संचारी बीजगणित
अध्याय 10
वेक्टर बीजगणित
10.1 अवलोकन
~~ 10.1.1 जिसकी मात्रा और दिशा दोनों होती है, उसे एक वेक्टर कहा जाता है।
~~ 10.1.2 $\vec{a}$ की दिशा में यूनिट वेक्टर $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ होता है और इसे $\hat{a}$ से प्रदर्शित किया जाता है।
~~ 10.1.3 किसी बिंदु $P(x, y, z)$ का स्थानीय वेक्टर $\overrightarrow{{}OP}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ और इसकी मात्रा $|\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ होती है, यहाँ $O$ मूल होता है।
~~ 10.1.4 एक वेक्टर के स्केलर घटक उसके दिशा अनुपात होते हैं, और उनका प्रतिनिधित्व उनके संबंधित अक्षों की पर्याप्तियों की होती है।
~~ 10.1.5 किसी भी वेक्टर की अधिकतम $r$, दिशा अनुपात $(a, b, c)$ और दिशा लोधा $(l, m, n)$ के रूप में जोड़े जाते हैं:
$ l=\frac{a}{r}, m=\frac{b}{r}, n=\frac{c}{r} . $
~~ 10.1.6 एक त्रिकोण के तीनों पक्षों को प्रतिस्थापित करने वाले वेक्टरों का योग $\overrightarrow{{}0}$ होता है।
~~ 10.1.7 वेक्टर जोड़ने के त्रिकोण के नियम का कहते हैं “यदि दो वेक्टर द्वारा प्रतिष्ठित हो रही हों, तो उनका योग या परिणामित तीसरी ओर का पक्ष द्वारा दिया जाता है।”
~~ 10.1.8 स्केलर गुणा
यदि $\vec{a}$ एक दिया गया वेक्टर है और $\lambda$ एक स्केलर है, तो $\lambda \vec{a}$ एक ऐसा वेक्टर होता है जिसकी मात्रा $|\lambda \vec{a}|=|\lambda|$ $|\vec{a}|$ होती है। $\lambda$ धनात्मक हो तो $\lambda \vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ के समान होती है और $\lambda$ मानात्मक हो तो $\lambda \vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ के विपरीत होती है।
~~ 10.1.9 दो बिंदुओं को जोड़ने वाला वेक्टर
यदि $P_1(x_1, y_1, z_1)$ और $P_2(x_2, y_2, z_2)$ किसी भी दो बिंदु हैं, तो
$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}P_1 P_2}=(x_2-x_1) \hat{i}+(y_2-y_1) \hat{j}+(z_2-z_1) \hat{k} \\ & |\overrightarrow{{}P_1 P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} \end{aligned} $
~~ 10.1.10 अनुभाग के फ़ॉर्मूला
बिन्दुओं $P$ और $Q$ के बीची हुई रेखा को विभाजित करने वाले एक बिन्दु $R$ का स्थान वेक्टर दिया जाता है जोकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ होते हैं
(i) मात्रा $m: n$ के अन्दरे, इसे $\frac{n \vec{a}+m \vec{b}}{m+n}$ लिया जाता है
(ii) मात्रा $m: n$ के बाहर, इसे $\frac{m \vec{b}-n \vec{a}}{m-n}$ लिया जाता है
~~ 10.1.11 $\vec{a}$ के आवरोहण को $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ कहते हैं और $\vec{a}$ के आवरोहण वेक्टर को $\Big(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\Big) \vec{b}$ कहते हैं।
~~ 10.1.12 स्केलर या डॉट गुणन
दिए गए दो वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का स्केलर या डॉट गुणन उनके बीच कोण $\theta$ होने पर निर्धारित होता है
$ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
~~ 10.1.13 वेक्टर या क्रॉस गुणन
दो वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का क्रॉस गुणन जिन्हें कोण $\theta$ बीच होता है, दिया जाता है
$\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$,
जहाँ $\hat{n}$ ऐसा एकीक वेक्टर है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को धारित करने वाले तथ्यक्षेत्र को लंबी दिशा में होता है और $\vec{a}, \vec{b}, \hat{n}$ एक सही हाथ में डंडा बनाते हैं।
~~
कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: 10.1.14 यदि $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ दो वेक्टर होते हैं और $\lambda$ कोई तक तार है, तो
$ \begin{aligned} & \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1) \hat{i}+(a_2+b_2) \hat{j}+(a_3+b_3) \hat{k} \\ & \lambda \vec{a}=(\lambda a_1) \hat{i}+(\lambda a_2) \hat{j}+(\lambda a_3) \hat{k} \\ & \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 \\ & \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} =(b_1 c_2-b_2 c_1) \hat{i}+(a_2 c_1-c_1 c_2) \hat{j}+(a_1 b_b-a_2 b_1) \hat{k} \end{aligned} $
दो वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण इसलिए होता है
$ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}} \sqrt{b_1^{2}+b_2^{2}+b_3^{2}}} $
10.2 हल किए गए उदाहरण
लघुतम उत्तर (S.A.)
