अध्याय 8

गुरुत्वाकर्षण

MCQ I

8.1 पृथ्वी एक अंदाजी गोला है। यदि इसके भीतर मिलेगी वस्तु हर जगह समान घनत्व नहीं होगा, तो पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण

(a) केंद्र की ओर दिशा में निर्दिष्ट होगा लेकिन सभी जगह नहीं।

(b) हर जगह एक ही मान होगा, लेकिन केंद्र की ओर नहीं होगा।

(c) मान में सभी जगह एक जैसा होगा और केंद्र की ओर दिशा में होगा।

(d) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं हो सकता।

8.2 पृथ्वी से देखा गया सूरज एक अंदाजी वृत्त के पथ में चलता है। पृथ्वी से देखे गए एक और ग्रह (मरकुरी) के पथ के लिए, यह होगा

(a) इसी तरह सच होगा।

(b) सच नहीं होगा क्योंकि पृथ्वी और मरकुरी के बीच का बल अभिप्रतिक्रियात्मक वर्ग कानून नहीं है।

(c) सच नहीं होगा क्योंकि मरकुरी पर मुख्य गुरुत्वाकर्षण का बल सूर्य के कारण होता है।

(d) सच नहीं होगा क्योंकि मरकुरी को गुरुत्वाकर्षण के अलावा अन्य बलों का प्रभाव भी होता है।

8.3 पृथ्वी के विभिन्न बिंदु सूर्य से थोड़े-थोड़े दूर होते हैं और इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण विभिन्न बलों का अनुभव करते हैं। एक सदभावी शरीर के लिए, हम जानते हैं कि यदि विभिन्न बिंदुओं में विभिन्न बल कार्रवाई करें, तो परिणामस्वरूप चलन और समतलीकरण कारणी है जो इंद्रियकेरित ऊर्जा के केंद्र पर नेट बल कार्रवाई को संतुलन देती है और चलनेत नेट घण्टी को संतुलनता कार्यकर्त्त के माध्यम से चक्रांकन करती है। पृथ्वी-सूर्य प्रणाली के लिए (पृथ्वी को एक समान घनत्व गोला के रूप में अनुमति देते हुए)

(a) घण्टी शून्य है।

(b) घण्टी पृथ्वी को घूमाती है।

(c) सदभावी शरीर नतीजा लागू नहीं है क्योंकि पृथ्वी वास्तव में एक सदभावी शरीर नहीं है।

(d) घण्टी सूर्य के आस-पास पृथ्वी को गतिशील करती है।

8.4 पृथ्वी को घिरने वाले उपग्रहों की सीमित जीवन होती है और कभी-कभी उपग्रह के कचरे पृथ्वी पर गिर जाते हैं। इसका कारण है,

(a) उपग्रह में सोलर सेल और बैटरी खत्म हो जाते हैं।

(b) गुरुत्वाकर्षण के नियम प्राकट करते हैं कि एक वृत्ताकार पथ पर घुमती है।

(c) दरारी बलों के कारण उपग्रह की गति और इसलिए ऊंचाई कम होने लगती है।

(d) दूसरे उपग्रहों के साथ टकराव के कारण।

8.5 पृथ्वी और चंद्रमा दोनों सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में हैं। सूर्य से देखा गया चंद्रमा का वृत्ताकार पथ

(a) उच्चारित होगा।

(b) सख्त उच्चारित नहीं होगा क्योंकि इसके ऊपर कुल गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय नहीं है।

(c) उच्चारित नहीं होगा, लेकिन आवश्यक रूप से एक बंद कर्व होगा।

(d) पृथ्वी के अलावा अन्य ग्रहों के प्रभाव के कारण उच्चारित नहीं होगा।

8.6 हमारे सौर मंडल में, ग्रहों की अंतरग्रामी स्थान में सूर्य के छोटी मिट्टी के टुकड़े होते हैं। वे

(a) सूर्य की तुलना में चले नहीं जाएंगे क्योंकि वे सूर्य की तुलना में बहुत छोटे होते हैं।

(b) उनकी छोटी मानसिकता के कारण अनियमित ढंग से घूमते हैं और बाहरी अंतरिक्ष में चले जाएंगे।

(c) वे सूर्य के आस-पास बंद परिक्रमा में चलेंगे लेकिन केपलर के नियमों का पालन नहीं करेंगे।

(d) ग्रहों की तरह आकार रखने और केपलर के नियमों का पालन करने वाले पथ में चलेंगे।

8.7 गलत विकल्प चुनें।

(a) अस्थायी मापन करणेसाठी अंतरंग बाह्य बलाने एक शरीरला गतिशीलता देण्याची उपाययोग्य माप आहे ह्यामुळे आवर्तवादी माप त्यावर अर्थपूर्ण आहे.

