अध्याय 1

सम्बन्ध और समारोह

1.1 अवलोकन

1.1.1 सम्बन्ध

एक सम्बन्ध $R$ एक गैर-खाली सेट $A$ से गैर-खाली सेट $B$ की कार्टेशियन गुणाकार का एक उपसेट होता है। सम्बन्ध $R$ से एक सेट $A$ से एक सेट $B$ की क्रमबद्ध जोड़े के सभी पहले तत्वों का सेट को सम्बन्ध $R$ का डोमेन कहा जाता है। सम्बन्ध $R$ से एक सेट $A$ से एक सेट $B$ की क्रमबद्ध जोड़े के सभी दूसरे तत्वों का सेट को सम्बन्ध $R$ का सीमा कहा जाता है। संपूर्ण सेट $B$ को सम्बन्ध $R$ का समश्रय कहा जाता है। ध्यान दें कि सीमा हमेशा समश्रय का एक उपसेट होता है।

1.1.2 सम्बन्धों के प्रकार

एक सम्बन्ध $R$ एक सेट $A$ में $A \times A$ का उपसेट होता है। इस प्रकार, रिक्त सेट $\phi$ और $A \times A$ दो अत्यंत सम्बन्ध हैं।

(i) एक सम्बन्ध $R$ एक सेट $A$ में रिक्त सम्बन्ध कहलाता है, यदि कोई भी तत्व $A$ के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है, अर्थात $R= \phi \subset A \times A$।

(ii) एक सम्बन्ध $R$ एक सेट $A$ में सार्वत्रिक सम्बन्ध कहलाता है, यदि प्रत्येक $A$ के तत्व को $R$ के तहती का कोई तत्व है, अर्थात $R=A \times A$।

(iii) $A$ में सम्बन्ध $R$ को स्वतःसंबंधी कहते हैं यदि $a R a$ के लिए $a \in A, R$ सममितिक हो, $A$ में सम्बन्ध $R$ को सममितिक कहते हैं यदि $a R b \Rightarrow b R a, \forall a, b \in A$ और $A$ में सम्बन्ध $R$ को संचारिक कहते हैं यदि $a R b$ और $b R c \Rightarrow a R c$ $\forall a, b, c \in A$ हैं। स्वतःसंबंधी, सममितिक और संचारिक होने वाले कोई भी सम्बन्ध को एकता सम्बन्ध कहते हैं।

• ध्यान दें: एकता सम्बन्ध की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह सेट में सम्न्योजी पूर्ण होती है जिसे समानीय वर्ग कहा जाता है जिसका संग्रह सेट का बिभाजन कहा जाता है। ध्यान दें कि सभी समानीय वर्गों का संयोजन पूरे सेट को देता है।

1.1.3 फ़ंक्शन के प्रकार

(i) एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ एक - एक (या उदग्रह) होने के लिए परिभाषित किया जाता है, यदि $X$ के विभिन्न तत्वों की $f$ के तहती छवियाँ अलग-अलग होती हैं, अर्थात

$ x_1, x_2 \in X, f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 $

(ii) एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ को समीप (या वाहिक) कहा जाता है, यदि हर तत्व $Y$ की कोई भी छवि $X$ के किसी भी तत्व की होती है, अर्थात प्रत्येक $y \in Y$ के लिए एक तत्व $x \in X$ मौजूद होता है जिसके लिए $f(x)=y$।

(iii) एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ को एक - एक और समीप (या दो एक) कहा जाता है, यदि $f$ या एक - एक है और समीप भी है।

1.1.4 फ़ंक्शन का समाधान

(i) $f: A \to B$ और $g: B \to C$ दो फ़ंक्शन हों तो, $f$ और $g$ का समाधान, $g \circ f$, को दिया जाता है जो कि फ़ंक्शन $g \circ f: A \to C$ के रूप में परिभाषित होता है

$ g \circ f(x)=g(f(x)), \forall x \in A . $

(ii) अगर $f: A \to B$ और $g: B \to C$ एक - एक हैं, तो $g$ o $f: A \to C$ भी एक - एक है

(iii) अगर $f: A \to B$ और $g: B \to C$ समीप हैं, तो $g o f: A \to C$ भी समीप है। हालांकि, उपरोक्त परिणामों (ii) और (iii) का उल्टा नियम जरूरी नहीं है। इसके अलावा, हम इस दिशा में निम्नलिखित परिणाम रखते हैं।

(iv) $f: A \to B$ और $g: B \to C$ दिए गए फ़ंक्शन हों ऐसा कि संबद्धता का एक - एक है। तब $f$ एक - एक होता है।

(v) $f: A \to B$ और $g: B \to C$ दिए गए फ़ंक्शन हों ऐसा कि संबद्धता समाश्रय है। तब ग $g$ समाश्रय होता है।

1.1.5 उल्ट-प्रतिमानीय फ़ंक्शन

(i) एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ को उल्टा कहा जाता है, यदि $Y \to X$ का एक फ़ंक्शन $g$ मौजूद होता है जिसके लिए $g \circ f=I_x$ और $f \circ g=I_Y$ होता है। फ़ंक्शन $g$ को $f^{-1}$ के रूप में नामित किया जाता है।

(ii) एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ उल्टा होता है अगर और केवल अगर $f$ एक द्विआदिपुंकीय फ़ंक्शन होता है।

(iii) यदि $f: X \to Y, g: Y \to Z$ और $h: Z \to S$ फ़ंक्शन होते हैं, तो $h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f$ होता है।

(iv) $f: X \to Y$ और $g: Y \to Z$ दो उल्टा फ़ंक्शन होंगे। तब $g \circ f$ भी उल्टा होता है और $(g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$ होता है।

1.1.6 द्विआधारी परिचालन

(i) एक समूह $A$ पर एक द्विआधारी परिचालन * एक फ़ंक्शन $*: A \times A \to A$ है। हम *(a, b) द्वारा a * b का व्यक्त करते हैं।

(ii) एक समूह $X$ पर एक द्विआधारी परिचालन $*$ सहज होता है, यदि $a * b=b * a$ हर $a, b \in X$ के लिए।

(iii) एक द्विआधारी परिचालन $*$ : $ A \times A \to A$ विशुद्ध होता है यदि $(a * b) * c=a *(b * c)$ हर $a, b, c \in A$ के लिए।

(iv) दिया गया एक द्विआधारी परिचालन * : $ A \times A \to A$ के लिए, एक तत्व $e \in A$, यदि वह मौजूद होता है, तो इसे * के लिए पहचान कहा जाता है, * के लिए पहचान कहा जाता है यदि a * e = a = e * a, \forall a \in A $।

(v) दिया गया एक द्विआधारी परिचालन * : $ A \times A \to A $, $A$ में पहचान तत्व $e$ के साथ, तत्व $a \in A$, * के संबंध में उल्टा कहलाता है, यदि $a * b=e=b * a$ के लिए $A$ में एक तत्व $b$ मौजूद होता है, और $b$ को $a^{-1}$ द्वारा पहचाना जाता हैं और $a^{-1}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

1.2 हल किए गए उदाहरण

संक्षेप में जवाब (S.A.)

