अध्याय 3

पंचमेंय

3.1 अवलोकन

3.1.1 पंचमेंय एक ऊर्ध्वाचारी तथा श्रेणीबद्ध संख्याओं (या फलनों) का व्यवस्थित आयताकार समूह है। उदाहरण के लिए,

$ A=\begin{bmatrix} x & 4 & 3 \\ 4 & 3 & x \\ 3 & x & 4 \end{bmatrix} $

संख्याओं (या फलनों) को पंचमेंय के तत्व या प्रविष्टियाँ कहा जाता है।

तत्वों की शृंखला को पंचमेंय के पंक्तियों कहा जाता है और तत्वों की शृंखला को पंचमेंय के स्तंभों कहा जाता है।

3.1.2 पंचमेंय का आदेश

एक पंचमेंय जिसमें $m$ पंक्तिया और $n$ स्तंभ होते हैं, को $m \times n$ आदेश की पंचमेंय या साम्प्रतिक $m \times n$ पंचमेंय (जिसे $m$ द्वारा $n$ पंचमेंय के रूप में पढ़ा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे पास $A$ को $3 \times 3$ के आदेश की पंचमेंय के रूप में रखा है, अर्थात $3 \times 3$ पंचमेंय।

सामान्य रूप से, एक $m \times n$ पंचमेंय के पास निम्नलिखित आयताकार समूह होता है:

$ A=[a _{i j}] _{m \times n}=\begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \ldots & a _{1 n} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \ldots & a _{2 n} \\ \vdots & & & & \\ a _{m 1} & a _{m 2} & a _{m 3} \ldots & a _{m n} & \\ m \times n \end{bmatrix} $ $ 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in \mathbf{N} .$

तत्व, $a _{i j}$ $A$ के $i^{\text{वां }}$ पंक्ति और $j^{\text{वां }}$ स्तंभ में स्थित एक तत्व होता है और $A$ के $(i, j)^{\text{वां }}$ तत्व के रूप में जाना जाता है। एक $m \times n$ पंचमेंय में तत्वों की संख्या $m n$ के बराबर होती है।

3.1.3 पंचमेंय के प्रकार

(i) तत्वमाला एक पंक्ति के यदि केवल एक होती है, तो उसे पंक्तिमाला कहा जाता है।

(ii) तत्वमाला एक स्तंभ के यदि केवल एक होती है, तो उसे स्तंभमाला कहा जाता है।

(iii) पंचमेंय जिसकी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, को वर्ग पंचमेंय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $m \times n$ पंचमेंय को वर्ग पंचमेंय कहा जाता है यदि $m=n$ होता है और " $n$ " के आदेश की एक वर्ग पंचमेंय के रूप में जाना जाता है।

(iv) एक वर्ग पंचमेंय $B=[b _{i j}] _{n \times n}$ को अविक्रिय तत्वों को होना एक यामात्रा पंचमेंय कहा जाता है, यानी पंचमेंय $B=[b _{i j}] _{n \times n}$ एक यामात्रा पंचमेंय होती है यदि $b _{i j}=0$, जब $i \neq j$ हो।

(v) यामात्रा पंचमेंय को स्केलर पंचमेंय कहा जाता है यदि उसकी यामात्रा तत्व एक होते हैं, यानी, एक वर्ग पंचमेंय $B=[b _{i j}] _{n \times n}$ को स्केलर पंचमेंय कहा जाता है यदि $b _{i j}=0$, जब $i \neq j$

$b _{i j}=k$, जब $i=j$, किसी स्थिर $k$ के लिए।

(vi) एक वर्ग पंचमेंय जिसमें यामात्रा में तत्व सभी 1 होते हैं और अन्य सभी शून्य होते हैं, को पहचान पंचमेंय कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, वर्ग पंचमेंय $A=[a _{i j}] _{n \times n}$ को पहचान पंचमेंय कहा जाता है, अगर $a _{i j}=1$, जब $i=j$, और $a _{i j}=0$, जब $i \neq j$।

(vii) एक पंचमेंय को शून्य पंचमेंय या षड्यंत्रण पंचमेंय यदि उसके सभी तत्व शून्य होते हैं। हम शून्य पंचमेंय को $O$ से दर्शाते हैं।

(ix) दो पंचमेंय $A=[a _{i j}]$ और $B=[b _{i j}]$ बराबर कहलाते हैं यदि

(a) वे एक ही आदेश के होते हैं, और

(b) प्रत्येक $A$ का तत्व समान होता है $B$ के प्रतिसादान तत्व के साथ, अर्थात $a _{i j}=b _{i j}$ हर $i$ और $j$ के लिए।

