अध्याय नौ

ठोस पदार्थों की यांत्रिकी गुणधर्म

बहुविकल्पीय प्रश्न I

9.1 आदर्श द्रवों की कठोरता मोड्यूलस

(a) अनंत होती है।

(b) शून्य होती है।

(c) एकत्व होती है।

(d) कोई अंतप्राण क्षुद्र गणकर्ण मानक मान्यता होती है।

9.2 एक तार जब इसकी लंबाई अपनी मूल लंबाई के आधे हो जाती है तो, वह

(a) दोगुना हो जाती है।

(b) आधी हो जाती है।

(c) चार गुना हो जाती है।

(d) समान बनी रहती है।

9.3 एक तार का तापमान दोगुना हो जाता है। यंग संकेतगणित

(a) भी दोगुना हो जाता है।

(b) चार गुना हो जाता है।

(c) समान रहता है।

(d) घट जाता है।

9.4 एक स्प्रिंग को इसके मुक्त अंत पर लोड लगाकर खींचा जाता है। स्प्रिंग में उत्पन्न कर्षण

(a) घनात्मक होता है।

(b) कटोरा होता है।

(c) लंबित और कटोरा होता है।

(d) लंबित होता है।

9.5 एक पक्षी रूखे में संतृप्तिसाधारण संतुलन द्वारा तिन तारों द्वारा विस्तारित बार समरूप रूप से समर्थित किया गया है, जो कि कॉपर के हर एक और मध्यवर्ती की कील के बराबर है। उनके व्यासों का अनुपात, यदि प्रत्येक में समान तनव होना है, बराबर होता है

(a) $Y_{\text{तांबा}} / Y_{\text{लोहा }}$

(b) $\sqrt{\frac{Y_{\text {लोहा }}}{Y_{\text {तांबा }}}}$

(c) $\frac{Y_{\text {लोहा }}^{2}}{Y_{\text {तांबा }}^{2}}$

(d) $\frac{Y_{\text {लोहा }}}{Y_{\text {तांबा }}}$.

9.6 एक सामान्य इस्पात का तार $2 L$ और सकलनात्मक क्षेत्र $A$ की लंगवाई आंतरिक सीमा के भीतर रोकें के बीच होरिजंतलता से खींचा जाता है (छवि 9.1)। तार के मध्यबिंदु से एक भार $m$ सस्पेंड किया जाता है। तार में कर्षण है

चित्र 9.1

(a) $\frac{x^{2}}{2 L^{2}}$

(b) $\frac{x}{L}$

(c) $\frac{x^{2}}{L}$

(d) $\frac{x^{2}}{2 L}$.

9.7 एक आयताकार ढांचा दो समान लंबाई की दो सारणियों द्वारा समान लंबाई पर दो समर्थनों द्वारा समांतर रूप से सस्ते जाने वाला है (चित्र 9.2)। इसे तीन तरीकों में में से एक में किया जा सकता है;

(a)

(b)

(c)

चित्र 9.2

तारों में तान की समानता होगी

(a) सभी मामलों में एकसार।

(b) सबसे कम (a) में।

(c) सबसे कम (b) में।

(d) सबसे कम (c) में।

9.8 दो गोलाकार रॉड हैं जिनके समान आयाम हैं, एक रबर और दूसरा स्टील का है। दोनों रॉड छत के एक खंभे से कस्तुरी में ठोस रूप में लगी हैं। मान $M$ को रॉड के मध्य में मुक्त अंतों में लगाया गया है।

(a) दोनों रॉड इतनी लंबित होगी, लेकिन आकार में यथार्थ परिवर्तन नहीं होगा।

(b) सटीकता से स्टील रॉड लंबित होगा और आकार में परिवर्तन होगा, लेकिन रबर रॉड केवल लंबित होगा।

विषय: (क) स्टील रॉड बिना किसी प्रत्यावर्तन में बदले के तन्व्रन हो जाएगी, लेकिन रबर रॉड तन्व्रन होगी और नीचे की किनारे का आकार एक अंडकर में बदल जाएगा।

(ड) स्टील रॉड बिना किसी प्रत्यावर्तन में बदले के तन्व्रन हो जाएगा, लेकिन रबर रॉड एक संकेतित केंद्र में एक टिप पर समाप्त होने वाले नीचे की किनारे का आकार तन्व्रन करेगी।