(b) जे आवर्तवादी माप आणि अस्थिर मापाशी समान आहेत तो प्रयोगशास्त्रीय निकष आहे.

(c) धारा पावसाच्या त्वरणाचं जीवनावधीसर एकाच सर्व शरीरांसाठी एकसारखं आहे, तो आवर्तवादी माप आणि अस्थिर माप समान आहेत ह्यामुळे.

(d) प्रोटॉनसारख्या कणाचा आवर्तवादी माप आसपासल्या जास्त मोठ्या वस्तूंच्या अस्तित्वाने असोत तरीही दिसु शकतो, पण अस्थीर माप नाही.

8.8 मासेची अक्षमता $2M, m$ आणि $M$ हा अक्षरा $अ, ब$ आणि $\mathrm{C}$ पुनरावृत्तीच्या वेळेस अकडे असते, जेथे $\mathrm{ABC}=१ / २(\mathrm{BC})$. $m$ ची फार लहान आहे जसे $M$ म्हणजे असीम लहान आहे आणि वेळेस $t=०$ झाल्यावर त्यांचं सर्व कोणत्याही बधिर होतं (मुद्रित 8.1).

नोंद करण्याच्या वेळी कोणत्याही प्रलंब मार्जीला घडविण्यात आवश्यक:

अभिमुख 8.1

(a) $m$ ठिकाणावर विराम ठेवेल.

(b) $m$ $M$ वर चालेल.

(c) $m$ वर $2M$ चालेल.

(d) $m$ असिंक्य चालेल.

MCQ II

8.9 खालील पर्यायांमध्ये कोणत्याही लक्षणे बरोबर आहेत?

(a) उच्चतमता सापडण्यास भूमियाच्या मध्ये त्वरण निरोपण कमी होतं.

(b) उच्चतमता सापडण्यास भूमि वाढते (भूमि एक समान प्रतिस्थानाच्या गोलाकार वस्त्र असल्याचं माना).

(c) उच्चतमता सापडण्यास धार्याच्या वर्णांकाच्या वाढत्या सापडते.

(d) भूमीचा घनमान शक्यता शक्य नाही.

8.10 जर गुरुत्वकर्षणाचा कायदा, वायव्य वैवाहिक आहे तर-

(a) ग्रह उभारल्यास पृष्ठचाक्रीय यानत्यांची नाही.

(b) ग्रहांची वर्तुळाकार व्यासपर्यंत परिक्रमा आढळली नाही.

(c) पृथ्वीवर किंवा हाताने फेकलेल्या पाण्याची गोलाकार गती सर्वेक्षण केल्यास लागणारे असावे.

(d) एक सापडील परिपूर्ण क्षेत्राच्या एक गोलाकार परिपूर्णात अग्रविधी येणार नाही.

8.11 सूर्याचे गुणसंख्या दहा वेगळेपणाने टिपपणी आहे आणि गुरूत्वाकर्षण निकालाच्या $जी$ दहा वेगळेपणाने मोठेपणाने -

(a) जमिनीवर चालण्यास विधिंतर झालेलं आहे.

(b) पृथ्वीवरील गुरूत्वाकर्षणाची त्वरण बदलणारी नाही.

(c) पाऊसाची वेग अत्यंत जलद गर्जवणारी आहे.

(d) विमानांना किंवा किंवा जलयानांच्या जलद वाहनांकरिता नेमक्या नगरांमध्ये जाणे करावे लागेल.

8.12 जर सूर्य आणि ग्रह विपरीत आधी वापरणार्‍या खूप मोठ्या रक्कमी क्षार करखान्या घेऊन येतील तर -

(a) केपलरचे तीन कला अजुनही वापरण्यात येतील.

