अध्याय 11

त्रिविमीय ज्यामिति

11.1 अवलोकन

~~ 11.1.1 एक रेखा के दिशा कोसाइन वह त्रिज्या कोण होते हैं जो रेखा को न्यूनतम त्रिज्या की धुरों के साथ बनाते हैं।

~~ 11.1.2 यदि $l, m, n$ एक रेखा के दिशा कोसाइन हैं, तो $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ होता है।

~~ 11.1.3 दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिशा कोसाइन हैं

$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

यहां $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

~~ 11.1.4 रेखा के दिशा अनुपात वे संख्याएं हैं जो रेखा के दिशा कोसाइन के अनुपातिक होते हैं।

~~ 11.1.5 यदि $l, m, n$ एक रेखा के दिशा कोसाइन हैं और $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो $l=\frac{ \pm a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{ \pm}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{ \pm c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

~~ 11.1.6 व्यासित रेखाएं वे रेखाएं हैं जो न केवल समानांतर नहीं होती हैं, बल्क न किसी बिन्दु से टकराती हैं। वे अलग-अलग तलों में होती हैं।

~~ 11.1.7 व्यासगामी रेखाओं के बीच का कोण वह कोण होता है जो दो व्यासपार्श्विक रेखाओं से किसी एक बिंदु से आकार यापन किए जाने वाली दो रेखाओं के बीच का होता है। (स्थिर रंगों के माध्यम से संभवतः मुख्यतः मूल से होकर)

~~ 11.1.8 यदि $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ दो रेखाओं के दिशा कोसाइन हैं और $\theta$ दो रेखाओं के बीच का त्रिकोणमिति कोण है, तो

$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| $

~~ 11.1.9 यदि $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ दो रेखाओं के दिशा अनुपात हैं और $\theta$ दो रेखाओं के बीच का त्रिकोणमिति कोण है, तो

$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}} \cdot \sqrt{b_1^{2}+b_2^{2}+b_3^{2}}}| $

~~ 11.1.10 जो एक दिए गए बिंदु से जाती रेखा है जिसकी स्थान वेक्टर $\vec{a}$ है और जो एक दिए गए वेक्टर $\vec{b}$ के समानांतर है, उसका वेक्टर समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ है।

~~ 11.1.11 एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने वाली रेखा के दिशा कोसाइनों $l, m, n$ (या दिशा अनुपातों $a, b$ और $c$ ) का समीकरण है

$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} \text{ या } \big(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\big) . $

~~ 11.1.12 जो दो बिंदुओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ से गुजरने वाली रेखा है, उसका वेक्टर समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ है।

~~ 11.1.13 जो दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का कार्टेशियाई समीकरण है

$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} $

~~ 11.1.14 यदि $\theta$ वह त्रिकोणमिति कोण है जो रेखाएं $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b} _2$ के बीच होती हैं, तो $\theta$ दिया जाता है $\cos \theta=\frac{\big| \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2\big|}{\big| \vec{b} _1\big|\big| \vec{b} _2\big|}$ या $\theta=\cos ^{-1} \frac{\big| \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2\big|}{\big| \vec{b} _1\big|\big| \vec{b} _2\big|}$।

~~

कॉंटेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा:

11.1.15 यदि $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_1}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$ दो रेखाओं की समीकरण हैं, तो दो रेखाओं के बीच कोण $\theta$ दिया गया है $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$.

~~ 11.1.16 दो अलग-अलग रेखाओं के बीच छोटी दूरी वे दोनों रेखाओं के लिए ध्वनिकरण रेखा की लंबाई है।

~~ 11.1.17 समीकरण $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b} _2$ के बीच सबसे छोटी दूरी है

$ \Big|\frac{( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|}\Big| $

~~ 11.1.18 रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी: $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ है

$ \frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $

~~ 11.1.19 सदिश रेखाओं के बीच अंतर $\vec{r}= \vec{a} _1+\mu \vec{b}$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b}$ है

$ \Big|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{|\vec{b}|}\Big| . $

~~ 11.1.20 सरणि से दूरी $p$ पर स्थित प्लेन की वेक्टर समीकरण, जहाँ $\hat{n}$ प्लेन के लक्षित वेक्टर है, होगी $\vec{r} \cdot \hat{n}=p$.

~~ 11.1.21 स्थिति कोणों के लक्षित वर्गों $l, m, n$ के लिए मूल से दूरी $p$ पर स्थित प्लेन का समीकरण $l x+m y+n z=p$ है।

~~ 11.1.22 एक बिंदु से जिसका स्थानीय वेक्टर $\vec{a}$ है और जो वेक्टर $\vec{n}$ के लिए लता है, उसका समीकरण है $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}=0$ या $\vec{r} \cdot \vec{n}=d$, जहाँ $d=\vec{a} . \vec{n}$ होता है।

~~ 11.1.23 दिए गए रेखा के कोण अनुपातों $a, b, c$ के लिए एक बिंदु से लंब स्थित एक प्लेन का समीकरण है $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$।

~~ 11.1.24 तीन गैर-संरेखित बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले एक प्लेन का समीकरण है

$ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} =0 $

~~ 11.1.25 उन तीनों गैर-संरेखित बिंदुओं को शामिल करने वाले एक प्लेन का वेक्टर समीकरण है जिनका स्थानीय वेक्टर है $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \big[(\vec{b}-\vec{a}) \times(\vec{c}-\vec{a})\big]=0$