MCQ II

9.9 दो वस्त्रों के लिए तनाव-तनाव ग्राफ फिगर 9.3 में दिखाए गए हैं (एक ही पैमाने का मान लें)।

फिगर 9.3

(ए) माल दो (आईआई) से अधिक लचीला है और इसलिए माल दो (आईआई) अधिक चक्कियां हैं।

(ब) माल एक (आईआई) और दो (आईआई) में समान लचीलाई और समान चक्कियां होती है।

(क) दो (आईआई) एक (आईआई) की तुलना में रेखांश के एक बड़े क्षेत्र पर लचीला है।

(ड) माल दो (आईआई) से अधिक चक्कियां हैं।

9.10 एक तार छत से लटका हुआ है और यह उसके दूसरे छोर से लटकी हुई वजन $ F $ के कार्रवाई के तहत फैली हुई है। छत द्वारा प्रयोग की गई बल उस पर समान और उल्टी होती है।

(ए) तार के किसी पार पर Tensile Stress $ A $ $ F / A $ होता है।

(ब) तार के किसी पार पर तानिकमान ज्ञात नहीं होता है।

(क) तार के किसी पार पर Tensile Stress $ A $ $ 2 F / A $ होता है।

(ड) तार के किसी पार पर तनाव $ A $ $ F $ होता है।

9.11 एक रॉड की लंबाई $ l $ और छोटी सी मात्रा हुई है, जिसे दो तारों के द्वारा एक का दूसरे से संपादित किया जाता है जो स्टील (वायर ए) और अयोमिनियम (वायर बी) के हैंडलों द्वारा सस्पेंड किए गए होते हैं (चित्र 9.4)। तारों के संख्यात्मक क्षेत्र अ (1.0 मिलीमीटर^2) और बी (2.0 मिलीमीटर^2) है, क्रमशः।

$$ \left(Y_{A l}=70 \times 10^{9} न्यूटन/मीटर^2 और Y_{\text {steel }}=200 \times 10^{9} न्यूटन/मीटर^2\right) $$

(ए) समान तनाव रखने के लिए गोलियाँ $ A $ के नजदीक लटकानी चाहिए।

(ब) समान तनाव रखने के लिए गोलियाँ $ B $ के नजदीक लटकानी चाहिए।

(क) तारों के मध्य में गोलियाँ $ A $ के लटकानी के लिए लटकानी चाहिए।

(ड) तारों में समान तनाव रखने के लिए गोलियाँ $ A $ के पास लटकानी चाहिए।

9.12 आदर्श तरल के लिए

(ए) सम्पूर्ण तनावसाघात असीमित होता है।

(ब) सम्पूर्ण तनावसाघात शून्य होता है।

(क) सूषम तनावसाघात असीमित होता है।

(ड) सूषम तनावसाघात शून्य होता है।

9.13 एक सींग और एक स्टील की वायर एक ही व्यास की होती है। इस संयोजित तार पर एक रुपंदन बल $ F $ लगाया जाता है जो कि $ 1 \mathrm{~cm} $ की कुल विस्तारता का कारण होता है। दोनों वायरों में होंगे

(ए) समान तनाव।

(ब) भिन्न तनाव।

(क) समान तनावाघात।

(ड) भिन्न तनावाघात।

VSA

9.14 स्टील के लिए यंग मोद्यूलस रबर से बहुत अधिक है। एक ही समांतर संकोच के लिए, कौनसा ज्यादा केन्द्रीय तनाव होगा?

9.15 क्या तनाव एक वेक्टर मान है?

9.16 स्टील और तांबे के यथालिखित स्प्रिंग्स समान रूप से खिंचे जाते हैं। उनमें से किस पर अधिक काम किया जाना होगा?

9.17 एक पूर्ण यदृच्छिक कठोर शरीर के लिए यँग का नाप क्या होता है?

9.18 एक पूर्ण यदृच्छिक कठोर शरीर के लिए बल्क का नाप क्या होता है?