~~ उदाहरण 1 दो वेक्टरों के योग की दिशा में इकाई दिशा वेक्टर ढूंढ़ें
$\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$.
समाधान $\vec{c}$ को $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के योग का प्रतीक बताएं। हमें है
$ \vec{c}=(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+(-\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})=\hat{i}+5 \hat{k} $
अब $|\vec{c}|=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$.
इसलिए, आवश्यक इकाई वेक्टर $\hat{c}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{1}{\sqrt{26}}(\hat{i}+5 \hat{k})=\frac{1}{\sqrt{26}} \hat{i}+\frac{5}{\sqrt{26}} \hat{k}$ है।
~~ उदाहरण 2 मात्रा 11 वाले वेक्टर की प्रतिदिशा में $\overrightarrow{{}PQ}$ के विपरीत दिशा में एक वेक्टर ढूंढें, यहाँ $P$ और $Q$ अंक $(1,3,2)$ और $(-1,0,8)$ हैं।
समाधान प्रारंभिक बिंदु $P(1,3,2)$ और अंतिम बिंदु $Q(-1,0,8)$ का वेक्टर निम्न रूप में होता है
$ \overrightarrow{{}PQ}=(-1-1) \hat{i}+(0-3) \hat{j}+(8-2) \hat{k}=-2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k} $
तो $ \overrightarrow{{}QP}=-\overrightarrow{{}PQ}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k} $
$ \Rightarrow|\overrightarrow{{}QP}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 $
इसलिए, $\overrightarrow{{}QP}$ की दिशा में इकाई वेक्टर निम्न रूप में है
$ \widehat{QP}=\frac{\overrightarrow{{}QP}}{|\overrightarrow{{}QP}|}=\frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{7} $
इसलिए, $\overrightarrow{{}QP}$ की दिशा में मात्रा 11 वाले वेक्टर का ढूंढा हुआ रूप होता है
$11 \widehat{QP}=11 \bigg(\frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{7} \bigg)=\frac{22}{7} \hat{i}+\frac{33}{7} \hat{j}-\frac{66}{7} \hat{k}$.
~~ उदाहरण 3 एक बिंदु $P$ और $Q$ को जो $P$ और $Q$ के बीच लाइन को विभाजित करता है जहाँ प्रतिष्ठानिक रूप से $\overrightarrow{{}OP}=2 \vec{a}+\vec{b}$ और $\overrightarrow{{}OQ}=\vec{a}-2 \vec{b}$, उस अनुपात में $1: 2$ होता है, (i) आंतरिक और (ii) बाहरी रूप में, एक बिंदु $R$ के स्थानीय वेक्टर की ढूंढें।
समाधान (i) दो संयोजित बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीची रेखा को आंतरिक अनुपात $1: 2$ में बांटने वाले बिंदु $R$ का स्थानीय वेक्टर निम्न रूप में होता है
$ \overrightarrow{{}OR}=\frac{2(2 \vec{a}+\vec{b})+1(\vec{a}-2 \vec{b})}{1+2}=\frac{5 \vec{a}}{3} . $
(ii) $P$ और $Q$ के बीच में शेयर को बाहरी अनुपात $1:2$ से विभाजित करने वाले बिंदु $R^{\prime}$ का स्थानीय श्रेणी वेक्टर इसे दिया गया है
$ \overrightarrow{{}OR^{\prime}}=\frac{2(2 \bar{{}a}+\vec{b})-1(\vec{a}-2 \bar{{}b})}{2-1}=3 \vec{a}+4 \vec{b} $
~~ उदाहरण 4 यदि बिंदु $(-1,-1,2),(2, m, 5)$ और $(3,11,6)$ सहसंबंधी हैं, तो $m$ की मान निकालें।
समाधान दिए गए बिंदु ए बिंदु (-1,-1,2), बी बिंदु (2, m, 5) और सी बिंदु (3,11,6) रखें। तो
$ \hspace {10mm} \overrightarrow{{}AB}=(2+1) \hat{i}+(m+1) \hat{j}+(5-2) \hat{k}=3 \hat{i}+(m+1) \hat{j}+3 \hat{k} $
