अध्याय 7

तत्वों का प्रणाली और घूर्णस्थान

MCQ I

7.1 निम्नलिखित में से कौन से तत्व की केंद्र बाहरी क्षेत्र में स्थित होती है?

(a) एक पेंसिल

(b) एक शॉटपुट

(c) एक पासा

(d) एक चूड़ी

7.2 तस्वीर 7.1 में दिखाए गए प्रणाली के केंद्र के संभावित स्थान में से कौन सा स्थान सही है?

(a) $\mathrm{A}$

(b) $\mathrm{B}$

(c) $\mathrm{C}$

(d) $\mathrm{D}$

7.3 एक भार $m$ वाला कण $y z$-मंच में संयुक्त वेग $v$ के साथ चल रहा है और इसका चलने का मार्ग +ve $y$-धुरी के समानांतर है और वह $z$-धुरी में $z=a$ पर सक्षम होता है (तस्वीर 7.2)। यदि यह एक किनारे पर संक्रमण करता है जो निर्देशांक $y=$ स्थानान्तर में परत है, तो कार्यों का कोणीय मोमेंटम में बदलाव होगा:

(a) $m v a \hat{\mathbf{e}}_{x}$

(b) $2 m v a \hat{\mathbf{e}}_{x}$

(c) $y m v \hat{\mathbf{e}}_{x}$

(d) $2 y m v \hat{\mathbf{e}}_{x}$

7.4 जब एक डिस्क समांतराधारित गति के साथ घूरता है, तो निम्नलिखित में से कौन सच नहीं है?

(a) घूरण का संवेदन वही रहता है।

(b) घूरण के धुरी का संपोर्ण आदेश वही रहता है।

(c) घूरण की गति गैर-शून्य है और वही रहती है।

(d) घूरण का कोणीय तीव्रता गैर-शून्य है और वही रहती है।

7.5 एक समान पुंज से युक्त वर्गाकार प्लेट का एक छोटा टुकड़ा $Q$ हटाया जाता है और प्लेट के केंद्र में चिपकाया जाता है, जिससे पीछे एक छेद छोड़ दिया जाता है (तस्वीर 7.3)। तत्वागत मोमेंट कार्यक्षमता $\mathrm{z-}$ धुरी के बारे में होगा

तस्वीर 7.3

(a) बढ़ जाती है

(b) कम होती है

(c) वही होती है

(d) अपूर्वित ढंग से बदल जाती है।

7.6 समस्या 7.5 में, प्लेट का केंद्रांक I

(b) II

(c) III

(d) IV

7.7 एक अविजेंद्रीय छड़ी का घनत्व $\rho(x)=a\left(1+b x^{2}\right)$ दिया गया है

जहां $\mathrm{a}$ और $\mathrm{b}$ धारक हैं और $o \leq x \leq 1$।

छड़ी का केंद्रांक छड़ी धुरी पर होगा

(a) $\frac{3(2+b)}{4(3+b)}$

(b) $\frac{4(2+b)}{3(3+b)}$

(c) $\frac{3(3+b)}{4(2+b)}$

(d) $\frac{4(3+b)}{3(2+b)}$

7.8 एक मेरी-गो-राउंड, जिसमें एक छेदों वाला प्लेटफ़ॉर्म होता है जिसका त्रिज्या $\mathrm{R}$ और भार $\mathrm{M}$ होता है, धायान से घूर रहा है। इस पर एक व्यक्ति $\mathrm{M}$ का भार है। एक क्षण में, व्यक्ति वृत्त से बाहर, रेडियल रूप से उसकी देखभाल की जाती है (गोलाकार के रूप में देखा जाए)। वृत्त की गति इसके बाद

(a) २ $\omega$

(b) $\omega$

(c) $\frac{\omega}{2}$

(d) 0

MCQ II

7.9 सही विकल्प चुनें:

what is the hi version of content: (a) For a general rotational motion, angular momentum $\mathbf{L}$ and angular velocity $\boldsymbol{\omega}$ need not be parallel.

(b) For a rotational motion about a fixed axis, angular momentum $\mathbf{L}$ and angular velocity $\boldsymbol{\omega}$ are always parallel.

(c) For a general translational motion, momentum $\mathbf{p}$ and velocity $\mathbf{v}$ are always parallel.

(d) For a general translational motion, acceleration a and velocity $\mathbf{v}$ are always parallel.