एसए

9.19 एक $L$ लंबाई और $r$ त्रिज्या वाली तार एक जट्ट बँधने वाले सिरे पर मजबूती से घटकर है। जब तार की दूसरी ओर बाहरी द्वारा $f$ बल से खिंचा जाता है, तो इसकी लंबाई $l$ बढ़ती है। एक सामान सामग्री की इसी तथा $2 L$ लंबाई और $2 r$ त्रिज्या वाली एक दूसरी तार, $2 f$ बल से खिंची जाती है। इस तार की वृद्धि कितनी होगी?

9.20 एक धातु $\operatorname{ro} d\left(Y=2.0 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}\right.$; और $\left .अल्फा=10^{-50} \mathrm{C}^{-1}\right)$ की लंबाई $1 \mathrm{~मीटर}$ और प्रतिरेखागण क्षेत्रफल $1 \mathrm{~सेंटीमीटर}^{2}$ होती है और उसे $0^{\circ} \mathrm{~सेल्सियस}$ से $200^{\circ} \mathrm{~सेल्सियस}$ तक गर्म कर दिया जाता है, बिना बढ़ने या मुड़ने के। धातु में कितना तनाव उत्पन्न होगा?

9.21 गहन समुद्र में किस गहनता पर एक रबर का गेंद $0.1 %$ से कम हो जाएगा। (रबर की बल्क नप $9.8 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ है; और समुद्री पानी का घनत्व $10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है।)

9.22 एक ट्रक स्टील की तार के जरिए एक गाड़ी को खाई से बाहर खींच रहा है जो $9.1 \mathrm{~मीटर}$ लंबी है और $5 \mathrm{~मिलीमीटर}$ त्रिज्या रखती है। जब गाड़ी अभी अभी हिलना प्रारम्भ होती है, तो तार में तनाव 800 एन होता है। तार कितना खिंचा होगा? (स्टील के लिए यँग का नाप $2 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}$ होता है।)

9.23 दो ऐसे ही सॉलिड गेंद, एक मृदाभ का और दूसरा गीली मिटटी का, एक ही ऊचाई से मरम्मती समतल पर रोके गए हैं। कौन सा गेंद ज्यादा उच्चता तक उठेगा और क्यों?

LA

9.24 एक लंबी स्टील बार को ताणीदार तनाव से लटकते हुए फोर्स $\mathbf{F}$ द्वारा अंगों में एक समतल को विचार करें (चित्र 9.5)। लंबाई के लिए एकत्रित और कटिबद्ध करेंगे। इस तस्वीर में रोया गया है।

(ए) तनाव उच्चतम होता है, उस योग्यता के लिए किस आयतन के लिए?

(ब) किस आयतन के लिए तकनीकी तनाव अधिकतम होता है?

9.25 (ए) एक सर्कलर अवलोकन कर सकती है, औसत और लटकती हुई अवधि $0.1 \mathrm{~सेंटीमीटर}$ की तार का $\mu$ प्रति इकाई लंबाई वाला स्टील तार है। यह तार नीले सतह पर लेटकता है और दीवार में हुक पर लटकता है। तार के मुफ्त सिरे के नीचे $25 \mathrm{~किलोग्राम}$ का भार लटका है। यदि तार समान और लटकने की तताएँ < लंबगचन की तताएं कहीं भी नहीं तो तार की लंबाई में विस्तार कीजिए। स्टील का घनत्व $7860 \mathrm{~किलोग्राम} \mathrm{~मीटर}^{-3}$ है (यँग नियमित $\mathrm{Y}=2 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}$ है।)

(ब) यदि स्टील की उत्तान संख्या $2.5 \times 10^{8} \mathrm{Nm}^{-2}$ है, तो तार के निचले सिरे पर जितना अधिकतम वजन लटक सकता है?

9.26 एक धातु रॉड $\mathbf{2 l}$ लंबाई, पारिस्थितिक क्षेत्र $A$ और भार $M$ के साथ एक केंद्र से होकर एक समतल प्लेन के चारों ओर घूम रहा है। यदि धातु के लिए यंग का यंत्र है, तो रॉड की लंबाई में विस्तार ढूंढें। (रॉड समान है, मान रखें।)