और $ \quad \overrightarrow{{}AC}=(3+1) \hat{i}+(11+1) \hat{j}+(6-2) \hat{k}=4 \hat{i}+12 \hat{j}+4 \hat{k} . $
जैसा कि ए, बी, सी, सहसंबंधी हैं, हमारे पास $\overrightarrow{{}AB}=\lambda \ \overrightarrow{{}AC}$ होता है, अर्थात्,
$(3 \hat{i}+(m+1) \hat{j}+3 \hat{k})=\lambda(4 \hat{i}+12 \hat{j}+4 \hat{k})$
$\Rightarrow \quad 3=4 \lambda \text{ और } m+1=12 \lambda$
इसलिए $\quad m=8$.
~~ उदाहरण 5 वह एक इकाई है जिसकी आयतन $3 \sqrt{2}$ है और जो $y$ और $z$- अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{2}$ के कोण बनाता है, वह तलाशें।
समाधान यहां $m=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और $n=\cos \frac{\pi}{2}=0$ है।
इसलिए, $\quad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 \hspace{10mm}$ इसे
$l^{2}+\frac{1}{2}+0=1$
$\Rightarrow l= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
इसलिए, अपेक्षित आयतन $\vec{r}=3 \sqrt{2}(l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k})$ दिया गया है
$\vec{r}=3 \sqrt{2}( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+0 \hat{k})=\vec{r}= \pm 3 \hat{i}+3 \hat{j}$.
~~ उदाहरण 6 यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ हैं, तो $\boldsymbol{{}\lambda}$ ऐसी मान निकालें जिससे $\vec{a}$ ऊर्ध्वाधर होता है कोण $\lambda \vec{b}+\vec{c}$ के साथ।
समाधान हमारे पास है
$ \begin{aligned} \lambda \vec{b}+\vec{c} & =\lambda(\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})+(\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) \\ & =(\lambda+1) \hat{i}+(\lambda+3) \hat{j}-(2 \lambda+1) \hat{k} \end{aligned} $
चूँकि $\vec{a} \perp(\lambda \vec{b}+\vec{c}), \quad \vec{a} \cdot(\lambda \vec{b}+\vec{c})=0$
$ \begin{aligned} & \Rightarrow(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot[(\lambda+1) \hat{i}+(\lambda+3) \hat{j}-(2 \lambda+1) \hat{k}]=0 \\ & \Rightarrow 2(\lambda+1)-(\lambda+3)-(2 \lambda+1)=0 \\ & \Rightarrow \lambda=-2 . \end{aligned} $
~~ उदाहरण 7 $\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समतल के ऊपर लम्बे सभी वेक्टर ढूंढें जो आयतन $10 \sqrt{3}$ हैं।
समाधान आप $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ कह सकते हैं। तो
$ \begin{aligned} & \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} =\hat{i}(8-3)-\hat{j}(4+1)+\hat{k}(3+2)=5 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k} \\ & \Rightarrow \quad|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(5)^{2}+(-5)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{3(5)^{2}}=5 \sqrt{3} . \end{aligned} $
इसलिए, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के अनुप्रदेशक इकाई वेक्टर इस द्वारा दिए गए हैं
$ \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}=\frac{5 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}} $
इसलिए, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के लिए $10 \sqrt{3}$ अथवा $-10 \sqrt{3}$ स्थिरता समेकों यानी, $\pm 10(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ हैं।
Detailed Answer (D.A.)
