अध्याय 14

ओसिलेशन

MCQ I

14.1 कक्षण का स्थान निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है

$y=3 \cos \left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)$।

कक्षण का गति है

(a) आसान गुणसूत्रीय अवधि के साथ $2 \mathrm{p} / \mathrm{w}$।

(b) आसान गुणसूत्रीय अवधि के साथ $\pi / \omega$।

(c) अवधिकीय है लेकिन आसान गुणसूत्रीय नहीं है।

(d) अविधीकीय।

14.2 कक्षण का स्थान निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है $y=\sin ^{3} \omega t$। गति है

(a) अविधीकीय।

(b) अवधिकीय है लेकिन आसान गुणसूत्रीय नहीं है।

(c) आसान गुणसूत्रीय अवधि के साथ $2 \pi / \omega$।

(d) आसान गुणसूत्रीय अवधि के साथ $\pi / \omega$।

14.3 चार टुकड़ों के त्वरण और स्थान के संबंध निम्नलिखित हैं:

(a) $a_{x}=+2 x$।

(b) $a_{x}=+2 x^{2}$।

(c) $a_{x}=-2 x^{2}$।

(d) $a_{x}=-2 x$।

जिनमें से कौन सा टुकड़ा सरल गुणसूत्रीय गतिमान को कार्यान्वित कर रहा है?

14.4 यू-ट्यूब में तला हुआ एक लहरमय तंबे का आंदोलन होता है

(a) अवधिकीय है लेकिन आसान गुणसूत्रीय नहीं है।

(b) अविधीकीय।

(c) आसान गुणसूत्रीय है और समयावधि तरल पदार्थ की घनत्व के अपेक्षा निर्भर नहीं है।

(d) आसान गुणसूत्रीय है और समयावधि तरल पदार्थ की घनत्व के समानानुपातिक है।

14.5 एक कण पर समक्षीय आसान गुणसूत्रीय गतियों $x=a \cos \omega t$ और $y=a \sin \omega t$ के द्वारा समक्षीयता होती है। कक्षण की गतिपथ बनेगी

(a) एक अंडाकार।

(b) एक त्रिज्या।

(c) एक वृत्त।

(d) एक सीधी रेखा।

14.6 कक्षण यूग्मिति के अनुसार कक्षण बदलने से यह साफ हो जाता है $y=a \sin \omega t+b \cos \omega t$।

(a) यह आलसतायी है लेकिन S.H.M. नहीं।

(b) इसकी S.H.M. होती है जिसका आपूर्ति $a+b$ होता है।

(c) इसकी S.H.M. होती है जिसका आपूर्ति $a^{2}+b^{2}$ होता है।

(d) इसकी S.H.M. होती है जिसका आपूर्ति $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ होता है।

14.7 $ \mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ चार दण्ड हैं जो एक ही लचीली समर्थन से लटके हुए हैं जैसा कि चित्र 14.1 में दिखाया गया है। जब A को वाम उत्तोलन दिया जाता है,

चित्र 14.1

(a) D अधिकतम आपूर्ति के साथ हिलेगा।

(b) $\mathrm{C}$ अधिकतम आपूर्ति के साथ हिलेगा।

(c) B अधिकतम आपूर्ति के साथ हिलेगा।

(d) सभी चारों के साथ बराबर आपूर्ति के साथ विचलित होंगे।

14.8 चित्र 14.2 में एक कण के घूमने का परिधीय आंदोलन दिखाया गया है। गोलाकारण के रेडियस का, अवधि का, घूर्णन के अनुभव और प्रारंभिक स्थिति को चिह्नित किया गया है। घूमती कण के $x$-प्रक्षेपण का आसान गुणसूत्रीय गति $\mathrm{P}$ का

(a) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin \left(\frac{2 \pi t}{30}\right)$।

(b) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \cos \left(\frac{\pi t}{15}\right)$।

(c) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin \left(\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2}\right)$।

(d) $x(\mathrm{t})=\mathrm{B} \cos \left(\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2}\right)$।

सामग्री का हाई संस्करण क्या है:

Fig. 14.2

14.9 एक कण के गति का समीकरण है $x=a \cos (\alpha t)^{2}$.