उदाहरण 1 चुने गए सेट $A$ के लिए बनाई गई रिश्ता $R$ को विचार करें:

$ R= \lbrace (0,0),(0,1),(0,3),(1,0),(1,1),(2,2),(3,0),(3,3) \rbrace $

क्या $R$ स्वच्छंद है? संगणक? प्रवाही?

समाधान $R$ स्वच्छंद और संगणक है, लेकिन प्रवाही नहीं है क्योंकि $(1,0) \in R$ और $(0,3) \in R$ होता है जबकि $(1,3) \notin R$ होता है।

उदाहरण 2 सेट $A$ के लिए बनाई गई रिश्ता $R$ को विचार करें:

$ R= \lbrace (1,1),(2,2),(3,3),(1,3) \rbrace $

$R$ को सबसे छोटे समानता रिश्ता बनाने के लिए जोड़ने के लिए क्रमशः अर्द्धबिंदु लिखें।

समाधान $(3,1)$ एकल अर्थात एकल क्रमशः पूर्ण तुलना समानता को सबसे छोटे समानता रिश्ता बनाने के लिए जोड़ने के लिए आवश्यक होता है।

उदाहरण 3 दिए गए समूह $\mathbf{Z}$ के लिए समानता रिश्ता $R$ लिखें:

$R$={$(a, b): 2$ divides $a-b$}। $[0]$ में समानता वर्ग लिखें।

समाधान $[0]= \lbrace 0, \pm 2, \pm 4, \pm 6, \ldots \rbrace $

उदाहरण 4 फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=4 x-1, \forall x \in \mathbf{R}$ के तहत परिभाषित करें। तब दिखाएँ कि $f$ एक-एक है।

समाधान किसी भी दो तत्वों $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ के लिए जहां $f(x_1)=f(x_2)$, हमारे पास निम्नलिखित होता है:

$ \begin{aligned} & 4 x_1-1=4 x_2-1 \\ & \Rightarrow \quad 4 x_1=4 x_2, \text{ यानी } x_1=x_2 \end{aligned} $

इसलिए $f$ एक-एक है।

उदाहरण 5 यदि $f= $ $\lbrace (5,2),(6,3)\rbrace, g= \lbrace(2,5),(3,6) \rbrace $ है, तो $f \circ g$ को लिखें।

समाधान $f \circ g= \lbrace (2,2),(3,3) \rbrace $

Example 6 यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को एक ऐसा सम्बन्ध कहा जाए जो $f(x)=4 x-3$, हर $x \in \mathbf{R}$ के लिए, द्वारा परिभाषित है। तो $f^{-1}$ लिखें।

Solution यह दिया जा रहा है कि $f(x)=4 x-3=y$ (कहें) हो, तब

$ 4 x=y+3$

$\Rightarrow x=\frac{y+3}{4}$

$\text{ इसलिए } \quad f^{-1}(y)=\frac{y+3}{4} \quad $

$\Rightarrow \quad f^{-1}(x)=\frac{x+3}{4}$

Example 7 क्या $\mathbf{Z}$ (पूर्णांकों का समूह) पर चर $*$ को $m * n=m-n+m n \quad \forall m, n \in \mathbf{Z}$ के द्वारा परिभाषित बाइनरी संचार सम्मेलक है?

Solution नहीं। क्योंकि $1,2 \in \mathbf{Z}$ के लिए, $1 * 2=1-2+1.2=1$ जबकि $2 * 1=2-1+2.1=3$ इसलिए $1 * 2 \neq 2 * 1$।

Example 8 यदि $f={$ $ (5,2),(6,3) $} और $g={$ $ (2,5),(3,6) $}$ हो, तो $f$ और $g$ की सीमा लिखें।

Solution $f$ की सीमा $={$ $ 2,3 $} और $g$ की सीमा $={$ $ 5,6 $}।

Example 9 यदि $A={$ $ 1,2,3 $}$ हो और $f, g$ उनके विपरीतों को देखनेवाले रिश्तों हो जिनके लिए उनको दिखाया गया, तो कौन सा $f, g$ एक संचार है? क्यों?

$ \begin{aligned} & f= \lbrace (1,3),(2,3),(3,2) \rbrace \\ & g=\lbrace (1,2),(1,3),(3,1) \rbrace \end{aligned} $

Solution $f$ एक संबंध है क्योंकि सभी तत्व $A$ को जिसे आदेशित जोड़बदाधिता में पहले स्थान पर हैं, एक ही तत्व $A$ के एक तत्व से जुड़ा जाता है जबकि $g$ एक संबंध नहीं है क्योंकि 1 केवल एक से अधिक तत्व $A$, यानि, 2 और 3 के साथ संबंधित है।

Example 10 यदि $A={$ $ a, b, c, d $} हो और $f={$ $ a, b),(b, d),(c, a),(d, c) $}$ हो, तो दिखाएँ कि $f$ एक एकरए सुत्र $A$ के लिए है। $f^{-1}$ ढूंढें।

Solution $f$ एक एकरए है क्योंकि प्रत्येक तत्व $A$ को में सौप दिया जाता है। छांटने वाला तत्व। इसके अलावा, $f$ एक ऊपर जाता होता है क्योंकि $f(A)=A$। इसके अतिरिक्त, $f^{-1}= \lbrace (b, a),(d, b),(a, c),(c, d) \rbrace$।

Example 11 $\mathbf{N}$ के सेट में, बाइनरी संचार * को $ m * n=$ माघ $(m, n), m, n \in \mathbf{N}$ द्वारा परिभाषित करें। क्या संचार $*$ विपरीती और संयोजक है?

