परमाणु (Paramāṇu)

अध्याय 12

परमाणुओं

MCQ I

~~ 12.1 वोहर के प्राथमिकी के आधार पर, $Li^{++}$ आयन की तत्वीय स्थिति में त्रिज्या $a_0=53 \ pm$ के बराबर होगी।

(a) $53 \ pm$

(b) $27 \ pm$

(d) $13 \ pm$

~~ 12.2 $H$ एटम का बाइंडिंग ऊर्जा, एक इलेक्ट्रॉन जो एक निश्चित नक्षत्र के चारों ओर घूम रहा हो, की मान्यता करते हुए, $B=-\frac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}} \cdot(m=$ इलेक्ट्रॉन की मासा).

अगर कोई निर्धारितता स्थिति में कार्य करने का निर्णय लिया जाता है जहां इलेक्ट्रॉन शांत रहता है, तो प्रोटॉन इसके चारों ओर घूम रहा होगा। समानांतर तर्कों द्वारा, बाइंडिंग ऊर्जा होगी

$ B=-\frac{M e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}}(M=\text{ प्रोटॉन की मासा }) $

यह अंतिम अभिव्याक्ति सही नहीं है क्योंकि

(a) $n$ पूर्णांकीय नहीं होगा।

(b) बोहर-क्वैंटिया केवल इलेक्ट्रॉन के लिए लागू होती है

(d) प्रोटॉन का गति सम्भवतः वृत्ताकार वातावरण में नहीं होगी।

~~ 12.3 अधिकांश इलेक्ट्रॉनों के साथ एक परमाणु के ऊर्जा स्तरों की गणना करने के लिए सरल बोहर मॉडल का प्रयोग सीधे नहीं किया जा सकता। इसका कारण है

(a) इलेक्ट्रॉनों को केंद्रीय बाल द्वारा कार्यरतता नहीं होना।

(b) इलेक्ट्रॉनों की एक दूसरे के साथ टक्राव।

(d) परमाणुरेखा और एक इलेक्ट्रॉन के बीच बाल अब कालम्ब का कानून नहीं देगा।

~~ 12.4 प्राथमिक स्थिति में, $H$ एटम में इलेक्ट्रॉन का कोणीय पल मान $\hbar$ होता है, सरल बोहर मॉडल के अनुसार। कोणीय पल एक वेक्टर होता है और इसलिए इसकी हर संभावित दिशा की ओर एकाधिक गोलार्ध में दिशा होगी। वास्तव में, यह सही नहीं है,

(a) क्योंकि बोहर मॉडल कोणीय पल के गलत मान देता है।

(b) क्योंकि इनमें से केवल एक कम से कम ऊर्जा वाला होगा।

(d) क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल सामतोलीय मार्गों में चलते हैं।

~~ 12.5 $O_2$ अणु दो ऑक्सीजन तत्वों से मिलता है। मोलेक्यूल में, दो तत्वों के नक्षत्रों के बीच नाभिकीय बाल

(a) महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि नाभिकीय बाल छोटे-से-छोटे होते हैं।

(b) इलेक्ट्रोस्टैटिक बाल के बंध के लिए इतना ही महत्वपूर्ण है।

(d) महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि ऑक्सीजन-नक्ली में बराबर संख्या परिलक्षितनी और धन प्रोटॉन्स होते हैं।

~~ 12.6 प्राथमिक स्थिति में दो $H$ एटम अवरोही रूप में प्रतिघाती अंतरंगीक रूप से संयुक्त किनेटिक ऊर्जा अपनी अधिकतम मात्रा के रूप में कम होती है

(a) $10.20 eV$

(b) $20.40 eV$

(d) $27.2 eV$

~~ 12.7 एक उत्तेजित स्थिति में एक अणु समूह घटित होती है।

(a) सामान्यतः किसी भी कम ऊर्जा वाली स्थिति की ओर।

(b) केवल एक कम स्थिति में जब बाह्य विद्युत क्षेत्र से प्रेरित होते हैं। (c) सभी एक साथ ही कम स्थिति में।

