अध्याय 4

एक तल में गति

MCQ I

4.1 $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{j}}$ और $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{i}} - \hat{\mathbf{j}}$ के बीच का कोण है

(a) $45^{\circ}$

(b) $90^{\circ}$

(c) $-45^{\circ}$

(d) $180^{\circ}$

4.2 निम्नलिखित में से कौन सत्य है?

(a) एक स्केलर मात्रीय मान एक प्रक्रिया में संरक्षित होता है।

(b) एक स्केलर मात्रीय मान कभी भी नकारात्मक मान नहीं ले सकता है।

(c) एक स्केलर मात्रीय मान विभिन्न स्थानों पर स्थान से बदलता नहीं है।

(d) एक स्केलर मात्रीय मान की वैग्य स्थिति वाले दर्शकों के लिए समान मान होता है।

4.3 चित्र 4.1 में $X Y$ सामतल में दो वेक्टर $\mathbf{u}$ और $\mathbf{v}$ का आकार दिखाया गया है।

$$ \begin{aligned} \text{अगर } \mathbf{u} & = a \hat{\mathbf{i}} + b \hat{\mathbf{j}} \text{ और }\ \qquad \mathbf{v} & = p \hat{\mathbf{i}} + q \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $$

चित्र 4.1 उसमे से निम्नलिखित में से कौन सही है?

(a) $a$ और $p$ दोनों सकारात्मक हैं जबकि $b$ और $q$ नकारात्मक हैं।

(b) $a, p$ और $b$ सकारात्मक हैं जबकि $q$ नकारात्मक है।

(c) $a, q$ और $b$ सकारात्मक हैं जबकि $p$ नकारात्मक है।

(d) $a, b, p$ और $q$ सभी सकारात्मक हैं।

4.4 एक वेक्टर $\mathbf{r}$ का $X$-अक्ष के समानांतर घटक का अधिकतम मान होगा अगर

(a) $\mathbf{r}$ सकारात्मक $Y$-अक्ष के साथ हो

(b) $\mathbf{r}$ सकारात्मक $X$-अक्ष के साथ हो

(c) $\mathbf{r}$ औसतन मान $45^{\circ}$ के साथ हो

(d) $\mathbf{r}$ नकारात्मक $Y$-अक्ष के साथ हो

4.5 $15^{\circ}$ के कोण पर एक पराक्रमी निकालने पर यही पराक्रम का क्षैतिज अंतर $50 \mathrm{~m}$ है। यदि यही गति $45^{\circ}$ के कोण पर निकाली जाए, तो इसका अंतर होगा।

(a) $60 \mathrm{~m}$

(b) $71 \mathrm{~m}$

(c) $100 \mathrm{~m}$

(d) $141 \mathrm{~m}$

4.6 माप, शक्ति, ऊर्जा, संक्रमण, गुरुत्वाकर्षणीय संभावना, विद्युत आवेश, तापमान, क्षेत्र की मात्राएँ यदि इनमें से, वेक्टर मात्राएँ केवल कौन सी होती हैं?

(a) संक्रमण, दबाव और क्षेत्र

(b) संक्रमण और क्षेत्र

(c) क्षेत्र और गुरुत्वाकर्षणीय संभावना

(d) संक्रमण और दबाव

4.7 एक द्विआयामी गति में, प्रत्यक्ष गति $v_{0}$ एक सकारात्मक स्थायी है। तो निम्नलिखित में से कौन-से निश्चित रूप से सत्य हैं?

(a) औसत वेग कभी भी शून्य नहीं होता है।

(b) औसत त्वरण हमेशा शून्य होना चाहिए।

(c) एक समान समय अंतराल में स्थानांतर बराबर होते हैं।

(d) समान दूरी को रेखांकन किए जाते हैं।

4.8 एक द्विआयामी गति में, प्रत्यक्ष गति $v_{0}$ एक सकारात्मक स्थायी है। तो निम्नलिखित में से कौन-से निश्चित रूप से सत्य हैं?