~~ उदाहरण 8: वेक्टर का उपयोग करके दिखाएं कि $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$।
समाधान: छोटी-$x$ अक्षर की सकारात्मक दिशा के साथ $A$ और $B$ कोण बनाने वाले इकाई वेक्टर $\widehat{OP}$ और $\widehat{OQ}$ लें। यदि [चित्र 10.1]
$ \angle Q O P=A-B$ है। हमें ज्ञात है कि $\widehat{OP}=\overrightarrow{{}OM}+\overrightarrow{{}MP}=\hat{i} \cos A+\hat{j} \sin A$ और $\widehat{OQ}=\overrightarrow{{}ON}+\overrightarrow{{}NQ}=\hat{i} \cos B+\hat{j} \sin B$
परिभाषा के अनुसार $\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ}=|\widehat{OP}||\widehat{OQ}| \cos (A-B)$
$ =\cos (A-B) \hspace {10mm}\ldots(1) \quad (\because|\widehat{OP}|=1=|\widehat{OQ}|)$
घटकों के पहले, हमें जो पाते हैं
$ \begin{aligned} & \widehat{OP} \cdot \widehat{OQ}=(\hat{i} \cos A+\hat{j} \sin A) \cdot(\hat{i} \cos B+\hat{j} \sin B) \\ & =\cos A \cos B+\sin A \sin B \hspace {10mm} \ldots(2) \end{aligned} $
(1) और (2) से हम पाते हैं
$\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$।
~~ उदाहरण 9: सिद्ध करें कि एक $\triangle ABC$ में, $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$, जहां $a, b, c$ विपरीत कोणों के मान हैं।
समाधान: $BC, CA$ और $AB$ त्रिभुज के तीनों पक्षों को दिखानेवाले वेक्टर $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ से दिखाए गए हों [चित्र 10.2]।
हमें है
$ \quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0} \text{. यानि } \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c} $
यह $\vec{a}$ से पहले क्रॉस गुण किया जाने और
$\vec{b}$ से पहले क्रॉस गाढ़िए जाने पर
$ \vec{a} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{a} $
और $ \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c} $
माप की समानता के कारण।
$\begin{array}{} &\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \\ \\ \Rightarrow & |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}| \\ \\ \Rightarrow & |\vec{a}||\vec{b}| \sin (\pi-C) = |\vec{b}||\vec{c}| \sin (\pi-A) = |\vec{c}||\vec{a}| \sin (\pi-B) \\ \\ \Rightarrow & a b \sin C = b c \sin A = c a \sin B \end{array}$
$a b c$ से भाग करने से, हमें मिलता है
$ \frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b} \text{ यानि } \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} $
चित्र 10.2
उद्देश्यपरक प्रकार के प्रश्न
उदाहरण 10: वेगोर बहुजी $6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ का माग्नीट्यूड (A) 5, (B) 7, (C) 12, (D) 1 है | समाधान: (B) सही उत्तर है |
उदाहरण 11: बिंदु के स्थान वेग वेक्टर जिसने अनुपात $1: 2$ में स्थिति वेक्टर $\vec{a}+\vec{b}$ और $2 \vec{a}-\vec{b}$ का बिंदु बांटता है | (A) $\frac{3 \vec{a}+2 \vec{b}}{3}$, (B) $\vec{a}$, (C) $\frac{5 \vec{a}-\vec{b}}{3}$, (D) $\frac{4 \vec{a}+\vec{b}}{3}$ | समाधान: (D) सही उत्तर है | अनुपात फार्मूला का उपयोग करके पवित्र बिंदु का वेग वेक्टर है
$ \frac{2(\vec{a}+\vec{b})+1(2 \vec{a}-\vec{b})}{2+1}=\frac{4 \vec{a}+\vec{b}}{3} $
उदाहरण 12: $P(2,-3,5)$ और $Q(3,-4,7)$ के बीच अंतिम बिंदु $Q$ के बीज में वेग वेक्टर | (A) $\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$, (B) $5 \hat{i}-7 \hat{j}+12 \hat{k}$, (C) $ -\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$, (D) इनमें से कोई नहीं | समाधान: (A) सही उत्तर है |
उदाहरण 13: वेग वेक्टरों $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{j}-\hat{k}$ के बीच कोण है | (A) $\frac{\pi}{3}$, (B) $\frac{2 \pi}{3}$, (C) $\frac{-\pi}{3}$, (D) $\frac{5 \pi}{6}$ | समाधान: (B) सही उत्तर है | फार्मूला $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}$ का उपयोग करें.