(d) इनका कोलाइड होते ही फोटोन विकिरण करने के लिए।

MCQ II

~~ 12.8 एक आयनीकृत $H$-मोलेक्यूल में एक इलेक्ट्रॉन और दो प्रोटॉन होते हैं। प्रोटॉन एक अंगस्ट्रॉम के क्षेत्र में अलग होते हैं। प्राथमिक स्थिति में,

(a) इलेक्ट्रान परिक्रमागत आकृतियों में नहीं चलेगा।

(b) ऊर्जा $(2)${ }^{4}$ बार एक $H$-अणु की ऊर्जा होगी।

(d) अणु संकर्षण के उपयोग से मोलेकुल शीघ्र ही एक प्रोटॉन और एक $H$-अणु में विघटित हो जाएगा।

~~ 12.9 एकमुक्त इलेक्ट्रॉनों के एक बीम को एकमुक्त प्रोटॉनों की ओर अनुमान लगाएं। जब वे छोड़ते हैं, एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन एक $H$-अणु उत्पन्न नहीं कर सकते हैं,

(a) इसलिए कि ऊर्जा संरक्षण की वजह से।

(b) ऊर्जा को बिना सहवीक्षा में साथ साथ शीघ्र रेडिएशन शक्ति के रूप में छोड़ने के लिए नहीं।

(d) कोणीय प्रक्षेपण की वजह से।

~~ 12.10 एक $H$-अणु के तरंग-आवरों के लिए बोह्र मॉडल

(a) आधार पर हाइड्रोजन के आणविक रूप में लागू नहीं होगा।

(b) वह एक हीएटॉम के लिए उन्होंने ऐसा नहीं किया है।

(d) सतत और अविच्छेद्य प्रकाशीय रेखाएँ पूर्वानुमान करता है।

~~ 12.11 $H$-अणु के लिए बामर श्रंखला देखी जा सकती है

(a) यदि हम अनुमानित करते हैं कि एक उत्तेजित अणु ग्राउंड स्थिति में गिरता है तो प्रकाश की अंतरविग्यानिकता नापते हैं।

(b) यदि हम अनुमानित करते हैं कि उत्तेजित स्थितियों और पहली उत्तेजित स्थिति के बीच संक्रमणों के कारण प्रकाश की अंतरविग्यानिकता नापते हैं।

(d) एकेसेरीज के क्रमवार्ती आवृत्तियाँ जो मात्रात्मकता में नजदीकी प्राचीर प्राप्त होती हैं।

~~ 12.12 अगर $E_n=\frac{-1}{8 \varepsilon_0^{2}} \frac{m e^{4}}{n^{2} h^{2}}$ हैंड्रोजन ऐटम के $n^{\text{th }}$ स्तर की ऊर्जा होती है। अगर सभी हाइड्रोजन ऐटम ग्राउंड स्थिति में हैं और तारंगी ऊर्जा $(E_2-E_1) / h$ इसे गिरेगी।

(a) इसे कभी भी संग्रह संकल्प नहीं होगा। (b) अणु में से कुछ पहली उत्तेजित स्थिति में जाएंगे।

(d) कोई भी अणु $n=3$ स्थिति में संक्रमित नहीं करेगा।

~~ 12.13 हेलियम $He^{4}$ ऐटम के लिए आसान बोह्र मॉडल प्रयोगी नहीं है क्योंकि

(a) $He^{4}$ एक निष्क्रिय गैस है।

(b) $He^{4}$ के नाभिक पर न्यूट्रॉन हैं।

(d) इलेक्ट्रॉन केंद्रीय शक्तियों के प्रति अवशोषण के लिए नहीं हैं।

VSA

~~ 12.14 एक $H$-अणु का मास $1$ प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन के मास के योग की तुलना में कम होता है। इसका कारण क्या है?

~~ 12.15 $He^{4}$ से एक इलेक्ट्रॉन हटा कर और $He^{3}$ की तुलना में, उनकी ऊर्जा स्तरों को, बोह्र मॉडल के आधार पर कार्यगत किया जाएगा बहुत नजदीकी होंगे। इसका कारण स्पष्ट कीजिए।

~~ 12.16 जब एक इलेक्ट्रॉन ऊंचाई से नीचे के स्तर में गिरता है, तो ऊर्जा में अंतर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक विकिरण के रूप में प्रकट होता है। यह अन्य रूपों में ऊर्जा के रूप में क्यों नहीं निकाल सकता है?