7.10 Figure 7.4 shows two identical particles 1 and 2, each of mass $m$, moving in opposite directions with same speed $\mathbf{v}$ along parallel lines. At a particular instant, $\mathbf{r_1}$ and $\mathbf{r_2}$ are their respective position vectors drawn from point $A$ which is in the plane of the parallel lines . Choose the correct options:

Fig. 7.4

(a) Angular momentum $\boldsymbol{l_1}$ of particle 1 about $\mathrm{A}$ is $\boldsymbol{l_1}=\operatorname{mvd}_{1}$

(b) Angular momentum $\boldsymbol{l_2}$ of particle 2 about $\mathrm{A}$ is $\boldsymbol{l_2}=\mathbf{m v r}_{2}$

(c) Total angular momentum of the system about A is $\boldsymbol{l}=m v\left(\boldsymbol{r_1}+\boldsymbol{r_2}\right)$

(d) Total angular momentum of the system about A is $\boldsymbol{l}=m v\left(d_{2}-d_{1}\right) \otimes$

represents a unit vector coming out of the page.

$\otimes$ represents a unit vector going into the page.

7.11 The net external torque on a system of particles about an axis is zero. Which of the following are compatible with it?

(a) The forces may be acting radially from a point on the axis.

(b) The forces may be acting on the axis of rotation.

(c) The forces may be acting parallel to the axis of rotation.

(d) The torque caused by some forces may be equal and opposite to that caused by other forces.

System of Particles and Rotational Motion

7.12 Figure 7.5 shows a lamina in $x-y$ plane. Two axes $z$ and $z^{\prime}$ pass perpendicular to its plane. A force $\mathbf{F}$ acts in the plane of lamina at point $\mathrm{P}$ as shown. Which of the following are true? (The point $\mathrm{P}$ is closer to $Z^{\prime}$-axis than the $\mathrm{z}$-axis.)

Fig. 7.5

(a) Torque $\tau$ caused by $\mathbf{F}$ about $z$ axis is along $-\hat{\mathbf{k}}$.

(b) Torque $\tau^{\prime}$ caused by $\mathbf{F}$ about $z^{\prime}$ axis is along $-\hat{\mathbf{k}}$.

(c) Torque $\tau$ caused by $\mathbf{F}$ about $z$ axis is greater in magnitude than that about $\mathrm{z}$ axis.

(d) Total torque is given be $\tau=\tau+\tau^{\prime}$.

7.13 With reference to Fig. 7.6 of a cube of edge $a$ and mass $m$, state whether the following are true or false. ( $\mathrm{O}$ is the centre of the cube.)

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है:

चित्र. 7.6

(अ) क्यूब के $z$-धुरी का इंट्रशिया क्या है $I_{z} = I_{x} + I_{y}$

(ब) क्यूब के $z^{\prime}$ धुरी का इंट्रशिया है

$$ I_{z}^{\prime} = I_{z} + \frac{m a^{2}}{2} $$

(स) क्यूब के $z^{\prime \prime}$ धुरी का इंट्रशिया है

$$ = I_{z} + \frac{m a^{2}}{2} $$

(ड) $I_{x} = I_{y}$

VSA

7.14 जब हम धरती पर एक वस्तु का केंद्र भार उसके केंद्र में मिलता है, तो यह ‘छोटी’ वस्तु के लिए सत्य होता है जबकि एक ‘विस्तारित’ वस्तु के लिए ऐसा नहीं हो सकता है। इस संबंध में ‘छोटी’ और ‘विस्तारित’ का गुणात्मक अर्थ क्या होता है?

निम्नलिखित में से किसके लिए दोनों एक साथ मिलते हैं? एक इमारत, एक तालाब, एक झील, एक पहाड़?

7.15 एक ठोस गोला एक होमहन के अक्ष के माध्यम से सामान्यतः सिक्योरिटी से कम अनुभव करता है जबकि एक खोखला सिलिंडर होमहन के अक्ष के माध्यम से अपने उच्चभूमि है। इसका कारण क्या है?

7.16 वक्री रूपी रद्धबद्ध देह के ऊपर एक बिन्दु के कोणीय स्थिति $\theta$, समय $t$ के साथ बदलती है, जैसा कि चित्र 7.7 में दिखाया गया है। क्या शरीर घड़ी के नियमानुसार घूम रहा है या उल्टी समय की दिशा में?