गति है

(a) आवृत्तिग्रस्त है लेकिन अलगाव युक्त नहीं है।

(b) आवृत्तिग्रस्त और अलगावयुक्त है।

(c) अलगावयुक्त है लेकिन आवृत्तिग्रस्त नहीं है।

(d) न आवृत्तिग्रस्त है और न अलगावयुक्त।

14.10 एक शीघ्र हरमोनिक गति (S.H.M.) का कण कोई अधिकतम वेग $30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ और अधिकतम त्वरण $60 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ होता है। आवृत्ति का अवधि है

(a) $\pi \mathrm{s}$।

(b) $\frac{\pi}{2} \mathrm{~s}$।

(c) $2 \pi \mathrm{~s}$।

(d) $\frac{\pi}{t} \mathrm{~s}$।

14.11 जब दोषी $m$ को दो स्प्रिंग $S_{1}$ और $S_{2}$ , से अलग अलग जोड़ा जाता है , तो इसका अवरोहण अवरोहण $v_{1}$ और $v_{2}$ होते हैं। यदि ऐसा ही एक मास दो स्प्रिंग के साथ जोड़ा जाता है जैसा कि चित्र 14.3 में दिखाया गया है , तो अवरोहण आवृत्ति होगी

Fig. 14.3

(a) $v_{1}+v_{2}$।

(b) $\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$।

(c) $\left(\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}\right)^{-1}$।

(d) $\sqrt{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}$।

वहस्तुविज्ञान II

14.12 पृथ्वी की प्रदक्षिणा अपने धुरी के चारोंओंक द्वारा

(a) आवृत्तिग्रस्त गति है।

(b) साधारित हरमोनिक गति है।

(c) आवृत्तिग्रस्त गति है लेकिन साधारित हरमोनिक गति नहीं है।

(d) गैर-ावृत्तिग्रस्त गति।

14.13 एक गोल पथरी की गति स्मूदचापित मछली के बाउल के भीतर, जब इसे निचले बिंदु से आवश्यकतानुसार छोड़ा जाता है।

(a) सरल हरमोनिक गति है।

(b) गैर-ावृत्तिग्रस्त गति।

(c) आवृत्तिग्रस्त गति।

(d) आवृत्तिग्रस्त गति है लेकिन सरल हरमोनिक गति नहीं है।

14.14 एक शीघ्र हरमोनिक गति (S.H.M.) कर रहे कण की / समय-कणमित्र विस्थापन कथन चित्र 14.4 में दिखाया गया है। सही कथन चुनें।

Fig. 14.4

(a) ऑसिलेटर का चर अभिभाष्य $t=0 \mathrm{~s}$ और $t=2 \mathrm{~s}$ पर समान है।

(b) ऑसिलेटर का चर अभिभाष्य $t=2 \mathrm{~s}$ और $t=6 \mathrm{~s}$ पर समान है।

(c)ऑसिलेटर का चर अभिभाष्य $t=1 \mathrm{~s}$ और $t=7 \mathrm{~s}$ पर समान है।

(d) ऑसिलेटर का चर अभिभाष्य $t=1 \mathrm{~s}$ और $t=5 \mathrm{~s}$ पर समान है।

14.15 निम्नलिखित में से कौन सा कथन स्वतः हरमोनिक उम्मीदवार के लिए सत्य है?

(a) क्रियाशक्ति तत्व को स्थिर स्थान से विस्थापन के लगभग बराबर और उसके विपरीत होती है। (b) आवृत्ति है।

(c) उम्मीदवार की विगति समानान्तर है।

(d) वेग आवृत्ति है।

14.16 एक शीघ्र हरमोनिक गति (S.H.M.) कर रहे एक कण की विस्थापन समय ग्राफिक चित्र 14.5 में दिखाया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन स्वतः हरमोनिक उम्मीदवार के लिए सही है?