Solution संचार प्रकटता से विपरीतता है क्योंकि

$ m * n=\operatorname{g.c.d}(m, n)=\operatorname{g.c.d}(n, m)=n * m \quad \forall m, n \in \mathbf{N} . $

यह साम्यात्मक है क्योंकि $l, m, n \in \mathbf{N}$ के लिए,

$ \begin{matrix} l *(m * n) & =g . c . d(l, g . c . d(m, n)) \\ & =\text{ g.c.d. }(g . c . d(l, m), n) \\ & =(l * m) * n . \end{matrix} $

लंबे उत्तर (L.A.)

Example 12 प्राकृतिक संख्याओं $\mathbf{N}$ के सेट में, एक सम्बन्ध $R$ निम्न रूप में परिभाषित है: $\forall n, m \in \mathbf{N}, n \mathbf{R} m$ यदि $n$ और $m$ का 5 से विभाजित बचेशिष्ट 5 से कमतर है, अर्थात्, 0,1,2,3 और 4। दिखाएं कि $R$ समानता संबंध है। इसके अतिरिक्त, $R$ द्वारा निर्धारित एक-एक उपसेट ढूंढें।

समाधान $R$ प्रतिबिंबी है क्योंकि प्रत्येक $a \in \mathbf{N}$ के लिए $a R a$ होता है। $R$ समरूपी है क्योंकि यदि $a R b$ है, तो $b R a$ होता है $a, b \in \mathbf{N}$ के लिए। इसके अलावा, $R$ परिणामी है क्योंकि $a, b, c \in \mathbf{N}$ के लिए अगर $a R b$ है और $b R c$ है, तो $a R c$ होता है। इसलिए $R$ समता संबंध है $\mathbf{N}$ में जो समकोणीय अनुभागों को बांटेगा। परस्पर वियोजित उपसमूहों में। समकोणीय वर्गों को नीचे उल्लिखित रूप में देखा जा सकता है:

$ \begin{aligned} & A_0=\lbrace 5,10,15,20 \ldots \rbrace \\ & A_1=\lbrace 1,6,11,16,21 \ldots \rbrace \\ & A_2=\lbrace 2,7,12,17,22, \ldots \rbrace \\ & A_3=\lbrace 3,8,13,18,23, \ldots \rbrace \\ & A_4=\lbrace 4,9,14,19,24, \ldots \rbrace \end{aligned} $

यह स्पष्ट है कि ऊपर के पांच सेट एक-दूसरे से अलग हैं और

$ A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4=\cup _{i=0}^{4} A_i=\mathbf{N} $

उदाहरण 13 दिखाएँ कि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, \forall x \in \mathbf{R}$ परिभाषित तदनुसार न तो एक-दूसरे परिभाषित है और न ही ऊपर है।

समाधान $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ के लिए, इसलिए

$ \begin{aligned} & f(x_1)=f(x_2) \\ & \Rightarrow \frac{x_1}{x_1^{2}+1}=\frac{x_2}{x_2^{2}+1} \\ & \Rightarrow x_1 x_2^{2}+x_1=x_2 x_1^{2}+x_2 \\ & \Rightarrow x_1 x_2(x_2-x_1)=x_2-x_1 \\ & \Rightarrow x_1=x_2 \text{ या } x_1 x_2=1 \end{aligned} $

हम यह देखते हैं कि $x_1 \neq x_2$ और $f(x_1)=f(x_2)$ वाले बिना बिंदु, उदाहरण के रूप में संबंधित किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पहले हम $x_1=2$ और $x_2=\frac{1}{2}$ लेते हैं, फिर हमारे पास $f(x_1)=\frac{2}{5}$ और $f(x_2)=\frac{2}{5}$ होता है लेकिन $2 \neq \frac{1}{2}$। इसलिए $f$ एक-दूसरे नहीं है। इसके अलावा, यदि $1 \in \mathbf{R}$ के लिए ऐसा $x \in \mathbf{R}$ हो, जो $f(x)=1$ जो $\frac{x}{x^{2}+1}=1$ देता है। लेकिन डोमेन $\mathbf{R}$ में कोई ऐसा $x$ नहीं है, क्योंकि समीकरण $x^{2}-x+1=0$ कोई भी वास्तविक मान $x$ नहीं देता है।

उदाहरण 14 $f, g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ संबंधित दो फ़ंक्शन हों, जिनका परिभाषित किया जाता है $f(x)=|x|+x$ और $g(x)=|x|-x \quad \forall x \in \mathbf{R}$। तो, $f o g$ और $g o f$ ढूंढिए।

समाधान यहां $f(x)=|x|+x$ है जो फिर परिभाषित किया जा सकता है जैसा

$ f(x)=\quad \begin{cases} 2 x \text{ अगर } x \geq 0 \\ 0 \text{ अगर } x<0 \end{cases} $

इसी तरह, $g$ परिभाषित है $g(x)=|x|-x$ रूप में परिभाषित है

$ g(x)=\begin{cases} 0 \text{ अगर } x \geq 0 \\ -2 x \text{ अगर } x<0 \end{cases} $

इसलिए, $g$ o $f$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$x \geq 0$ के लिए, ( $g \circ f)(x)=g(f(x)=g(2 x)=0$

और $x<0$ के लिए,(g \circ f)(x)=g(f(x)=g(0)=0$।

इस प्रकार, हमें $(g \circ f)(x)=0, \forall x \in \mathbf{R}$ होता है।

इसी तरह, $f$ o $g$ इस प्रकार परिभाषित हो जाता है:

$x \geq 0$ के लिए, (f \circ g)(x)=f(g(x)=f(0)=0$, और $x<0$ के लिए,(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(-2 x)=-4 x$।

यानी $\quad(f \circ g)(x)=\begin{cases}0, x>0 \\ -4 x, x<0\end{cases}$

उदाहरण 15 $\mathbf{R}$ वास्तविक संख्याओं का सेट हो और $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ ऐसा फ़ंक्शन हो, जो परिभाषित किया जाता है $f(x)=4 x+5$। दिखाएँ कि $f$ का उलटवाला है और $f^{-1}$ ढूंढिए।

हल फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को यहाँ $f(x)=4 x+5=y$ (कहें) के रूप में परिभाषित किया गया है। तब