~~ 11.1.26 जो कोणधारियों $(a, 0,0),(0, b, 0)$ और $(0,0, c)$ पर स्थित होने वाला हो उस प्लेन का समीकरण है $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

~~ 11.1.27 जिसका समांतर रखा 2 प्लेनों $\vec{r} . \vec{n} _1=d_1$ और $\vec{r} . \vec{n} _2=d_2$ के पार करता है उसका वेक्टर समीकरण है $(\vec{r} . \vec{n} _1-d_1)+\lambda(\vec{r} . \vec{n} _2-d_2)=0$, यहाँ $\lambda$ कोई भी गैर-शून्य स्थिरांक है।

~~

11.1.28 किसी भी तल से गुजरने वाले समतलीय समीकरण $(A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1)+\lambda(A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2)=0$ है, जो कि दो दिए गए समतलों $A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0$ और $A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरता है।

~~ 11.1.29 यदि $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b} _2$ दो रेखाएँ समतलीय हैं तब $( \vec{a} _2- \vec{a} _1) \cdot( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2)=0$ होता है।

~~ 11.1.30 यदि $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ दो रेखाएँ समतलीय हैं तब

$ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} =0 $

~~ 11.1.31 वेक्टर रूप में, यदि $\theta$ दो समतलों के बीच का अघोर कोण है, तो $\vec{r} \cdot \vec{n} _1=d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n} _2=d_2$, तो $\theta=\cos ^{-1} \frac{| \vec{n} _1 \cdot \vec{n} _2|}{| \vec{n} _1| \cdot| \vec{n} _2|}$ होता है।

~~ 11.1.32 यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ और तल $\vec{r} . \vec{n}=d$ के बीच अघोर कोण $\theta$ होता है, तब

$ \sin \theta=\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \cdot|\vec{n}|} $

11.2 हल किए गए उदाहरण

संक्षेप में (S.A.)

~~ उदाहरण 1 यदि एक रेखा की दिशा अनुपात 1, 1, 2 है, तो रेखा के दिशा कोसाइन ढूंढें।

समाधान रेखा के दिशा कोसाइन इस प्रकार होते हैं

$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

यहां $a, b, c$ यह हैं 1, 1, 2।

इसलिए, $l=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}, m=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}, n=\frac{2}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}$

अर्थात, $l=\frac{1}{\sqrt{6}}, m=\frac{1}{\sqrt{6}}, n=\frac{2}{\sqrt{6}}$ यानी $\pm \Big(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\Big)$ रेखा के दिशा कोसाइन हैं।

~~ उदाहरण 2 बिंदु $P(2,3,5)$ और $Q(-1,2,4)$ से होने वाली रेखा की दिशा कोसाइन ढूंढें।

समाधान पुंक्ति $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से होने वाली रेखा की दिशा कोसाइन इस प्रकार होते हैं

$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

यहां $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

$ =\sqrt{(-1-2)^{2}+(2-3)^{2}+(4-5)^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11} $

इसलिए दिशा कोसाइन हैं

$ \pm \Big(\frac{-3}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}\Big) \quad \text{ या } \pm \Big(\frac{3}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}} \Big). $

~~ उदाहरण 3 यदि एक रेखा $x, y, z$-axis के सकारात्मक दिशा के साथ $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ का अघोर कोण बनाती है, तो उसके दिशा कोसाइन ढूंढें।

समाधान जो रेखा किसी प्रकार से अक्षों के साथ $\alpha, \beta$, $\gamma$ का कोण बनाती है, उसके दिशा कोसाइन $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होते हैं

इसलिए, रेखा के दिशा कोसाइन हैं $\cos 30^{\circ}, \cos 60^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ यानी $\pm \big(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0 \big)$

कंटेंट का हिन्दी संस्करण क्या होगा: उदाहरण 4 $Q(2,2,1)$ और $R(5,1,-2)$ बिंदुओं के बीच की रेखा पर एक बिंदु का $x$-निर्धारण 4 है। इसका $z$-निर्धारण ढूंढें।

समाधान $P$ को अनुपात $\lambda : 1$ में $QR$ के बीच विभाजित करता है, तो $P$ के निर्देशांक होंगे

$ \left(\frac{5 \lambda+2}{\lambda+1}, \frac{\lambda+2}{\lambda+1}, \frac{-2 \lambda+1}{\lambda+1}\right) $

लेकिन $P$ का $x$-निर्देशांक 4 है। इसलिए,

$ \frac{5 \lambda+2}{\lambda+1}=4 \Rightarrow \lambda=2 $

अतएव, $P$ का $z$-निर्देशांक $\frac{-2 \lambda+1}{\lambda+1}=1$ है।

उदाहरण 5 वह बिंदु का दूरी निर्धारित करें जिसकी स्थान वेक्टर $(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ है और जो समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=9$ से होता है।

समाधान यहाँ $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \vec{n}=\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $d=9$ हैं।

इसलिए, आवश्यक दूरी है $\frac{\left|(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})-9\right|}{\sqrt{1+4+16}}$

$ =\frac{|2-2-4-9|}{\sqrt{21}}=\frac{13}{\sqrt{21}} . $

~~ उदाहरण 6 वह बिंदु $(-2,4,-5)$ वाली रेखा से कितनी दूरी है जो रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ से जाती है।

