अध्याय 12

थर्मोडायनामिक्स

एमसीक्यू I

12.1 एक आदर्श गैस एक ही प्रारंभिक स्थिति से चार विभिन्न प्रक्रियाओं से गुजरती है (चित्र 12.1 में). चार प्रक्रियाएं अधिवहरणीय, समवायु, इसोबैरिक और इसोखोरिक होती हैं. $1,2,3$ और 4 में से कौन सी अधिवहरणीय है.

(a) 4

(b) 3

(c) 2

(d) 1

चित्र 12.1

12.2 यदि औसत व्यक्ति दौड़ता है, तो उसे $14.5 \times 10^{3} \mathrm{कॅल} / \mathrm{मिनट}$ उत्पन्न होता है. यह पसीने के वाष्पीयक्रिया द्वारा हटाया जाता है. मिनट में वाष्पीकरण के लिए $1 \mathrm{~किलोग्राम}$ का उदाहरण लिया जाता है, तो पसीने का उत्पन्न होता है

(a) $0.25 \mathrm{~किलोग्राम}$

(b) $2.25 \mathrm{~किलोग्राम}$

(c) $0.05 \mathrm{~किलोग्राम}$

(d) $0.20 \mathrm{~किलोग्राम}$

उदाहरण समस्या-भौतिकी

12.3 एक आदर्श गैस के लिए $P$ - $V$ आरेखण समझा जाता है जो चित्र 12.2 में दिखाया गया है.

चित्र 12.2

निम्नलिखित डायग्रामों में से (चित्र 12.3), कौन सा $T$-$P$ आरेखण दर्शाता है?

(i)

(iii)

(ii)

(iv)

चित्र 12.3

(a) (iv)

(b) (ii)

(c) (iii)

(d) (i)

12.4 एक आदर्श गैस चक्रिक प्रक्रिया $A B C D A$ को यथार्थ $P$-V आरेखण में दिखाया गया है (चित्र 12.4 में).

गैस द्वारा किया गया कार्य की मात्रा है

(a) $6 P_{o} V_{o}$

(b) $-2 P_{o} V_{o}$

(c) $+2 P_{o} V_{o}$

(d) $+4 P_{o} V_{o}$

चित्र 12.4

12.5 दो आपूर्ति-बन्धक A और B को समान दबाव, आयाम और तापमान में एक ही गैस संभवत: हैं. आपूर्ति-बन्धक में दबाव का आधा करके A और B में संक्षिप्त किया जाता है शर्ततापूर्वक जबकि B में गैस की आधिकारिक दबाव का अनुपात गैस A के प्रति होता है

(a) $2^{\gamma-1}$

(b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}$

(c) $\left(\frac{1}{1-\gamma}\right)^{2}$

(d) $\left(\frac{1}{\gamma-1}\right)^{2}$

12.6 एक तांबे के तीन खंडों में मात्राएँ $M_{1}, M_{2}$ और $M_{3} \mathrm{~किलोग्राम}$ के रूप में होंगी, जो संरक्षणीय तापमान तक पहुंचने तक उन्हें थर्मल संपर्क में लाएंगे. संपर्क से पहले, वे $T_{1}, T_{2}, T_{3}\left(T_{1}>T_{2}>T_{3}\right)$ पर थे. इसके अतिरिक्त, परिसर में उत्पन्न उष्णता की कोई हार्डिन नहीं है, तो संतुलन का तापमान $T$ होगा (तापीय $s$ है)

कंटेंट का हिंदीसंस्करण क्या है:

(a) $T=\frac{T_{1}+T_{2}+T_{3}}{3}$

(b) $T=\frac{M_{1} T_{1}+M_{2} T_{2}+M_{3} T_{3}}{M_{1}+M_{2}+M_{3}}$

(c) $T=\frac{M_{1} T_{1}+M_{2} T_{2}+M_{3} T_{3}}{3\left(M_{1}+M_{2}+M_{3}\right)}$

(d) $T=\frac{M_{1} T_{1} s+M_{2} T_{2} s+M_{3} T_{3} s}{M_{1}+M_{2}+M_{3}}$

MCQ II

12.7 नीचे दिए गए प्रक्रियाओं में से कौन सी प्रक्रियाएँ अवकाशीय हैं?