(a) बल $t=\frac{3 T}{4}$ पर शून्य होता है।

(b) त्वरण $t=\frac{4 T}{4}$ पर अधिकतम होता है।

(c) वेग $t=\frac{T}{4}$ पर अधिकतम होता है।

(d) पोटेंशियल ऊर्जा $t=\frac{T}{2}$ पर ऑसिलेशन की किनेटिक ऊर्जा के समान होता है।

कंटेंट का ह्यांदी संस्करण क्या होगा: चित्र 14.5

14.17 एक शरीर S.H.M. कर रहा है| तब इसकी

(a) प्रतिफलक चक्र प्रति औसत कुल ऊर्जा उसकी अधिकतम किनेटिक ऊर्जा के बराबर होती है।

(b) प्रतिफलक चक्र प्रति औसत किनेटिक ऊर्जा उसकी अधिकतम किनेटिक ऊर्जा के आधे के बराबर होती है।

(c) पूरे चक्र के दौरान औसत वेग उसकी अधिकतम वेग के $\frac{2}{\pi}$ गुना होता है।

(d) वर्गमूलछाया वेग उसकी अधिकतम वेग के $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होता है।

14.18 एक कण A और B बिंदुओं के बीच रैखिक सरल हारमोनी गति में है, जो $10 \mathrm{~सेमी}$ दूर हैं (चित्र 14.6)। A से B की दिशा को $+v e$ दिशा मानें और सही कथन चुनें।

चित्र 14.6

(a) जब यह कण A से $3 \mathrm{~सेमी}$ दूर होकर B की ओर जा रहा होता है, तो यह कण पर वेग, त्वरण और बल का चिन्ह धनात्मक होता है।

(b) कण का वेग $\mathrm{C}$ से $\mathrm{O}$ की ओर जाते समय ऋणात्मक होता है।

(c) जब यह कण B से $4 \mathrm{~सेमी}$ दूर होता है और A की ओर जाता है, तो वेग, त्वरण और बल का चिन्ह धनात्मक होता है।

(d) जब यह कण बिंदु B पर होता है, तो त्वरण और बल का चिन्ह ऋणात्मक होता है।

VSA

14.19 एक कण S.H.M. कर रही है, उसके बारे में स्थान बनाम समय में संकेत स्पष्ट करें। चित्र 14.7 में दिखाए गए बिंदुओं की पहचान करें जिन पर (i) अस्थिरता की वेगस्थिति शून्य होती है, (ii) अस्थिरता की गति अधिकतम होती है।

चित्र 14.7

14.20 दो एक जैसे कंकटों की कंकटोनी $K$ एक निश्चल मस में जोड़े गए हैं और स्थिर समर्थनों को दिखाया गया है (चित्र 14.8)। जब किसी वस्त्र को संतुलन स्थिति से दायाँ ओर $x$ दूरी पर विस्थापित किया जाता है, तो संस्कारण बल पता करें।

चित्र 14.8

14.21 एक सरल हारमोनी गति के दो मूलभूत लक्षण क्या हैं?

14.22 सरल पंडुल की गति कब सरल हारमोनिक होगी?

14.23 सरल हारमोनिक ओसिलेटर के अधिकतम त्वरण के अनुपात को अधिकतम वेग के अनुपात के साथ क्या होता है?

14.24 एक समय अवधि में यात्रित दूरी और तत्वता के बीच अनुपात क्या होता है?

14.25 चित्र 14.9 में, संदर्भ पद के वेग का चिह्न क्या होगा? जो संदर्भ कण प संदर्भ मंडली के उल्लेखित बिंदु P के वेग का प्रक्षेपण है। P को घुड़सवारी के बाहरी दिशा में घूमते हुए $R$ त्रिज्या के बिंदु में होता है।

चित्र 14.9

14.26 दिखाएँ कि S.H.M. कर रहे एक कण के लिए वेग और स्थान में $\pi / 2$ का आपात संबंध होता है।

14.27 एक सरल हारमोनिक ओसिलेटर के चिंतन के साथ प्रकाशित P.E., K.E. और कुल ऊर्जा की संक्रमण दर्शाने के लिए एक ग्राफ बनाएं।

14.28 पृथ्वी की सतह पर एक सेकंड का टुहनु कितना होगा, जिसकी लंबाई $1 \mathrm{~m}$ होगी? चांद पर एक सेकंड का टुहनु कितना होगा?