(b) फक्त तृतीय कला वापरली जाईल.

(c) तुटेल तशी नाही.

(d) पहिली कला अजुनही वापरण्यात येतील.

8.13 धरती वर काही अनेक व्याप्तीने, घटित तीताने, प्रमाणे नंतराची दुसरी अवधीत द ग्रेव्हीटेशनल कॉन्स्टंट $G$ चं मूल्य कमी होतं याबद्दल सूचना आली आहे. जर हे झाले तर आमच्या धरतीवर -

(a) काहीही बदल नाही.

(b) बिलियन्स वर्षानंतर आम्ही गर्म होणार.

(c) आम्ही कधीकधी सूर्यमंडळातून बाहेरच्या सुयोगांकीत जाणार आहोत.

(d) अति लंब वेळानंतर आम्ही वाचविणार सौर संवधान.

8.14 यदि $m_{1}$ एवं $m_{2}$ मान वाले दो द्रव्यमानों के बीच $\mathbf{r_1}$ और $\mathbf{r_2}$ स्थानों पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $\mathbf{F_1}$ और $\mathbf{F_2}$ होते हैं तो, न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का क़ानून होगा $F_1 = -F_2 = -\frac{r_{12}}{r_{12}^{3}} G M_{O}^{2}\left(\frac{m_{1} m_{2}}{M_{0}^{2}}\right)^{n}$ जहां $M_{0}$ एक माप करने वाला मास की आयाम बढ़ी है, $r_{12} = \mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}$ होता है, और $\mathrm{n}$ एक संख्या होती है। इस प्रकार के घटना में:

(a) पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण गति का परिवर्तन भिन्न वस्तुओं के लिए अलग होगा।

(b) केपलर के तीनों कानून वैध नहीं रहेंगे।

(c) केवल तीसरा कानून अमान्य हो जाएगा।

(d) $n$ नकारात्मक होने के कारण, जल से हल्का वस्तु पानी में डूब जाएगी।

8.15 निम्नलिखित में से कौन से सत्य हैं?

(a) एक ध्रुवीय उपग्रह उत्तर-दक्षिण दिशा में पृथ्वी के ध्रुव के चारों तरफ घूमता है।

(b) एक भौमिक उपग्रह पृथ्वी के चारों तरफ पूर्व-पश्चिम दिशा में घूमता है।

(c) एक भौमिक उपग्रह पृथ्वी के चारों तरफ पश्चिम-पूर्व दिशा में घूमता है।

(d) एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों तरफ पूर्व-पश्चिम दिशा में घूमता है।

8.16 पृथ्वी की सतह पर किसी विस्तृत वस्तु का केंद्रीय संग्रहण बिंदु और उसका केंद्रीय भार (center of gravity)

(a) हर आकार की वस्तु के लिए हमेशा एकीकृत बिंदु पर होते हैं।

(b) केवल गोलाकार वस्तुओं के लिए हमेशा एकीकृत बिंदु पर होते हैं।

(c) कभी भी एक साथ नहीं हो सकते हैं।

(d) यदि वस्तु उसके गहराई में ली जाएगी तो वे एक दूसरे करीब होते हैं, जैसे $100 \mathrm{~m}$ के आकारमान वस्तुओं के लिए।

(e) जब वस्तु को पृथ्वी के अंदर ले जाया जाता है तो दोनों बदल सकते हैं।

VSA

8.17 माहौल में हवा के अणु पृथ्वी की गुरुत्वाकर्षण बल से आकर्षित होते हैं। इसका कारण है कि सभी वे उसी तरह पेड़ से गिरते हुए सब्जी की तरह पृथ्वी में नहीं गिर जाते हैं।

8.18 केंद्रीय बल और अकेंद्रीय बल से एक उदाहरण दें।

8.19 मंगल ग्रह के लिए क्षेत्रीय वेग बनाम समय ग्राफ बनाएं।

8.20 ध्रुव से देखें तो सूरज के चारों ओर कृत्रिम ग्रह के आकारभ्रष्ट (areal) वेग एक निश्चित दिशा में होता है।

8.21 जब वे पानी में डुबाए जाते हैं तो दो सूचकों के बीच दूरी एक साथ शून्य होने के कारण दो बिंदु मास एक दूसरे के करीब हो जाते हैं।

8.22 क्या एक वस्तु को अस्थिरता हो सकती है, परंतु वजन नहीं?