उदाहरण 14: वेग वेक्टर $2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $3 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}$ लंब स्थली से है | (A) 2, (B) 4, (C) 6, (D) 8 | समाधान: (D) सही उत्तर है |
उदाहरण 15: उलट बारी जिसके आसान संपर्क हैं $\hat{i}+\hat{k}$, और $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ | (A) $\sqrt{2}$, (B) $\sqrt{3}$, (C) 3, (D) 4 | समाधान: (B) सही उत्तर है | जिसके आसान संपर्क हैं $\vec{a}$ और $\hat{b}$ का क्षेत्र $|\vec{a} \times \hat{b}|$ है |
उदाहरण 16: यदि $|\vec{a}|=8,|\vec{b}|=3$ और $|\vec{a} \times \vec{b}|=12$, तो मान $\vec{a} \cdot \vec{b}$ है | (A) $6 \sqrt{3}$, (B) $8 \sqrt{3}$, (C) $12 \sqrt{3}$, (D) इनमें से कोई नहीं | समाधान: (C) सही उत्तर है | फार्मूला $|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}||\sin \theta|$ का उपयोग करें, हमें $\theta= \pm \frac{\pi}{6}$ मिलता है।
इसलिए, $\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \theta=8 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=12 \sqrt{3}$।
उदाहरण 17: वेग वेक्टरों $\hat{j}+\hat{k}$ और $3 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ एक $\triangle ABC$ के दोनों पक्षों $A B$ और $AC$ को दर्शाते हैं। $A$ के माध्यम द्वारा माप है | (A) $\frac{\sqrt{34}}{2}$, (B) $\frac{\sqrt{48}}{2}$, (C) $\sqrt{18}$, (D) इनमें से कोई नहीं | समाधान: (A) सही उत्तर है | माध्यम $\overrightarrow{{}AD}$ द्वारा दिया गया है
$ |\overrightarrow{{}AD}|=\frac{1}{2}|3 \hat{i}+\hat{j}+5 \hat{k}|=\frac{\sqrt{34}}{2} $
उदाहरण 18: वेग वेक्टर $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के प्रक्षेप $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ के साथ है | (A) $\frac{2}{3}$, (B) $\frac{1}{3}$, (C) 2, (D) $\sqrt{6}$ | समाधान: (B) सही उत्तर है |
Solution (A) यह सही उत्तर है। हमें आवश्यकता है
$ \begin{aligned} (\sqrt{3} \vec{a}-\vec{b})^{2} & =3 \vec{a} ^{2}+ \vec{b} ^{2}-2 \sqrt{3} \vec{a} \cdot \vec{b} \\ & \Rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta=30^{\circ} . \end{aligned} $
~~ उदाहरण 20 उन संदर्भी वेक्टरों $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ के लिए इकाई वेक्टर जो दायाँ हाथी तंत्र बना रहा है
(A) $\hat{k}$
(B) $-\hat{k}$
(C) $\frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}}$
(D) $\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
Solution (A) यह सही उत्तर है। आवश्यक इकाई वेक्टर है $\frac{(\hat{i}-\hat{j}) \times(\hat{i}+\hat{j})}{|(\hat{i}-\hat{j}) \times(\hat{i}+\hat{j})|}=\frac{2 \hat{k}}{2}=\hat{k}$.
~~ उदाहरण 21 यदि $|\vec{a}|=3$ है और $-1 \leq k \leq 2$ है, तो $|k \vec{a}|$ अवधि में है
(A) $[0,6]$
(B) $[-3,6]$
(C) $[3,6]$
(D) $[1,2]$
Solution (A) यह सही उत्तर है। $|k \vec{a}|$ की सबसे छोटी मान होगी नेतृत्वीय छोटे मान पर मौजूद होगी अर्थात जब $k=0$ होता है, जो $|k \vec{a}|=|k||\vec{a}|=0 \times 3=0$ देता है।
का गणितीय सबसे गहन मान 2 होता है, जिस पर $|k \vec{a}|=6$।
10.3 अभ्यास लघु उत्तर (S.A.)
