रा मान $A$ से अधिक है क्योंकि इसके साथ सबसे अधिक पंक्तियों की संख्या जुड़ी है।
(c) (i) $A$ के आस-पास। पॉजेटिव और नेगेटिव आयन के बीच कोई न्यूट्रल बिंदु नहीं होता है। दो ऐसे मानवीय आयनों के बीच एक न्यूट्रल बिंदु हो सकता है। चित्र में हम देखते हैं कि $A$ और $C$ के बीच एक न्यूट्रल बिंदु होता है। साथ ही दो ऐसे मानवीय आयनों के बीच न्यूट्रल बिंदु उस आयन के मान से निकट होता है जिसकी मान छोटी होती है। इस प्रकार, प्रभावित प्रशांती क्षेत्र $A$ के पास 0 होता है।
~~ 1.25 (a) (i) शून्य
(ii) $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^{2}}$ लंबवत $\overrightarrow{{}OA}$ की ओर।
(iii) $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{r^{2}}$ लंबवत $\overrightarrow{{}OA}$ की ओर।
(b) (a) के समान।
~~ 1.26 (a) हम मान लें कि ब्रह्मांड का त्रिज्या $R$ है। हाइड्रोजन परमाणु समानरूप से वितरित हैं। हर एक हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर $e_H=-(1+y) e+e=-y e=|y e|$ है।
प्रत्येक हाइड्रोजन परमाणु का मास $\sim m_p$ (प्रोटॉन का मास) है। विस्तार $R$ हरीटोस-तट्टी होता है यदि एक हाइड्रोजन परमाणु पर कुलम्ब आपसेक ब्रह्मांड में गुरुत्वाकर्षण की संकर्पण से अधिक हो।
$R$ पर इलेक्ट्रिक फ़ील्ड $E$ होता है। तो,
$4 \pi R^{2} E=\frac{4}{3 \varepsilon_o} \pi R^{3} N|ye|$ (गौस का नियम)
$\mathbf{E}(R)=\frac{1}{3} \frac{N|ye|}{\varepsilon_o} R \hat{\mathbf{r}}$
$R$ पर यथार्थित्व शृंखला $G_R$ होता है। तो
कंटेंट का हॉलेरिथम है: $-4 \pi R^{2} G_R=4 \pi G m_p \frac{4}{3} \pi R^{3} N$
$G_R=-\frac{4}{3} \pi Gm _{\rho} NR$
$\mathbf{G} _R(\mathbf{R})=-\frac{4}{3} \pi G m _{\rho} N R \hat{\mathbf{r}}$
इसके अलावा $R$ पर एक हाइड्रोजन एटम पर कोलंबिक बल है
$ye \boldsymbol{{}E}(R)=\frac{1}{3} \frac{Ny^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R \hat{\mathbf{r}}$
इस एटम पर गुरुत्वाकर्षणीय बल है
$m_p \mathbf{G} _R(R)=-\frac{4 \pi}{3} GNm_p^{2} R \hat{\mathbf{r}}$
इस एटम पर कुल बल है
$\mathbf{F}=(\frac{1}{3} \frac{Ny^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R-\frac{4 \pi}{3} GNm_p^{2} R) \hat{\mathbf{r}}$
महत्वपूर्ण मान होता है जब
$ \begin{aligned} & \frac{1}{3} \frac{N y_C^{2} e^{2}}{\varepsilon_o} R=\frac{4 \pi}{3} G N m_p^{2} R \\ & \Rightarrow y_c^{2}=4 \pi \varepsilon_o G \frac{m_p^{2}}{e^{2}} \\ & \simeq \frac{7 \times 10^{-11} \times 1.8^{2} \times 10^{6} \times 81 \times 10^{-62}}{9 \times 10^{9} \times 1.6^{2} \times 10^{-38}} \\ & \sim 63 \times 10^{-38} \\ & \therefore y_C \sim 8 \times 10^{-19} \sim 10^{-18} \end{aligned} $
(b) नेट बल के कारण, हाइड्रोजन एटम को एक त्वरण प्राप्त होती है जिसके लिए
$m_p \frac{d^{2} R}{d t^{2}}=(\frac{1}{3} \frac{N y^{2} e^{2}}{e_o} R-\frac{4 p}{3} G N m_p^{2} R)$
या, ${\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=a^{2} R}$ जहां $α^{2}=\frac{1}{m_p}(\frac{1}{3} \frac{N y^{2} e^{2}}{e_o}-\frac{4 p}{3} G N m_p^{2})$
इसका समाधान ${R=A e^{a t}+B e^{-a t}}$ होता है
हम एक विस्तार की तलाश कर रहे हैं, इसलिए ${B=0}$ होता है।
$\therefore R=A e^{\alpha t}$
$\Rightarrow \dot{R}=\alpha A e^{\alpha t}=\alpha R$
इस प्रकार, वेग केंद्र से विकर्ण के प्रति समानुपातिक होता है।
~~ 1.27 (a) समस्या की सममिति के कारण, इलेक्ट्रिक फ़ील्ड को किफायतीशन्त्रीभूत समभुवीय लिया जा सकता है। $r<R$ के लिए, विचार करें एक समद्विकोणीय आवेगीय पोरियोंस को। तब सतह पर
${\oint \boldsymbol{{}E} _{\boldsymbol{{}r}} \cdot \boldsymbol{{}d} \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_o} \int_V \rho d v}$