8.23 क्या हम किसी धरातल के पास के पदार्थ को किसी होलो संचालक या किसी अन्य तरीके से, इसके आसपास के पदार्थों के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव से छंदनशील बना सकते हैं?

8.24 पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए एक छोटे खगोलीय यान में रहनेवाले अंतरिक्षयात्री को गुरुत्वाकर्षण का अनुभव नहीं होता। अगर एक बड़ा आकार का उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा होता है, तो क्या उचित है कि उसे गुरुत्वाकर्षण का अनुभव हो सके?

8.25 एक खोखले गोलाकार गोलीय ढाल (जिसकी आयात गोलाकार औसत है) और एक बिंदु भार के बीच गुरुत्वाकर्षणी बल $F$ होता है। $F$ बनाम $r$ ग्राफ की प्रकृति दिखाएं जहां $r$ बिंदु का दूरी है जो गोलीय ढाल के केंद्र से दूर है।

8.26 एफेलियन और पेरिहेलियन में पृथ्वी की गति किसमें अधिक होती है और क्यों?

8.27 क्वीटारी तल और आकाशीय तल के बीचों बीच का कोण क्या होता है?

(a) ध्रुवीय उपग्रह का?

(b) भौमिक उपग्रह का?

8.28 माध्यम सौर दिवस सूर्य के ऊर्ध्ववार्ता (मध्यरेखा) से जब सूर्य अग्रोचर होता है, तब दो पीछे चलने वाले दिनों के बीच का समय अवधि है (अंतराल होता है)।

तारावरी दिन वह दो पीछे चलने वाले तारे का समय अवधि है जब वे ऊर्ध्ववार्ता (सूचकांक रेखा) के माध्यम से गुजर जाते हैं।

पृथ्वी के घूमने औरकक्षिति गति को प्रदर्शित करने के लिए एकार्यक आरेखा बनाकर दिखाएं, इसे दिखाएं कि माध्यम सौर दिवस तारावरी दिन से चार मिनट लंबा है। दूसरे शब्दों में, दूरस्थ तारे प्रत्येक पश्चिमी दिन को 4 मिनट पहले उदय होंगे।

(संकेत: आप पृथ्वी के लिए वृत्तीय कक्षा मान सकते हैं)।

8.29 दो समान भारी गोलाकार प्रांगणों को अपने केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के मध्यबिंदु पर रखे गए एक वस्त्र या सामग्री स्थिर संतुलन में होगी या ध्रुवीय संतुलन में होगी? अपने उत्तर के लिए कारण दें।

8.30 दूसरों के प्रति भूमि के उड़ान करने वाले एक उपग्रह के लिए निम्नलिखित ग्राफ का स्वरूप दिखाएं।

(के) उपग्रही क्षेत्रिय त्रिज्या $R$ के खिलाफ एक्रोबिपाईयों।

(ख) उपग्रही क्षेत्रिय त्रिज्या $R$ के खिलाफ प्राकृतिक ऊर्जा।

(स) उपग्रही वेग $v$ द्वारा जहां ंप्राकृतिक ऊर्जा।

8.31 दिखाए गए कुछ गोलायें हैं (चित्र 8.2)। कृपया कारण सहित व्याख्या करें, उन्ही में से कौन सी गोलायें एक तालदार द्वारा प्रतिक्रिया की जा सकती हैं (हवा के घर्षण को अनदेखा करें)।

(a)

(डी)

(b)

(ई) (फ)

चित्र 8.2

8.32 एक मेंदु माध्यम 🇪🇸 मान स्थल से ऊपर उठाया गया है, जिसकी मात्रा $m$ है आकार 🇪🇸 से दूरी $R$ तक जिसका अर्थ है की पृथ्वी के 🔃 केंद्र से 🔼 करके । इसका उचितन मेंदु ऊर्जा कितना है?