(a) लोहे की एक रॉड को हथौड़े से मारकर उसके तापमान को बढ़ाना।

(b) किसी छोटे कंटेनर में एक गैस जिसका तापमान $T_{1}$ है, को उससे ऊचा तापमान $T_{2}$ वाले बड़े रिजर्वर से संपर्क में लाया जाता है, जो गैस का तापमान बढ़ाता है।

(c) एक आदर्श गैस की तापमान बदलने वाली सन्नतिक आवर्ती विस्तार। इसके लिए एक मकड़ी में लगे फ्रिक्शनलेस अर्धचंद्राकृति कोष्ठ।

(d) एक आदर्श गैस को एडियबेटिक दीवारों वाले पिस्टन सिलेंडर व्यवस्था में बंद कर दिया जाता है। गैस को संपीड़ित करने के लिए एक वजन $\mathrm{W}$ पिस्टन में जोड़ा जाता है।

12.8 एक आदर्श गैस को किसी प्रारंभिक राज्य से अंतिम राज्य तक आदर्श धारणाओं से गुजरता है। सही विकल्प चुनें।

(a) $\mathrm{d} U=0$

(b) $\mathrm{d} Q=0$

(c) $\mathrm{d} Q=\mathrm{d} U$

(d) $\mathrm{d} Q=\mathrm{d} W$

12.9 आदर्श गैस के $P-V$ आरेखण का चित्र 12.5 में दिखाया गया है, जो अवस्था A से B में परिवर्तन कर सकता है। चित्र में दिखाए गए चार अलग-अलग भाग I, II, III और IV एक ही परिवर्तन के लिए प्राप्त कर सकते हैं।

(a) IV और III मामलों में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है, लेकिन I और II में नहीं।

(b) चारों मामलों में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है।

(c) चीजें I केस में ज्यादा से ज्यादा होती है

(d) चीजें II केस में कम से कम होती हैं।

12.10 एक इंजन द्वारा गतिमानिकी (चित्र 12.6)

1 से 2 है आयामी

2 से 3 अधिप्रतिस्थापना

3 से 1 है अधिप्रतिस्थापना

इस तरह की प्रक्रिया मौजूद नहीं है क्योंकि

चित्र 12.5

(a) इस प्रक्रिया में ऊष्मा पूरी तरह से यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित होती है, जो संभव नहीं है।

(b) यांत्रिक ऊर्जा इस प्रक्रिया में पूरी तरह से ऊष्मा में परिवर्तित होती है, जो संभव नहीं है।

(c) दो अधिप्रतिस्थापनाओं को प्रदर्शित करने वाली कर्वेज़ एक दुसरे से कट जाती है।

(d) एक अधिप्रतिस्थापना प्रक्रिया और एक आयामी प्रक्रिया को प्रदर्शित करने वाली कर्वेज़ एक दुसरे से कट जाती है। चित्र 12.6

12.11 चित्र 12.7 में दिखाए गए गर्मी इंजन को विचार करें। एक चक्र में गर्मी का उपयोग किया जाता है $T_{1}$ और गर्मी बाथ $T_{2}$ से लिया जाता है। परियोजना पर यांत्रिक कार्य $W$ किया जाता है।

यदि $W>0$, तो संभावनाएँ हैं:

(a) $Q_{1}>Q_{2}>0$

(b) $Q_{2}>Q_{1}>0$

(c) $Q_{2}<Q_{1}<0$

(d) $Q_{1}<0, Q_{2}>0$

चित्र 12.7

12.12 क्या एक प्रणाली को तापित किया जा सकता है और उसका तापमान स्थिर रह सकता है?