9.27 एक समकोण त्रिभुज $\mathbf{ABC}$ दो $\mathbf{Cu}$ रॉडों $\mathbf{AB}$ और $\mathbf{BC}$ और एक $\mathbf{Al}$ रॉड द्वारा बनाया जाता है। ऐसी प्रकार से उसे गरम किया जाता है कि प्रत्येक रॉड का तापमान $\Delta T$ बढ़ता है। $\mathbf{ABC}$ के कोण $\mathbf{A B C}$ में परिवर्तन ढूंढें। [$\mathbf{Cu}$ के लिए रैखिक विस्तार का संकेत रेखा $\alpha_{1}$ है, $\mathbf{Al}$ के लिए रैखिक विस्तार का संकेत रेखा $\alpha_{2}$ है।]

9.28 प्रकृति में, संरचनात्मक सदस्यों की असफलता आमतौर पर उच्च टॉर्क के कारण होती है, क्योंकि ये ट्विस्टिंग या मोड़ने के कारण थोड़ी या सम्पीड़ित पैस्तीनी टोल नहीं होती है। इस बंदगी की संरचना को ध्वजکेट चलाने के तोर के रूप में नामित किया जाता है, और पेड़ की तरह बंदरगाह में ऐसे लंबवत संरचनाओं के मामलों में, यह टॉर्क अपने भार को मुड़ाता है। इस प्रकार धड़ से मुड़ने पर न्यूट्रल सतह (केंद्रीय सतह) को जोड़ने के लिए युग्म टॉर्क द्वारा उत्पन्न चुंबकीय तोर्क $\frac{Y \pi r^{4}}{4 R} . Y$ दिया जाता है। यहां $\mathbf{Y}$ यंग का यंत्र है, $\mathbf{r}$ खंभे का त्रि-विमान है और $\mathbf{R}$ वृत्तीय सतह का त्रि-विमान ऊंचाई है जिसमें तबीयत की केंद्रीयता (शांत सतह) को निर्धारित किया जाता है। एक दिए गए खंभे के त्रिविमान के लिए एक पेड़ की महत्वपूर्ण ऊंचाई का अनुमान लगाएं।

9.29 एक पत्थर की मास की भार $m$ कसा हुआ रसायनिक स्तरीय धागे से बांधी जाती है जिसका नज़दीकी भार $k$ होता है। तार की अनस्तुलित लंबाई $L$ होती है और नज़दीकी भार ने उत्पन्न हुआ होता है। तार का दूसरा सिर एक नंकी पर निचले स्तर से ऊपर पर बंधा जाता है। पत्थर प्रारंभिक रूप से धार पर ऊपर से नीचे छोड़ दिया जाता है।

(a) पहली बार के लिए पत्थर एक हल्के मौके पर शान्त होते हुए ऊपर से गिरते हुए ऊचाई $y$ को ढूंढें।

(b) इस गिरावट में पत्थर द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम वेग क्या है?

(c) पत्थर ने अपने सबसे निचले बिंदु पर पहुँचने के बाद आकस्मिक की गति क्या होगी?

छड़ी पर दबावी तनाव को $T$ और पार्श्वीय क्षेत्रफल को $a$ होने दें, तो

$\frac{T / a}{\Delta l / l_{0}}=Y$

$\therefore T=Y \frac{\Delta l}{l_{O}} \times a=2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{-3} \times 10^{-4}$

$=4 \times 10^{4} \mathrm{~N}$

9.21 गहराई को $h$ लें, तो दबाव है

$$ P=\rho g h=10^{3} \times 9.8 \times h $$

अब $\left|\frac{P}{\Delta V / V}\right|=B$

$\therefore P=B \frac{\Delta V}{V}=9.8 \times 10^{8} \times 0.1 \times 10^{-2}$

$\therefore h=\frac{9.8 \times 10^{8} \times 0.1 \times 10^{-2}}{9.8 \times 10^{3}}=10^{2} \mathrm{~m}$

9.22 लंबाई में वृद्धि को $\Delta l$ लें, तो

$$ \begin{gathered} \frac{800}{\left(\pi \times 25 \times 10^{-6}\right) /(\Delta l / 9.1)}=2 \times 10^{11} \ \therefore \Delta l=\frac{9.1 \times 800}{\pi \times 25 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} \mathrm{~m} \ 0.5 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \end{gathered} $$