समाधान यहाँ $P(-2,4,-5)$ दिया गया बिंदु है।

$Q$ को रेखा पर किसी भी बिंदु के रूप में दिया जाता है ( $3 \boldsymbol{{}\lambda}-3,5 \boldsymbol{{}\lambda}+4,(6 \boldsymbol{{}\lambda}-8)$,

$ \overrightarrow{{}PQ}=(3 \lambda-1) \hat{i}+5 \lambda \hat{j}+(6 \lambda-3) \hat{k} $

चूंकि $\quad \overrightarrow{{}PQ} \boldsymbol{{}\perp} (3 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})$ होता है, इसलिए

$ \begin{aligned} & 3(3 \boldsymbol{{}\lambda}-1)+5(5 \boldsymbol{{}\lambda})+6(6 \boldsymbol{{}\lambda}-3)=0 \\ & 9 \boldsymbol{{}\lambda}+25 \boldsymbol{{}\lambda}+36 \boldsymbol{{}\lambda}=21, \text{ अर्थात् } \boldsymbol{{}\lambda}=\frac{3}{10} \end{aligned} $

इसलिए $ \quad \overrightarrow{{}PQ}=-\frac{1}{10} \hat{i}+\frac{15}{10} \hat{j}-\frac{12}{10} \hat{k} $

अतएव $\quad|\overrightarrow{{}PQ}|=\frac{1}{10} \sqrt{1+225+144}=\sqrt{\frac{37}{10}}$।

रेखा 11.1

~~ उदाहरण 7 $(3,-4,-5)$ और $(2,-3,1)$ बिंदुओं से जाने वाली रेखा, $(2,2,1),(3,0,1)$ और $(4,-1,0)$ बिंदुओं से गुजरती है, उस बिंदु की संख्याओं का प्राप्त करें।

समाधान तीन बिंदुओं $(2,2,1),(3,0,1)$ और $(4,-1,0)$ से गुजरने वाली रेखा की समीकरण है

$ \left[\vec{r}-(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})\right] \cdot \left[(\hat{i}-2 \hat{j}) \times(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\right]=0 $

अर्थात् $ \quad \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=7 \text{ या } 2 x+y+z-7=0 \hspace{7mm} \ldots (1) $

$(3,-4,-5)$ और $(2,-3,1)$ से जाने वाली रेखा की समीकरण है

$ \frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z+5}{6} \hspace{12mm} \ldots(2) $

रेखा (2) पर किसी भी बिंदु ( $-\lambda+3, \lambda-4,6 \lambda-5$ ) है। यह बिंदु समध्यविश्व (1) पर स्थित है। इसलिए, $2(-\lambda+3)+(\lambda-4)+(6 \lambda-5)-7=0$, अर्थात् $\lambda=z$

हेंस द रिक्वायर्ड पॉइंट इज़ $(1,-2,7)$।

लॉन्ग आंसर (एल.ए.)

~~ उदाहरण 8 रेखा $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ और समतल $\vec{r} .(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के क्रमिक संघनन के बिंदु से बिन्दु $(-1,-5,-10)$ की दूरी ढूंढें।

समाधान हमें $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ है।

इन दो समीकरणों को हल करके, हमें $[(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})] \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ मिलता है।

जिसका परिणाम है $\boldsymbol{{}\lambda}=0$।

इसलिए, रेखा और समतल के संगठन का बिंदु $(2,-1,2)$ है और दिए गए अन्य बिंदु हैं $(-1,-5,-10)$। इसलिए इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है

$ \sqrt{[2-(-1)]^{2}+[-1+5]^{2}+[2-(-10)]^{2}} \text{, अर्थात् } 13 $

~~ उदाहरण 9 यदि एक समतल त्रिकोण $ABC$ के ड्रेड्रॉनट कोआर्डिनेट धनात्मक माध्य बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ है, तो सिद्ध कीजिए कि समतल का समीकरण है

$\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=3$

समाधान समतल का समीकरण होने के लिए

$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $

होगा। तो बिंदु A, B, C के सहसंवेदी $(a, 0,0),(0, b, 0)$ और $(0,0, c)$ हैं। त्रिकोण $ABC$ के ग्रैडसेंट हैंट्राइड का सहसंवेदी है

$ \Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \Big) \text{ अर्थात् } \Big(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\Big) $

लेकिन त्रिकोण $ABC$ के ग्रेडसेंट के ग्रेडसेंट के साथसंबंधी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं (दिए गए)।

इसलिए, $\quad \alpha=\frac{a}{3}, \beta=\frac{b}{3}, \gamma=\frac{c}{3}$ है, अर्थात् $a=3 \alpha, b=3 \beta, c=3 \gamma$

इस प्रकार, समतल का समीकरण होता है

$ \frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=3 $

~~ उदाहरण 10 जिनकी दिशा ज्ञानी कॉसाइन द्वारा दिए गए समीकरणों के बीच कोण ढूंढो: $3 l+m+5 n=0$ और $6 m n-2n l+5 l m=0$।

समाधान दिए गए दो समीकरणों से $m$ को हटाने के बाद, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 2 n^{2}+3 \ln +l^{2}=0 \\ \Rightarrow & (n+l)(2 n+l)=0 \\ \Rightarrow & \text{ या } n=-l \text{ या } l=-2 n \\ \text{ अगर } & l=-n, \text{ तो } m=-2 n \\ \text{ और अगर } & l=-2 n, \text{ तो } m=n . \end{matrix} $