SA

14.29 चित्र 14.10 में दिखाए गए प्रणाली के लिए मास माखनकों की समय अवधि तलाई से अपनी समतुल्य स्थिति से हटाए जाने पर ढ़ुंढें।

14.30 दिखाए गए आदर्श के द्वारा प्रतिष्ठा 14.10 $y=\sin \omega t-\cos \omega t$ के द्वारा प्रतिष्ठेजारी अवधि $2 \pi / \omega$ के साथ सरल हारमोनिक है कि गति का साबित करें। चित्र 14.10

14.31 एक सरल हारमोनिक ओसिलेटर की विस्थापना ढ़ुंढें, जिसमें इसकी पोटेशियल ऊर्जा में $\frac{1}{2}$ मार्जिक ऊर्जा का होता है।

14.32 जब जब कुंजी संख्या $U(x)=U_{0}(1-\cos \alpha x)$ पर आधारित है जब $U_{0}$ और $\alpha$ स्थिर हैं तब छोटे संवेवरण की अवधि ढ़ुंढें।

14.33 $2 \mathrm{~kg}$ का मास मूलभूत स्थिर स्थिति $x=0$ पर और रेस्त की हाड़ी पर $5 \mathrm{~cm}$ की दूरी से एक रेखा के नुकसान परेशान दिखाए गए हैं। किसी भी समय $t$ पर स्थानांतरण के लिए व्यक्ति की अभिगम लिखें।

14.34 समान आंतरेणी के दो पंछियों का विचार करें, जो स्वतंत्र रूप से एक समानता के साथ पलटती हैं, जब एक पेंडुलम अपने अतिनिर्मित स्थान पर $2^{\circ}$ दाएं वांशिक से एको उठाया जाता है, तो दूसरा पेंडुलम $1^{\circ}$ बाएं के लिए वांशिक से एको उठाता है। कौन सा फेज़बंदी पेंडुलम के बीच अंतर होगा?

LA

14.35 एक व्यक्ति जिसका वजन सामान्यतया $50 \mathrm{~kg}$ होता है, एक बेरूनी क्षेत्र पर खड़ी मोटर के ऊपर-नीचे हारमोनिक रूप से आंदोलित होती है, जिसकी ध्वनि $2.0 \mathrm{~s}^{-1}$ और उच्चतमता $5.0 \mathrm{~cm}$ होती है। एक वजन प्रदर्शक प्लेटफ़ॉर्म पर व्यक्ति का वजन समय के खिलाफ देता है।

(अ) इंद्रीय काय का कोई बदलाव होगा, क्या अवकाश में?

(ब) अंसर पार्ट (अ) क्या हां होगा, इंद्रीय काय और न्यूनतम पठान के बीच अधिकतम और कम से कम पढ़ाई जाना होगा और किस स्थिति में?

14.36 एक मास मूलभूत स्थिति से $4 \mathrm{~cm}$ नीचे अवधि में गिरावट पाती है, जहां प्रत्येक को मंजाएगा जब की मास जेब में थी।

(अ) आंदोलन का अम्प्लीट्यूड क्या है?

(ब) आंदोलन की आवृत्ति क्या है?

14.37 एक लकड़ी का नाई ऊँचाई और अधिकार क्षेत्र के क्षेत्र $A$ में पानी में तैरती है। यह दबाई जाती है और फिर हटाई जाती है। दिखाएं लकड़ी की S.H.M. के साथ एक समय की अवधि।

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}} $$

यहां $m$ बॉडी का भार है और $\rho$ प्राणियों की कतार है।

कंटेन्ट: 14.38 एक हटौली में सूक्ष्मद्रवधार व मांस्यिक अस्थियों को भेजकर एक सुरम्य द्वारा छोड़ें जाने पर हटाने के दौरान दो कक्षों के बीच मांस्य की विभिन्न ऊचाइयों पर उत्तेजना बनाई जाती है। क्या एक एकल सहयामी चलन करेगा? क्षीण कपिलरी और असंघटित बलों को नजरअंदाज करें। अंतराल का समय ढूंढें।