~~ 12.17 क्या $H$-अणु के लिए बोह्र सूत्र अपरिवर्तित रहेगा अगर प्रोटॉन में एक आर्ध शुल्क $(+4 / 3) e$ और इलेक्ट्रॉन में एक आर्ध शुल्क $(-3 / 4) e$ हो? अपने जवाब के लिए कारण दें।

~~ 12.18 दो विभिन्न हाइड्रोजन ऐण्ड़स में स्थित इलेक्ट्रॉन पहले संत्रित हालत में हैं। क्या यह संभव है कि इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जाएँ विभिन्न हो सकती हैं लेकिन बोह्र मॉडल के अनुसार वे एक ही परिक्रमागत

१२.१९ पॉजिट्रोनियम $H$-विद्युति के साथ ठीक ही एक ही तरह से होता है, जिसमें प्रोटॉन को इलेक्ट्रॉन के लिए विपरीत चार्जित विराट-कण की जगह होती है (जिसे पॉजिट्रॉन कहा जाता है जो कि इलेक्ट्रॉन के बराबर भारी होता है)। पॉजिट्रोनियम की आधार अवस्था ऊर्जा क्या होगी?

~~ १२.२० मान लीजिए कि एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बीच आकार्शक बल नहीं है, लेकिन सकारात्मक और नकारात्मक चार्जों के बीच बल कोलोम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है जैसा कि हालांकि आमतौर पर होता है। ऐसे परिस्थितियों में, हेलियम विद्युतीय आधार अवस्था की गणना करें।

~~ १२.२१ बोह्र मॉडल का उपयोग करके, जब $H$-विद्युतीयता आधार अवस्था में होती है, तो इलेक्ट्रॉन द्वारा बनाए गए विद्युत धारा की गणना करें।

~~ १२.२२ दिखाएं कि प्रथम कुछ प्रकाश के आवेश को जब इलेक्ट्रॉन $n$ फलक से उच्च फलकों से स्तर $n$ में गिरते हैं, तो वे लगभग समांतर (अर्थात $1: 2: 3$ अनुपात में) हारमोनिक होती हैं जब $n»1$ होता है।

~~ १२.२३ $H$ विद्युत के ग्राउंड स्थिति में एक $H_{\gamma}$ रेखा को उत्पन्न करने के लिए कितनी न्यूनतम ऊर्जा दी जानी चाहिए? यदि कोणीय पलण व्यवहार संरक्षित होता है, तो ऐसे $H_\gamma$ फोटन का कोणीय पलण क्या होगा?

~~ १२.२४ $H$-विद्युत के Lyman श्रृंखला में पथकों में पहली चार स्पेक्ट्रल रेखाओं $\lambda=1218 \AA, 1028 \AA, 974.3 \AA$ और $951.4 \AA$ हैं। यदि Hydrogen के बजाय Deuterium को विचार किया जाए, तो इन रेखाओं की तत्वज्ञान में कितना फर्क होगा?

~~ १२.२५ डेट्रीयम का आविष्कार 1932 में हैरोल्ड यूरी द्वारा विशेष रूप से किए गए वांछित परिवर्तन की वेवलेंथ माप करके किया गया था ${ }^{1} H$ और ${ }^{2} H$ में। यह इसलिए है क्योंकि परिवर्तन की वेवलेंथ एक निश्चित हद तक परमाणु मास पर निर्भर करती है। यदि परमाणु गतिविधि को ध्यान में लिया जाए तो इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच समानांतर संचार करते हैं। ऐसी एक प्रणाली एक कम क्षमता $\mu$ वाले घटित के बराबर दूसरे प्रति परिधि में ऊर्जा के साथ नाभिक के चार मास के मास संचार के समान होती है। यहां $\mu=m_e M /(m_e+M)$ है जहां $M$ नाभिक का मास है और $m_e$ इलेक्ट्रॉन का मास है। ${ }^{1} H$ और ${ }^{2} H$ के लिए Lyman श्रृंखला के पहले क्रमशः पंक्तिमान के बीच वेवलेंथ में प्रतिशत अंतर का आकलन करें। (${ }^{1} H$ का नाभिक का मास $1.6725 \times 10^{-27} kg$ है, ${ }^{2} H$ का नाभिक का मास $3.3374 \times 10^{-27} kg$ है, इलेक्ट्रॉन का मास $=9.109 \times 10^{-31} kg$ है।)