इस प्रकार, दो रेखाओं के दिशा सन्निकर्ष से बराबर हैं $-n,-2 n, n$ और $-2 n, n, n$, इसका अर्थ है $1,2,-1$ और $-2,1,1$।

इसलिए, इन रेखाओं के समानोन्नत वेक्टर हैं $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, क्रमशः।

यदि $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है, तो

$ \begin{aligned} & \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\ & =\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) \cdot(-2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}} \sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+1^{2}}}=-\frac{1}{6} \end{aligned} $

इसलिए $\quad \theta=\cos ^{-1}(-\frac{1}{6})$।

~~

क्या the hi version of content है: उदाहरण 11 बिंदु $ए$ $(1,8,4)$ से लाइन $बी(0,-1,3)$ और $सी(2,-3,-1)$ तक खींची गई सीधी रेखा से लटकता लम्बवृत्त का निर्णय की निर्देशांक खोजें।

समाधान बिंदु $ए(1,8,4)$ से लाइन की लंबवेग रेखा $ब$ और $सी$ से हुई $ल$ हो, जो आदर्श 11.2 में दिखाया गया है। लाइन $बीसी$ की समीकरण फार्मूला $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ का प्रयोग करके, लाइन $बीसी$ की समीकरण है

$ \begin{gathered} \vec{r}=(-\hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) \\ \Rightarrow \quad x \hat{i}+y \hat{i}+z \hat{k}=2 \lambda \hat{i}-(2 \lambda+1) \hat{i}+\lambda(3-4 \lambda) \hat{k} \end{gathered} $

दोनों पक्षों की तुलना करके, हम पाते हैं

$ x=2 \lambda, y=-(2 \lambda+1), z=3-4 \lambda \hspace{10mm} (1) $

इस प्रकार, $ल$ के निर्देशांक होते हैं $(2 \lambda,-(2 \lambda+1),(3-4 \lambda)$,

इस तरह, $बी सी$ के निर्देशांक अवलम्ब $एल$ हैं $(1-2 \lambda), 8+(2 \lambda+1), 4-(3-4 \lambda)$, अर्थात्।

$ 1-2 \lambda, 2 \lambda+9,1+4 \lambda $

चूंकि $एल$ $बी सी$ के लंबवेग है, हमें है,

$ (1-2 \lambda)(2-0)+(2 \lambda+9)(-3+1)+(4 \lambda+1)(-1-3)=0 $

मदिरा 11.2

$ \Rightarrow \quad \lambda=\frac{-5}{6} $

अनुरोधित बिंदुल को (1) में $\lambda$ के मान का प्रतिस्थापन करके प्राप्त किया जाता है, जो है

$ \big(\frac{-5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{19}{3}\big) $

उदाहरण 12 व्याप्ति का पता लगाएं $(1,6,3)$ रेखा द्वारा $x/1=y-1)/2=(z-2)/3$ रेखा में चित्र।

समाधान $प(1,6,3)$ दिया गया बिन्दु है और $ल$ दिया गया समाधान का पैर है जिसे चित्र 11.3 में दिखाया गया है।

दिया गया रेखा के उपयोग किए जाने वाले सामान्य बिन्दु के संख्या हैं

$ (x-0)/1=(y-1)/2=(z-2)/3 \text{, अर्थात् } x=\lambda, y=2 \lambda+1, z=3 \lambda+2 \text{. } $

यदि $ल$ के निर्देशांक $(\lambda, 2 \lambda+1,3 \lambda+2)$ होते हैं, तो $पल$ के निर्देशांक $\lambda-1,2 \lambda-5,3 \lambda-1$ होते हैं।

लेकिन $पल$ से लंबवेग $बी सी$ के द्वारा क्षैतिज हैं 1, 2, 3। इसलिए, $(\lambda-1) 1+(2 \lambda-5) 2+(3 \lambda-1) 3=0$, जिससे मिलता है $\lambda=1$। इससे $ल$ के निर्देशांक $(1,3,5)$ होते हैं।

चलो, $क्यू(एक्स_1, वाई_1, ज़ेड_1)$ दिया गया बनाम दिए गए रेखा में $प(1,6,3)$ का छवि हो। फिर $ल$ होता है

PQ का मध्यबिंदु। इसलिए, $x_1+1/2=1, y_1+6/2=3, z_1+3/2=5$

$ \Rightarrow \quad x_1=1, y_1=0, z_1=7 $

इसलिए, दिए गए रेखा में $(1,6,3)$ का छवि $(1,0,7)$ है।

~~ उदाहरण 13 व्याप्ति के बिन्दु $\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ की छवि निकालें $\hat{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ निर्देशित रखे।

समाधान दिए गए बिंदु को $प(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ और निर्देशित रखे वाली जामिन को छवि $क्यू$ कहा जाता है, जैसा कि चित्र 11.4 में दिखाया गया है।

कंटेंट का हिन्दीसंस्करण क्या है: चित्र.11.4

तो PQ समसाम्यिक तली है। PQ दिए गए तली में से गुजरती है और उससे समसाम्यिक है, इसलिए PQ का समीकरण दिया जाता है

$ \vec{r}=\big(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}\big)+\lambda\big(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\big) $