$ 4 x=y-5 \quad \text{ या } \quad x=\frac{y-5}{4} \text{. } $

इससे एक फ़ंक्शन $g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, जिसे परिभाषित किया गया है

$ g(y)=\frac{y-5}{4} . $

इसलिए, $ (g \circ f)(x)=g(f(x)=g(4 x+5) $

$ =\frac{4 x+5-5}{4}=x $

या $ g \circ f=I_R $

इसी तरह से $ (f \circ g)(y)=f(g(y)) $

$ \begin{aligned} & =f \Bigg (\frac{y-5}{4} \Bigg ) \\ & =4 \Bigg (\frac{y-5}{4} \Bigg )+5=y \end{aligned} $

या $ f \circ g=I_R \text{. } $

इसलिए $f$ प्रतिलोमी है और $f^{-1}=g$, जो इस प्रकार दिया गया है

$ f^{-1}(x)=\frac{x-5}{4} $

उदाहरण 16 $*$ एक बाइनरी आपरेशन है जो $\mathbf{Q}$ पर परिभाषित है। संगणक के अनुसार निम्नलिखित में से कौन से बाइनरी आपरेशन सहायक हैं

(i) $a * b=a-b$ for $a, b \in \mathbf{Q}$.

(ii) $a * b=\frac{a b}{4}$ for $a, b \in \mathbf{Q}$.

(iii) $a * b=a-b+a b$ for $a, b \in \mathbf{Q}$.

(iv) $a * b=a b^{2}$ for $a, b \in \mathbf{Q}$.

हल

(i) $*$ परसम्पर्की नहीं है क्योंकि यदि हम $a=1, b=2$ और $c=3$ लें, तो

$ \begin{aligned} & (a * b) * c=(1 * 2) * 3=(1-2) * 3=-1-3=-4 \text{ और } \\ & a *(b * c)=1 *(2 * 3)=1 *(2-3)=1-(-1)=2 . \end{aligned} $

इस प्रकार $ (a * b) * c \neq a *(b * c) $ और इसलिए * परसम्पर्की नहीं है।

(ii) $*$ परसम्पर्की है क्योंकि मिलता है कि $\mathbf{Q}$ गुणाकार में परसम्पर्की है।

(iii) $*$ परसम्पर्की नहीं है क्योंकि यदि हम $a=2, b=3$ और $c=4$ लें, तो $(a * b) * c=(2 * 3) * 4=(2-3+6) * 4=5 * 4=5-4+20=21$, और $a *(b * c)=2 *(3 * 4)=2 *(3-4+12)=2 * 11=2-11+22=13$।

इस प्रकार $ (a * b) * c \neq a *(b * c) $ और इसलिए * परसम्पर्की नहीं है।

(iv) $*$ परसम्पर्की नहीं है क्योंकि यदि हम $a=1, b=2$ और $c=3$ लें, तो $(a * b) * c=$ $(1 * 2) * 3=4 * 3=4 \times 9=36$ और $a *(b * c)=1 *(2 * 3)=1 * 18=$ $1 \times 18^{2}=324$।

इस प्रकार $(a * b) * c \neq a *(b * c)$ और इसलिए * परसम्पर्की नहीं है।

उद्देश्यपूर्ण प्रकार के प्रश्न

प्रत्येक उदाहरण 17 से 25 में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

उदाहरण 17 संख्यात्मक संख्याओं के सेट $\mathbf{N}$ पर एक संबंध $R$ की परिभाषा के अनुसार $n R m$ है जब और जब $n$ द्वारा $m$ से विभाज्य हैं। तब $R$ है

(A) प्रतिज्ञा और सममिति

(B) परसम्पर्की और सममिति

(C) समत्व

(D) प्रतिज्ञा, परसम्पर्की परन्तु सममिति नहीं

हल सही विकल्प (D) है।

क्योंकि $n$ में द्वारा $n$ विभाज्य है, $\forall n \in \mathbf{N}$, $R$ प्रतिज्ञा है। $R$ परसम्पर्की नहीं है क्योंकि $3,6 \in \mathbf{N}$ के लिए, $3 R 6 \neq 6 R 3$। $R$ परसम्पर्की है क्योंकि $n, m, r$ के लिए जबकि $n / m$ और $m / r$ होता है $ \Rightarrow n / r$ होता है, अर्थात्, $n$ $m$ से विभाज्य है और $m$ $r$ से विभाज्य होता है, तो $n$ $r$ से विभाज्य होगा।

उदाहरण 18 एक तल पर सभी सीधी रेखाएँ का सेट $L$ को लें। एक संबंध $R$ की परिभाषा है $l R m$ इसका मतलब $l$ $m$ के लिए ऊर्ध्वरेखी है। यद्यपि $l, m \in L$ तो $R$ है

(A) प्रतिज्ञा

(B) सममिति

(C) प्रतिज्ञा, सममिति नहीं

(D) इनमें से कोई नहीं

हल सही विकल्प (B) है।

कंटेंट का हाइ संस्करण क्या है: उदाहरण 19 $\mathbf{N}$ को प्राकृतिक संख्याओं का सेट मानें और फ़ंक्शन $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ को $f(n)=2 n+3$ वही सभी $n \in \mathbf{N}$ के लिए परिभाषित हो जाता है। फिर $ f $ है

(A) पूर्ण है

(B) धारणात्मक है

(C) सबसे अच्छा है

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान (B) सही विकल्प है।

उदाहरण 20 सेट $A$ में 3 तत्व होते हैं और सेट $B$ में 4 तत्व होते हैं। तो $A$ से $B$ तक पूर्णसंगत मानचित्रणों की संख्या है

(A) 144

(B) 12

(C) 24

(D) 64

समाधान सही विकल्प (सी) है। 3 तत्वों को संगठित होने वाले तत्वों में से पूर्णसंगत मानचित्रणों की कुल संख्या $^{4}P_3=4!=24$ है।

उदाहरण 21 $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=\sin x$ से परिभाषित करें और $ g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $g(x)=x^{2}$ से परिभाषित करें, तो $f \circ g$ होंगे

(A) $x^{2} \sin x$

(B) $(\sin x)^{2}$

(C) $\sin x^{2}$

(D) $\frac{\sin x}{x^{2}}$

समाधान (सी) सही विकल्प है।

उदाहरण 22 $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=3 x-4$ से परिभाषित करें। तो $f^{-1}(x)$ इस प्रकार होंगे