~~ १२.२६ यदि एक प्रोटॉन का त्रिज्या $R$ होता है और चार्ज समानरूप से वितरित होता है, तो बोह्र के सिद्धांत का उपयोग करके, एक H-विद्युत की ग्राउंड स्थिति की ऊर्जा की गणना करें जब (अ) $R=0.1 \AA$ हो, और (ख) $R=10 \AA$ हो।

~~ १२.२७ Auger प्रक्रिया में एक परमाणु एक फोटन उत्सर्जित किए बिना एक निम्नतर स्तर की ओर परिवर्तित होता है। अतिरिक्त ऊर्जा को विद्युतीयन के द्वारा एक बाहरी इलेक्ट्रॉन को संक्रमित करके स्थानांतरित किया जाता है। (इसे Auger इलेक्ट्रॉन कहा जाता है)। नाभिक को भारी मानते हुए, क्रोमियम द्वारा उत्सर्जित $n=4$ Auger इलेक्ट्रॉन की किंमती ऊर्जा की गणना करें जो $n=2$ से $n=1$ की ओर उच्चारण की ऊर्जा को अवशोषित करता है।

12.28 विद्युतीय द्विपदान के अव्यासमिति के अनुसार, $|\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{(4 \pi \varepsilon_0) \cdot r^{2}}$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच बाहु के लिए। $(\frac{1}{r})$ आपेक्षिकता को क्वांटम सिद्धांत में ऐसा समझा जा सकता है कि प्रकाश का ‘कण’ (फोटॉन) भारहीन होता है। यदि प्रकाश के कण का भार $m_p$ होता, तो बल परिवर्तित हो जाएगा

$|\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{(4 \pi \varepsilon_0) r^{2}}[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}] . \exp (-\lambda r)$ जहां $\lambda=m_p c / \hbar$ और $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$।

अगर $m_p$ को इलेक्ट्रॉन के भार का $10^{-6}$ गुना माना जाता है, तो $H$-ऐटम की मूलस्तिथि ऊर्जा में कितने परिवर्तन का आकलन करें।

~~ 12.29 $H$-ऐटम के लिए बोहर मॉडल अव्योम क्रमों के बीच कूलम्ब का नियम पर निर्भर करता है। कूलम्ब का नियम प्यारे संकटों के करीबी दूरियों के लिए सीधे रूप से सत्यापित नहीं हुआ है। सोचें कि दो विपरीत चार्ज वाले $+q_1,-q_2$ के बीच कूलम्ब का नियम संशोधित किया जाता है

$ \begin{aligned} & |\mathbf{F}|=\frac{q_1 q_2}{(4 \pi \varepsilon_0)} \frac{1}{r^{2}}, \quad r \geq R_0 \\ & =\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{R_0^{2}}(\frac{R_0}{r})^{\varepsilon}, r \leq R_0 \end{aligned} $

इस प्रकार के मामले में, $H$-ऐटम की मूलस्तिथि ऊर्जा की गणना करें, यदि $\varepsilon=0.1, R_0=1 \AA$ हो।

अध्याय 12

~~ 12.1 (c)

~~ 12.2 (c)

~~ 12.3 (a)

~~ 12.4 (a)

~~ 12.5 (a)

~~ 12.6 (a)

~~ 12.7 (a)

~~ 12.8 (a), (c)

~~ 12.9 (a), (b)

~~ 12.10 (a), (b)

~~ 12.11 (b), (d)

~~ 12.12 (b), (d)

~~ 12.13 (c), (d)

~~ 12.14 आइंस्टीन का भार-ऊर्जा सर्वत्रता $E=m c^{2}$ जीता है। इसलिए $H$-ऐटम का भार $m_p+m_e-\frac{B}{c^{2}}$ होता है, जहां $B \approx 13.6 eV$ बाइंडिंग ऊर्जा है।