(a) तत्व का त्वरण शून्य है।

(b) तत्व का त्वरण सीमित होता है।

(c) तत्व का त्वरण आवश्यक रूप से गति के समतल में होता है।

(d) चिन्ह एक यूनिफार्म सर्कुलर गति में होना चाहिए।

वस्तुनिष्ट विचार के ही समर्थन में निम्नलिखित विद्युतचुम्बकीय ऻक्रोचक कोईडाई का कोईडाई तत्व कुछ सही है: (a) चुम्बकीय ञे तीव्रता (गति) की मात्रा निरंतर बनी रहती है। (b) चुम्बकीय ञे निरंतर बीहड़ता त्रिज्या ऑंगण धारित रहता है। (c) त्वरण दिशा चलते हुए वस्तु की परिवर्तित रहती है। (d) कोणीय पलमोड परिमाण में स्थिर होता है, लेकिन दिशा बदलती है।

4.15 दो वेक्टर $A$ और $B$ के लिए, $|A + B| = |A - B|$ हमेशा सत्य होता है जब

(a) $|A| = |B| \neq 0$

(b) $A \perp B$

(c) $|A| = B \neq 0$ और $A$ और $B$ समान-दीर्घाओं में स्थित होते हैं या विलोम-दीर्घाओं में होते हैं

(d) जब या तो $|A|$ या $|B|$ शून्य होता है।

VSA

4.16 एक साइकिलिस्ट एक वृत्ताकार पार्क के केंद्र $O$ से शुरू होता है, जिसकी त्रिज्या $1 \mathrm{~कि.}$ है और पथ $OPRQO$ के साथ आगे बढ़ता है, जैसा कि चित्र 4.3 में दिखाया गया है। अगर वह स्थिर गति $10 \mathrm{~मी/से\textsuperscript{-2}}$ बनाए रखता है, तो बिंदु $\mathrm{R}$ पर उसकी निखरता कितनी होगी और दिशामान में रहेगी?

चित्र 4.3

4.17 एक कण आकाश में एक कुछ कोण पर निकाल दिया जाता है, जिसमें यात्रा को यथायोग्य बताने वाली हेतु झुलसना दिखाया गया है। यहां $x$ और $y$ आकारशोधन और लंबवत दिशाओं की संकेत करते हैं, क्रमशः। बिंदु $A, B$ और $C$ पर वेग और त्वरण की दिशा दिखाएँ।

चित्र 4.4

4.18 एक गेहरे छत से एक गोला $45^{\circ}$ कोण के साथ ऊपरी गति से फेंका जाता है। यह कुछ सेकंडों बाद धरती पर गिरता है। इसके संक्रमण के दौरान, गोले की किस बिंदु पर

(a) सबसे अधिक गति होती है।

(b) सबसे कम गति होती है।

(c) सबसे बड़ी त्वरण होती है?

स्पष्ट कीजिए

4.19 एक फुटबॉल सीधे ऊपर की ओर मारा जाता है। उसका

(a) त्वरण, और (b) सर्वोच्च बिंदु पर वेग क्या होता है?

4.20 $A, B$ और $C$ तीन गैर-रेखांकीय, गैर समतल वेक्टर हैं। $\mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ की दिशा के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

SA

4.21 एक लड़का जो एक स्तरीकृत सड़क पर चल रही एक खुली कार में सफर कर रहा है, एक गेंद को ऊपरी दिशा में चोटियों में फेंकता है और उसे वापस पकड़ता है। एक दृश्यशास्त्री विषयक कागज द्वारा आपके अभिमुख लड़के द्वारा देखे गए गेंद की गति का चित्रण करें। अपने चित्रण को समर्थन करने के लिए व्याख्या दें।

4.22 एक लड़का एक सड़क पर एक गेंद को बारीकी से $60^{\circ}$ कोण के साथ आकाश में फेंकता है। दूसरा लड़का, जो गाड़ी में बैठा है, गेंद को देखता है। अगर गाड़ी की गति $(18 \mathrm{~कि.~/घंटा})$ होती है, तो लड़के द्वारा देखे गए गेंद की गति का चित्रण करें। अपने चित्रण को समर्थन करने के लिए व्याख्यान दें।

4.23 वायु में प्रक्षेप की गतिविधि को बसाते समय, हम चाल से उपयोग प्रभाव को अनदेखा करते हैं। इसके परिणामस्वरूप, हम पराबोलीरूपी वायुमार्ग को प्राप्त करते हैं जैसा कि आपने अध्ययन किया है। वायु प्रतिरोध को भी शामिल करने पर वायुमार्ग कैसा दिखेगा? इस प्रकार का वायुमार्ग चित्रण करें और व्याख्या करें कि आपने उसे इस प्रकार क्यों बनाया है।

4.24 एक लड़ाई विमान $1.5 \mathrm{~कि.}$ ऊंचाई पर गति $720 \mathrm{~कि.~/घंटा}$ के साथ सीधे ऊपर उड़ रहा है। लक्ष्य को देखने पर (संचुक्त दृष्टि के साथ) यदि निशानी किया जाए, तो पायलट निशानी किस संकेत के लिए धार में डालि जाएगी?