8.33 जब एक मास मास ठोस कोण पर रखा जाता है पर दूसरी बार दूसरी और ठोस दूसरी पर पर के दूरी दूसरी है । यदि है जब तक की माआगो क्षमता जटिलता, $\mathrm{O}$ पर माइस का दूसरा आदान-प्रदान होता है, द्वारा फ्टता जाता है, यदि $h=r=1$ होता हो।

ला

8.34 सूरज की तरह एक तारा के चारों ओर कई शरीर होते हैं जो भिन्न दूरियों पर घूम रहे होते हैं। मान लीजिए कि उन सभी का घूमना वृत्ताकार पथों में होता है। $r$ शरीर की दूरी तारे के केंद्र से होती है और उसकी रैखिक गति $v$, कोणीय गति $\omega$, किनेटिक ऊर्जा $K$, गुरुत्वाकर्षणीय क्षेत्रीय ऊर्जा $U$, कुल ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेदनशीलता $l$ हो। जब अक्षरण $r$ बढ़ती है, तो उपरोक्त मात्राएं किसमें बढ़ती हैं और किसमें कम होती हैं।

8.35 एक नियमित षट्कोणी के सिरे $l$ पर एक बार में $m$ मास प्रत्येक वर्तेक पर स्थित होते हैं। किसी भी मास पर बल की गणना करें।

8.36 पृथ्वी के चारों ओर, संचार के लिए पृथ्वी संभारी ज्योस्थ यानवृत्ती में एक उपग्रह स्थापित किया जाना है।

(क) ऐसे एक उपग्रह की ऊँचाई की गणना करें।

(ख) पृथ्वी के समकर्ण पर से कोई भी स्थान प्रत्येक बिंदु पर कम से कम एक उपग्रह देखा जा सकने के लिए कितने कम से कम उपग्रह चाहिए होते हैं?

$\left[M=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, R=6400 \mathrm{~km}, T=24 \mathrm{~h}, \mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11}\right.$ SI units $]$

8.37 पृथ्वी की यात्रा एक अर्द्धवृत्ति होती है जिसकी वक्रता 0.0167 है। इसलिए, सूरज से पृथ्वी की दूरी और इसकी गति दिन बाद दिन बदलती है। इसका अर्थ यह है कि सौर दिन की लंबाई वर्ष में स्थिर नहीं होती है। मान लीजिए कि पृथ्वी की चक्रवात ध्वनि इसकी कार्यवाही समय से समय तक होती है और सबसे छोटे और सबसे लम्बे दिन की लंबाई का पता लगाएं। एक दिन को दोपहर से दोपहर लिया जाना चाहिए। क्या यह वर्ष भर में दिन की लंबाई में परिवर्तन को समझाता है?

8.38 एक उपग्रह $6 R$ के जोड़े और $2 R$ के निकटतम संबंधी गतिमान के साथ पृथ्वी के चारोंओर एक वृत्ताकार यानवृत्ति में है जहां $R=6400 \mathrm{~km}$ पृथ्वी की त्रिज्या है। यानवृत्ति की वक्रता ढूँढ़ें। उपग्रह की गति अपोगी और पेरीगी पर क्या होनी चाहिए। अगर इस उपग्रह को $6 R$ त्रिज्या के एक संधारित यानवृत्ति में स्थानांतरित किया जाना हो तो क्या किया जाना चाहिए?

$\left[\mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11}\right.$ SI units and $\left.M=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\right]$

8.24 हां, अगर अंतरिक्ष यान का आकार पर्याप्त बड़ा हो तो उसे $g$ में बदलाव का पता लगा सकता है।

8.25

8.26 अपनहेल क्योंकि पृथ्वी को समानोली की ध्रुवीय वेग स्थिर रखने के लिए अधिक रेखीय दूरी तय करनी होगी।

8.27 $\begin{array}{ll}\text { (a) } 90^{\circ} & \text { (b) } 0^{\circ}\end{array}$

8.28 हर दिन पृथ्वी का पट लगभग $1^{\circ}$ आगे बढ़ता है। फिर, इसे $1^{\circ}$ (जिसे हमने 1 दिन के रुप में परिभाषित किया है) रोटेट करना होगा ताकि सूर्य पुनः उत्तराधिकार पर बन जाए। क्योंकि $1^{\circ}$ 24 घंटे के लिए प्रतिस्थान होता है; अतिरिक्त $1^{\circ}$ करीबन 4 मिनट [3 मिनट 59 सेकंड] को नगण्य करता है।