(A) $\frac{x+4}{3}$

(B) $\frac{x}{3}-4$

(C) $3 x+4$

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान (A) सही विकल्प है।

उदाहरण 23 $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=x^{2}+1$ से परिभाषित करें। तो, 17 और -3 के पूर्व-छवियां विलम्बित होंगी

(A) $\phi$ ,{4,-4}

(B) {3,-3}, $\phi$

(C) {4,-4}, $\phi$

(D) { 4,-4,{2,-2 }

समाधान (सी) सही विकल्प है क्योंकि $f^{-1}(17)=x \Rightarrow f(x)=17$ या $x^{2}+1=17$

$\Rightarrow x= \pm 4$ या $f^{-1}(17)= \lbrace 4,-4 \rbrace $ और $f^{-1}(-3)=x \Rightarrow f(x)=-3 \Rightarrow x^{2}+1=-3$

$\Rightarrow x^{2}=-4$ और इसलिए $f^{-1}(-3)=\phi$।

उदाहरण 24 वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए, $x R y$ परिभाषित हो अगर और केवल अगर $x-y+\sqrt{2}$ अव्यवस्थित संख्या है। तो संबंध $R$ होगा

(A) स्वतंत्र

(B) सममितिक

(C) प्रवाही

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान (A) सही विकल्प है।

उदाहरण 25 से 30 तक में रिक्त स्थानों को भरें।

उदाहरण 25 यदि $A={$ 1,2,3 $}$ को मान लें और $ R $ को $ A $ पर सबसे छोटा समता संबंध मानें, तो $ R=________ $

समाधान $ R={$ (1,1),(2,2),(3,3) $}$।

उदाहरण 26 संख्या $\mathbf{R}$ का क्षेत्रफल $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है $f(x)= \sqrt{x^{2}-3 x+2}$ है______________

समाधान यहां $ x^{2}-3 x+2 \geq 0 $

$\Rightarrow \quad(x-1)(x-2) \geq 0$

$\Rightarrow \quad x \leq 1$ या $x \geq 2$

इसलिए $f$ का डोमेन $(-\infty, 1] \cup[2, \infty)$ है

उदाहरण 27 $n$ तत्वों को समायोज्य आपके द्वारा विधा लगाई जा सकती है, तो कुल संख्या जोरदार कार्यों की संख्या होगी_____

समाधान $n !$

उदाहरण 28 $\mathbf{Z}$ को पूर्णांकों का सेट मानें और $R$ ऐसा संबंध है जो $\mathbf{Z}$ में परिभाषित होता है, जिसके अनुसार $a R b$ होगा अगर $a-b$ 3 से भाग्यशाली है। तो $R$ संबंध को $\mathbf{Z}$ गण को ब्यापक रूप से विभाजित करता है ___________ प्रत्येकवार अलग अलग उपसेटों में।

समाधान तीन।

हलयांग सूत्र 29 यदि $\mathbf{R}$ वास्तविक संख्याओं का समूह है तथा * तक संचालन संख्या पर परिभाषित है $\mathbf{R}$ भीतर $a * b=a+b-a b \quad \forall a, b \in \mathbf{R}$ के रूप में। तो, संचालन संख्या $*$ के संबंध में पहचान महत्त्वपूर्ण है 0 है।

प्रत्येक उदाहरण 30 से 34 तक में कथित वक्तव्य के लिए सत्य या असत्य दर्शाएँ।

हलयांग सूत्र 30 विचार करें सेट A={$ 1,2,3 $} और संबंध R={$ (1,2),(1,3) $} होगा। $R$ एक प्रवाही संबंध है।

हलयांग सूत्र सत्य।

हलयांग सूत्र 31 Abe एक सीमित सेट हो। फिर, प्रत्येक injective संबंध अपने आप को surjective नहीं होता है।

हलयांग सूत्र असत्य।

हलयांग सूत्र 32 सेट $A, B$ और $C$ के लिए, ऐसा हो कि $f: A \to B, g: B \to C$ ऐसी संचालक हों जहाँ $g$ o $f$ तंत्रिक हो। फिर भी $f$ और $g$ दोनों injective संचालक हैं।

हलयांग सूत्र असत्य।

हलयांग सूत्र 33 सेट $A, B$ और $C$ के लिए, ऐसा हो कि $f: A \to B, g: B \to C$ ऐसी संचालक हों जहाँ $g$ of सतत हो। फिर $g$ सतत है।

हलयांग सूत्र सत्य।

हलयांग सूत्र 34 यदि $\mathbf{N}$ प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। तो, $\mathbf{N}$ में संचाल संख्या $*$ पर परिभाषित है $a * b=a+b, \forall a, b \in \mathbf{N}$ के रूप में पहचान संख्या नहीं होता है।

हलयांग सूत्र असत्य।

1.3 व्यायाम

संक्षेप में उत्तर (S.A.)

~~ 1. लेट A={$ a, b, c $} और संबंध $R$ को निम्नलिखित प्रकार से A पर परिभाषित किया जाएगा:

$ R= \lbrace (a, a),(b, c),(a, b) \rbrace $

तो, $R$ को स्वतंत्र और प्रचारी बनाने के लिए $\mathbf{R}$ में न्यूनतम क्रमित युग्मों को जोड़ें।

~~ 2. लेट $D$ है वास्तविक संख्या मान वाली फ़ंक्शन $f$ द्वारा परिभाषित किया गया $f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$ है। तो, $D$ को लिखें।

~~ 3. लेट $f, g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ $f(x)=2 x+1$ और $g(x)=x^{2}-2, \forall x \in \mathbf{R}$ को परिभाषित करें। तो, $g o f$ पाएँ।

~~ 4. लेट $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ फ़ंक्शन जोड़ता है $f(x)=2 x-3 \forall x \in \mathbf{R}$ है। तो, $f^{-1}$ लिखें।

~~ 5. यदि A={$ a, b, c, d $} है और फ़ंक्शन f={$ (a, b),(b, d),(c, a),(d, c) $} होता है, तो $f^{-1}$ लिखें।

~~ 6. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ परिभाषित होती है $f(x)=x^{2}-3 x+2$ है, तो $f(f(x))$ लिखें।

