अध्याय 3

सीधी रेखा में गति

MCQ I

3.1 नीचे उपयोग की गई चार ग्राफों में (चित्र 3.1), समय सीमा $(O, T)$ पर औसत वेग एक ऐसे ग्राफ के लिए शून्य हो सकता है जिसके लिए उचित रूप से चुने गए $T$. यह कौन है?

(a)

(c)

(b)

(d)

चित्र 3.1

3.2 एक लिफ्ट 8 वें मंजिल से आ रही है और 4 वें मंजिल तक पहुंचने की तारीख पर है. सभी मात्राओं के लिए इशान मंच को मूल और सकारात्मक दिशा मानते हुए, निम्नलिखित में से कौन सही है?

(a) $x<0, v<0, a>0$

(b) $x>0, v<0, a<0$

(c) $x>0, v<0, a>0$

(d) $x>0, v>0, a<0$

3.3 एक आयामी गति में, क्षणिक वेग $v$ ऐसी मान्यता को पूरा करता है कि $0 \leq v<v_{0}$.

(a) समय $T$ में फिरेंगे, हमेशा गैर-नकारात्मक मान लेना चाहिए।

(b) समय $T$ में स्थानांतरण $x$ की शर्त $-v_{\mathrm{o}} \mathrm{T}<x<v_{\mathrm{o}} \mathrm{T}$ को पूरा करता है।

(c) त्वरण हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है।

(d) गति के कोई उलटे संकेत नहीं होते हैं।

3.4 एक वाहन ध्यान योजित गति $V_{1}$ के साथ अधीनस्थ $L$ दूरी यात्रा करता है और आधी दूरी $V_{2}$ के साथ, तो उसकी औसत गति है

(a) $\frac{V_{1}+V_{2}}{2}$

(b) $\frac{2 V_{1}+V_{2}}{V_{1}+V_{2}}$

(c) $\frac{2 V_{1} V_{2}}{V_{1}+V_{2}}$

(d) $\frac{L\left(V_{1}+V_{2}\right)}{V_{1} V_{2}}$

3.5 एक धरात्मक कोषिका द्वारा यात्रा $x=(t-2)^{2}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $x$ अंकों में है और $t$ सेकंड में है। पहले 4 सेकंड में कोषिका द्वारा चलाये गए दूरी का अंतर है

(a) $4 \mathrm{~m}$

(b) $8 \mathrm{~m}$

(c) $12 \mathrm{~m}$

(d) $16 \mathrm{~m}$

3.6 एक मेट्रो स्टेशन पर, एक लड़की एक स्थिर एस्केलेटर पर चलती है उससे बढ़ रही है समय $t_{1}$. यदि वह एस्केलेटर पर स्थिर रहती है, तो एस्केलेटर $t_{2}$, समय में ऊपर ले जाता है. वह चलती हुई एस्केलेटर पर चलने में लगा समय है

(a) $\left(t_{1}+t_{2}\right) / 2$

(b) $t_{1} t_{2} /\left(t_{2}-t_{1}\right)$

(c) $t_{1} t_{2} /\left(t_{2}+t_{1}\right)$

(d) $t_{1}-t_{2}$

MCQ II

3.7 चित्र 3.2 में चयनित बनाम विचारण घटाने वाला छवि $A$ और $B$ का परिवर्तन और क्रमगत विचारण की बात करती है.

(a) बात करने के लिए मात्रा $B$ समय को प्रतिष्ठान कर सकती है।

(b) मान $A$ यदि गति समान है तो वेग है।

(c) कोष यदि गति समान है तो प्रस्थान है।

(d) मान $A$ यदि गति संयुक्त रूप से त्वरित है।

चित्र 3.2

3.8 आपके पत्र $x$ बनाम $t$ का एक ग्राफ चित्रित किया गया है जैसा कि चित्र 3.3 में दिखाया गया है। नीचे से सही विकल्पों का चयन करें।

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा: (a) कण समय $t=0$ पर आराम से छोड़ा गया।

(b) बी पर, त्वरण $a>0$ है।

(c) सी पर, वेग और त्वरण शून्य होते हैं।

(d) एकीकृत वेग A और D के बीच गति के लिए औसत वेग धनात्मक है।

(e) D पर गति E से अधिक होती है।

चित्र 3.3

3.9 एक आयामी गति के लिए, $x=t-\sin t$ द्वारा वर्णित एक-मात्री गति के लिए

(a) सभी $t>0$ के लिए $x(t)>0$ होता है।

(b) सभी $t>0$ के लिए $v(t)>0$ होता है।

(c) सभी $t>0$ के लिए $a(t)>0$ होता है।

(d) $v(t)$ 0 और 2 के बीच रहता है।

3.10 एक स्प्रिंग जिसका एक खंड एक मानसिकता से चलाया जाता है और दूसरा एक कठोर समर्थन पर जोड़ दिया गया है खींचा जाता है और छोड़ दिया जाता है।