~~ 12.15 क्योंकि दोनों नाभियाँ इलेक्ट्रॉन के भार के मुकाबले बहुत भारी हैं।

~~ 12.16 क्योंकि इलेक्ट्रॉनों का केवल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रूप से प्रभावित होता है।

~~ 12.17 हाँ, क्योंकि बोहर के सूत्र में केवल विकर्ण क्रमण के गुणक के रूप में ही चार्जों का उपयोग होता है।

~~ 12.18 नहीं, क्योंकि बोहर मॉडल के अनुसार, $E_n=-\frac{13.6}{n^{2}}$,

और विभिन्न ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन विभिन्न स्तरों के होते हैं, जिनके अलग-अलग $n$ मान होते हैं। इसलिए, उनके कोणीय संवेदना भिन्न होगी, जैसे $m v r=\frac{n h}{2 \pi}$।

~~ 12.19 बोहर सूत्र $E_n=-\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_0 n^{2} h^{2}}$ में प्रयुक्त ’ $m$ ’ कुच का होता है। H-ऐटम के लिए, $m \approx m_e$ होता है। पॉजिट्रोनियम के लिए, $m \approx m_e / 2$ होता है। इसलिए, पॉजिट्रोनियम के लिए $E_1 \approx-6.8 eV$ होता है।

~~ 12.20 $2 e$ चार्ज वाले नाभियाँ और चार्ज $-e$ वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए, स्तर $E_n=-\frac{4 m e^{4}}{8 \varepsilon_0{ }^{2} n^{2} h^{2}}$ होते हैं। मूलस्थिति में दो इलेक्ट्रॉनों की हर बीजी सतति $E$ होती है, और कुल मूलस्थिति ऊर्जा $-(4 \times 13.6) eV$ होगी।

~~ 12.21 $v=$ इलेक्ट्रॉन का वेग

$a_0=\quad$ बोहर ऊर्जा।

इसलिए, प्रति इकाई समय की आवृत्ति $=\frac{2 \pi a_0}{v}$

इसलिए, धारा $=\frac{2 \pi a_0}{v} e$।

~~ 12.22

$v _{mn}=c R Z^{2}[\frac{1}{(n+p)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}]$,

जहां $m=n+p,(p=1,2,3, \ldots)$ और $R$ रिडबर्ग साधारित है।

$P«n$ के लिए।

$ \begin{aligned} & v _{m n}=c R Z^{2}[\frac{1}{n^{2}}(1+\frac{p}{n})^{-2}-\frac{1}{n^{2}}] \\ & v _{m n}=c R Z^{2}[\frac{1}{n^{2}}-\frac{2 p}{n^{3}}-\frac{1}{n^{2}}] \\ & v _{m n}=c R Z^{2} \frac{2 p}{n^{3}} \simeq(\frac{2 c R Z^{2}}{n^{3}}) p \end{aligned} $

इस प्रकार, $v _{mn}$ लगभग क्रमशः $1,2,3 \ldots \ldots \ldots$ में हैं।

~~ 12.23 बाल्मर श्रृंखला में $H _{\gamma}$ 12.23 इसका संदर्भ निम्नलिखित प्रक्रिया में $n=5$ से $n=2$ के लिए है। इसलिए $n=1$ में इलेक्ट्रॉन को सबसे पहले राष्ट्र $n=5$ में रखने की आवश्यकता होगी। आवश्यक ऊर्जा $=E_1-E_5=13.6-0.54=13.06 eV$ है।

यदि कोणीय पलनमा संरक्षण होता है, तो प्रकाश का कोणीय पलनमा $=$ इलेक्ट्रॉन के कोणीय पलनमा में परिवर्तन $=L_5-L_2=5 \hbar-2 \hbar=3 \hbar=3 \times 1.06 \times 10^{-34}$