${4 \pi r^{2} E_r=\frac{1}{\varepsilon_o} 4 \pi k \int_o^{r} r^{\prime 3} d r^{\prime}}$
${=\frac{1}{\varepsilon_o} \frac{4 \pi k}{4} r^{4}}$
${\therefore E_r=\frac{1}{4 \varepsilon_o} k r^{2}}$
${\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4 \varepsilon_o} k r^{2} \hat{\mathbf{r}}}$
$r>R$ के लिए, विचार करें एक समद्विकोणीय आवेगीय पोरियोंस’ को रेडियस $r$ के लिए
$ \begin{aligned} & \oint \mathbf{E} _r \cdot d \mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_o} \int_V \rho d v \\ & \begin{aligned} 4 \pi r^{2} E_r= & \frac{4 \pi k}{\varepsilon_o} \int_o^{R} r^{3} d r \\ & =\frac{4 \pi k}{\varepsilon_o} \frac{R^{4}}{4} \end{aligned} \\ & \begin{aligned} \therefore E_r & =\frac{k}{4 \varepsilon_o} \frac{R^{4}}{r^{2}} \end{aligned} \\ & \mathbf{E}(r)=(k / 4 \varepsilon_o)(R^{4} / r^{2}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $
(बी) केंद्र पर प्रोटॉन 1 और प्रोटॉन 2 को एक व्यास पर विपरीत ओर होना चाहिए। सप्तग प्रोटॉन केंद्र से दूरी r पर होते हैं।
अब, $ 4 \pi \int_o^{R} k r^{3} d r = 2 e $
$\therefore \frac{4 \pi k}{4} R^{4}=2 e$
$\therefore k=\frac{2 e}{\pi R^{4}}$
प्रोटॉन 1 पर बलों का ध्यान दें। चार्ज वितरण के कारण आकर्षक बल है
$ = -e \mathbf{E} _r=-\frac{e}{4 \varepsilon_o} k r^{2} \hat{\boldsymbol{{}r}}=-\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}} \hat{\boldsymbol{{}r}} $
भारी बल है $ \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{1}{(2 r)^{2}} \hat{\mathbf{r}}$
नेट बल है $ (\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o 4 r^{2}}-\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}}) \hat{\mathbf{r}}$
इसे शून्य मानें ऐसा कि
$ \frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_o r^{2}}=\frac{2 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{r^{2}}{R^{4}} $
या, $ r^{4}=\frac{4 R^{4}}{32}=\frac{R^{4}}{8} $
$ \Rightarrow r=\frac{R}{(8)^{1 / 4}} $
इस प्रकार, प्रोटॉन केंद्र से दूरी r = R / (∛8) होनी चाहिए।
~~ 1.28 (a) प्लेट अल्फा के कारण गामा पर इलेक्ट्रिक फील्ड है $-\frac{Q}{S 2 \varepsilon_o} \hat{\mathbf{x}}$
प्लेट बीटा के कारण गामा पर इलेक्ट्रिक फील्ड है $\frac{q}{S 2 \varepsilon_o} \hat{\mathbf{x}}$
इसलिए, नेट इलेक्ट्रिक फ़ील्ड है
$ \mathbf{E} _1=\frac{(Q-q)}{2 \varepsilon_0 S}(-\hat{\mathbf{x}}) $
(बी) संघर्ष के दौरान प्लेट बीटा और गामा मिल कर एक होते हैं और इसलिए एक ही पोटेशियल पर होना चाहिए। मान लें कि बीटा पर चार्ज q1 है और गामा पर चार्ज q2 है। एक बिंदु O का ध्यान दें। यहाँ इलेक्ट्रिक फ़ील्ड शून्य होना चाहिए।
बीटा के कारण 0 पर इलेक्ट्रिक फील्ड है $-\frac{Q}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}}$
बीटा के कारण 0 पर इलेक्ट्रिक फील्ड है $-\frac{q_1}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}}$
गामा के कारण 0 पर इलेक्ट्रिक फील्ड है $-\frac{q_2}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}}$
इसलिए $ \frac{-(Q+q_2)}{2 \varepsilon_o S}+\frac{q_1}{2 \varepsilon_o S}=0 $
$ \Rightarrow q_1-q_2=Q $
माध्यम से, $ q_1+q_2=Q+q $
$ \Rightarrow q_1=Q+q / 2 $
और $ q_2=q / 2 $
इस प्रकार बीटा और गामा पर चार्ज $ Q+q / 2 $ और $ q / 2 $ के बराबर हैं।
(क) दूरी d पर संघर्ष के बाद वेग v होती है। यदि m प्लेट गामा का मास है, तो सारी यात्रा पर ऊंचा कृति घटना इलेक्ट्रिक फ़ील्ड द्वारा की गई कार्य के बराबर होना चाहिए।