~~ 1. इकाई वेक्टर खोजें जो संदर्भी वेक्टरों $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{j}+\hat{k}$ की दिशा में हैं।
~~ 2. यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ है और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ है, तो इकाई वेक्टर खोजें
(i) $\quad 6 \vec{b}$
(ii) $\quad 2 \vec{a}-\vec{b}$
~~ 3. $\overrightarrow{{}PQ}$ की दिशा में एक इकाई वेक्टर खोजें, जहां $P$ और $Q$ के समांक $(5,0,8)$ और $(3,3,2)$ हैं।
~~ 4. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ $A$ और $B$ के स्थान वेक्टर हैं, तो ऐसी एक बिंदु $C$ का स्थान वेक्टर खोजें, जो $BC=1.5 BA$ को पैदा करता है।
~~ 5. वेक्टरों का उपयोग करके, $k$ का मान खोजें जो बिंदु (k,-10,3),(1,-1,3) और (3,5,3) के सरलीकरणी हैं।
~~ 6. एक वेक्टर $\vec{r}$ तीन धुरियों के बराबर कोणों में झुका हुआ है। यदि $\vec{r}$ का मान $2 \sqrt{3}$ इकाइयों है, तो $\vec{r}$ खोजें।
~~ 7. एक वेक्टर $\vec{r}$ का मान 14 है और इसकी दिशा अनुपात 2, 3, -6 है। दिए गए है कि $\vec{r}$ एकुंड दिशा $x$-चाप के साथ एक तीव्र कोण बनाता है तो, $\vec{r}$ का दिशा लिंगन और घटक खोजें।
~~ 8. उन दोनों वेक्टरों के लिए ऊचाई 6 का एक वेक्टर खोजें, जो एकसाथ $2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ के समांतरों हैं।
9. वेक्टरों $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$ के बीच का कोण ढूंढें।
~~ 10. यदि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ है, तो दिखाएं कि $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$। यह ज्यामिति रूप में परिणाम का व्याख्यातिक परिणाम है।
~~ 11. वेक्टरों $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ के बीच के साइन ढूंढें।
~~ 12. यदि $A, B, C, D$ ऐसे बिंदु हैं जिनके स्थान वेक्टर $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$, $2 \hat{i}-3 \hat{k}, 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं, तो $\overrightarrow{AB}$ का $\overrightarrow{CD}$ के साथ प्रोजेक्शन ढूंढें।
~~ 13. वेक्टरों का उपयोग करके, त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्र ढूंढें जिसके कोण $A(1,2,3)$, $B(2,-1,4)$ और $C(4,5,-1)$ हैं।
~~ 14. वेक्टरों का उपयोग करके साबित करें कि एक ही आधार और समांतरों के बीच समान क्षेत्रफल वाले समानोभुज के परिपट्ति होते हैं।
लंबा उत्तर (L.A.)
~~ 15. किसी भी त्रिभुज $ABC$ में, $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$ है, जहां $a, b, c$ विरोधी कोणों के पास सिरे हैं।
~~ 16. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ त्रिभुज के बिंदुओं को निर्धारित करते हैं, तो साबित करें कि $\frac{1}{2} \big[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}\big]$ त्रिभुज के वेक्टर क्षेत्रफल का विभाजक देता है। इससे निष्कर्ष निकालें कि तीन बिंदु $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ संलिप्त हैं। साथ ही त्रिभुज के समतल के लिए इकाई वेक्टर निर्धारित करें।
~~ 17. वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा दिए गए व्यासों वाले समानलम्बित समांतरचतुर्भुज के क्षेत्रफल को $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{2}$ माना जाता है। इसके अलावा, व्यासों के रूप में $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ के बीच के समांतरचतुर्भुज के क्षेत्रफल को भी ढूंढें।
~~ 18. यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{j}-\hat{k}$ हैं, तो एक ऐसा वेक्टर $\vec{c}$ ढूंढें जिसके लिए $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ होता है।
वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न
सभी अभ्यासों में से 19 से 33 तक में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें (M.C.Q)
~~ 19. वेरक्टर जो रुख का वेरक्टर $\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ के बराबर हो और मात्रा 9 स्थापित करता है
(A) $\quad \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$