~~ 7. क्या g= {$ (1,1),(2,3),(3,5),(4,7) $} एक फ़ंक्शन है? यदि $g$ किसी $\alpha x+\beta$ द्वारा बयान किया जाता है, तो $\alpha$ और $\beta$ को किस मान को सौंपा जाना चाहिए।

~~ 8. क्या निम्नलिखित क्रमित युग्म फ़ंक्शन हैं? अगर हां, तो जांचें कि मैपिंग अल्पविरामी या मित्रीय है।

(i) {$ (x, y): x$ व्यक्ति है, $y$ उसकी मां है।

(ii) {$ (a, b): a$ व्यक्ति है, $b$ वहां का पूर्वज है।

~~ 9. यदि मैपिंग $f$ और $g$ निम्नलिखित रूप में दिए गए हैं:

$ f= \lbrace (1,2),(3,5),(4,1) \rbrace \text{ and } g= \lbrace (2,3),(5,1),(1,3) \rbrace \text{, तो } f \circ g \text{ लिखें। } $

~~ 10. लेट $\mathbf{C}$ आपातक संख्याओं का समूह है। साबित करें कि मैपिंग $f: \mathbf{C} \to \mathbf{R}$ जो दिया जाता है $f(z)=|z|, \forall z \in \mathbf{C}$, न तो एक-एक है और न ही पूर्ण है।

~~

11. यदि $f(x)=\cos x, \forall x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ हो। तो दिखाएं कि $f$ न तो एक-एक है और न ही संपूर्ण।

~~ 12. यदि X={$ 1,2,3 $} और Y={$ 4,5 $}। तो इन प्रतिकृति सबसेट्स के बारे में जांचें कि क्या वे X से Y के लिए फ़ंक्शन हैं या नहीं।

(i) $\quad$ f={$ (1,4),(1,5),(2,4),(3,5) $}

(ii) $\quad$ g={$ (1,4),(2,4),(3,4) $}

(iii) $\quad$ h={(1,4),(2,5),(3,5)}

(iv) $\quad$ k={(1,4),(2,5)}

~~ 13. यदि फ़ंक्शन $f: A \to B$ और $g: B \to$ A में $g$ o $f=I_A$ खात्आ हो, तो दिखाएं कि $f$ एक-एक है और $g$ संपूर्ण है।

~~ 14. यदि $f(x)=\frac{1}{2-\cos x} \forall x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ हो। तो $f$ की श्रेणी ढूंढें।

~~ 15. एक निश्चित सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $R$ एक संबंधों को परिभाषित करता है। इसे ऐसे परिभाषित करें: $\forall a, b \in \mathbf{Z}$, $a R b$ अगर और केवल अगर $a-b$ $n$ से विभाज्य है। दिखाएं कि $R$ एक समता संबंध है।

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ 16. यदि A={$ 1,2,3,4 $} है, तो ऐसे संबंधों को परिभाषित करें जो निम्नलिखित गुणों के साथ हैं:

(a) प्रत्यापक, संचारी लेकिन सममित नहीं

(b) सममित लेकिन न तो प्रत्यापक है और न ही संचारी

(c) प्रत्यापक, संचारी और सममित।

~~ 17. यदि $R$ को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है जहाँ $\mathbf{N}$ का स्रोत है:

R={$ (x, y): x \in \mathbf{N}, y \in \mathbf{N}, 2 x+y=41 $}। $R$ का डोमेन और रेंज ढूंढें। साथ ही देखें कि $R$ प्रत्यापक, संचारी और सममित है या नहीं।

~~ 18. दिए गए हैं A={ 2,3,4} और B={2,5,6,7 }। निम्नलिखित प्रतीति के उदाहरण बनाएं:

(a) $A$ से $B$ तक एकत्व मैपिंग

(b) $A$ से $B$ तक मैपिंग जो एकत्व नहीं है

(c) $B$ से $A$ तक मैपिंग।

~~ 19. एक ऐसी नक्श दें

(i) जो एक-एक होती है लेकिन न संपूर्ण होती है

(ii) जो एक-एक नहीं है लेकिन संपूर्ण होती है

(iii) जो न तो एक-एक होती है और न ही संपूर्ण होती है।

~~ 20. $A=\mathbf{R}-{3}, B=\mathbf{R}-{1}$ को लें। $f: A \to B$ ऐसा परिभाषित है कि $f(x)=\frac{x-2}{x-3}$ $\forall x \in A$। तब दिखाएं कि $f$ दोषरहित है।

~~ 21. $A=[-1,1]$ हो तो, चरण यहाँ तक विचार करें कि क्या निम्नलिखित फ़ंक्शन $A$ पर एक-एक, संपूर्ण या बाइजेक्टिव हैं:

(i) $f(x)=\frac{x}{2}$

(ii) $g(x)=|x|$

(iii) $h(x)=x|x|$

(iv) $k(x)=x^{2}$

~~ 22. निम्नलिखित बातें में से प्रत्येक को $\mathbf{N}$ पर एक संबंध परिभाषित करता है:

(i) $\quad x$ पर $y$ से अधिक है, $x, y \in \mathbf{N}$

(ii) $x+y=10, x, y \in \mathbf{N}$

(iii) $\quad x y$ एक पूर्णांक के वर्ग है $x, y \in \mathbf{N}$

(iv) $\quad x+4 y=10 \quad x, y \in \mathbf{N}$।

यह निर्धारित करें कि प्रत्येक में से कौन संप्रदायी, सममित और संचारी है।

~~ 23. A={$ 1,2,3, \ldots 9 $} और $R$ ऐसा संबंध है जो $A \times A$ में परिभाषित है और $(a, b) R(c, d)$ द्वारा परिभाषित होता है यदि $a+d=b+c$ है $(a, b),(c, d)$ के लिए $A \times A$ में। दिखाएं कि $R$ एक समता संबंध है और इसके समता समूह $[(2,5)]$ प्राप्त करें।

~~ 24. परिभाषा का उपयोग करके, साबित करें कि फ़ंक्शन $f: A \to B$ इनवर्टेबल है यदि और केवल यदि $f$ एक-एक है और संपूर्ण है।

25. फ़ंक्शन $f, g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को निर्धारित किया जाता है, क्रमशः, $f(x)=x^{2}+3 x+1$, $g(x)=2 x-3$, निर्णय करें