चित्र. 7.7

7.17 एक समाना भार क्यूब मान $m$ और पक्ष $a$ के लिए एक घर्षणहीन सामरिक मैदान पर रखा जाता है। बिन्दु $A$ पर फोर्स $\boldsymbol{F}$ लगाया जाता है जैसा कि चित्र 7.8 में दिखाया गया है।

चित्र. 7.8

निम्न में से सहीयता को मिलान कीजिए (सबसे उपयुक्त विकल्प को जोड़ी):

7.18 एक समान पृष्ठवर्ताकार का भार $m$ और त्रिज्या $R$ पर एक कच्चे समतल में रखा जाता है (चित्र 7.9)। स्प्यर ऊँचाई $h$ से सड़क पर यात्री कराया जाता है। निम्नलिखित को मिलाकर देखें:

चित्र. 7.9

| (सी) $h=\frac{3R}{2}$ | (iii) गोला सांवेदनिक वायरलकीय घूमता है, घर्षण के कारण ऊर्जा हार देता है। | | (डी) $h=\frac{7R}{5}$ | (iv) गोला केवल एक स्थानीय गति होता है, घर्षण के कारण ऊर्जा हार देता है। |

7.19 एक कठिन शरीर पर कार्यरत एक सिस्टम के कईट व होंरतगों का वेक्टर योग अनूचित नहीं है। यदि कोई बिंदु कोण के वज्रीयों का वेक्टर योग सिस्टम के कार्यरत जबतक सिस्टम के बारे में व्यक्तिगत बिंदु के बारे में zero मिलता है, तो क्या इसका यह मतलब होता है कि इस बारे में इसे आवश्यकतानुसार zero ही होगा?

7.20 एक पांचतंतु के एक्सिस पर आत्म संतुलन में चलने वाला एक पहिया मेकेनिकल ( सरलाचारी + घूर्णावर्ती ) संतुलन में है क्योंकि उसे संचालित रखने के लिए कोई भी समर्थन बाहिय बल या वज्री आवश्यक नहीं है। हालांकि, पहिये का प्रतिष्ठान घोलन मध्य के पक्ष में एक केन्द्रीय प्रारंभाकार के लिए पच्चीमुद्री त्वरण प्राप्त करता है। आप इस तथ्य को पहिये के संतुलन के साथ कैसे सुलझाते हैं?

क्या आप पहिये को एक पहिये के संचार के लिए सुथर गति में ला सकते हैं जो पहिये के केंद्रीय के बीच से होती है और तरंगवाला होता है? क्या बाहिय बल संचालन के लिए आवश्यक होंगे?

7.21 दरवाजा एक सिरे पर जिसमें कप्रागर्भण की जा सकती है व कुंडली धुमकार आधार पर घूमने की अनुमति है में बाध्य रखा जाता है। क्या इसके द्वारा कोई वज्री इस धुरी के लिए कुछ टर्क करता है? आपका उत्तर कारण के साथ दें।

7.22 (n-1)$ मात्र के समान बिंदु मास वाले न पोलीगन के बींघरी n पट्टियों पर रखे गए हैं। खाली बिंदु बींघरी के केंद्र के साथ स्थितिवेक्टर a के बारे में अधिलेख से रचनाएं अढाईयों के सामर्थ्य क्या हैं?

LA

7.23 एक समान दबाव (a) आधा-वृत्त (b) चौथाई वृत्त का केंद्र भार में खोजें।

7.24 दो पट्टियों का पलम घुमाव के मोमेंट $I_{1}$ और $I_{2}$ ( पट्टी से सेंटर और मांग से नार्मल ) और घुमाव की गति $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ के साथ अपने जुर्री धमकिया नार्मल वे फेस से संपर्क रखते हैं।

(a) क्या घुमाव के लव आवह के साथ संरक्षण का अनुकरण जारी होता है? कारण क्या है?

(b) 2-पट्टी सिस्टम की घुमाव की गति खोजें।

(c) सिस्टम की संख्याओं की किनेटिक ऊर्जा का हानि गणना करें।

(d) इस हानि का उपरोक्त कारण दें।

7.25 $R$ त्रिज्या वाले पट्टि एक क्षैतिज धुमकार चालू है। किनेटिक घटने बहुतायता $\mu_{k}$ है।

(a) यह क्षैतिज मात्री का केंद्र उद्घाटन से पहले का वेग क्या था?

(b) एक अंग का लघुस्थान किया गया जब इसे क्षैतिज से संपर्क में लाया गया।

(c) क्षैतिज संपर्क में जब दिसा के केंद्र की गति क्या होती है?

(d यह प्रभाव का जिम्मेदार कौन होता है।

(e) रोलिंग शुरू होने के लिए कौन सी स्थिति का पालन किया जाना चाहिए?