(B) $\quad \frac{\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}}{3}$
(C) $\quad 3(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$
(D) $\quad 9(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$
~~ 20. बिन्दुओं $2 \vec{a}-3 \vec{b}$ और $\vec{a}+\vec{b}$ के महसूस की गई जुड़वट का अनुपात $3: 1$ है, वेरक्टर स्थान
(A) $\quad \frac{3 \vec{a}-2 \vec{b}}{2}$
(B) $\quad \frac{7 \vec{a}-8 \vec{b}}{4}$
(C) $\quad \frac{3 \vec{a}}{4}$
(D) $\quad \frac{5 \vec{a}}{4}$
~~ 21. प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के रूप में $(2,5,0)$ और $(-3,7,4)$, क्रमशः, रखित वेरक्टर
(A) $-\hat{i}+12 \hat{j}+4 \hat{k}$
(B) $5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$
(C) $-5 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$
(D) $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
~~
- दो संकेतों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का दोनों के मात्रा $\sqrt{3}$ और 4 हैं और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \sqrt{3}$ ही है
(A) $\frac{\pi}{6}$
(B) $ \frac{\pi}{3}$
(C) $\frac{\pi}{2}$
(D) $\frac{5 \pi}{2}$
~~ 23. ऐसा $\lambda$ का मान ढूंढें जहां रखो जैसे रखो वेक्टर $\vec{a}=2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ऊर्ध्वतानुरूप हों
(A) 0
(B) 1
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $-\frac{5}{2}$
~~ 24. ऐसा $\lambda$ का मान ढूंढें जहां रखो जैसे रखो वेक्टर $3 \hat{i}-6 \hat{j}+\hat{k}$ और $2 \hat{i}-4 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समांतर हों
(A) $\frac{2}{3}$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $\frac{5}{2}$
(D) $\frac{2}{5}$
~~ 25. उत्पन्नचिह्नित बिन्दुओं $A$ और $B$ की दिशा से वेक्टर $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ हों, तो समयांतर $OAB$ का क्षेत्र
(A) 340
(B) $\sqrt{25}$
(C) $\sqrt{229}$
(D) $\frac{1}{2} \sqrt{229}$
~~ 26. किसी भी वेक्टर $\vec{a}$ के लिए शक्ति $(\vec{a} \times \hat{i})^{2}+(\vec{a} \times \hat{j})^{2}+(\vec{a} \times \hat{k})^{2}$ के बराबर है
(A) $ \vec{a} ^{2}$
(B) $3 \vec{a} ^{2}$
(C) $4 \vec{a} ^{2}$
(D) $ 2 \vec{a} ^{2}$
~~ 27. यदि $|\vec{a}|=10,|\vec{b}|=2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ है, तब $|\vec{a} \times \vec{b}|$ की मान होगी
(A) 5
(B) 10
(C) 14
(D) 16
~~ 28. यदि $\lambda \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \hat{i}+\lambda \hat{j}-\hat{k}$ और $2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतली हो, तो
(A) $\lambda=-2$
(B) $ \lambda=0$
(C) $\lambda=1$
(D) $ \lambda=-1$
~~ 29. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाइ वेक्टर्स हैं ऐसा कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}$, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ की मान होगी
(A) 1
(B) 3
(C) $-\frac{3}{2}$
(D) कोई नहीं
~~ 30. $\vec{a}$ के $\vec{b}$ पर पराभास्वेक्टर है
(A) $\Big(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \Big) \vec{b}$
(B) $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
(C) $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
(D) $\Big(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^{2}}\Big) \hat{b}$
~~ 31. अगर $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन वेक्टर हों ऐसा कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}$ और $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|\vec{c}|=5$ हैं, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} . \vec{a}$ की मान क्या होगी
(A) 0
(B) 1
(C) -19
(D) 38
~~ 32. यदि $|\vec{a}|=4$ और $-3 \leq \lambda \leq 2$ है, तो $|\lambda \vec{a}|$ का सीमा होगी
(A) $[0,8]$
(B) $[-12,8]$
(C) $[0,12]$
(D) $[8,12]$