12.13 एक सिस्टम $P$ से $Q$ तक दो अलग-अलग पथों से प्रवास करता है, जैसा कि चित्र 12.8 में दिखाया गया है। पथ 1 में सिस्टम को दिया गया ऊष्मा $1000 \mathrm{~J}$ है। पथ 1 के द्वारा सिस्टम द्वारा किया गया कार्य, पथ 2 के मुकाबले $100 \mathrm{~J}$ ज्यादा है। पथ 2 में सिस्टम द्वारा विनिमयित ऊष्मा क्या है?

12.14 यदि एक रेफ्रिजरेटर का दरवाजा खुला रखा जाता है, तो क्या कमर ठंडी या गर्म होगी? समझाएँ।

12.15 क्या आप बिना उसमें ऊष्मा जोड़े एक गैस के तापमान को बढ़ाने करना संभव है? समझाएँ।

12.16 ड्राइविंग के दौरान कार टायर में हवा का दबाव बढ़ता है। समझाएँ।

एसए

12.17 $T_{1}=500 \mathrm{~K}$ और $T_{2}=300 \mathrm{~K}$ के बीच कार्नो का चक्र चराया जा रहा है जिससे प्रति चक्र में $1 \mathrm{~kJ}$ यांत्रिक कार्य होता है। रिजर्वोयर्स द्वारा इंजन को पहुंचाई गई ऊष्मा ढूँढें।

12.18 $60 \mathrm{~kg}$ के एक व्यक्ति को $10 \mathrm{~m}$ ऊँची सीढ़ियों पर ऊपर-नीचे जाकर $5 \mathrm{~kg}$ घटाना है। यह मान लें कि वह ऊपर जाते समय निचे आने की तुलना में दोगुना तेल जलाता है। $1 \mathrm{~kg}$ तेल खपत होने पर 7000 किलो कैलोरी विलय होती है, तो वह कितने बार ऊपर-नीचे जाने के लिए जाना होगा ताकि उसका वजन $5 \mathrm{~kg}$ कम हो जाए?

12.19 एक चक्रीय टायर एक पंप द्वारा हवा से भरी जा रही है। $V$ टायर की आयतनिक माप (निश्चित) होती है और पंप के प्रत्येक स्ट्रोक में, ट्यूब में हवा की रूपांतरित की $\Delta V(\quad V)$ जाती है। जब ट्यूब में दबाव $P_{1}$ से $P_{2}$ तक बढ़ाता है, तो जब भी कार्य किया जाता है?

12.20 एक रेफ्रिजरेटर में निम्नतम तापमान से ऊष्मा निकाली जाती है और उच्चतम तापमान पर वातावरण में जमा की जाती है। इस प्रक्रिया में, यांत्रिक कार्य किया जाना होता है, जिसे एक विद्युत मोटर द्वारा प्रदान किया जाता है। यदि मोटर $1 \mathrm{~kW}$ शक्ति का हो, और ऊष्मा $-3^{\circ} \mathrm{C}$ से $27^{\circ} \mathrm{C}$ तक से स्थानांतरित होती है, तो परफेक्ट इंजन के $50 %$ की क्षमता के मान्य मानक के अनुसार प्रति सेकंड कितनी ऊष्मा निकाली जाती है?

12.21 यदि एक रेफ्रिजरेटर का प्रतिस्पर्धा सूचकांक 5 है और कमरे के तापमान पर चलता है $\left(27^{\circ} \mathrm{C}\right)$, तो रेफ्रिजरेटर के अंदर का तापमान निकालें।

12.22 किसी निश्चित गैस की प्रारंभिक स्थिति $\left(P_{\mathrm{i}}, V_{\mathrm{i}}, T_{\mathrm{i}}\right)$ है। यह स्थिति से विस्तार होता है जब उसकी आयतनिक माप $V_{\mathrm{f}}$ हो जाती है। निम्नलिखित दो स्थितियों को विचार करें:

(a) विस्तार निरंतर तापमान पर होता है।

(b) विस्तार निरंतर दबाव पर होता है।

प्रत्येक मामले के लिए $P$ - $V$ आरेखित करें। दोनों मामलों में से किस मामले में गैस द्वारा कार्य अधिक किया जाता है?