(i) $f \circ g$

(ii) $g \circ f$

(iii) $f o f$

(iv) $g \circ g$

~~ 26. यदि $*$ एक binary आपरेशन है जो $\mathbf{Q}$ पर परिभाषित होता है। तो निम्नलिखित binary आपरेशन में से कौन सा सम्मिश्रणशील है

(i) $a * b=a-b \forall a, b \in \mathbf{Q}$

(ii) $a * b=a^{2}+b^{2} \forall a, b \in \mathbf{Q}$

(iii) $a * b=a+a b \forall a, b \in \mathbf{Q}$

(iv) $a * b=(a-b)^{2} \forall a, b \in \mathbf{Q}$

~~ 27. * binary आपरेशन को $\mathbf{R}$ पर परिभाषित किया जाता है $a * b=1+a b, \forall a, b \in \mathbf{R}$। तो आपरेशन $*$ है

(i) सम्मिश्रणशील है लेकिन अव्यवस्थापनशील नहीं

(ii) अव्यवस्थापनशील है लेकिन सम्मिश्रणशील नहीं

(iii) न तो सम्मिश्रणशील है और न तो अव्यवस्थापनशील है

(iv) सम्मिश्रणशील और अव्यवस्थापनशील दोनों हैं

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

28 से 47 तक के प्रश्न में चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें (M.C.Q.)

~~ 28. यदि $T$ यूक्लिडीय इथान समतल में समुच्चय के सभी त्रिभुजों का समूह है, और $T$ पर संबंध $R$ को $a R b$ के रूप में परिभाषित किया गया है अगर $a$ बराबर है $b \forall a, b \in T$ तो $R$ होगा

(A) स्वत:सादित्वी लेकिन अनुच्छेदी

(B) अनुच्छेदी लेकिन स्वरूपी नहीं

(C) सदृशता

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 29. विचार करें एक परिवार में बच्चों से मिलकर निर्धारित सम्बद्धता $R$ को $a R b$ के रूप में परिभाषित किया जाता है अगर $a$ भाई है $b$ तो $R$ होगा

(A) स्वरूपी लेकिन अनुच्छेदी नहीं

(B) अनुच्छेदी लेकिन स्वरूपी नहीं

(C) ना स्वरूपी है ना अनुच्छेदी

(D) उभयात्मक और अनुच्छेदी दोनों हैं

~~ 30. संख्या $n$ एक अविरुद्ध संख्या होने की स्थिति में लगभग बराबर हैं A={$ 1,2,3, \ldots n $} है और B={$ a, b $} है। तो $A$ से $B$ के लिए surjections की संख्या होगी

(A) ${ }^{n} P_2$

(B) $2^{n}-2$

(C) $2^{n}-1$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~

37. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=\frac{1}{x} \forall x \in \mathbf{R}$। तब $f$ का

(A) एक-प्रेक्षक (one-one) है

(B) संपूर्ण है (onto)

(C) द्विप्रकारी (bijective) है

(D) $f$ की परिभाषा नहीं है

~~ 38. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=3 x^{2}-5$ और $g: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$। तब $g$ ऑफ $f$ है

(A) $\frac{3 x^{2}-5}{9 x^{4}-30 x^{2}+26}$

(B) $\frac{3 x^{2}-5}{9 x^{4}-6 x^{2}+26}$

(C) $\frac{3 x^{2}}{x^{4}+2 x^{2}-4}$

(D) $\frac{3 x^{2}}{9 x^{4}+30 x^{2}-2}$

~~ 39. निम्नलिखित में कौन से फ़ंक्शंस $\mathbf{Z}$ से $\mathbf{Z}$ में एक-एकरूप (bijection) हैं?

(A) $f(x)=x^{3}$

(B) $f(x)=x+2$

(C) $f(x)=2 x+1$

(D) $f(x)=x^{2}+1$

~~ 40. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ फ़ंक्शंस की परिभाषा हो $f(x)=x^{3}+5$। तब $f^{-1}(x)$ है

(A) $(x+5)^{\frac{1}{3}}$

(B) $(x-5)^{\frac{1}{3}}$

(C) $(5-x)^{\frac{1}{3}}$

(D) $5-x$

~~ 41. यदि $f: A \to B$ और $g: B \to C$ दोनों एक-एकरूप (bijective) फ़ंक्शंस हों।तब $(g \circ f)^{-1}$ है

(A) $f^{-1} o g^{-1}$

(C) $g^{-1} o f^{-1}$

(B) $f \circ g$

(D) $g \circ f$

~~ 42. यदि $f: \mathbf{R}- \lbrace \frac{3}{5} \rbrace \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=\frac{3 x+2}{5 x-3}$। तब

(A) $ f^{-1}(x)=f(x)$

(B) $f^{-1}(x)=-f(x)$

(C) $(f \circ f) x=-x$

(D) $f^{-1}(x)=\frac{1}{19} f(x)$

~~ 43. यदि $f:[0,1] \to[0,1]$ की परिभाषा हो $f(x)=$ $ \begin{cases}x \text{, अगर } x \text{ न्यूनत्तम हो} \\ 1-x \text{, अगर } x \text{ अनिश्चित हो } \end{cases}$

तब $(f \circ f) x$ होगा

(A) स्थिर

(B) $1+x$

(C) $x$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 44. यदि $f:[2, \infty) \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=x^{2}-4 x+5$।तब $f$ का सीमा (range) है

(A) $\mathbf{R}$

(B) $[1, \infty)$

(C) $[4, \infty)$

(B) $[5, \infty)$

~~ 45. यदि $f: \mathbf{N} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=\frac{2 x-1}{2}$ और $g: \mathbf{Q} \to \mathbf{R}$ दूसरी फ़ंक्शंस की परिभाषा हो $g(x)=x+2$।तब $(g \circ f) \frac{3}{2}$ होगा

(A) 1

(B) 1

(C) $\frac{7}{2}$

(B) इनमें से कोई नहीं

~~ 46. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो

f(x)= $ \begin{cases} 2 x: x>3 \\ x^{2}: 1<x \leq 3 \\ 3 x: x \leq 1 \end{cases} $

तब $f(-1)+f(2)+f(4)$ होगा

(A) 9

(C) 5

(B) 14

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 47. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=\tan x$।तब $f^{-1}(1)$ होगा