$=3.18 \times 10^{-34} kg m^{2} / s$ है।

~~ 12.24 $H=\mu_H=m_e(1-\frac{m_e}{M})$ को ध्यान में रखते हुए वापसी मान है।

[ \begin{align*} \mu_H=m_e(1-\frac{m_e}{M}) \ \mu_D \simeq m_e(1-\frac{m_e}{2 M})=m_e(1-\frac{m_e}{2 M})(1+\frac{m_e}{2 M}) \ h v _{i j}=(E_i-E_j) \alpha \mu \ \lambda _{i j} \alpha \frac{1}{\mu}\ \frac{\lambda_D}{\lambda_H}=\frac{\mu_H}{\mu_D} \simeq(1+\frac{m_e}{2 M})^{-1} \simeq(1-\frac{1}{2 \times 1840}) \ \lambda_D=\lambda_H \times(0.99973) \ \quad=\frac{m_e M_D}{(m_e+M_D)}-\frac{m_e M_H}{(m_e+M_H)} \times \frac{m_e M_H}{(m_e+M_H)} \times 100 \ \quad=[(\frac{m_e+M_H}{m_e+M_D}) \frac{M_D}{M_H}-1] \times 100 \\ \lambda_D=\lambda_H \times(0.99973) \ \quad=[\frac{M_H}{M_D} \times \frac{M_D}{M_H}(\frac{1+m_e / M_H}{1+m_e / M_D})-1] \times 100 \\ \quad=[(1+m_e / M_H)(1+m_e / M_D)^{-1}-1] \times 100 \\ \simeq[(1+\frac{m_e}{M_H}-\frac{m_e}{M_D}-1] \times 100. \\ \quad \approx m_e[\frac{1}{M_H}-\frac{1}{M_D}] \times 100 \end{align*} ]

इसलिए, $\Delta \lambda=\lambda_D-\lambda_H$

तो, $\Delta \lambda/\lambda_H \times 100=\frac{\lambda_D-\lambda_H}{\lambda_H} \times 100=\frac{\mu_D-\mu_H}{\mu_H} \times 100 =[\frac{M_H}{M_D} \times \frac{M_D}{M_H}(\frac{1+m_e / M_H}{1+m_e / M_D})-1] \times 100 \quad=[(1+m_e / M_H)(1+m_e / M_D)^{-1}-1] \times 100 \quad \approx m_e[\frac{1}{M_H}-\frac{1}{M_D}] \times 100$

हत्या तपोभूमि परबैरविज्ञानिक है जिसे इलेक्ट्रॉनिक विभावनाएं तथा अणु के लिए मूल सामरिक परीक्षण प्रदान करता है।

संदर्भ: http://link.com

~~ 12.26 एच-परमाणु में एक बिंदु परमाणु के लिए:

आदिस्थान स्थिति: $m v r=\hbar, \frac{m v^{2}}{r_B}=-\frac{e^{2}}{r_B^{2}} \cdot \frac{1}{4 \pi \vareपरमाणुमी}

$\therefore m \frac{\hbar^{2}}{m^{2} r_B^{2}} \cdot \frac{1}{r_B}=+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}) \frac{1}{r_B^{2}}$

$\therefore \frac{\hbar^{2}}{m} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}=r_B=0.51 \stackrel{\circ}{A}$

संभावित ऊर्जा

$ -(\frac{e^{2}}{4 \pi r_0}) \cdot \frac{1}{r_B}=-27 \cdot 2 e V ; K \cdot E=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{1}{2} m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m^{2} r_B^{2}}=\frac{\hbar}{2 m r_B^{2}}=+13.6 eV $

गोलाकार नियत्रण के लिए $R$ के इस्पर्ममत्रीय नियत्रण में,

यदि $R<r_B तो$ समान परिणाम।

यदि $R \gg r_B$ : इलेक्ट्रान नई बोर त्रिज्या वाले गोलमें आंदोलन करते हैं।

अंदर का चार्ज $r_B^{\prime 4}=e(\frac{r_B^{\prime 3}}{R^{3}})$ $\therefore r_B^{\prime}=\frac{\hbar^{2}}{m}(\frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}) \frac{R^{3}}{r_B^{\prime 3}}$