क्योंकि Q PQगाड़ी पर स्थित है, इसलिए Q का स्थान वेक्टर इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$ \big(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}\big)+\lambda\big(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\big) \text{, अर्थात }\big(1+2 \lambda\big) \hat{i}+\big(3-\lambda\big) \hat{j}+\big(4+\lambda\big) \hat{k} $

र SCMप P Q का मध्यबिंदु है, इसलिए R का स्थान वेक्टर है

$ \frac{\big[(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}\big]+\big[\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}\big]}{2} $

अर्थात $\quad(\lambda+1) \hat{i}+\big(3-\frac{\lambda}{2} \big)\hat{j}+\big(4+\frac{\lambda}{2}\big) \hat{k}$

फिर से, चूंकि R तल में स्थित है $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$, हमारे पास है

$ \begin{aligned} &\Bigg\lbrace(\lambda+1) \hat{i}+ \bigg(3-\frac{\lambda}{2} \bigg) \hat{j} \bigg(+4+\frac{\lambda}{2} \bigg) \hat{k}\Bigg\rbrace \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0 \\ & \Rightarrow \quad \lambda=-2 \end{aligned} $

इसलिए, Q का स्थान वेक्टर है $(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})-2(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$, अर्थात $-3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$।

लक्ष्यपूर्ण प्रकार के प्रश्न

प्रत्येक उदाहरण 14 से 19 में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें

~~ उदाहरण 14 बिंदु $(2,5,7)$ से $x$-तली पर खींची जाने वाली लम्बवार हैं, उपयुक्त होते हैं

(A) $(2,0,0)$

(B) $(0,5,0)$

(C) $(0,0,7)$

(D) $(0,5,7)$

समाधान (A) सही उत्तर है।

~~ उदाहरण 15 $P$ एक बिन्दु है जो बिन्दुओं $(3,2,-1)$ और $(6,2,-2)$ के बीच के संदर्भ से होता है। यदि $P$ का $x$-संदर्भ 5 हो, तो इसका $y$-संदर्भ है

(A) 2

(B) 1

(C) -1

(D) -2

समाधान (A) सही उत्तर है। $P$ रेखा संदर्भ को अनुपात में विभाजित करता है $\lambda: 1$, $P$ बिन्दु की $x$-संदर्भ भाव रूप में व्यक्त किया जा सकता है $x=\frac{6 \lambda+3}{\lambda+1}$ जो $\frac{6 \lambda+3}{\lambda+1}=5$ देकर $\lambda=2$। इस प्रकार $P$ का $y$-संदर्भ है $\frac{2 \lambda+2}{\lambda+1}=2$।

~~ उदाहरण 16 यदि कोई रेखा $x$ अक्ष के सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, $y$, z त्रिज्या के साथ दिशा कोसाइन हैं.

(A) $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$

(B) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$

(C) $\tan \alpha, \tan \beta, \tan \gamma$

(D) $\cos ^{2} \alpha, \cos ^{2} \beta, \cos ^{2} \gamma$

समाधान (B) सही उत्तर है।

~~ उदाहरण 17 एक बिन्दु $P(a, b, c)$ की दूरी $x$-तली से है

(A) $\sqrt{a^{2}+c^{2}}$

(B) $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

(C) $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

(D) $b^{2}+c^{2}$

समाधान (B) सही उत्तर है।

हल (सी) सही उत्तर है। आवश्यक दूरी $Q(a, o, o)$ से $P(a, b, c)$ की दूरी है, जो $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ है।

~~ उदाहरण 18 (डी) सही उत्तर है। अंतर्वास्त्र के $x$-अक्ष के समीप बनाए गए समीकरण हैं

(A) $x=0, y=0$

(B) $x=0, z=0$

(C) $x=0$

(D) $y=0, z=0$

हल (डी) सही उत्तर है। $x$-अक्ष पर $y$ संयोजन और $z$ संयोजन शून्य हैं।

~~ उदाहरण 19 (बी) सही उत्तर है। एक रेखा को निर्देशांक अक्ष के साथ बराबर कोण बनाती है। इस रेखा के निर्देशांक कोसाइन हैं

(A) $\pm(1,1,1)$

(B) $\pm \Big(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\Big)$

(C) $\pm \Big(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\Big)$

(D) $\pm \Big(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}\Big)$

हल (बी) सही उत्तर है। रेखा को बनाने वाले कोण $\alpha$ है। फिर, इसके निर्देशांक कोसाइन हैं $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$।

क्योंकि $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$ है। इसलिए, $\cos \alpha= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

20 से 22 उदाहरण में रिक्त स्थान भरें।

~~ उदाहरण 20 यदि एक रेखा $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{2}, \frac{3}{4} \pi$ और $\frac{\pi}{4}$ कोण बनाती है, तो इसके निर्देशांक कोसाइन_________

हल दिशा गोल कोसाइन $\cos \frac{\pi}{2}, \cos \frac{3}{4} \pi, \cos \frac{\pi}{4}$ हैं, अर्थात् $\pm \Big(0,-\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$।

~~ उदाहरण 21 यदि एक रेखा $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है, जहां संयुक्त अक्षों के सकारात्मक दिशाओं के साथ, तो $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma$ का मान_____________

हल ध्यान दें

$ \begin{aligned} \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma & =(1-\cos ^{2} \alpha)+(1-\cos ^{2} \beta)+(1-\cos ^{2} \gamma) \ & =3-(\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma)=2 \end{aligned} $