14.39 एक गुफा पृथ्वी के केंद्र से खुदाई की जाती है। दिखाएँ कि एक भारी वस्तु ’m’ के यदि किसी भी दोनों सिरों से आराम से गिराई जाए तो एक ही स्थानिक तंदुरता का उचरण करेगी।

14.40 एक साधारित घुमावन बल जिसका काल $1 \mathrm{~s}$ हो, जड़ पर बंधी हुई है जो ${\mathrm{~O}}$ पर एक स्थिर समर्थन से लटकती है, ऐसी कि छोटी गुब्बारा आकार की है जो $A$ के ऊपर एक ऊँचाई पर स्थित है (चित्र 14.11)। माप को ठहरने में कितना समय लगेगा। साथ ही माप धरती से कितनी दूरी पर धरती से लटकती है। $\theta_{0}$ को ऐसा माना गया है जो $1$ हों ताकि $\sin \theta_{0} \approx \theta_{0}$ और $\cos \theta_{0} \approx 1$ हो।

चित्र 14.11

समाधान 14

14.1 (बी)

14.2 (बी)

14.3 (ड)

14.4 (क)

14.5 (स)

14.6 (ड)

14.7 (ब)

14.8 (अ)

14.9 (स)

14.10 (ए)

14.11 (बी)

14.12 (क), (स)

14.13 (ए), (स)

14.14 (ड), (बी)

14.15 (अ), (बी), (ड)

14.16 (अ), (बी), (क)

14.17 (अ), (बी) (ड)

14.18 (अ), (स), (ड)

14.19 (ई) (ए),(ग),(म),(स)

14.20 $2 k x$ बायाँ दिशा में।

14.21 (ए) त्वरण स्थान से सीधाप्रतिसारित है।

(ख) त्वरण स्थान के विपरीत दिशा में होती है।

14.22 हटौली की गुब्बारा धरती से स्थिति से अनच्छिद्रित होने पर जब क्रिया के तंत्रीय अनुक्रम में ${\sin}(\theta)\approx \theta$ होता है।

उदाहरण समस्याएं - भौतिक शास्त्र

14.23 $+\omega$

14.24 चार

14.25 $-\mathrm{ve}$

14.27

14.28 $l_{m}=\frac{1}{6} l_{E}=\frac{1}{6} \mathrm{~m}$

14.29 यदि भार $m$ को $h$ द्वारा नीचे खींचा जाता है, तो धरती $2 h$ तक बढ़ जाएगी (क्योंकि प्रत्येक ओर $h$ से विस्तार होता है)। कमरे और धरती पर तनाव एक समान होता है।

सक्रिय हालत में

$$ m g=2(k .2 h) $$

और $k$ धातु संख्यक है।

$x$ द्वारा माप किये जाने पर माप नीचे गिराया जाता है,

$$ \begin{aligned} & F=m g-2 k(2 \hbar+2 x) \ & \quad=-4 k x \ & \text { सूत्र } T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 k}} \end{aligned} $$

14.30 $y=\sqrt{2} \sin (\omega t-\pi / 4) ; T=2 \pi / \omega$

14.31 $\frac{A}{\sqrt{2}}$

14.32 $U=U_{\mathrm{o}}(1-\cos \alpha x)$

$F=\frac{-d U}{d x}=\frac{-d}{d x}(U_{o}-U_{o} \cos a x)$

$=-U_{\mathrm{o}} \alpha \sin \alpha \mathrm{x}$

$-U_{o} \alpha \alpha x \text {(छोटे $\alpha x$ के लिए,} \sin \alpha x \approx \alpha x)$

$=-U_{0} \alpha^{2} x$

हम जानते हैं कि $F=-k x$ होता है।

सो, $k=U_{o} \alpha^{2}$

$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{U_{o} \alpha^{2}}}$

14.33 $x=5 \sin 5 t$.