(A) $\frac{\pi}{4}$

(B) {$ n \pi+\frac{\pi}{4}: n \in Z $}

(C) मौजूद नहीं है

(D) इनमें से कोई नहीं

प्रत्येक अभ्यास 48 से 52 के खाली जगहें भरें।

~~ 48. यदि संबंध $R$ की परिभाषा होधव कणी में $\mathbf{N}$ द्वारा, तब $a R b$ होगा अगर $2 a+3 b=30$।तब $R=$_________

~~ 49. यदि संबंध $R$ की परिभाषा हो विंयस्त्री में

A={$ 1,2,3,4,5 $} द्वारा, R={(a, b): $|a^{2}-b^{2}$|<8}।तब र द्वारा दिया गया $R$ होगा___________

~~ 50. यदि f={$ (1,2),(3,5),(4,1)$ और g={(2,3),(5,1),(1,3) } हों।तब $g$ o $f ___________=$ और $f \circ g=$ ____________________

~~ 51. यदि $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ की परिभाषा हो $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$. तब $(f$ o $f$ o $f)(x)=$______________

~~

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: 52. अगर f(x)=( $ 4-(x-7)^{3} $ }, तो $f^{-1}(x)=$______________

हर एक अभ्यास के लिए दिए गए कथन के लिए सच या झूठ स्थिति बताएँ।

~~ 53. R={$ (3,1),(1,3),(3,3) $} को संख्या मानचित्र A={$ 1,2,3 $} पर परिभाषित एक संबंध कहा जाता है। तो $R$ सममिति, परिवर्तनशील लेकिन अव्यवत्ति नहीं है।

~~ 54. $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, जो $f(x)=\sin (3 x+2) \forall x \in \mathbf{R}$ पर परिभाषित है। तो $f$ परिवर्तनशील है।

~~ 55. हर संबंध जो सममिति और परिवर्तनशील होता है, वह स्वतः सम होता है।

~~ 56. एक पूर्णांक $m$ किसी अन्य पूर्णांक $n$ से संबंधित कहा जाता है अगर $m$ $n$ का पूर्णांक गुणक है। इस संबंध में $\mathbf{Z}$ में स्वतः सम, सममिति और परिवर्तनशील होता है।

~~ 57. A={$ 0,1 $} और $\mathbf{N}$ को प्राकृतिक संख्याओं का सेट मानें। तो मानचित्रण $f: \mathbf{N} \to$ A जो $f(2 n-1)=0, f(2 n)=1, \forall n \in \mathbf{N}$ पर परिभाषित है, संदर्भी है।

~~ 58. A={$ 1,2,3 $} पर परिभाषित संबंध $R$ जो R={ {1,1),(1,2),(2,1),(3,3) } है, स्वतः सम, सममिति और परिवर्तनशील होता है।

~~ 59. कार्यों का समानांतरणीय होता है।

~~ 60. कार्यों का समानांतरणीय सद्बीज होता है।

~~ 61. हर कार्य परिवर्तनशील होता है।

~~ 62. एक सेट पर बाइनरी क्रिया हमेशा पहचान तत्व होता है।

समाधान

~~ 1. $(b, b),(c, c),(a, c)$

~~ 2. $[-5,5]$

~~ 3. $4 x^{2}+4 x-1$

~~ 4. $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$

~~ 5. $f^{-1}\lbrace(b, a),(d, b),(a, c),(c, d)\rbrace$

~~ 6. $f(f(x))=x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-3 x$

~~ 7. $\alpha=2, \beta=-1$

~~ 8. (i) एक सार्वत्रिकता लेकिन निजात्मकतावादी होने वाला कार्यभारी प्रतिनिधित्व करता है

(ii) कार्यभारी प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

~~ 9. $f\circ g = \lbrace(2,5),(5,2),(1,5)\rbrace$

~~ 12. (i) $f$ कार्य नहीं है

(ii) $g$ कार्य है

(iii) $h$ कार्य है

(iv) $k$ कार्य नहीं है

~~ 14. $\Big[\frac{1}{3}, 1\Big]$

~~ 17. संबंध R का डोमेन=$\lbrace 1,2,3,4, \ldots . .20 \rbrace$ है और

संबंध R की रेंज=$\lbrace 1,3,5,7,9, \ldots . .39 \rbrace$ है। $R$ स्वतः सम, सममिति नहीं है और न ही परिवर्तनशील है।

~~ 21. (i) $f$ एक-एक है लेकिन संदर्भी नहीं है, (ii) $g$ एक-एक नहीं है, न ही निजात्मी (iii) $h$ दोषहीन है, (iv) $k$ एक-एक नहीं है और निजात्मी नहीं है।

~~ 22. (i) परिवर्तनशील (ii) सम (iii) स्वतः सम, सममिति, और परिवर्तनशील (iv) परिवर्तनशील।

~~ 23. $\big[(2,5)\big]=\lbrace (1,4),(2,5),(3,6),(4,7)(5,8),(6,9)\rbrace$’''

~~ 25. (i) $(f \circ g)(x)=4 x^{2}-6 x+1$

(ii) $(g \circ f)(x)=2 x^{2}+6 x-1$

(iii) $($ fof $)(x)=x^{4}+6 x^{3}+14 x^{2}+15 x+5$

(iv) $(gog)(x)=4 x-9$

~~ 26. (ii) और (iv)

~~ 27. (i)

~~ 28. C

~~ 29. B

~~ 30. D

~~ 31. B

~~ 32. B

~~ 33. A

~~ 34. C

~~ 35. C

~~ 36. B

~~ 37. D

~~ 38. A

~~ 39. B

~~ 40. B

~~ 41. A

~~ 42. A

~~ 43. C

~~ 44. B

~~ 45. D

~~ 46. A

~~ 47. B

~~ 48. R=$\lbrace (3,8),(6,6),(9,4),(12,2) \rbrace$

~~

49. आर = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5) }

~~ 50. g ∘ f = { (1,3),(3,1),(4,3) } और f ∘ g = { (2,5),(5,2),(1,5) }

~~ 51. (f o f o f)(x) = x / √(3x^2 + 1)

~~ 52. f^(-1)(x) = 7 + (4-x)^(1/3)

~~ 53. झूठा

~~ 54. झूठा

~~ 55. झूठा

~~ 56. झूठा

~~ 57. सच्चा

~~ 58. झूठा

~~ 59. झूठा

~~ 60. सच्चा

~~ 61. झूठा

~~ 62. झूठा