~~ उदाहरण 22 यदि एक रेखा $y$ और $z$ अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ कोण बनाती है, तो वह $x$-अक्ष के साथ बनाने वाला कोण है________________

हल इसे यह कहते हैं कि यदि इसके निर्देशांक $\alpha$ होते हैं, तो $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \frac{\pi}{4}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4}=1$ होता है

जो संक्षेप में $\alpha=\frac{\pi}{2}$ देता है।

23 और 24 उदाहरणों में निम्न कथनों को सत्य (True) या असत्य (False) बताएं।

~~ उदाहरण 23 बिंदुओं $(1,2,3),(-2,3,4)$ और $(7,0,1)$ के बीच एक समलिन हैं।

हल अ, ब, स समतुल्य संयोजकों के साथ गतिरेखा $AB$ और $BC$ के हैं।

इसलिए, कथन सत्य है।

~~ उदाहरण 24 बिंदुओं $(3,5,4)$ और $(5,8,11)$ से गुजरने वाली रेखा का वेक्टर संकेतमाला है

$ \vec{r}=3 \hat{i}+5 \hat{j}+4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}) $

हल बिंदुओं $(3,5,4)$ और $(5,8,11)$ के स्थान वेक्टर हैं

$ \vec{a}=3 \hat{i}+5 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}, $

और इसलिए, आवश्यकतानुसार रेखा का समीकरण दिया गया है

$

इसलिए, कथन सत्य है।

11.3 अभ्यास

लघु उत्तर (S.A.)

~~ 1. ऐसे एक बिना में एक अंक $A$ का स्थान वेक्टर खोजें जिसके लिए $\overrightarrow{{}OA}$ व्यास के रूप में $OX$ के साथ $60^{\circ}$ और $OY$ के साथ $45^{\circ}$ को झुकाया गया है और $|\overrightarrow{{}OA}|=10$ इकाइयों का है।

~~ 2. निम्नलिखित वेक्टर के समानांतर रेखा के वेक्टर समीकरण की खोज करें, जो बिंदु $(1,-2,3)$ से गुजरती है।

[ 3 \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k} ]

~~ 3. दिखाएं कि रेखाएं

[ \begin{aligned} & \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} \ & \text{ और } \frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=z \text{ कटती हैं। } \end{aligned} ]

इसके अलावा, उनके कटने के बिंदु का पता लगाएँ।

~~ 4. रेखाओं के बीच का लंबी दूरी निकालें

[ \vec{r}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) ]

और

[ \vec{r}=(2 \hat{j}-5 \hat{k})+\mu(6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) ]

~~ 5. सिद्ध करें कि $A(0,-1,-1)$ और $B(4,5,1)$ दो बिंदुओं के माध्यम से चल रही रेखा $C(3,9,4)$ और $D(-4,4,4)$ से कटती है।

~~ 6. सिद्ध करें कि यदि $p p^{\prime}+r r^{\prime}+1=0$ होता है तो लाइनों $x=p y+q, z=r y+s$ और $x=p^{\prime} y+q^{\prime}, z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ को सीधा करता है।

~~ 7. बिंदुओं $A(2,3,4)$ और $B(4,5,8)$ को मध्यविन्दु द्वारा इंतग्रही प्लेन की समीक्षा बताएं जो सही कोण में होता है।

~~ 8. अक्ष न्यूनतम से बराबर दूरी पर एक समानांतर व्यास के साथ एक प्लेन की समीकरण खोजें जो मूल बिंदु के साथ समान रूप से झुका हुआ होता है।

~~ 9. यदि बिंदु $(-2,-1,-3)$ से बनी रेखा एक समतल में $(1,-3,3)$ पर कोसी के साथ मिलती है, तो समतल की समीकरण खोजें।

~~ 10. बिंदुओं $(2,1,0),(3,-2,-2)$ और $(3,1,7)$ से गुजरने वाली समतल का समीकरण खोजें।

~~ 11. मूलरेखा को छुए दो रेखाओं के समकोण के साथ मूल पर जोड़ने वाली दो रेखाओं की समीकरण खोजें, जिनका $\frac{\pi}{3}$ के नाप का कोण होता है।

~~ 12. सिद्ध करें कि जिनके दिशा ज्योनसीनों को इनके समीकरण $l+m+n=0, l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ द्वारा दिए गए हैं, उनके बीच का कोण क्या होगा।

~~ 13. यदि एक चर रेखा दो आसन्न स्थानों में निर्देशिका सीनों $l, m, n$ और $l+\delta l, m+\delta m, n+\delta n$ है, तो दिखाएं कि दो स्थानों के बीच छोटे कोण $\delta \theta$ दिया गया है

[ \delta \theta^{2}=\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2} ]

~~ 14. $O$ मूल है और $A$ $(a, b, c)$ है। रेखा $OA$ की दिशा ज्योनसीनों को और $OA$ के समान कोण वाले समतल की समीकरण खोजें।

~~ 15. दो आक्ष समकक्ष बीन के समान मूल हैं। यदि एक समतल मूल से उन्हें $a, b, c$ और $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ दूरी पर काटती है, तो सिद्ध करें

[ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{a^{\prime 2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} ]

लंबा उत्तर (L.A.)