(a) जब जारी होने के बाद त्वरण का माग्निट्यूड सर्वाधिक होता है।

(b) स्थिरावस्था स्थान पर होने पर त्वरण का माग्निट्यूड अधिकतम होता है।

(c) जब भार स्थिरावस्था पर होता है तो गति अधिकतम होती है।

(d) यदि गति न्यूनतम होती है तो समयमान वेग हमेशा सर्वाधिक होता है।

3.11 रेलवे के डिब्बे की दीवारों के बीच एक गतिशीलतापूर्ण गोला, जिसकी गति 1 मीटर/सेकंड है, से अनुपातिक रूप से वापस आ रहा है। गोलाकारणिका आयाम $10$ मीटर है और गतिशीलता दीवारों के लगभग समान दिशा में $10$ मीटर/सेकंड धीरे-धीरे चल रही है। श्रृंगार्थ से देखने पर,

(a) गोले की गति हर 10 सेकंड में दिशा बदलती है।

(b) गोले की गति हर 10 सेकंड में बदलती है।

(c) किसी भी 20 सेकंड के अवधि में गोले की औसत गति निश्चित होती है।

(d) गोले की त्वरण सामान्य रेलवे से समान होती है।

VSA

3.12 चित्र 3.1 में दी गई ग्राफ के लिए जोड़ी बनाएं।

ग्राफ पहचानकरीयता

(a) (i) में $v>0$ है और $a<0$ हर क्षण होता है।

(b) (ii) में $x>0$ हर क्षण होता है और एक बिंदु होता है जहां $v=0$ होता है और एक बिंदु होता है जहां $a=0$ होता है।

(c) (iii) में $t>0$ के लिए शून्य स्थानांतर का एक बिंदु होता है।

(d) (iv) में $v<0$ है और $a>0$ हर क्षण होता है।

3.13 एक समान गति से चल रहे क्रिकेट गेंद को छोटे समय अंतराल में बत के माध्यम से वापस मोड़ा जाता है। समय के साथ इसके त्वरण का प्रदर्शन दिखाएं। (पीछे की दिशा में त्वरण लोग मान लें)।

3.14 एक-मात्री गति के उदाहरण दें जहां

(a) सकारात्मक $x$-दिशा में चलने वाले कण नियमित रूप से ठहरता है और आगे चलता है।

(b) सकारात्मक $x$-दिशा में चलने वाले कण नियमित रूप से ठहरता है और पीछे चलता है।

3.15 एक ऐसे गतिविधि का उदाहरण दें जहां एक विशेष क्षण पर $x>0, v<0, a>0$ हो।

3.16 एक तरल से नीचे गिरने वाले एक वस्तु के बारे में मानवीय अवलोकन से पता चलता है कि इसकी त्वरण दी गई समीकरण $a=g-b v$ के अनुसार होती है यहां $g=$ गुरुत्वाकर्षणीय त्वरण है और $\mathrm{b}$ स्थिर है। एक लंबे समय के बाद जब छोड़ा जाता है, इसे स्थिर गति के साथ गिरते हुए देखा जाता है। यानी, स्थायी/गतिहीन गति की क्या मान्यता होनी चाहिए?value?

3.17 एक गेंद गिराई जाती है और इसकी स्थानांतर vs समय ग्राफिक चित्र 3.4 में दिखाई देती है (स्थानांतर $x$ भूमि से है और सभी राशियां ऊपरी दिशा में +ve हैं)।

(a) वेग vs समय ग्राफिक को गुणमान से चित्रित करें।

(b) त्वरण vs समय ग्राफिक को गुणमान से चित्रित करें।

चित्र 3.4

3.18 एक कण ऐसी गति करता है जिसे $x(t)=x_{o}\left(1-e^{-\gamma t}\right) ; t \geq 0$, $x_{0}>0$ से व्यक्त किया जाता है।

क) कण कहाँ से शुरू होता है और किस वेग से?