(f) रोलिंग शुरू होने के लिए लगाये जाने वाले समय की गणना करें।

७.२६ तीन आर $\left(R\right)$ और $2 R$ चिकनाई से बनी, उनकी एक चौड़ाई की सामान्य ऊचाई $h$ और एक हाइट लंबी रेत्यइ होती हैं जिनकी वायरलोड घुम रही हैं $\omega$ (दायां-गिनतगिनाई) और $\omega$ (बायां-गिनतगिनाई) होती हैं। इनके एक्सीस जो नियमित रूप से न्यायित हैं सामतल में और अंतरित किए जाते हैं $(3 R+\delta)$। अब वे संपर्क में लाए जाते हैं $(\delta \rightarrow 0)$।

(a) दिखाओ संपर्क के बाद के घर्षणीय बल।

(b) संपर्क के बाद प्रणाली के बाहरी बल और टॉर्क।

(c) जब घर्षण रुकता है, तो अंतिम घूर्णकालीय वेगों का अनुपात क्या होगा?

7.19 संख्या दी गई नहीं $\sum_{i} \mathbf{F}_{i} \neq 0$

किसी निश्चित बिंदु ‘0’ के चारों ओर टॉर्क की योग है

$\sum_i \mathbf{r_i} \times \mathbf{F_i}=0$

किसी अन्य बिंदु $\mathrm{O}^{\prime}$ के चारों ओर टॉर्क की योग है,

$\sum_i(\mathbf{r_i}-\mathbf{a}) \times \mathbf{F_i}=\sum_i \mathbf{r_i} \times \mathbf{F_i}-\mathbf{a} \times \sum_i F_i$

यहां, दूसरा शब्द गायब नहीं होना चाहिए।

7.20 एक पहिये में केंद्रीय त्वरण कुछ विभाजनीय इलास्टिक बलों के कारण उत्पन्न होता है जो एक-दूसरे को रद्द करते हैं; वे एक सममितीय प्रणाली का हिस्सा होते हैं।

आधे पहिये में इसके केंद्रीय भार का वितरण (घुमाने की धुरी के चारों ओर) सममितीय नहीं है। इसलिए, आँगुलर मानवीय की दिशा आँगुलर वेग के साथ मेल नहीं खाती और इसलिए घूर्णन को बनाए रखने के लिए एक बाहरी टॉर्क की आवश्यकता होती है।

7.21 नहीं, एक बल केवल अपने आप के नियमित एक दिशा पर ही टॉर्क उत्पन्न कर सकता है जैसे $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r} \times \mathbf{f}$। इसलिए, जब दरवाजा $xy$-सतह में होता है, तो भौतिकी द्वारा उत्पन्न टॉर्क केवल $\pm \boldsymbol{Z}$ दिशा में हो सकता है, कभी नहीं $y$ दिशा से गुजरने वाले एक धुरी के माध्यम से।

7.22 चमत्कारशील्द: सी.एम. बी ‘b’ हो, तो $\frac{(n-1) m b+m a}{m n}=0 \Rightarrow b=-\frac{1}{n-1} a$

7.23 (क) सतह घनत्व $\sigma=\frac{2 M}{\pi a^{2}}$

$$ \bar{x}=\frac{\int x d m}{\int d m}=\int_{r=0}^{a} \int_{\theta=0}^{\pi} r \cos \theta \sigma r d r d \theta=\int_{r=0}^{a} \int_{\theta=0}^{\pi} \sigma r d r d \theta $$

$$ =\frac{\int_0^a r^2 d r \sin \theta|x_0}{\int_0^a r d r \int_0^{\pi} d \theta}=0 $$

$\bar{y}=\frac{\int y d m}{\int d m}=\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{a} r \sin \theta \sigma r d r d \theta \int_{r=0}^{a} \int_{\theta=0}^{\pi} \sigma r d r d \theta$

$=\frac{\int_{0}^{a} r^{2} d r \int_{\theta=0}^{\pi} \sin \theta d \theta}{\int_{0}^{a} r d r \int_{0}^{\pi} d \theta}=\frac{a^{3}}{3} \frac{[-\cos \theta]_{0}^{\pi}}{\left(a^{2} / 2\right) \pi}=\frac{a}{3} \frac{4}{\pi}=\frac{4 a}{3 \pi}$.