8.29 दम सही में थोड़ी-सी दूरी $h$ द्वारा मध्यम में उठाने की गणना करें। फिर, इस पर बल हैं: दाईं और बाएं ओर $\frac{\mathrm{GMm}}{(R-h)^{2}}$ और $\frac{G M m}{(R+h)^{2}}$। पहली बार दूसरे से अधिक होती है। इसलिए नेट बल भी दाईं ओर होगा। इसलिए समतल अस्थिर है।

8.30

8.31 पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के तहत एक कण का प्रावर्तन एक कोन के रूप में होगा (पृथ्वी के बाहरी गति के लिए) जिसमें पृथ्वी केंद्र होगा। केवल (c) इस आवश्यकता को पूरा करता है।

मिसाल समस्याएँ-भौतिकी

8.32 $\mathrm{mgR} / 2$.

8.33 केवल ऊर्ध्वाधिकारी (अर्थात ओ और $m$ को जोड़ने वाली रेखा के साथ) का ही पार्श्वीय घटक बना रहेगा। दवारा परिवर्तित की गई दबाव का ऊर्ध्वाधिकारी घटक का फार्मूला है:

$\left[\frac{2 r}{\left(4 r^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}}\right]\left[\frac{\mu}{\left(r^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}}\right]$

$=\frac{4 \sqrt{2}}{5 \sqrt{5}}$.

8.34 जब $r$ बढ़ता है:

$U\left(=-\frac{G M m}{r}\right)$ बढ़ता है।

$v_{c}\left(=\sqrt{\frac{G M}{r}}\right)$ घटता है।

$\omega\left(=\frac{v_{c}}{r} \times \frac{1}{r^{3 / 2}}\right)$ घटता है।

$K$ कम होता है क्योंकि $v$ बढ़ता है।

$E$ बढ़ता है क्योंकि $|U|=2 \mathrm{~K}$ और $U<\mathrm{O}$

$l$ बढ़ता है क्योंकि $m v r \propto \sqrt{r}$।

8.35 $\mathrm{AB}=\mathrm{C}$

$(\mathrm{AC})=2 \mathrm{AG}=2 \cdot l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} l$

$\mathrm{AD}=\mathrm{AH}+\mathrm{HJ}+\mathrm{JD}$

$=\frac{l}{2}+l+\frac{l}{2}$

$=21$.

$A E=A C=\sqrt{3} l, \mathrm{AF}=l$

$म$ के कारण $\mathrm{F}$ और $\mathrm{B}$ पर $\mathrm{AD}$ के समांतरों के बल

$=\frac{G m^{2}}{l^{2}}$

पर बंदरगाहों $\mathrm{E}$ और $\mathrm{C}$ पर बल के समांतार

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा: $=G m^{2} \frac{1}{3 l^{2}} \cos (30)+\frac{G m^{2}}{3 l^{2}} \cos \left(30^{\circ}\right)$ $=\frac{G m^{2}}{3 l^{2}} \sqrt{3}=\frac{G m^{2}}{\sqrt{3} l^{2}}$.

द्रव्यमान $M$ द्वारा उत्पन्न बल $\mathrm{D}$ पर

$=\frac{G m^{2}}{4 l^{2}}$.

$\therefore$ कुल बल $=\frac{G m^{2}}{l^{2}}\left[1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\right]$.

8.36 (क) $r=\left(\frac{G M T^{2}}{4 \pi^{2}}\right)^{1 / 3}$

$$ \begin{aligned} \therefore h & =\frac{G M T^{2}}{4 \pi^{2}}{ }^{1 / 3}-R \ & =4.23 \times 10^{7}-6.4 \times 10^{6} \ & =3.59 \times 10^{7} \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

(ख) $\theta=\cos ^{-1} \frac{R}{R+h}$

$$ \begin{aligned} & =\cos ^{-1} \frac{1}{1+h / r} \ & =\cos ^{-1} \frac{1}{1+5.61} \end{aligned} $$

$$ =81^{\circ} 18^{\prime} $$

$\therefore 2 \theta=162^{\circ} 36^{\prime}$

$\frac{360^{\circ}}{2 \theta} \approx 2.21$; इसलिए न्यूनतम संख्या $=3$।

8.37 कोणीय संवेदनी और क्षेत्रीय वेग सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की मार्गमानता से निरंतर होते हैं।