$r_B^{\prime 4}=(0.51 \AA) \cdot R^{3} . \quad R=10 \AA$

$=510(\AA)^{4}$

$\therefore r_B^{\prime} \approx(510)^{1 / 4} \AA$

$K . E=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{m}{2} \cdot \frac{\hbar}{m^{2} r_B^{\prime 2}}=\frac{\hbar}{2 m} \cdot \frac{1}{r_B^{\prime 2}}$

$=(\frac{\hbar^{2}}{2 m r_B^{2}}) \cdot(\frac{r_B^{2}}{r_B^{\prime 2}})=(13.6 eV) \frac{(0.51)^{2}}{(510)^{1 / 2}}=\frac{3.54}{22.6}=0.16 eV$

P.E $=+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}) \cdot(\frac{r_B^{\prime 2}-3 R^{2}}{2 R^{3}})$

$=+(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_B}) \cdot(\frac{r_B(r_B^{\prime 2}-3 R^{2}).}{R^{3}})$

$=+(27.2 eV)[\frac{0.51(\sqrt{510}-300)}{1000}]$

$=+(27.2 eV) \cdot \frac{-141}{1000}=-3.83 eV$.

~~ 12.27 परमाणु भारी होने के कारण, परमाणु के पाठचक्र के पूरे ऊर्जा को ध्यान देते हुए अग्र इलेक्ट्रॉन में संपूर्ण ऊर्जा स्थानांतरित हो जाती है। $Cr$ में केवल एक पाठचक्र विद्युत परमाणु होने के कारण, ऊर्जा अवस्थाओं को बोह्र मॉडल द्वारा दिया जा सकता है।

एनवीद्यांतरण से छूटने वाली ऊर्जा $2$ से $1$ तकी एक ऊर्जा जारी की जाती है $\Delta E=Z^{2} R(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4} Z^{2} R$। $n=4$ इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_4=Z^{2} R \frac{1}{16}$ होती है।

इसलिए, अग्र इलेक्ट्रॉन की किनेटिक ऊर्जा है

$ \begin{aligned} & K . E=Z^{2} R(\frac{3}{4}-\frac{1}{16})=\frac{1}{16} Z^{2} R \\ & =\frac{11}{16} \times 24 \times 24 \times 13.6 eV \\ & =5385.6 eV \end{aligned} $

~~ 12.28 ~~

$ \begin{aligned} & m_p c^{2}= 10^{-6} \times \text{ इलेक्ट्रॉन मास } \times c^{2} \\ & \approx 10^{-6} \times 0.5 MeV \\ & \approx 10^{-6} \times 0.5 \times 1.6 \times 10^{-13} \\ & \approx 0.8 \times 10^{-19} J \\

विषय: $\frac{\hbar}{m_p c}=\frac{\hbar c}{m_p c^{2}}=\frac{10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{0.8 \times 10^{-19}} \approx 4 \times 10^{-7} m>\text{ बोहर अग्र स्थान. } \ |\mathbf{F}|=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}] \exp (-\lambda r) \end{aligned} $

यहां $\lambda^{-1}=\frac{\hbar}{m_p c} \approx 4 \times 10^{-7} m \gg r_B$

इसलिए $\lambda«\frac{1}{r_B}$ तथा $\lambda r_B \ll<1$

$U(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\exp (-\lambda r)}{r}$

$m v r=\hbar$ इसलिए $v=\frac{\hbar}{m r}$

और: $\frac{m v^{2}}{r}=\approx(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}]$

इसलिए $\frac{\hbar^{2}}{m r^{3}}=(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[\frac{1}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r}]$

इसलिए $\frac{\hbar^{2}}{m}=(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0})[r+\lambda r^{2}]$

यदि $\lambda=0$ ; तब $r=r_B=\frac{\hbar}{m} \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}$

$\frac{\hbar^{2}}{m}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot r_B$

जबकि $\lambda^{-1}>r_B$, $r=r_B+\delta$ लगाएं

इसलिए $r_B=r_B+\delta+\lambda(r_B^{2}+\delta^{2}+2 \delta r_B)$ ; $\delta^{2}$ को अनदेखा करें

या $0=\lambda r_B^{2}+\delta(1+2 \lambda r_B)$

$\delta=\frac{-\lambda r_B^{2}}{1+2 \lambda r_B} \approx \lambda r_B^{2}(1-2 \lambda r_B)=-\lambda r_B^{2}$ क्योंकि $\lambda r_B«1$