~~

हेडिंग 16. यदि पॉइंट $(2,3,-8)$ से सीधे दी गई रेखा $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ के पैर ढूंढें। साथ ही, दिए गए पॉइंट से रेखा तक लम्बदूरी ढूंढें।

~~ 17. सरणि से बिन एक पॉइंट $(2,4,-1)$ की दूरी ढूंढें

$ \frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9} $

~~ 18. यदि पॉइंट $\big(1, \frac{3}{2}, 2\big)$ से $2 x-2 y+4 z+5=0$ प्लेन के पैर की लम्बाई और नाप ढूंढें।

~~ 19. वह लाइन की सरणि ढूंढें जो पॉइंट $(3,0,1)$ से $x+2 y=0$ और $3 y-z=0$ प्लेन्स के समानांतर है।

~~ 20. उस प्लेन की सरणि ढूंढें जो बिंदु $(2,1,-1)$ और $(-1,3,4)$ से होता है, और प्लेन $x-2 y+4 z=10$ के लगभग लंबवत है।

~~ 21. दोनों रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी ढूंढें जिनको $\vec{r}=(8+3 \lambda \hat{i}-(9+16 \lambda) \hat{j}+$ $(10+7 \lambda) \hat{k}$ और $\vec{r}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k})$ द्वारा दिया गया है।

~~ 22. उत्तल प्लेन की सरणि ढूंढें जो घर $5 x+3 y+6 z+8=0$ से लंबवत है और जिसमें $x+2 y+3 z-4=0$ और $2 x+y-z+5=0$ प्लेन्स का संगम है।

~~ 23. प्लेन $a x+b y=0$ को उसकी मिलाने वाली रेखा के लेखीय घटने $z=0$ के माध्यम से एक कोण $\alpha$ के माध्यम से घुमाया जाता है। प्रमाण कीजिए कि उस नए स्थान में प्लेन की सरणि $a x+$ by $\pm(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \tan \alpha) z=0$ है।

~~ 24. वह प्लेन की सरणि ढूंढें जो द्विसंग में संकर है और जिसे की स्पर्श दूरी मूल से एकता है इंटरसेप्शन ऑफ द प्लेन्स $\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j})-6=0$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})=0$ .

~~ 25. दिखाएँ कि बिंदुओं $(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ और $3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ के प्लेन $\vec{r} .(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ की दूरी बराबर है और यह उसके विपरीत ओर स्थित हैं।

~~ 26. $\overrightarrow{{}AB}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{{}CD}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}$ दों वेक्टर हैं। दिए गएरणया बिंदु $A$ और $C$ के स्थान वेक्टर $6 \hat{i}+7 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-9 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं। एक वेक्टर $P$ का स्थान बिंदु $AB$ पर होता है और बिंदु $CD$ के एक बिंदु $Q$ का स्थान है जिसके लिए $\overrightarrow{{}PQ}$ बिन एक जीर्ण कोण $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}CD}$ के लिए पेर्पेंडिक्यूलर है।

~~ 27. दिखाएँ कि प्राएमर डाकियों जिसकी दिशा मेमें द्रुत कोज़ैंसन दिए गए हैं $2 l+2 m-n=0$ और $m n+n l+l m=0$ बाईं ओर संबंधबानी हैं।

~~ 28. जो न सक्रीय दिशा जो उपनिरीक्षक जो दिस्ता कोज़ैंसन द्वारा दिए गए है $\ell_1, m_1, n_1 ; l_2, m_2, n_2 ; l_3, m_3, n_3$की तीन में एकाएक में s शर्क्ष संसाधनों है, जो की $l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3$ को प्राप्त करने की संभावना है।

उद्रेक किये गए प्रश्न

29. बिंदु $(\alpha, \beta अ, \gamma)$ से $y$ सारणि की दूरी है

(A) $\beta$

(B) $|\beta|$

(C) $|\beta|+|\gamma|$

(D) $\sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2}}$

कंटेंट के लिए हाई संस्करण क्या होगा: 30. यदि एक सीधी रेखा के दिशा वेक्टर हों $k, k, k,$ तो

(A) $k>0$

(B) $0<k<1$

(C) $k=1$

(D) $k=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

~~ 31. मूल से विकर्ण $\vec{r} \cdot \Big(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}-\frac{6}{7} \hat{k}\Big)=1$ की दूरी है

(A) 1

(B) 7

(C) $\frac{1}{7}$

(D) इनमें से कोई भी नहीं

~~ 32. रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}$ और त्रिभुज $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})+5=0$ के बीच के कोण की साइन है

(A) $\frac{10}{6 \sqrt{5}}$

(B) $\frac{4}{5 \sqrt{2}}$

(C) $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$

(D) $\frac{\sqrt{2}}{10}$

~~ 33. स्थान $(\alpha, \beta, \gamma)$ की प्रतिबिंब रेखा $x y$ - त्रिंशी के साथ है

(A) $(\alpha, \beta, 0)$

(B) $(0,0, \gamma)$

(C) $(-\alpha,-\beta, \gamma)$

(D) $(\alpha, \beta,-\gamma)$

~~ 34. चतुर्भुजीय $ABCD$ का क्षेत्रफल है, जहां $A(0,4,1), B(2,3,-1), C(4,5,0)$ और $D(2,6,2)$, बराबर है