(ब) (अ) की तरही, इसकी प्रक्रिया, केवल $\theta$ 0 से $\pi / 2$ तक जाती है और

$$ \sigma=\frac{4 M}{\pi a^{2}} $$

7.24 (क) हाँ, क्योंकि प्रणाली पर कोई बाह्य कुछल टॉर्क नहीं है। बाह्य बल, गुरुत्वाकर्षण और सामान्य प्रतिक्रिया, घुमाने की धुरी के माध्यम से कार्रवाई करते हैं, इसलिए कोई टॉर्क उत्पन्न नहीं करते।

(ख) ऐंगुलर मानवीय संवर्धन के द्वारा

$$ \begin{aligned} & I \omega=I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2} \ & \therefore \omega=\frac{I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2}}{I_{1}+I_{2}} \end{aligned} $$

(ग) $K_{f}=\frac{1}{2}\left(I_{1}+I_{2}\right) \frac{\left(I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2}\right)^{2}}{\left(I_{1}+I_{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2} \frac{\left(I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2}\right)^{2}}{I_{1}+I_{2}}$

$$ \begin{aligned} & K_{i}=\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right) \ & \Delta K=K_{f}-K_{i}=-\frac{I_{1} I_{2}}{2\left(I_{1}+I_{2}\right)}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{2} \end{aligned} $$

(घ) किंचन ऊर्जा की हानि दो डिस्क के बीच के घर्षण के खिलाफ होती है।

7.25

(a) शून्य (b) कम होता है (c) बढ़ता है (d) घर्षण (e) $v_{c m}=R \omega$।

(f) घर्षण के केंद्र के माध्यम से उत्पन्न त्वरण: $$ a_{c m}=\frac{F}{m}=\frac{\mu_{k} m g}{m}=\mu_{k} g $$

घर्षण के कारण टॉर्क द्वारा उत्पन्न कोणीय त्वरण, $$ \begin{aligned} & \alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{\mu_{k} m g R}{I} \ & \therefore v_{c m}=u_{c m}+a_{c m} t \Rightarrow v_{c m}=\mu_{k} g t \ & \text { और } \omega=\omega_{o}+\alpha t \Rightarrow \omega=\omega_{o}-\frac{\mu_{k} m g R}{I} t \end{aligned} $$

स्थिरता के बिना चलने के लिए,

$$ \begin{aligned} & \frac{v_{c m}}{R}=\omega_{o}-\frac{\mu_{K} m g R}{I} t \ & \frac{\mu_{K} g t}{R}=\omega_{O}-\frac{\mu_{K} m g R}{I} t \end{aligned} $$

$$ t=\frac{R \omega_{o}}{\mu_{k} g\left(1+\frac{m R^{2}}{I}\right)} $$

7.26
(a)

$\mathbf{F} \uparrow$ बाएं ड्रम पर बल (ऊपर)

$\mathbf{F} \downarrow$ दाएं ड्रम पर बल (नीचे) (b) $\quad F^{\prime}=F=F^{\prime \prime}$ जहां $F$ और $F^{\prime \prime}$ सहारा के माध्यम से बाह्य बल हैं। $\mathrm{F}_{\text {net }}=0$

बाह्य घुमावधनी $=F \times 3 R$, घूर्णाकारी.

(c) चालकता अंतिम कोणीय वेग होगा (घूँघराला और उल्टा करने वाला),

अंतिम रूप में कोई घर्षण नहीं होगी।

इसलिए, $R \omega_{1}=2 R \omega_{2} \Rightarrow \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=2$

7.27 (i) वर्ग का क्षेत्र $=$ आयत क्षेत्र $\Rightarrow c^{2}=a b$

$$ \frac{I_{x R}}{I_{x S}} \times \frac{I_{y R}}{I_{y S}}=\frac{b^{2}}{c^{2}} \times \frac{a^{2}}{c^{2}}=\left(\frac{a b}{c^{2}}\right)^{2}=1 $$

(i) और (ii) $\quad \frac{I_{y R}}{I_{y S}}>\frac{I_{x R}}{I_{x S}} \Rightarrow \frac{I_{y R}}{I_{y S}}>1$ और $\frac{I_{x R}}{I_{x S}}<1$.

(iii)

$$ \begin{aligned} & I_{z r}-I_{Z S} \propto\left(a^{2}+b^{2}-2 c^{2}\right) \ & =a^{2}+b^{2}-2 a b>0 \ \therefore & \left(I_{z R}-I_{z S}\right)>0 \ \therefore & \frac{I_{z R}}{I_{z S}}>1 . \end{aligned} $$

7.28 डिस्क के केंद्रीय भार का त्वरण ’ $a$ ’ हो, तो

$M a=F-f$

डिस्क का कोणीय त्वरण $\alpha=a / R$ होता है। (अगर स्थानांतरण नहीं होता है)।

तो

$$ \begin{align*} & \left(\frac{1}{2} M R^{2}\right) \alpha=R f \tag{2}\ & \Rightarrow M a=2 f \end{align*} $$

इसलिए, $f=F / 3$। स्थानांतरण नहीं होने के कारण,

$\Rightarrow f \leq \mu m g$

$\Rightarrow F \leq 3 \mu M g$।