ख) $x(t), v(t), a(t)$ की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। दिखाएं कि $x(t)$ और $a(t)$ समय के साथ बढ़ते हैं और $v(t)$ समय के साथ घटता है।

3.19 एक पक्षी एक सीधी सड़क पर एक दूसरे के आपस में आने वाले दो गाड़ियों के बीच चल रहा है। एक गाड़ी की गति 18 $\mathrm{m} / \mathrm{h}$ होती है जबकि दूसरी गाड़ी की गति $27 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ होती है। पक्षी पहली गाड़ी से जबकि दूसरी गाड़ी की ओर चल रहा है और चल रहा है जब दो गाड़ियों के बीच $36 \mathrm{~km}$ की दूरी होती है। पक्षी द्वारा पूरी की गई कुल दूरी क्या है? पक्षी का कुल विस्थापन क्या है?

3.20 एक आदमी एक ऊँची इमारत की छत पर दौड़ता है और आशा करके आगले मंजिल की छत पर हाइजुम्प करता है जो पहले से कम ऊँचाई वाली होती है। अगर उसकी गति 9 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ होती है, तो दो इमारतों के बीच की (क्षैतिज) दूरी $10 \mathrm{~m}$ है और ऊँचाई अंतर $9 \mathrm{~m}$ है, क्या वह अगली इमारत पर लंडिंग कर पाएगा? (यहां $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ मान लीजिए)

3.21 एक इमारत की उचाई $45 \mathrm{~m}$ से एक गोला नीचे गिराया जाता है। सहज संभावित गति $40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। समय के साथ गोलों की संदर्भीय गति की गणना कीजिए।

3.22 एक कण की वेग-विस्थापन ग्राफिक चित्र 3.5 में दिखाई गई है।

क) $v$ और $x$ के बीच संबंध लिखें।

ख) त्वरण और विस्थापन के बीच संबंध ढूंढें और इसे चित्रित करें।

चित्र 3.5

3.23 एक सामान्य अवलोकन है कि बारिश के बादल भूमि से लगभग एक किलोमीटर की ऊँचाई पर हो सकते हैं।

क) यदि बारिशकिरण मुक्त रूप से इस ऊँचाई से गिरता है, तो इसकी गति क्या होगी? भी गलियों में $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ में संगणक कीजिए। है।

ब) एक आम बारिश की बूंद के लगभग $4 \mathrm{~mm}$ व्यास होता है। चलना तो गति $\mathrm{x}$ मानक होता है। यह अपने माप की जब यह ग्राउंड को मारता है।

क) बूंद को सपट करने के लिए आवश्यक समय की अंदाज़ा लगाइये।

डी) प्रारंभिक वेग की बदलती मात्रा बल होती है। ऐसी एक बूँद आप पर कितना बल डालेगी?

ज) चाटर छाता पर शक्तिशाली लहर की ऊंचाई अनुमानित करें। दो बारिश की बूंदों के बीच आपसी अलगाव $5 \mathrm{~cm}$ है।

($5 \mathrm{~cm}$ मान लें)

3.24 एक मोटर कार जो $72 \mathrm{~किलोमीटर/घंटा}$ की गति से चल रही है, कम से कम $3.0 \mathrm{~सेकंड}$ में रुकने के लिए नहीं कर सकती है जबकि ट्रक के लिए यह समय अंतराल $5.0 \mathrm{~सेकंड}$ है। एक हाइवे पर कार ट्रक के पीछे हैं, दोनों $72 \mathrm{~किलोमीटर/घंटा}$ की गति से चल रहे हैं। ट्रक एक संकट में रुकने का संकेत देता है। कार ट्रक से धक्का नहीं लगानी चाहिए, इसके लिए कार कितनी दूरी पर होनी चाहिए? मानव प्रतिक्रिया समय $0.5 \mathrm{~सेकंड}$ है।

(टिप्पणी: यह इस बात का उदाहरण है कि वाहन पीछे की ओर संदेश लेते हैं। “सुरक्षित दूरी रखें”)

3.25 एक बंदर 3 सेकंड तक एक चिकनी पोल पर चढ़ता है और इसके बाद 3 सेकंड के लिए फिसलता है। इसकी गति समय $t$ पर $v(t)=2 t(3-t) ; 0<t<3$ है और $v(t)=-(t-3)(6-t)$ है $3<t<6 \mathrm{~s}$ में $\mathrm{m/s}$ में। यह चक्र दोहराता है जब तक यह $20 \mathrm{~मीटर}$ की ऊंचाई तक पहुंचता है।

(क) इसकी गति कब अधिकतम होती है?

(ख) औसत गति कब अधिकतम होती है?

(स) एकेल मान में त्वरण कब अधिकतम मात्रा में होती है?

(द) शीर्ष पर पहुंचने के लिए कितने चक्र (आधा भी गिनते हुए) आवश्यक हैं?