संघर्ष के बाद, गामा पर इलेक्ट्रिक फ़ील्ड है
$ \mathbf{E} _2=-\frac{Q}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}}+\frac{(Q+q / 2)}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}}=\frac{q / 2}{2 \varepsilon_o S} \hat{\mathbf{x}} $
प्लेट गामा को छोड़ने के बाद संघर्ष तक किया जाने वाला कार्य $ F_1 d $ है जहां $ F_1 $ गामा पर बल है।
संघर्ष के बाद यह पहुंचता है $ d $ तक कार्य संघर्ष के बाद होने वाली कार्य $ F_2 d $ है जहां $ F_2 $ गामा पर बल है।
सामग्री का हाइ संस्करण: $F_1=E_1 Q=\frac{(Q-q) Q}{2 \varepsilon_o S}$
और $F_2=E_2 q / 2=\frac{(q / 2)^{2}}{2 \varepsilon_o S}$
$\therefore \quad$ कुल किया जाने वाला काम
$\frac{1}{2 \varepsilon_o S}[(Q-q) Q+(q / 2)^{2}] d=\frac{1}{2 \varepsilon_o S}(Q-q / 2)^{2} d$
$\Rightarrow(1 / 2) m v^{2}=\frac{d}{2 \varepsilon_o S}(Q-q / 2)^{2}$
$\therefore v=(Q-q / 2)(\frac{d}{m \varepsilon_o S})^{1 / 2}$
~~ 1.29 (i) $\quad F=\frac{Q_q}{r^{2}}=1$ डाइन $=\frac{[1 \text{ ईएएसयू प्रतिरोध }]^{2}}{[1 सेमी]^{2}}$
या,
1 ईएएसयू प्रतिरोध $=1(\text{ डाइन })^{1 / 2}(सेमी)$
अत: $[1$ ईएएसयू प्रतिरोध $]=[F]^{1 / 2} ल=[मँकाओ]^{1 / 2} ल^{3 / 2} ट^{-1}$
[1 ईएएसयू प्रतिरोध] $=म^{1 / 2} ल^{3 / 2} ट^{-1}$
इस प्रकार प्रतिरोध cgs इकाई में मान्य हैं (1/2) आधार और $(3 / 2)$ आधार $L$। (ii) $1 सेमी$ अलग किए गए दो ईएएसयू प्रतिरोधों पर कुलंगन बल $F$।
फिर यह तदनुसार होता है:
$F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{x^{2}}{10^{-4}}$
जो 1 डाइन $=10^{-5} एन$ होना चाहिए। इसलिए
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{x^{2}}{10^{-4}}=10^{-5} \Rightarrow \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=\frac{10^{-9}}{x^{2}} \frac{न्नि.मी. वर्ग.}{कुलंगन वर्ग.}$
$x=\frac{1}{[3] \times 10^{9}}$ के साथ, इससे हमें मिलता है
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=10^{-9} \times[3]^{2} \times 10^{18}=[3]^{2} \times 10^{9} \frac{N मी. वर्ग.}{कुलंगन वर्ग.}$
[3] के बारे में जब [3] $arrow 2.99792458$ होता है, तो हमें मिलता है
$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=8.98755 \ldots \times 10^{9} \frac{N मी. वर्ग.}{कुलंगन वर्ग.} \text{ सटीक } $
~~ 1.30 $q$ के लिए कुल बल $F$ केंद्र O की ओर
$F=2 \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}} \cos \theta=-\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r^{2}} \cdot \frac{x}{r}$
$F=\frac{-2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(d^{2}+x^{2})^{3 / 2}}$
$\approx \frac{-2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d^{3}} x=-k$ बारे में $x«d$।
इस प्रकार, तीसरे चार्ज पर बल विस्थापनीय है और ओरों की ओर है। इसलिए, तीसरे चार्ज का गति हारमोनिक है जिसमें तारंग दर
$\omega=\sqrt{\frac{2 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 d^{3} m}}=\sqrt{\frac{k}{m}}$
और इसलिए $T=\frac{2 \pi}{\omega}[\frac{8 \pi^{3} \varepsilon_0 m d^{3}}{q^{2}}]^{1 / 2}$।
~~ 1.31 (a) धातु के आधार पर क्षणिक पुश पर $q$ का निम्न मार्गिक दिखाई देता है, जैसा छवि (बी) में दिखाया गया है। ए और बी पर गिरी हुई हैं दो संकेतों में होने वाली संकेत बालों पर कुलंगन कारण $।
$F_{\text{A+B }}=2 \cdot \frac{-Q}{2 \pi R} \cdot q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{z^{2}+R^{2}} \cdot \cos \theta$
$=\frac{-Qq}{\pi R .4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{(z^{2}+R^{2})} \cdot \frac{z}{(z^{2}+R^{2})^{1 / 2}}।$
जल्द ही!