एलए

12.3

चित्र 12.9

एक सिलेंड्रिकल कंटेनर में आठ ईमोल के एक परिपक्व गैस द्वारा अनुसरण की गई एक पे-वी आरेख जिसकी पथ चित्र 12.9 में दिखाई गई है।

(a) रासायनिक को दूसरे की तिल से गए जब कार्य होता है।

(b) यदि $V_{2}=2 V_{1}$ हो, तो तापमान $T_{1} / T_{2}$ का अनुपात क्या है?

(c) $T$ तापमान पर एक मोल गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा $(3 / 2) R T$ दी जाती है, तो जब यह स्थिति 1 से 2 तक ली जाती है, तो गैस को कितनी गर्मी प्रदान की जाती है, जब $V_{2}=2 V_{1}$ है?

12.24 इंजन द्वारा एक मोल पूर्ण गैस के साथ चक्र (एक सिलेंडर और एक पिस्टन से बना हुआ) ने फॉलो किया गया है जो चित्र 12.10 में दिखाया गया है।

चित्र 12.10 A से B: ठोस मात्रा

B से C: अधिभौतिक

C से D: ठोस मात्रा

D से A: अधिभौतिक

$V_{C}=V_{D}=2 V_{A}=2 V_{B}$

(a) चक्र के किस हिस्से में इंजन को बाहर से ऊर्जा प्रदान की जाती है?

(b) चक्र के किस हिस्से में इंजन द्वारा आसपास को ऊर्जा दी जाती है?

(c) एक चक्र में इंजन द्वारा किया गया कार्य क्या है? अपना उत्तर $P_{A}, P_{B}, V_{A}$ के रूप में लिखें।

(d) इंजन कार्यक्षमता क्या है?

[$\gamma=5 / 3$ गैस के लिए], $\left(C_{v}=\frac{3}{2} R\right).$ एक मोल के लिए

12.25 एक इंजन द्वारा फॉलो किया गया एक चक्र (एक सिलेंडर और एक पिस्टन से बना हुआ) चित्र 12.11 में दिखाया गया है। प्रत्येक चक्र के लिए अपरिसरकों के साथ यंत्र द्वारा विनिमयित गर्मी का पता लगाएं। $\left(C_{v}=(3 / 2) R\right)$

AB: स्थिर मात्रा

BC: स्थिर दबाव

CD: अधिभौतिक

DA: स्थिर दबाव

चित्र 12.11

12.26 मान लीजिए कि एक आदर्श गैस ($n$ मोल) का सम्पन्न होना का एक प्रक्रिया है $P=f(V)$, जो एक बिंदु $\left(V_{0}, P_{0}\right)$ से गुजरती है। दिखाएं कि यदि $P=f(V)$ की रेखा की ढाल एक बिंदु $\left(P_{0}, V_{0}\right)$ से गुजरने वाली अधिभौतिक की ढाल से अधिक हो, तो गैस ने $\left(P_{o}, V_{0}\right)$ पर ऊष्मा संधारित की है।

12.27 यह विचार करें कि एक मोल की पूर्ण गैस (एक यूनिट की सीमा वाले सिलेंडर में पिस्टन के साथ) और सिलेंडर के नीचे जुड़े हुए एक स्प्रिंग (स्प्रिंग संकेत $k$ के साथ) के साथ एक पिस्टन संलग्न है (अविति संघटन $L$ है)। प्रारंभिक रूप में स्प्रिंग अस्थिर है और गैस संतुलन में है। गैस को एक मात्रा $Q$ ताप प्रदान की जाती है, जिससे व्यास $\mathrm{V}{0}$ से $\mathrm{V}{1}$ बढ़ता है।

(a) प्रणाली की प्रारंभिक दबाव क्या है?