विषय: 4.25 (a) पृथ्वी को एक $6400 \mathrm{~km}$ के त्रिज्या वाले गोला के रूप में सोचा जा सकता है। किसी वस्तु (या व्यक्ति) को पृथ्वी की प्रतियांत्रिता के कारण पृथ्वी के अक्ष के चारों ओर वृत्तीय गति करते हुए मानवमता होती है (आवधि 1 दिन)। पृथ्वी की सतह पर (क्षेत्रवृत्त) वस्तु की त्वरण क्या होती है? इसे अक्षांश $\theta$ पर क्या होता है? ये त्वरण $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ के साथ कैसे तुलना करते हैं?

(b) पृथ्वी वार्षिक कार्याक्रम के अनुसार सूरज के चारों ओर एकवर्ती में गोलीय गति से चलती है जो $1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$ की कक्षीय त्रिज्या वाली होती है। सूरज के केंद्र की ओर पृथ्वी की त्वरण क्या होती है (या पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु की)? यह त्वरण $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ के साथ कैसे तुलना करती है?

$\left(\right.$ सूचना : त्वरण $\left.\frac{V^{2}}{R}=\frac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}\right)$

4.26 नीचे दिए गए प्रतिसंयोजना स्तम्भ I में वेक्टर $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ के बीच के संबंध हैं और स्तंभ II में $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ के XY समतल में दिशाओं का प्रदर्शन किया गया है। स्तम्भ I में संबंध को सही दिशाओं के साथ सामंजस्यित करें और स्तम्भ II में सही दिशाओं को अनुकरण करें।

स्तंभ I	स्तंभ II
(a) $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}$	(i)
(b) $\mathbf{a}-\mathbf{c}=\mathbf{b}$	(ii)
(c) $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{c}$	(iii)
(d) $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$	(iv)

4.27 यदि $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$ है, तो स्तंभ I में संबंध को सही दिशाओं के साथ सामंजस्यित करें और स्तंभ II में कॉलम II में विशंभक $\theta$ के साथ सही संबंध को मिलाएं।

4.28 यदि $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$ है, तो स्तंभ I में संबंध को सही दिशाओं के साथ सामंजस्यित करें और स्तंभ II में कॉलम II में कोण $\theta$ के साथ सही संबंध को मिलाएं।

LA

4.29 एक पहाड़ी ऊँचाई $500,\mathrm{m}$ है। आपूर्ति पहाड़ी के ऊपर से हार्पून की मदद से $125,\mathrm{m/s}$ की गति से भेजी जाएगी। हार्पून एक पहाड़ी के पाड़ की दूरी $800,\mathrm{m}$ की दूरी पर स्थित है और यह भूमि पर $2,\mathrm{m/s}$ की गति से हिला सकता है; इसलिए इसकी दूरी पहाड़ी से समायोजित की जा सकती है। उच्चतम समय क्या है जिसमें हार्पून पहाड़ी के ऊपर से भूमि पर पहुँच सकता है? $g=10,\mathrm{m/s^2}$ लें।

4.30 एक बंदूक किनारे की गड्ढी बहुतायत गति $v_o$ के साथ छोड़ सकती है और जो गर्भ या शेष लाभ यह प्राप्त कर सकता है, वह $R=\frac{v_o^2}{g}$ है।

चित्र 4.5

यदि किसी दूर लक्ष्य $\Delta x$ के साथ (R से पहले) साथ तीरगा मारना हो तो उसे उठाकर भी मारा जा सकता है एक कम से कम ऊँचाई पर

$h=\Delta x\left[1+\frac{\Delta x}{R}\right]$

(संकेत: इस समस्या को दो अलग तरीकों से किया जा सकता है:

(i)आकृति में संदूक किनारे: लक्ष्य $T$ गड्ढी से दूरी $x=R+\Delta x$ पर है और उसके नीचे पहुँचने वाला बिंदु $y=-h$ पर है।

(ii)तुलनात्मकता प्रमाणित करने से आगे लक्ष्य की तरफ प्रस्थान: बिंदु $\mathrm{P}$ में: गति $v_{o}$ एक कोण $\theta$ वाले दूर लक्ष्य के नीचे नीचे और उच्चाई $h$ साथ बिंदु यात्राो और दूरी $\Delta x$ का समान उच्चाई वाली किसी भी तीरगा को प्राप्त किया जा सकता है।)

4.31 एक कण को एक क्षेत्र पर एक कोण $\beta$ के साथ नमूना बनाया जाता है, जो स्वयं को एक कोण $\alpha$ के साथ क्षैतिज (चित्र 4.6) करता है।

(a) सतह पर दूरी का एक अभिव्यक्ति ढूंढ़ें (एक सतह पर नमूना बनाए जाने की दूरी सतह पर नमूना को हिट करेगी)।

(b) उड़ान का समय।

(c) जिस कोण $\beta$ पर दूरी अधिकतम होगी।

चित्र 4.6

(संकेत: इस समस्या को दो अलग तरीकों से हल किया जा सकता है:

(i) बिंदु $\mathrm{P}$ पर, जहां कण सतह पर मारेगा, उसके त्राजेक्टरी (पाराबोला) और सीधी रेखा का क्रमान्वयन होता है, उसे देखा जा सकता है। ध्यान दें कि कण एक कोण $(\alpha+\beta)$ के साथ यात्रा की गई है जहां के साथ नियत्तामादी मापा है।

(ii) हम सतह के साथ $x$-दिशा और सतह के लंबवत निर्देश में $y$-दिशा ले सकते हैं। ऐसे मामले में $\boldsymbol{g}$ (गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेपण) को दो अलग घटकों में विभक्त करें, सतह के साथ $g_x$ और सतह के लंबवत निर्देश के साथ $g_y$। अब समस्या $x$ और $y$ दिशाओं में दो अन्योन्य चलन जैसे समस्याओं के रूप में हल किया जा सकता है, जिनका समय एक सामान्य पैरामीटर के रूप में होता है।)

4.32 एक ऊंचाई से वर्टिकली गिर रहे एक कण को एकत्रित रूप से पुनः प्रभावी ढंग से प्लेन सतह के साथ टकरा जाता है, जो दर्शाता है कि यह कहाँ तीसरी बार टकराएगा।

चित्र 4.7

(संकेत: (इ) पुनर्प्रतिबद्ध होने के बाद, कण को उच्चता की शुरुआत के लिए अभी भी वेग $V_o$ होगा।

(इइ) पटकने के बाद, कण के वेग को आधाररेखा के साथ कौन सा कोण बनाना होगा इसे निर्धारित करें।

(इआइआइ) अन्यों की तरह ही यदि कण ईंटियों के उच्चतान में परियोजित होता है तो यह उसी चित्र में होगा।)**

4.33 एक लड़की जो पश्चिमी दिशा में 5 वर्गश्रेणी की गति से साइकिल चला रही है, वेर्टिकली धरातल पर बारिश गिरती दिखाई देती है। यदि वे अपनी गति को 10 वर्गश्रेणी पर बढ़ाती है, तो वर्टिकली के $45^{\circ}$ के मुताबिक बारिश उनसे मिलती है। बारिश की गति क्या है? एक भूमि पर स्थित देखने वाले अवलोकक के रूप में बारिश किस दिशा में गिरती है?

(संकेत: उत्तरी $\hat{\mathbf{i}}$ दिशा मानने और ऊर्ध्वाधरात्मक बीचतान को $-\hat{\mathbf{j}}$ मानना। बारिश की गति $v_{\mathbf{r}}$ होगी $a \hat{\mathbf{i}}+b \hat{\mathbf{j}}$। बालिका द्वारा देखा जाने वाली बारिश की गति हमेशा $v_{\mathbf{r}}-\mathbf{v}_{\mathrm{girl}}$ होती है। दी गई जानकारी के लिए वैक्टर आरेख डायग्राम $/ \mathrm{s}$ बनाएं और $a$ और $b$ का पता लगाएं। आप सभी वेक्टर भूमि मानक अवलोकक का सन्दर्भ ढांचे में बना सकते हैं।)**

4.34 एक नदी पूर्वी दिशा में तेजी से बह रही है जिसकी गति $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। एक स्विमर शांत जल में $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की गति से तैर सकता है (चित्र 4.8)।

(ए) यदि स्विमर उत्तर दिशा में तैरना शुरू करता है, तो उसकी परिणामी वेग (मात्रा और दिशा) क्या होगी?