9.23 इंसानी गेंद में नमी वाली मिट्टी की गेंद की तुलना में अधिक लचीलापन होता है, इसलिए यह संक्षेप में अपनी आकृति को तत्पर रखने की कोशिश करेगी। इसलिए, इससे एक बड़ी ऊर्जा और गतिविधि स्थानांतरण होगा। इसप्रकार, गहिरा हो जाएगा। ऐसा करके, इंसानी गेंद आपराधिक गेंद की तुलना में उच्चतर उठेगी।

9.24 सर दार क्षेत्रफल को $A$ लें। तरंगमान $a a^{\prime}$ के संतुलन की ख्याल रखें। एक बल $\mathbf{F}$ प्लेन $a a^{\prime}$ पर क्रियाशील होना चाहिए जो एक कोण $\frac{\pi}{2}-\theta$ के साथ ON के लंबकार को बना रहगा। $\mathbf{F}$ को घटकों में विभाजित करने के लिए, प्लेन के अनुरूप और प्लेन के लंबकार के लिए

$F_{P}=F \cos \theta$

$F_{N}=F \sin \theta$

करते हैं

$a a^{\prime}$ का क्षेत्रफल $A^{\prime}$ होने के लिए

$\frac{A}{A^{\prime}}=\sin \theta$

$\therefore A^{\prime}=\frac{A}{\sin \theta}$

टेंशन तनाव $T=\frac{F \sin \theta}{A^{\prime}}=\frac{F}{A} \sin ^{2} \theta$ और कटाव स्थानांतरण $Z=\frac{F \cos \theta}{A^{\prime}}=\frac{F}{A} \cos \theta \sin \theta=\frac{F \sin 2 \theta}{2 A}$। अधिकतम टेंशन तनाव तब होता है जब $\theta=\pi / 2$ होता है और अधिकतम कटाव स्थानांतरण तब होता है जब $2 \theta=\pi / 2$ या $\theta=\pi / 4$ होता है।

9.25 (a) एक तत्व $d x$ को विचार करें जो बोझ से एक दूरी $x$ पर होता है ($(x=0)$)। यदि $T(x)$ और $T(x+d x)$ दो क्रोस सेक्शन्स पर तनाव हैं जो एक दूरी $\mathrm{d} x$ दूर हैं, तो

$$ \begin{aligned} & T(x+d x)-T(x)=\mu g d x \text { (यहां } \mu \text { भार / लंबाई है)} \ & \frac{d T}{d x} d x=\mu g d x \ & \Rightarrow T(x)=\mu g x+C \ & \text { x=0 पर,} T(0)=M g \Rightarrow C=M g \ & \therefore T(x)=\mu g x+M g \end{aligned} $$

$x$ पर $\mathrm{d} x$ बढ़ जाने के साथ $\mathrm{d} x$ की लंबाई बढ़ती है, तो

$$ \begin{aligned} & \frac{T(x) / A}{\mathrm{~d} r / \mathrm{d} x}=Y \ & \text { या,} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{Y A} T(x) \ & \Rightarrow r=\frac{1}{Y A} \int_{0}^{\mathrm{L}}(\mu g x+M g) \mathrm{d} x \ & =\frac{1}{Y A}\left[\frac{\mu g x^{2}}{2}+M g x\right]_{0}^{\mathrm{L}} \end{aligned} $$

यहां ऊपरी सरल खण्ड कॉपी की सामग्री है: & = \frac{1}{Y A} \left[ \frac{m g l}{2} + M g L \right] \end{aligned} $$

(यहां $m$ तार की मास है)

$A=\pi \times \left(10^{-3}\right)^{2} , \mathrm{मीटर}^2, Y=200 \times 10^{9} , \mathrm{न्यूटन/मीटर}^2$

$m=\pi \times \left(10^{-3}\right)^{2} \times 10 \times 7860 , \mathrm{किलोग्राम}$

$\therefore r=\frac{1}{2 \times 10^{11} \times \pi \times 10^{-6}} \left[ \frac{\pi \times 786 \times 10^{-7} \times 10 \times 10}{2}+25 \times 10 \times 10 \right]$

$=\left[196.5 \times 10^{-6}+3.98 \times 10^{-3}\right]-4 \times 10^{-3} , \mathrm{मीटर}$

(b) अधिकतम तनाव $x=L$ पर होगा।

$T=\mu g L+M g=(m+M) g$

उत्पाद बल

$=250 \times 10^{6} \times \pi \times \left(10^{-3}\right)^{2}=250 \times \pi , \mathrm{न्यूटन}$