14.34 $\theta_{1}=\theta_{o} \sin \left(\omega t+\delta_{1}\right)$

$\theta_{2}=\theta_{o} \sin \left(\omega t+\delta_{2}\right)$

पहले के लिए, $\theta=2^{\circ}, \therefore \sin \left(\omega t+\delta_{1}\right)=1$

दूसरे के लिए, $\theta=-1^{\circ}, \therefore \sin \left(\omega t+\delta_{2}\right)=-1 / 2$

$\therefore \omega t+\delta_{1}=90^{\circ}, \omega t+\delta_{2}=-30^{\circ}$

$\therefore \delta_{1}-\delta_{2}=120^{\circ}$

14.35 (a) हाँ।

(b) अधिकतम वजन $=M g+M A \omega^{2}$

$$ \begin{aligned} & =50 \times 9.8+50 \times \frac{5}{100} \times(2 \pi \times 2)^{2} \ & =490+400=890 \mathrm{~एन} . \end{aligned} $$

न्यूनतम वजन $=M g-M A \omega^{2}$

$$ \begin{aligned} & =50 \times 9.8-50 \times \frac{5}{100} \times(2 \pi \times 2)^{2} \ & =490-400 \ & =90 \mathrm{~एन} . \end{aligned} $$

अधिकतम वजन सबसे ऊपरी स्थिति में होता है,

न्यूनतम वजन सबसे निचली स्थिति में होता है।

14.36 (a) $2 \mathrm{~सेमी}$ (b) $2.8 \mathrm{~सेकंड^{-1}}$

14.37 लॉग को दबाया जाता है और सामत्य स्थान पर लंबवत स्थानांतरण $x_{0}$ होता है।

स्थिरता पर

$m g=$ प्रेरित बल

$=A x_{o} \rho g$

जब इसे और बाहरी स्थिति $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो प्रेरित बल

होता है $A\left(x_{o}+x\right) \rho g$।

लघु प्रतिस्थापन बल

$=$ प्रेरित बल - वजन

$=A\left(x_{o}+x\right) \rho g-m g$

$=(A \rho g) x$. अर्थात् $x$ के प्रतिष्ठित का सरकारी रूप से प्रतिष्ठित है।

$\therefore T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}}$

14.38 विचार कीजिए तारी में स्त्रोत को जिसमें दूध है, को जिस लंबाई तक किया जाए। कण का मास $dx$ है. उसकी मास $A \rho d x$ होती है और ऊँचाई $x$ में होती हैं। पॉटेंशियल ऊर्जा

$=A \rho d x g x$

बायां कॉलम की पॉटेंशियल ऊर्जा

$=\int_{o}^{h_{1}} A \rho g x d x$

$$ =\left.A \rho g \frac{x^2}{2}\right|_0^{h1}=A \rho g \frac{h_1^2}{2}=\frac{A \rho g l^2 \sin^2 45^{\circ}}{2} $$

उसी तरह, दायां कॉलम की पॉटेंशियल ऊर्जा $=A \rho g \frac{h_{2}{ }^{2}}{2}=\frac{A \rho g l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}}{2}$

$h_{1}=h_{2}=l \sin 45^{\circ}$ जहां $l$ ट्यूब की एक बांध पर दूध की लंबाई है।

कुल पॉटेंशियल ऊर्जा $=A \rho g h^{2}=A \rho g l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}=\frac{A \rho g l^{2}}{2}$

अगर बायां तरफ़ ट्यूब में दूध की स्तर में बदलाव $y$ है, तो बायां तरफ़ दूध की लंबाई $l-y$ होती है और दायां तरफ़ में $l+y$ होती है।

कुल पॉटेंशियल ऊर्जा $=A \rho g(l-y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}+A \rho g(l+y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}$

परिवर्तन में $PE=(PE)_f-(PE)_i$

$$ \begin{aligned} & =\frac{A \rho g}{2}\left[(l-y)^{2}+(l+y)^{2}-l^{2}\right] \\ & =\frac{A \rho g}{2}\left[\not^{2}+y^{2}-2 \not \not y+l^{2}+y^{2}+2 \not y y-l^{2}\right] \\ & =A \rho g\left[y^{2}+l^{2}\right] \end{aligned} $$