(बी) यदि वह दक्षिण किनारे पर बिंदु $ए$ से शुरू करना चाहता है और उत्तर किनारे को छूना चाहता है,

(ए) उसे किस दिशा में तैरना चाहिए?

(बी) उसकी परिणामी गति क्या होगी?

(सी) जैसा कि (ए) और (बी) में उल्लिखित उदाहरणों में दो भिन्न मामलों से, किस मामले में वह छोटे समय में विपरीत किनारे तक पहुंचेगा?**

4.35 क्रिकेट फील्डर गेंद को गति $v_0$ के साथ फेंक सकता है। यदि वह गति $u$ के साथ दिशा $\theta$ के साथ दौड़ता हुआ गेंद कोच करता है, तो निकटस्थ दर्शक द्वारा यह देखा गया गेंद वायु में किस प्रकार कोचीत होता है?

(ए) गेंद ने प्रतिवेक्ष दिखाई देते हुए गति मात्रा के साथी दिशा तक पहुंचेगी।

(बी) उड़ान का समय क्या होगा?

(सी) गेंद के प्रक्षेपण के स्थान से जल्दी उत्पन्न होने वाली दूरी (क्षैतिज दूरी) क्या होगी?

(डी) जैसा कि (सी) में (आईआईआई) में पाया गया है, वह गेंद को फेंकने के लिए $\theta$ क्या होना चाहिए, जिसे (सी) में पाया गया?

(ई) यदि $u>v_{0}, u=v_{0}, u<v_{0}$ हो, तो $थीटा$ शीर्ष के लिए परिवर्तन कैसे होगा?

(एफ) (वी) के लिए थीटा, $(u=0$ यानी $45^{\circ}$ के लिए) के बराबर होगा?

4.36 दो आयामों में गति, एक समतल में कार्टेशियन संयोजनों में स्थान, वेग और त्वरण को संयोजकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}$ जहाँ $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ बारी $x$ और $y$ दिशाओं का यूनिट वेक्टर हैं, और $A_{x}$ और $A_{y}$ $\mathbf{A}$ के संबंधित घटक हैं (चित्र 4.9)। गति को वृत्ताकार ध्रुवीय संयोजनों में संयोजकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\mathbf{A}=A_{r} \hat{\mathbf{r}}+A_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}$ जहाँ $\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}}$ और $\hat{\theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \hat{\mathbf{j}}$ एकता वेक्टर हैं जो ’ $r$ ’ और ’ $\theta$ ’ में बढ़ रहे हैं।

चित्र 4.9

(a) $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ को $\hat{\mathbf{r}}$ और $\hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करें।

(b) दिखाएँ कि दोनों $\hat{\mathbf{r}}$ और $\hat{\theta}$ यूनिट वेक्टर हैं और एक दूसरे के लिए लंबवत हैं।

(c) दिखाएँ कि $\frac{d}{d t}(\hat{\mathbf{r}})=\omega \hat{\theta}$ जहाँ $\omega=\frac{d \theta}{d t}$ और $\frac{d}{d t}(\hat{\theta})=-\omega \hat{\mathbf{r}}$

(d) $\mathbf{r}=a \theta \hat{\mathbf{r}}$ द्वारा चल रहे एक ध Spiral रचना की बताएँ, जहाँ $\mathrm{a}=1$ (यूनिट), ’ $a$ ’ के आयाम ढूंढें।

(e) $\mathbf{r}$ में पलट वेक्टर प्रतिनिधि के रूप में ध Spiral द्वारा चल रहे अंशिक में वेग और त्वरण ढूंढें।

4.37 एक आदमी को $C$ वर्ग के विपरीत कोने तक पहुंचना है (चित्र 4.10)। वर्ग के सिरों की लंबाई $100 \mathrm{~m}$ है। सेंट्रल वर्ग $50 \mathrm{~m} \times 50 \mathrm{~m}$ रेत से भरा हुआ है। इस वर्ग के बाहर, वह $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की गति से चल सकता है। सेंट्रल वर्ग में, उसकी चाल केवल $v \mathrm{~m} / \mathrm{s}(v<1)$ गति से हो सकती है। रेत के बाहर के वर्ग में किसी भी रास्ते से तेजी से पहुंचने के लिए वह क्या सबसे छोटी मान्यता $v$ है जिस पर रेत के माध्यम से सीधे मार्ग से पहुंचने में सभी रास्ते से जल्दी जा सकता है?