उत्पाद पर

$(m+M) g=250 \times \pi$

$m=\pi \times \left(10^{-3}\right)^{2} \times 10 \times 7860 \quad<M \quad \therefore M g \quad 250 \times \pi$

इसलिए, $M=\frac{250 \times \pi}{10}=25 \times \pi \quad 75 , \mathrm{किलोग्राम}$।

9.26 $r$ पर कूही की चौड़ाई $d r$ वाली एक तत्व को विचार करें। $T(r)$ और $T(r+d r)$ दोनों किनारों पर तनाव होता है।

$-T(r+d r)+T(r)=\mu \omega^{2} r d r$ जहां $\mu$ भार/लंबाई है $-\frac{d T}{d r} d r=\mu \omega^{2} r d r$

$r=l$ पर

$\Rightarrow C=\frac{\mu \omega^{2} l^{2}}{2}$

इसलिए, $T(r)=\frac{\mu \omega^{2}}{2} \left(l^{2}-r^{2}\right)$

तत्व की लंबाई की वृद्धि $d r$ होने पर $d(\delta)$ होगा

$\mathrm{Y}=\frac{\left(\mu \omega^{2} / 2\right)\left(l^{2}-r^{2}\right) / \mathrm{A}}{\frac{\mathrm{d}(\delta)}{\mathrm{d} r}}$

$\therefore \frac{\mathrm{d}(\delta)}{\mathrm{d} r}=\frac{1}{Y A} \frac{\mu \omega^{2}}{2} \left(l^{2}-r^{2}\right)$

$\therefore \mathrm{d}(\delta)=\frac{1}{Y A} \frac{\mu \omega^{2}}{2} \left(l^{2}-r^{2}\right) d r$

$\therefore \delta=\frac{1}{Y A} \frac{\mu \omega^{2}}{2} \int_{0}^{l} \left(l^{2}-r^{2}\right) d r$

$=\frac{1}{Y A} \frac{\mu \omega^{2}}{2} \left[l^{3}-\frac{l^{3}}{3}\right]=\frac{1}{3 Y A} \mu \omega^{2} l^{3}=\frac{1}{3 Y A} \mu \omega^{2} l^{2}$

लंबाई में कुल परिवर्तन $2 \delta=\frac{2}{3 Y A} \mu \omega^{2} l^{2}$

9.27 लेट $l_{1}=\mathrm{AB}, l_{2}=\mathrm{AC}, l_{3}=\mathrm{BC}$

$\cos \theta=\frac{l_{3}{ }^{2}+l_{1}{ }^{2}-l_{2}{ }^{2}}{2 l_{3} l_{1}}$

या, $2 l_{3} l_{1} \cos \theta=l_{3}{ }^{2}+l_{1}{ }^{2}-l_{2}{ }^{2}$

अंतर को लिखेंगे

$2\left(l_{3} d l_{1}+l_{1} d l_{3}\right) \cos \theta-2 l_{1} l_{3} \sin \theta d \theta$

$$ =2 l_{3} d l_{3}+2 l_{1} d l_{3}+2 l_{1} \alpha_{1}-2 l_{2} \alpha_{2} $$

अब, $\quad d l_{1}=l_{1} \alpha_{1} \Delta t$

$$ d l_{2}=l_{2} \alpha_{1} \Delta t $$

$$ d l_{3}=l_{3} \alpha_{2} \Delta t $$

और $l_{1}=l_{2}=l_{3}=l$ है।

हिं वर्जन: $\left(l^{2} \alpha_{1} \Delta t+l^{2} \alpha_{1} \Delta t\right) \cos \theta+l^{2} \sin \theta d \theta=l^{2} \alpha_{1} \Delta t+l^{2} \alpha_{1} \Delta t-l^{2} \alpha_{2} \Delta t$

$\sin \theta d \theta=2 \alpha_{1} \Delta t(1-\cos \theta)-\alpha_{2} \Delta t$

पुट $\theta=60^{\circ}$

$$ \begin{gathered} d \theta \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \alpha_{1} \Delta t \times(1 / 2)-\alpha_{2} \Delta t \ =\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \Delta t \end{gathered} \begin{aligned} & \text { या, } d \theta=\frac{2\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \Delta t}{\sqrt{3}} \end{aligned} $$