पेरिगी में $r_{p}^{2} \omega_{p}=r_{a}^{2} \omega_{a}$ अपोगी में।

यदि ’ $a$ ’ पृथ्वी की मार्गमान की अर्ध महाकाशी है, तो $r_{p}=a(1-e)$ और $r_{a}=a(1+e)$।

$\therefore \frac{\omega_{p}}{\omega_{\mathrm{a}}}=\left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{2}, e=0.0167$

$\therefore \frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\omega_{\mathrm{a}}}=1.0691$

$\omega$ एक कोणीय वेग है जो $\omega_{\mathrm{p}}$ और $\omega_{\mathrm{a}}$ की ज्यामिति औसत है और माध्यमिक सौर दिवस के संबद्ध होता है,

$\therefore\left(\frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\omega}\right)\left(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{a}}}\right)=1.0691$

$\therefore \frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\omega}=\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{a}}}=1.034$।

यदि $\omega$ को $1^{\circ}$ प्रतिदिन का तेजी से उपसंहार किया जाता है (औसत कोणीय गति), तो

$\omega_{\mathrm{p}}=1.034$ प्रतिदिन और $\omega_{\mathrm{a}}=0.967$ प्रतिदिन। क्योंकि $361^{\circ}=14 \mathrm{hrs}$: माध्यमिक सौर दिवस, हमें 361.034 प्राप्त होता है जो $24 \mathrm{hrs} 8.14$ " (8.1" लंबा) के बराबर है और $360.967^{\circ}$ $23 \mathrm{hrs} 59 \mathrm{~min} 52^{\prime \prime}$ (7.9" छोटा) के बराबर होता है।

यह साल के दौरान दिन की लंबाई के वास्तविक परिवर्तन का व्याख्यान नहीं करता है।

8.38 $\quad r_{a}=a(1+e)=6 R$

$r_{p}=a(1-e)=2 R \quad \Rightarrow e=\frac{1}{2}$

कोणीय संवेदनी का संरक्षण:

पेरिगी में कोणीय संवेदनी $=$ अपोगी में कोणीय संवेदनी

$\therefore m v_{p} r_{p}=m v_{a} r_{a}$

$\therefore \frac{v_{a}}{v_{p}}=\frac{1}{3}$।

ऊर्जा का संरक्षण:

पेरिगी में ऊर्जा $=$ अपोगी में ऊर्जा

$\frac{1}{2} m v_{p}^{2}-\frac{G M m}{r_{p}}=\frac{1}{2} m v_{a}^{2}-\frac{G M m}{r_{a}}$

$\therefore v_{p}^{2}\left(1-\frac{1}{9}\right)=-2 G M\left[\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{p}}\right]=2 G M\left[\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{p}}\right]$

वीपी =

$ v_p = \frac{{2 G M \left[\frac{1}{r_p} - \frac{1}{r_a}\right]^{1 / 2}}}{{\left[1 - \left( \frac{v_a}{v_p} \right)\right]^{2}}} = \left[\frac{{\frac{2 G M}{R}\left[\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right]}}{{\left(1 - \frac{1}{9}\right)}}\right]^{1 / 2}$

$ = \left(\frac{2 / 3}{8 / 9} \frac{G M}{R}\right)^{1 / 2} = \sqrt{\frac{3}{4} \frac{G M}{R}} = 6.85 \mathrm{~किमी / सेकंड}$

वीपी = $6.85 \mathrm{~किमी / सेकंड} \quad , वीए = 2.28 \mathrm{~किमी / सेकंड}$

$r = 6 R$ के लिए, $v_c = \sqrt{\frac{G M}{6 R}} = 3.23 \mathrm{~किमी / सेकंड}$

इसलिए, ऐपोजी में एक सर्कुलर आकारण के लिए सतर्क जहाज से वेग को बढ़ाने के लिए हमें वेग को $\Delta = (3.23 - 2.28) = 0.95 \mathrm{~किमी / सेकंड}$ से उचित तरीके से आग चलानी होगी।