कुछक परिवर्तन $=\frac{1}{2} A \rho 2 l y^{2}$

कुल ऊर्जा में परिवर्तन $=0$

$$ \Delta(P . E)+\Delta(K . E)=0 $$

$$ A \rho g\left[l^{2}+y^{2}\right]+A \rho l y^{2}=0 $$

दोनों पक्षों को समय के साथ अलग करने पर,

कंटेंट का होता है: $A \rho g\left[0+2 y \frac{d y}{d t}\right]+2 A \rho l y y=0$

$2 A \rho g y+2 A \rho l y=0$

$l y+g y=0$

$y+\frac{g}{l} y=0$

$\omega^{2}=\frac{g}{l}$

$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

14.39 ऊर्जा सतह पर तत्व $P=\frac{g \cdot x}{R}$ पर गुरुत्वाकर्षण का निकटतम रूप आता है।

बल $=\frac{m g x}{R}=-k \cdot x, \quad k=\frac{m g}{R}$

गति साधारित होगी SHM के साथ कालांक $T=\sqrt{\frac{m}{K}}=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

14.40 मान ले $t=0$ जब $\theta=\theta_{0}$। तब,

$\theta=\theta_{0} \cos \omega t$

दिया गया है कि एक सेकंड की दोहरी धरती $\omega=2 \pi$

समय $t_{1}$ पर, लें $\theta=\theta_{0} / 2$

$\therefore \quad \cos 2 \pi t_{1}=1 / 2 \Rightarrow t_{1}=\frac{1}{6}$

$\dot{\theta}=-\theta_{0} 2 \pi \sin 2 \pi t \quad\left[\dot{\theta}=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\right]$

$t_{1}=1 / 6$ पर

$\dot{\theta}=-\theta_{0} 2 \pi \sin \frac{2 \pi}{6}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0}$

इसलिए रैखिक वेग है

$\mathrm{u}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l$ तार से लंबवत।

ऊर्ध्वाधारी घटक है

$u_{y}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0}$ और क्षैतिज घटक है

$u_{x}=-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \cos \theta_{0}$

जब वह टूटता है, ऊर्ध्वाधारी ऊंचाई होती है

$H^{\prime}=H+l\left(1-\cos \left(\theta_{0} / 2\right)\right)$

गिरने के लिए समय की आवश्यकता है $t$, तो

$H^{\prime}=u_{y} t+(1 / 2) g t^{2}$ (ध्यान दें $g$ भी नकारात्मक दिशा में है)

या, $\frac{1}{2} g t^{2}+\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0} t-H^{\prime}=0$

$\therefore t=\frac{-\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sin \theta_{0} \pm \sqrt{3 \pi^{2} \theta_{0}^{2} \mathrm{e}^{2} \sin ^{2} \theta_{0}+2 g H^{\prime}}}{g}$

$\frac{-\sqrt{3} \pi l \theta_{0}^{2} \pm \sqrt{3 \pi^{2} \theta_{0}^{4} l^{2}+2 g H^{\prime}}}{g}$

$\theta_{0}$ के क्रम के आदेशों को नजरअंदाज करके,

$t \sqrt{\frac{2 H^{\prime}}{g}}$।

अब $H^{\prime} \quad H+l(1-1)=H \therefore t \sqrt{\frac{2 H}{g}}$

$x$ दिशा में यात्रित की गई दूरी $u_{x} t$ होती है, वहां से छलनी हो जाती है।

$X=\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \cos \theta_{o} \sqrt{\frac{2 H}{g}}$

$\theta_{0}$ के क्रम के आदेश के लिए,

$X=\sqrt{3} \pi \theta_{0} l \sqrt{\frac{2 H}{g}}=\sqrt{\frac{6 H}{g}} \theta_{0} l$।

छलनी के समय, बॉब का होता है

$l \sin \theta_{0} \quad l \theta_{0}$ दूरी से एशा तक।

इसलिए, $\mathrm{A}$ से दूरी है

$l \theta_{0}-\sqrt{\frac{6 H}{g}} l \theta_{0}=l \theta_{0}(1-\sqrt{6 H / g})$।