(A) 9 sq. units

(B) 18 sq. units

(C) 27 sq. units

(D) 81 sq. units

~~ 35. प्रास्ताविक $(x,y)=0$ द्वारा प्रतिष्पंदित लाइन है

(A) लंबकोणी रेखाओं की एक जोड़ी

(B) समान्तर रेखाओं की एक जोड़ी

(C) समान्तर त्रिज्याओं की एक जोड़ी

(D) लंबकोणी त्रिज्याओं की एक जोड़ी

~~ 36. त्रिभुजीय $2x-3y+6z-11=0$ का एक कोण $\sin ^{-1}(\alpha)$ $x$-अक्ष के साथ है। $\alpha$ का मान बराबर है

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(B) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

(C) $\frac{2}{7}$

(D) $\frac{3}{7}$

हर व्यायाम 37 से 41 में रिक्त स्थान भरो।

~~ 37. एक त्रिभुजीय ज़रा अवक्ष द्वारा जाती है $(2,0,0)(0,3,0)$ और $(0,0,4)$। वचनक lोचित्र का समीकरण _________ है।

~~ 38. वेक्टर $(2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ की दिशा-कोज निर्देशांक है ___________।

~~ 39. रेखा $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ का वेक्टर समीकरण है ___________।

~~ 40. बिंदु $(3,4,-7)$ और $(1,-1,6)$ से बीच में जाने वाली रेखा का वेक्टर समीकरण है ____________।

~~ 41. त्रिकारीय उत्पाद $\vec{r} .(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$ ___________ का नियतांक है।

साप्ताहिक अभ्यास 42 से 49 में प्रत्येक कथन के लिए ** सत्य ** या ** गलत ** बताएँ।

~~ 42. त्रिभुजीय $x+2y+3z-6=0$ पर अभिसारी इकाई वेक्टर $\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{14}} \hat{j}+\frac{3}{\sqrt{14}} \hat{k}$ है।

~~ 43. त्रिभुजीय $2x-3 y+5 z+4=0$ पर अभिसार त्रिणों के प्राप्त होते हैं $-2, \frac{4}{3},-\frac{4}{5}$।

~~ 44. रेखा $\vec{r}=(5 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और त्रिभुज $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-4 \hat{j}-\hat{k})+5=0$ के बीच का कोण है $\sin ^{-1} \Big(\frac{5}{2 \sqrt{91}}\Big)$।

~~ 45. त्रिभुजीय $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})=1$ और $\bar{{}r} \cdot(\hat{i}-\hat{j})=4$ के बीच का कोण है $\cos ^{-1} \big(\frac{-5}{\sqrt{58}}\big)$।

~~ 46. रेखा $\vec{r}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$ त्रिभुजीय $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+2=0$ में होती है।

~~

47. सरणी $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ का वेक्टर समीकरण है

$ \vec{r}=5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k}) $

~~ 48. एक रेखा का समीकरण, जो $2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ के परालल है और जो बिंदु $(5,-2,4)$ से गुजरता है, है $\frac{x-5}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-4}{3}$.

~~ 49. यदि समकोण से मूल को धारित लंब चौबी जिसमें $(5,-3,-2)$ है, तो तालिका का समीकरण है $\vec{r} .(5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})=38$.

समाधान

~~ 1. $5 \hat{i}+5 \sqrt{2} \hat{j}+5 \hat{k}$

~~ 2. $(x-1) \hat{i}+(y+2) \hat{j}+(z-3) \hat{k}=\lambda(3 \hat{j}-2 \hat{j}+6 \hat{k})$

~~ 3. $(-1,-1,-1)$

~~ 4. $\cos ^{-1} \big(\frac{19}{21}\big)$

~~ 7. $x+y+2 z=19$

~~ 8. $x+y+z=9$

~~ 9. $3 x-2 y+6 z-27=0$

~~ 10. $21 x+9 y-3 z-51=0$

~~ 11. $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ and $\frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$

~~ 12. $60^{\circ}$

~~ 13. $a x+b y+c z=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

~~ 14. $(1,1)$

~~ 15. $15^{\circ}$ or $75^{\circ}$

~~ 16. $(2,6,-2) 3 \sqrt{5}$

~~ 17. 7

~~ 18. $\sqrt{6}$

~~ 19. $(x-3) \hat{j}+y \hat{j}+(z-1) \hat{k}=\lambda(-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})$

~~ 20. $18 x+17 y+4 z=49$

~~ 21. 14

~~ 22. $51 x+15 y-50 z+173=0$

~~ 24. $4 x+2 y-4 z-6=0$ and $-2 x+4 y+4 z-6=0$

~~ 26. $3 \hat{i}+8 \hat{j}+3 \hat{k},-3 \hat{i}-7 \hat{j}+6 \hat{k}$

~~ 29. डी

~~ 30. डी

~~ 31. ए

~~ 32. डी

~~ 33. डी

~~ 34. ए

~~ 35. डी

~~ 36. सी

~~ 37. $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$

~~ 38. $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}$

~~ 39. $(x-5) \hat{i}+(y+4) \hat{j}+(z-6) \hat{k}=\lambda(3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k})$

~~ 40. $(x-3) \hat{i}+(y-4) \hat{j}+(z+7) \hat{k}=\lambda(-2 \hat{i}-5 \hat{j}+13 \hat{k})$

~~ 41. $x+y-z=2$

~~ 42. सत्य

~~ 43. सत्य

~~ 44. असत्य

~~ 45. असत्य

~~ 46. सत्य

~~ 47. सत्य

~~ 48. असत्य

~~ 49. सत्य