3.26 एक आदमी एक इमारत के चोटी पर खड़ा है। उसने दो गेंदें लंबवत फेंकी हैं, एक $t=0$ पर और दूसरी के थोड़े से कम समय के बाद (2 सेकंड से कम)। बादवाली गेंद पहली की आधी गति के साथ फेंकी गई है। दो गेंदों के बीच ज्ञात दूरी $t=2 \mathrm{~s}$ पर $+15 \mathrm{~m}$ है। यह दूरी स्थिर रहती है। गेंदों को किस गति से फेंका गया है और उनके फेंकने के बीच की सटीक समय अंतर?

हल

3.1 (ब)

3.2 (अ)

3.3 (ब)

3.4 (ख)

3.5 (ब)

3.6 (ख)

3.7 (अ), (ख), (द)

3.8 (अ), (ख), (इ)

3.9 (अ), (द)

3.10 (अ), (ख)

3.11 (ब), (ख), (द)

3.12 (अ) (iii), (ब) (ii), (ख) iv, (द) (i)

3.13

3.14 (इ) $x(t)=t-\sin t$

(ई) $x(t)=\sin t$

3.15 $x(t)=\mathrm{A}+B e^{-\gamma t} ; \mathrm{A}>\mathrm{B}, \gamma>0$ उचित चुने गए सकारात्मक संख्याएँ हैं।

3.16 $v=g / \mathrm{b}$

3.17 गेंद छोड़ी जाती है और गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिर रही है। इसकी त्वरण $-g$ है, केवल छोटे समय अंतराल में जब गेंद ज़मीन से टकराती है और सनसनी पैदा करने वाली बल कार्य करती है, और जब गेंद पर एक बड़ी त्वरण होता है।

3.18 (अ) $x=0, v=\gamma x_{o}$

3.19 गाड़ियों की अभिक्रिया की गति $=45 \mathrm{~किलोमीटर/घंटा}$, मिलने के लिए समय $=\frac{36 \mathrm{~किलोमीटर}}{45 \mathrm{~किलोमीटर/घंटा}}=0.80 \mathrm{~घंटा}$ होता है।

इसलिए, दूसरी की दूरी चिड़िया द्वारा कवर की गई दूरी $=36 \mathrm{~किलोमीटर/घंटा} \times 0.8 \mathrm{~घंटा}=28.8 \mathrm{~किलोमीटर}$ होती है।

3.20 मान लें कि $9 \mathrm{~मीटर}$ का गिरना समय $t$ लेगा। इसलिए

$y-y_{o}=v_{o y}-\frac{g t^{2}}{2}$

यहां $v_{o y}=0$ है,

विषय: $ t = \sqrt {\frac {{2 \left (y-y_ {o} \right)}} {g}} \rightarrow \sqrt {\frac {{2 \times 9 \mathrm {~ m}}} {10 \mathrm {~ m} / \mathrm {s} ^ {2}} } = \sqrt {1.8} \approx 1.34 $ सेकंड।

इस समय में, क्षैतिज रूप से चलने वाली दूरी है

$ x-x_ {o} = v_ {o x} t = 9 \mathrm {~ m} / \mathrm {s} \times 1.34 \mathrm {~ s} = 12.06 \mathrm {~ m} $।

हाँ-वह उतरेगा।

3.21 दोनों गिर रहे हैं। इसलिए एक के साथ दूसरे के प्रति त्वरण नहीं होता है। इसलिए अभिक्रियाशील गति स्थायी रहती है $ (= 40 \mathrm {~ m} / \mathrm {s}) $।

3.22 $ v = \left (-v_ {0} / x_ {0} \right) x + v_ {0}, a = \left (v_ {0} / x_ {0} \right) ^ {2} x-v_ {0} ^ {2} / x_ {0} $

$a$ पर $x$ का परिवर्तन चित्र में दिखाया गया है। यह एक सीधी रेखा है जिसका एक सकारात्मक ढलान है और एक नकारात्मक अंतर्वाल है।

3.23 (a) $ v = \sqrt {2 g h} = \sqrt {2 \times 10 \times 1000} = 141 \mathrm {~ m} / \mathrm {s} = 510 \mathrm {~ km} / \mathrm {h} $।

(b) $m = \frac {4 \pi} {3} r ^ {3} \rho = \frac {4 \pi} {3} \left (2 \times 10 ^ {-3} \right) ^ {3} \left (10 ^ {3} \right) = 3.4 \times 10 ^ {-5} \mathrm {~ kg} $।

$$ P = m v \approx 4.7 \times 10 ^ {-3} \mathrm {~ kg} \mathrm {~ m} / \mathrm {s} \approx 5 \times 10 ^ {-3} \mathrm {~ kg} \mathrm {~ m} / \mathrm {s} . $$