चित्र 4.10

Solutions 4

4.1 (b)

4.2 (d)

4.3 (b)

4.4 (b)

4.5 (c)

4.6 (b)

4.7 (d)

4.8 (c)

4.9 (c)

4.10 (b)

4.11 (a), (b)

4.12 (c)

4.13 (a), (c)

4.14 (a), (b), (c)

4.15 (b), (d)

4.16 $\frac{v^{2}}{R}$ दिशा $\mathbf{R O}$ में।

4.17 छात्र अपने अध्यापकों के साथ चर्चा कर सकते हैं और उत्तर ढूंढ सकते हैं।

4.18 (a) जब यह धरती को छूता है। (b) सबसे ऊँची स्थिति पर।

(c) $a=g=$ धारित है।

4.19 त्वरण $-g$। वेग - शून्य।

4.20 क्योंकि $\mathbf{B} \times \mathbf{C}$ कार्टेशियन संयोजनों के तथा तथा के superscript सेक्सप्लेनेशन है। किसी भी वेक्टर का उत्पाद भूमि के प्लेन में होगा।

4.21

क्या यह है उस चित्र का हिंदी संस्करण:

एक भूमि-आधारित अवलोकन के लिए, गेंद $v_{0}$ और प्रक्षेपण का कोण $\theta$ के साथ एक प्रोजेक्टाइल है जैसा ऊपर दिखाया गया है।

4.22

(क)

(ख)

कार की गति प्रक्षेपित परियोजना की क्षैतिज गति के समान होने के कारण, कार में बैठे लड़के को केवल गति के ऊर्ध्वाधर का ही दृश्य मिलेगा, जैसा कि आपको चित्र (ख) में दिखाया गया है।

4.23 हवा प्रतिरोध के कारण, कण की ऊर्ध्वाधरी ऊर्जा और वेग के क्षैतिजीय घटक निरंतर घटाते रहते हैं, जिससे गिरावट आने के बाद चढ़ाई से ज्यादा घनी हो जाती है, जैसा कि आपको चित्र में दिखाया गया है।

4.24 $R=v_{o} \sqrt{\frac{2 H}{g}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{H}{R}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{v_{o}} \sqrt{\frac{g H}{2}}\right)=23^{\circ} 12^{\prime}$

4.25 त्वरण $\frac{v^{2}}{R}=\frac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}$

4.26 (क) (iv) के साथ मेल खाता है

(ख) (iii) के साथ मेल खाता है

(ग) (i) के साथ मेल खाता है

(घ) (ii) के साथ मेल खाता है

4.27 (क) (ii) के साथ मेल खाता है

(ख) (i) के साथ मेल खाता है

(ग) (iv) के साथ मेल खाता है

(घ) (iii) के साथ मेल खाता है

4.28 (क) (iv) के साथ मेल खाता है

(ख) (iii) के साथ मेल खाता है

(ग) (i) के साथ मेल खाता है

(घ) (ii) के साथ मेल खाता है

4.29 पहाड़ी पार करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्ध्वाधर वेग दिया गया है

$v_{\perp}^{2} \geq 2 g h=10,000$

$v_{\perp}>100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

क्योंकि कैनन पैकेट को तेजी से ले जा सकता है $125 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की गति के साथ, इसलिए

क्षैतिज वेग की अधिकतम मान्यता, $v$ होगी

$v=\sqrt{125^{2}-100^{2}}=75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ऊर्ध्वाधर वेग $v_{\perp}$ के साथ पहाड़ी के शीर्ष तक पहुंचने में लगने वाला समय दिया गया है $\frac{1}{2} g T^{2}=h \Rightarrow T=10 \mathrm{~s}$।