(b) प्रणाली का अंतिम दबाव क्या है?

(c) थर्मोडायनेमिक्स का प्रथम नियम का उपयोग करते हुए, $Q, P_{a}, V, V_{o}$ और $k$ के बीच एक संबंध लिखें। वातावरणीय दबाव $=\mathrm{P}_{\mathrm{a}}$

चित्र 12.12

समाधान 12

12.1 (c) अधिभौतिक

A एक ईसोबारिक प्रक्रिया है, D एक इसोकोरिक है। B और C में, B की ढाल (मात्रा) छोटी है इसलिए यह इसोथर्म है। शेष प्रक्रिया अधिभौतिक है।

12.2 (a)

12.3 (c)

12.4 (b)

12.5 (a)

12.6 (ब)

12.7 (अ), (ब) और (द)।

12.8 (अ), (द)

12.9 (ब), (सी)

12.10 (अ), (सी)

12.11 (अ), (सी)

12.12 यदि प्रणाली तरफ़ से गर्मी को पूरा करने के लिए कार्य करती है, तो तापमान स्थिर रह सकता है।

12.13 $U_{p}-U_{Q}=$ प्रणाली पर पथ 1 में कार्य.डी. $+1000 \mathrm{~जूल}$

$=$ प्रणाली पर पथ 2 में कार्य.डी. $+\mathrm{Q}$

$$ Q=(-100+1000) \mathrm{जूल}=900 \mathrm{~जूल} $$

12.14 यहां निकाली गई गर्मी गर्मी संपूर्ण और इसलिए कम है और इसलिए कक्ष, जिसमें फ्रिज भी शामिल है (जो कक्ष से इंसुलेटेड नहीं है), गर्म होता है।

12.15 हां। जब गैस अपघटनीय संपीड़न को अनुभव करती है, तो उसका तापमान बढ़ता है।

$\mathrm{d} Q=\mathrm{d} U+\mathrm{d} W$

क्योंकि $\mathrm{d} Q=0$ (अडियाबैटिक प्रक्रिया)

तो $\mathrm{d} U=-\mathrm{d} W$

संपीड़न में, प्रणाली पर कार्य होता है सो, $\mathrm{dW}=-\mathrm{र}।र।$

$\Rightarrow \mathrm{d} U=+\mathrm{रे}$

तो गैस का आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है, अर्थात उसका तापमान बढ़ता है।

12.16 ड्राइव के दौरान, गैस का तापमान बढ़ता है जबकि इसका आयतन स्थिर रहता है।

इसलिए, चार्ल के नियम के अनुसार, स्थिर आयतन पर P $\alpha$ T।

इसलिए, गैस का दबाव बढ़ता है।

12.17 $\frac{Q}{Q_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{3}{5}, \quad Q_{1}-Q_{2}=10^{3} \mathrm{~J}$

$Q_{1}\left(1-\frac{3}{5}\right)=10^{3} \mathrm{~J} \Rightarrow Q_{1}=\frac{5}{2} \times 10^{2} \mathrm{~J}=2500 \mathrm{~J}, Q_{2}=1500 \mathrm{~J}$

12.18 $5 \times 7000 \times 10^{3} \times 4.2 \mathrm{~जूल}=60 \times 15 \times 10 \times \mathrm{N}$

$$ N=\frac{21 \times 7 \times 10^{6}}{900}=\frac{147}{9} \times 10^{3}=16.3 \times 10^{3} \text { बार. } $$

2.19 $P\left[1+\gamma \frac{\Delta v}{V}\right]=P\left(1+\frac{\Delta p}{P}\right)$