~~ 33. यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{j}+\hat{k}$ हैं, तो इकाई लंबवृत्त यी वेक्टरों $\vec{a}$ के लिए अनंत या विस्तृत होंगे
(A) एक
(B) दो
(C) तीन
(D) अनंत
- संकेतों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण का संख्यात्मक मध्य कैसे होगा
35. यदि $\vec{r} \cdot \vec{a}=0, \vec{r} \cdot \vec{b}=0$, और $\vec{r} \cdot \vec{c}=0$ की कुछ नॉन-जीरो वेक्टर $\vec{r}$ के लिए सत्य है, तो $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ की मान _____________ है।
~~ 36. वेक्टर $\vec{a}=3 i-2 j+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}-\widehat{2k}$ मनक त्रिभुज की पड़ोसियों हैं। उसके विपरीत कोण ________________ है।
~~ 37. $k$ के मान जिनके लिए $|k \vec{a}| \succ \vec{a} \mid$ और $k \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{a}$ को $\vec{a}$ के समानांतर होल्ड सच मानते हैं ___________________ होते हैं।
~~ 38. अभिव्येक्ति $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान _________________ है।
~~ 39. यदि $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=144$ और $|\vec{a}|=4$ है, तो $|\vec{b}|$ का मान _________________ है।
~~ 40. यदि $\vec{a}$ कोई भी नॉन-शून्य वेक्टर है, तो $(\vec{a} \cdot \hat{i}) \hat{i}+(\vec{a} \cdot \hat{j}) \hat{j}+(\vec{a} \cdot \hat{k}) \hat{k}$ का मान _____________ होता है।
हर एक निम्नलिखित अभ्यास में सत्य या असत्य का उल्लेख करें।
~~ 41. यदि $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है, तो इससे आवश्यक रूप से इम्प्लाई होता है कि $\vec{a}= \pm \vec{b}$।
~~ 42. एक बिंदु $P$ का स्थान योजक एक ऐसा वेक्टर है जिसका प्रारंभिक बिंदु मूल है।
~~ 43. यदि $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ है, तो वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अनुपाती हैं।
~~ 44. सूत्र $(\vec{a}+\vec{b})^{2}= \vec{a} ^{2}+ \vec{b} ^{2}+2 \vec{a} \times \vec{b}$ नॉन-शून्य वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए मान्य है।
~~ 45. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतरोभुज के सादार बाहु हैं, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ होगा।
समाधान
10.3 अभ्यास
~~ 1. $\frac{1}{3}(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$
~~ 2. (i) $\frac{1}{3}(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
(ii) $\frac{1}{\sqrt{37}}(\hat{j}+6 \hat{k})$
~~ 3. $\frac{1}{7}(-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$
~~ 4. $\vec{c}=\frac{3 \vec{b}-\vec{a}}{2}$
~~ 5. $k=-2$
~~ 6. $\pm 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$
~~ 7. $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{-6}{7} ; 4 \hat{i}, 6 \hat{j},-12 \hat{k}$
~~ 8. $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$
~~ 9. $\cos ^{-1} \Big(\frac{1}{\sqrt{156}}\Big)$
~~ 10. दोनों बाएं ओर बाईं ओर लेते हुए एक एक प्रायिकताओं के माध्यम से बने परलेलोग्राम का क्षेत्रसामाएं हैं
~~ 11. $\frac{2}{\sqrt{7}}$
~~ 12. $\sqrt{21}$
~~ 13. $\frac{\sqrt{274}}{2}$
~~ 16. $\hat{n}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}}{\big|\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}\big|}$
~~ 17. $\frac{\sqrt{62}}{2}$
~~ 18. $\frac{1}{3}(5 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$
~~ 19. ख
~~ 20. ड
~~ 21. ख
~~ 22. ब
~~ 23. ड
~~ 24. ए
~~ 25. ड
~~ 26. ड
~~ 27. ड
~~ 28. ए
~~ 29. ख
~~ 30. ए
~~ 31. ख
~~ 32. ख
~~ 33. ब
~~ 34. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ बराबर वेक्टर हैं
~~ 35. 0
३६. त्रयः (36) । $\frac{\pi}{4}$
३७. क इन्ह परिधानः (k) जो (-1,1) अन्तराले (]-1,1[) अस्ति, तेन न अस्ति (≠) -1/2 भञ्जन्ते $ $
३८. $|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$
३९. त्रयः (3)
४०. $\vec{a}$
४१. सत्यम् (True)
४२. सत्यम् (True)
४३. सत्यम् (True)
४४. असत्यम् (False)
४५. असत्यम् (False)