9.28 पेड़ के धब्बे होने के समय

$$ W d=\frac{Y \pi r^{4}}{4 R} $$

यदि $R \quad h$ है, तो केंद्रिता बल ग्राउंड से $\frac{1}{2} h$ की ऊचाई पर होती है।

$\Delta \mathrm{ABC}$ से

$$ R^{2} \quad(R-d)^{2}+\left(\frac{1}{2} h\right)^{2} $$

यदि $d \quad R$ है

$R^{2} \quad R^{2}-2 R d+\frac{1}{4} h^{2}$

$\therefore d=\frac{h^{2}}{8 R}$

यदि $w_{0}$ वजन/आयतन है

$$ \begin{aligned} & \frac{Y \pi r^{4}}{4 R}=w_{0}\left(\pi r^{2} h\right) \frac{h^{2}}{8 R} \ & \Rightarrow h \quad\left(\frac{2 Y}{w_{o}}\right)^{1 / 3} r^{2 / 3} \end{aligned} $$

9.29 (a) पत्थर $L$ के द्वारा गिरते समय वह मुक्त गिरावट में होगा। इसके बाद स्ट्रिंग की प्रतिमानता उसे एक SHM की दिशा में ला देगी। पत्थर तत्कालिक रूप से विश्राम करेगा $y$ पर।

पत्थर की पॉटेंशियल ऊर्जा का हानि तनावित स्ट्रिंग में संचित पॉटेंशियल ऊर्जा है।

$$ \begin{aligned} & m g y=\frac{1}{2} k(y-L)^{2} \ & \text { या, } m g y=\frac{1}{2} k y^{2}-k y L+\frac{1}{2} k L^{2} \ & \text { या, } \frac{1}{2} k y^{2}-(k L+m g) y+\frac{1}{2} k L^{2}=0 \ & y=\frac{(k L+m g) \pm \sqrt{(k L+m g)^{2}-k^{2} L^{2}}}{k} \end{aligned} $$

$$ =\frac{(k L+m g) \pm \sqrt{2 m g k L+m^{2} g^{2}}}{k} $$

पॉजिटिव साइन रखें।

$\therefore y=\frac{(k L+m g)+\sqrt{2 m g k L+m^{2} g^{2}}}{k}$

(b) अधिकतम वेग प्राप्त होता है जब शरीर “संतुलन स्थिति” से गुजरता है, यानी जबतक तत्कालिक त्वरण शून्य होता है। वह है $m g-k x=0$ जहां $x$ एक्सटेंशन है $\mathrm{L} से: $

$\Rightarrow m g=k x$

वेग को $v$ रखें। तब

$\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}=m g(L+x)$

$\frac{1}{2} m v^{2}=m g(L+x)-\frac{1}{2} k x^{2}$

अब $m g=k x$

$$ \begin{aligned} x & =\frac{m g}{k} \ \therefore \frac{1}{2} m v^{2}= & m g\left(L+\frac{m g}{k}\right)-\frac{1}{2} k \frac{m^{2} g^{2}}{k^{2}} \ & =m g L+\frac{m^{2} g^{2}}{k}-\frac{1}{2} \frac{m^{2} g^{2}}{k} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=m g L+\frac{1}{2} \frac{m^{2} g^{2}}{k} \ & \therefore v^{2}=2 g L+m g^{2} / k \

अनुवाद सामग्री: & v=\left(2 g L+m g^{2} / k\right)^{1 / 2} \end{aligned} $$

(c) तत्व को एक क्षणिक स्थान पर य के रूप में विचार करें। फिर

$$ \begin{aligned} & \frac{m d^{2} y}{d t^{2}}=m g-k(y-L) \ & \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\frac{k}{m}(y-L)-g=0 \end{aligned} $$

परिवर्तन का वार्मलत्ता करें: $z=\frac{k}{m}(y-L)-g$

तब $\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\frac{k}{m} z=0$

$\therefore z=A \cos (\omega t+\phi)$ जहां $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$\Rightarrow y=\left(L+\frac{m}{k} g\right)+A^{\prime} \cos (\omega t+\phi)$

इस प्रकार पत्थर बिना कोई अंगुलीय आवृत्ति के श्म करता है

$y_{0}=L+\frac{m}{k} g$