$\gamma \frac{\Delta v}{V}=\frac{\Delta p}{P} ; \frac{d v}{d p}=\frac{V}{\gamma p}$

W.D. $=\int_{P_{1}}^{P_{2}} p d v=\int_{P_{1}}^{P_{2}} p \frac{V}{\gamma p} d p=\frac{\left(P_{2}-P_{1}\right)}{\gamma} V$

12.20

$\eta=1-\frac{270}{300}=\frac{1}{10}$

प्रशीतक में कोयलाकर्षक का प्रदर्शन $=0.5 \eta=\frac{1}{20}$

यदि $Q$ ऊर्जा/सबंधीत ऊर्जा है जो अधिकतम तापमान पर संक्रमित होने के बाद, $\frac{W}{Q}=\frac{1}{20}$

या $\mathrm{Q}=20 \mathrm{~वॉट}=20 \mathrm{~के.जू.}$,

और निकाली गई गर्मी निम्न तापमान से $=19 \mathrm{~के.जू.}$।

12.21 $\frac{Q_{2}}{W}=5, Q_{2}=5 \mathrm{~वॉट}, Q_{1}=6 \mathrm{~वॉट}$

$$ \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{5}{6}=\frac{T}{300}, \quad T_{2}=250 \mathrm{~के}=-23 \mathrm{^{\circ}C} $$

12.22 प्रत्येक मामिले के लिए यहां $P$ - $V$ आरेख दिखाया गया है। मामिला (i में $P_{\mathrm{i}} V_{\mathrm{i}}=P_{\mathrm{f}} V_{\mathrm{f}}$ है; इसलिए प्रक्रिया साम्यात्मक है। कार्य किया गया $=$ $\mathrm{PV}$ वक्र के तहत क्षेत्र है इसलिए कार्य किया जाता है जब गैस स्थिर दबाव में विस्तारित होता है।

12.23 (अ) गैस द्वारा किया गया कार्य (लेट पर $\mathrm{PV}^{1 / 2}=A$ )

$ \Delta W =\int_{V1}^{V2} p d v=A \int_{V1}^{V2} \frac{d V}{\sqrt{V}}=A\left[\frac{\sqrt{V}}{1 / 2}\right]_{V1}^{V2}=2 A\left(\sqrt{V2}-\sqrt{V1}\right) $

$ =2 P_{1} V_{1}^{1 / 2}\left[V_{2}^{1 / 2}-V_{1}^{1 / 2}\right] $

(b) Since $T=p V / n R=\frac{A}{n R} \cdot \sqrt{V}$

Thus, $\frac{T_{2}}{T_{1}}=\sqrt{\frac{V_{2}}{V_{1}}}=\sqrt{2}$

(c) Then, the change in internal energy

$$ \Delta U=U_{2}-W_{1}=\frac{3}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{3}{2} R T_{1}(\sqrt{2}-1) $$

$$ \begin{aligned} & \Delta W=2 A \sqrt{V_{1}}(\sqrt{2}-1)=2 R T_{1}(\sqrt{2}-1) \ & \Delta Q=(7 / 2) R T_{1}(\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

12.24 (a) A to B

(b) C to D

(c) W_{AB}=\int_A^B p d V=0 ; W_{C D}=0.

Similarly. W_{BC} = [∫_B^C p d V = k ∫_B^C d V/V^r = k V^{-r+1}/-R+1]_{VB}^{VC}

=\frac{1}{1-\gamma}\left(P_c V_c-P_B V_B\right)

Similarly, W_{D A} = \frac{1}{1-\gamma}\left(P_{A} V_{A}-P_{D} V_{D}\right)