10 सेकंड में यात्राएँ की गई आयतनीय दूरी $=750 \mathrm{~m}$।

इसलिए कैनन को भूमि पर $50 \mathrm{~m}$ दूर ले जाना होगा।

इसलिए पर्वत पार करने के लिए पैकेट द्वारा लिए जाने वाला कुल समय (सबसे कम) $=\frac{50}{2} \mathrm{~s}+10 \mathrm{~s}+10 \mathrm{~s}=45 \mathrm{~s}$।

4.31 (क) $L=\frac{2 v_{o}^{2} \sin \beta \cos (\alpha+\beta)}{g \cos ^{2} \alpha}$

(ख) $\quad T=\frac{2 v_{o} \sin \beta}{g \cos \alpha}$

(ग) $\beta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$

4.32 $\frac{A v_{0}^{2}}{g} \sin \theta$

4.33 $\quad \mathbf{V}_{r}=5 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}$

4.34 (क) $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ at $37^{\circ}$ to $\mathrm{N}$.

(ख) (i) $\tan ^{-1}(3 / \sqrt{7})$ of $\mathrm{N}$, (ii) $\sqrt{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(ग) मामला (i) में वह सबसे कम समय में विपरीत तट तक पहुंचता है।

4.35 (क) $\tan ^{-1}\left(\frac{v_{o} \sin \theta}{v_{o} \cos \theta+u}\right)$

(ख) $\frac{2 v_{o} \sin \theta}{g}$

(सी) $R=\frac{2 v_{\mathrm{o}} \sin \theta\left(v_{\mathrm{o}} \cos \theta+\mathrm{u}\right)}{\mathrm{g}}$

(डी) $\theta_{\max }=\cos ^{-1}\left[\frac{-u+\sqrt{u^{2}+8 v_{o}^{2}}}{4 v_{o}}\right]$

(ई) $\theta_{\max }=60^{\circ}$ यदि $u=v_{o}$ हो.

$$ \theta_{\max }=45^{\circ} \text { यदि } u=0 . $$

$u<v_{o}$

$$ \begin{aligned} & \therefore \theta_{\max } \approx \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{u}{4 v_{o}}\right)=\pi / 4 \left(\begin{array}{ll} \text { यदि } u & v_{o} \end{array}\right) \\ & u>v_{o} \quad \theta_{\max } \approx \cos ^{-1}\left[\frac{v_{o}}{u}\right]=\pi / 2 \quad\left(\begin{array}{ll} v_{o} & u \end{array}\right) \end{aligned} $$

(एफ) $\theta_{\max }>45^{\circ}$.

4.36 $\mathbf{V}=\omega \hat{\mathbf{r}}+\omega \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}$ और $\mathbf{a}=\left(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\omega^{2} \theta\right) \hat{\mathbf{r}}+\left(\theta \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+2 \omega^{2}\right) \hat{\boldsymbol{\theta}}$

4.37 रेत के माध्यम से प्रतिस्थापना के लिए सीमित रेखा पथ APQC को विचार करें।

इस पथ के माध्यम से $\mathrm{A}$ से $\mathrm{C}$ जाने में लगने वाला समय

$T_{\text {sand }}=\frac{\mathrm{AP}+\mathrm{QC}}{1}+\frac{\mathrm{PQ}}{v}$

$=\frac{25 \sqrt{2}+25 \sqrt{2}}{1}+\frac{50 \sqrt{2}}{v}$

$=50 \sqrt{2}\left[\frac{1}{v}+1\right]$

रेत के बाहर सबसे छोटा पथ ARC होगा।

इस पथ के माध्यम से $\mathrm{A}$ से $\mathrm{C}$ जाने में लगने वाला समय

$$ \begin{aligned} & =T_{\text {outside }}=\frac{\mathrm{AR}+\mathrm{RC}}{1} \mathrm{~s} \ & =2 \sqrt{75^{2}+25^{2}} \mathrm{~s} \ & =2 \times 25 \sqrt{10} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

यदि $T_{\text {sand }}<\mathrm{T}_{\text {outside }}, 50 \sqrt{2}\left[\frac{1}{v}+1\right]<2 \times 25 \sqrt{10}$

$\Rightarrow \frac{1}{v}+1<\sqrt{5}$

$\Rightarrow \frac{1}{v}<\sqrt{5}-1$ या $v>\frac{1}{\sqrt{5}-1} \approx 0.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.