इसलिए $V(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\exp (-\lambda \delta-\lambda r_B)}{r_B+\delta}$

इसलिए $V(r)=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r_B}[(1-\frac{\delta}{r_B}) \cdot(1-\lambda r_B)]$

$\cong(-27.2 eV)$ अपरिवर्तित रहता है।

$K . E=-\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m r^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2(r_B+\delta)^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2 r_B^{2}}(1-\frac{2 \delta}{r_B})$

$=(13.6 eV)[1+2 \lambda r_B]$

कुल ऊर्जा $=\quad-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r_B}+\frac{\hbar^{2}}{2 r_B{ }^{2}}[1+2 \lambda r_B]$

$ =-27.2+13.6[1+2 \lambda r_B] eV $

ऊर्जा में परिवर्तन $=13.6 \times 2 \lambda r_B eV=27.2 \lambda r_B eV$

~~ 12.29 चाहें कि $\varepsilon=2+\delta$

$ \begin{aligned} & F=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}}=\wedge \frac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}}, \text{ यहां } \frac{q_1 q_2}{4 \pi_0 \varepsilon}=\wedge, \wedge=(1.6 \times 10^{-19})^{2} \times 9 \times 10^{9} \\ & \quad=23.04 \times 10^{-29} \end{aligned} $

$ \begin{matrix} =\frac{m v^{2}}{r} \\ v^{2}=\frac{\wedge R_0^{\delta}}{m r^{1+\delta}} \end{matrix} $

(i) $\quad m v r=n \hbar, r=\frac{n \hbar}{m v}=\frac{n \hbar}{m}[\frac{m}{\wedge R_0^{\delta}}]^{1 / 2} r^{1 / 2+\delta / 2}$

इसे $r$ के लिए हल करके, हमें $r$ मिलता है $r_n=[\frac{n^{2} \hbar^{2}}{m \wedge R_0^{\delta}}]^{\frac{1}{1-\delta}}$

$n=1$ के लिए और सामग्री के मान बदलकर, हमें मिलता है

$ r_1=[\frac{\hbar^{2}}{m \wedge R_0^{\delta}}]^{\frac{1}{1-\delta}} $

$ \begin{aligned} & r_1=[\frac{1.05^{2} \times 10^{-68}}{9.1 \times 10^{-31} \times 2.3 \times 10^{-28} \times 10^{+19}}]^{\frac{1}{2.9}}=8 \times 10^{-11}=0.08 nm \\ & (<0.1 nm) \end{aligned} $

(ii) अगर $n=1$ है, तो $v_1=\frac{\hbar}{m r_1}=1.44 \times 10^{6} m / s$ होगा।

(iii) कीनेटिक ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v_1^{2}=9.43 \times 10^{-19} J=5.9 eV$ होती है।

संभव्य ऊर्जा $R_0=-\frac{\wedge}{R_0}$ से होगी।

संभव्य ऊर्जा $R_0$ से $r = + \wedge R_0^ {\delta} \int_ {R_0}^{r} \frac{d r} {r^{2+\delta}}=+\frac{\wedge R_0^{\delta}}{-1-\delta}[\frac{1}{r^{1+\delta}}] _{R_0}^{r}$ के बीच होगी।

$ =-\frac{\wedge R_0^{\delta}}{1+\delta}[\frac{1}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0^{1+\delta}}] $

$=-\frac{\wedge}{1+\delta}[\frac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0}]$

संभव्य ऊर्जा $=-\frac{\wedge}{1+\delta}[\frac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\frac{1}{R_0}+\frac{1+\delta}{R_0}]$ होगी।

$ \begin{aligned} संभव्य ऊर्जा &=-\frac{\wedge}{-0.9}[\frac{R_0^{-1.9}}{r^{-0.9}}-\frac{1.9}{R_0}] \ & =\frac{2.3}{0.9} \times 10^{-18}[(0.8)^{0.9}-1.9] J=-17.3 eV \end{aligned} $

कुल ऊर्जा $(-17.3+5.9)=-11.4 eV$ होगी।