(c) व्यास $\approx 4 \mathrm {~ mm} $

$$ \Delta t \approx d / v = 28 \mu \mathrm {s} \approx 30 \mu \mathrm {s} $$

(d) $ F = \frac {\Delta P} {\Delta t} = \frac {4.7 \times 10 ^ {-3}} {28 \times 10 ^ {-6}} \approx 168 \mathrm {~N} \approx 1.7 \times 10 ^ {2} \mathrm {~N} $।

(e) पारिधान का क्षेत्रफल $ = \pi d ^ {2} / 4 \approx 0.8 \mathrm {~ m} ^ {2} $।

औसत अलगाव के साथ $ 5 \mathrm {~ cm} $ के साथ होने वाली बूंदों की संख्या प्रायः गिरेगी $ \frac {0.8 \mathrm {~ m} ^ {2}} {\left (5 \times 10 ^ {-2} \right) ^ {2}} \approx 320 $।

वातावरणीय्यता द्वारा बूंदों को प्रायः रोका जाता है, नेट बल $ \approx 54000 $ एन।

3.24 ट्रक के पीछे कार

जब ट्रक पर अवरोध लगाया जाता है, ट्रक की धीमी चाल $ = \frac {20} {5} = 4 \mathrm {~ ms} ^ {-2} $ होती है।

जब कार पर अवरोध लगाया जाता है, कार की धीमी चाल $ = \frac {20} {3} \mathrm {~ ms} ^ {-2} $ होती है।

जब ब्रेक लगते ही ट्रक कार से दूरी $ x $ होती है

ट्रक की दूरी अ के $ t> 0.5 \mathrm {~ s} $ पर $ x + 20 t-2 t ^ {2} $ होती है।

कार की दूरी $ a $ से $ t> 0.5 \mathrm {~ s} $ अप्रदर्शन

$x-10 + 20 (t-0.5) − \frac {10} {3} (t-0.5) ^ {2}$ होती है।

अगर दो मिलते हैं

$x + 20 t-2 t ^ {2} = 10 + 20 t-10- \frac {10} {3} t ^ {2} + \frac {10} {3} t-0.25 \times \frac {10} {3}$।

$x = −\frac {4} {3} t ^ {2} + \frac {10} {3} t- \frac {5} {6}$।

$x_ {min} $ ढूंढ़ने के लिए,

$ \frac {d x} {d t} = -\frac {8} {3} t + \frac {10} {3} = 0 $

जो $ t_ {min} = \frac {10} {8} = \frac {5} {4} \mathrm {~ s} $ देता है।

इसलिए, $x_ {min} = -\frac {4} {3} \left (\frac {5} {4} \right) ^ {2} + \frac {10} {3} \times \frac {5} {4} -\frac {5} {6} = \frac {5} {4}$।

इसलिए, $x> 1.25 \mathrm {~ m}$।

द्वितीय तरीका: इस तरीके में कैलकुलस का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

यदि कार ट्रक के पीछे होती है,

कॉंटेंट का हिन्दी संस्करण क्या होगा: $V_{\text {car }}=20-(20 / 3)(t-0.5)$ जब कार केवल $0.5 \mathrm{~s}$ के बाद ही घटने लगती है और $t>0.5 \mathrm{~s}$ होता है।

$V_{\text {truck }}=20-4 t$

इन दोनों को बराबर करने से या वेग बनाम समय ग्राफ से $t$ मिलता है। यह $t=5 / 4 \mathrm{~s}$ देती है।

इस समय में ट्रक यात्रा करेगी,

$S_{\text {truck }}=20(5 / 4)-(1 / 2)(4)(5 / 4)^{2}=21.875 \mathrm{~m}$ और कार यात्रा करेगी, $S_{\text {car }}=20(0.5)+20(5 / 4-0.5)-$ $\left(\frac{1}{2}\right)(20 / 3) \times\left(\frac{5}{4}-0.5\right)^{2}=23.125 \mathrm{~m}$

इसलिए $S_{\text {car }}-S_{\text {truck }}=1.25 \mathrm{~m}$।

अगर कार शुरू में इस दूरी का पालन करती है, तो उसकी गति $1.25 \mathrm{~s}$ के बाद हर बार ट्रक से हमेशा कम होगी और इसलिए संक्लन कभी नहीं होगा।

3.25 (a) $(3 / 2) \mathrm{s}$, (b) $(9 / 4) \mathrm{s}$, (c) $0,3 \mathrm{~s}$, (d) 6 साइकिल।

3.26 $v_{1}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, v_{2}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, समय का अंतर $=1 \mathrm{~s}$।