Now P_{C}=P_{B}\left(\frac{V_{B}}{V_{C}}\right)^{\gamma}=2^{-\gamma} P_{B}

Similarly, P_D=P_A 2^{-\gamma}

Totat work done = W_{BC} + W_{DA}

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{1-\gamma}\left[P_{B} V_{B}\left(2^{-\gamma+1}-1\right)-P_{A} V_{A}\left(2^{-\gamma+1}-1\right)\right] \ & =\frac{1}{1-\gamma}\left(2^{1-\gamma}-1\right)\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} \ & =\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 / 3}\right)\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} \end{aligned} $$

(d) Heat supplied during process A, B

$$ \mathrm{d} Q_{A B}=\mathrm{d} U_{A B} $$

$$ Q_{A B}=\frac{3}{2} n R\left(T_{B}-T_{A}\right)=\frac{3}{2}\left(P_{B}-P_{A}\right) V_{A} $$

Efficiency = \frac{\text { Net Work done }}{\text { Heat Supplied }}=[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 / 3}]

12.25

Q_{A B} = U_{A B} = \frac{3}{2} R\left(T_{B}-T_{A}\right)=\frac{3}{2} V_{A}\left(P_{B}-P_{A}\right)

θ_{B C}=U_{B C}+W_{B C}

\begin{aligned} & =(3 / 2) P_{B}\left(V_{C}-V_{B}\right)+P_{B}\left(V_{C}-V_{B}\right) \ & =(5 / 2) P_{B}\left(V_{C}-V_{A}\right) \end{aligned}

Q_{CA}=0

Q_{D A}=(5 / 2) P_{A}\left(V_{A}-V_{D}\right)

12.26 Slope of P=f(V), curve at (V_{0}, P_{0})

=f(V_{o})

Slope of adiabat at (V_{0}, P_{0})

=k(-γ) V_o^{-1-γ}=-γ P_o / V_o

Now heat absorbed in the process P=f(V)

\begin{aligned} \mathrm{d} Q & =\mathrm{d} V+\mathrm{d} W \ & =n C_{v} \mathrm{~d} T+P \mathrm{dV} \end{aligned}

Since T=(1 / n R) P V=(1 / n R) V f(V)

\mathrm{d} T=(1 / n R)\left[f(V)+V f^{\prime}(V)\right] \mathrm{d} V

Thus

\frac{d Q}{d V^{{v=V_{o}}}}=\frac{C V}{R}\left[f\left(V_{o}\right)+V_{o} f^{\prime}\left(V_{o}\right)\right]+f\left(V_{o}\right)

=\left[\frac{1}{γ-1}+1\right] f\left(V_{o}\right)+\frac{V_{o} f^{\prime}\left(V_{o}\right)}{γ-1}

=\frac{γ}{γ-1} P_{o}+\frac{V_{o}}{γ-1} f^{\prime}\left(V_{o}\right)

Heat is absorbed when \mathrm{dQ} / \mathrm{d} V>0 when gas expands, that is when

\gamma P_{o}+V_o f^{\prime}\left(V_o\right)>0

हालाँकि, इनपुट सामग्री का हिन्दी संस्करण जितना कि पूर्वानुसार उत्पन्न करना काफी कठिन है, लेकिन मैं उसे आपके लिए बेस्ट जीता हूँ:

$ f^{\prime}\left(V_o\right)>-\gamma P_o / V_o $

12.27 (a) $P_{i}=P_{a}$

(b) $\quad P_{f}=P_{a}+\frac{k}{A}\left(V-V_{o}\right)=P_{a}+k\left(V-V_{o}\right)$

(c) सभी प्रदान करीब उष्मा को मेकेनिकल ऊर्जा में परिवर्तित कर देती है। कोई आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन नहीं होता है (परिपूर्ण गैस)

$$ \Delta Q=P_{a}\left(V-V_{o}\right)+\frac{1}{2} k\left(V-V_{o}\right)^{2}+C_{V}\left(T-T_{o}\right) $$

जहां $T_{o}=P_{a} V_{o} / R$,

$$ T=\left[P_{a}+(R / A)-\left(V-V_{o}\right)\right] V / R $$