3.1.4 पंचमेंय का जोड़

दो पंचमेंय जो एक ही आदेश के होते हैं, को जोड़ा जा सकता है।

3.1.5 मात्रागणना द्वारा मैट्रिक्स का गुणा

यदि $A=[a _{i j}] _{m \times n}$ एक मैट्रिक्स है और $k$ एक स्केलर है, तो $k A$ एक और मैट्रिक्स है जो मैट्रिक्स A के प्रत्येक तत्व को एक स्केलर k से गुणा करके प्राप्त की जाती है, अर्थात् $k A=[k a _{i j}] _{m \times n}$ होता है।

3.1.6 मैट्रिक्स का विलोम

मैट्रिक्स A का विलोम को $-A$ से चिह्नित किया जाता है। हम $-A=(-1) A$ पर परिभाषित करते हैं।

3.1.7 मैट्रिक्सों का गुणा

मैट्रिक्स A और B का गुणा परिभाषित होता है यदि A की स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

अगर $A=[a _{i j}]$ एक $m \times n$ मैट्रिक्स है और $B=[b _{j k}]$ एक $n \times p$ मैट्रिक्स है, तो मैट्रिक्सों $A$ और $B$ का गुणा मैट्रिक्स $C$ है जो क्रमशः $m \times p$ का होता है। मैट्रिक्स C के $(i, k)^{\text{वां }}$ तत्व $c _{i k}$ को प्राप्त करने के लिए, हम A की $i^{\text{वीं }}$ पंक्ति और B की $k^{\text{वीं }}$ स्तंभ लेते हैं, उन्हें तत्ववार गुणा करते हैं और इन सभी उत्पादों का योग लेते हैं, अर्थात्

$ c _{i k}=a _{i 1} b _{1 k}+a _{i 2} b _{2 k}+a _{i 3} b _{3 k}+\ldots+a _{i n} b _{n k} $

मैट्रिक्स $C=[c _{i k}] _{m \times p}$ मैट्रिक्स $A$ और $B$ का गुणा होता है।

टिप्पणियाँ:

~~ 1. यदि $A B$ परिभाषित है, तो $B A$ परिभाषित होने की आवश्यकता नहीं होती है।

~~ 2. यदि $A, B$ अव्यवस्थित रूप से $m \times n, k \times l$ मैट्रिक्स हैं, तो $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित होंगे यदि और केवल यदि $n=k$ और $l=m$ है।

~~ 3. यदि $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि $AB=BA$ हो।

~~ 4. यदि दो मैट्रिक्सों का गुणा एक शून्य मैट्रिक्स है, तो यह आवश्यक नहीं है कि उनमें से एक मैट्रिक्स एक शून्य मैट्रिक्स हो।

~~ 5. एकीकृतता मात्रिक्सों $A, B$ और $C$ के लिए, यदि $A=B$, तो $AC=BC$ होता है, लेकिन उलटा यह सत्य नहीं होता है।

~~ 6. A. $A=A^{2}$, A. $A \cdot A=A^{3}$, और इसी प्रकार

3.1.8 मैट्रिक्स का ट्रांसपोज

~~ 1. यदि $A=[a _{i j}]$ एक $m \times n$ मैट्रिक्स है, तो $A$ की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में अंतरित करके प्राप्त मैट्रिक्स को $A$ का ट्रांसपोज कहा जाता है।

मैट्रिक्स $A$ का ट्रांसपोज का चिह्नन $A^{\prime}$ या $(A^{T})$ होता है। अन्य शब्दों में, यदि $A=[a _{i j}] _{m \times n}$ है, तो $A^{T}=[a _{j i}] _{n \times m}$ होता है।

~~ 2. मैट्रिक्स का ट्रांसपोज की गुणधर्म

उचित क्रमशः मैट्रिक्स $A$ और $B$ के लिए, हमें निम्न गुणधर्म होती है

(i) $(A^{T})^{T}=A$,

(ii) $(k A)^{T}=k A^{T}$ (यहाँ $k$ कोई स्थायी हो सकता है)

(iii) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

(iv) $(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$

3.1.9 सममिश्रित मैट्रिक्स और स्क्यू सममिश्रित मैट्रिक्स

(i) एक वर्गीकरण मैट्रिक्स $A=[a _{i j}]$ सममिश्रित कहलाता है यदि $A^{T}=A$ होता है, अर्थात्, $a _{i j}=a _{j i}$ हर संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए।

(ii) एक वर्गीकरण मैट्रिक्स $A=[a _{i j}]$ को स्क्यू सममिश्रित मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $A^{T}=-A$ होता है, अर्थात्, $a _{j i}=-a _{i j}$ हर संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए।

ध्यान दें: स्क्यू सममिश्रित मैट्रिक्स के आवर्ती तत्व शून्य होते हैं।

(iii) प्रमेय 1: किसी भी वर्गीकरण मैट्रिक्स $A$ के लिए जिसके वास्तविक संख्या प्रविष्टियों के साथ, $A+A^{T}$ एक सममिश्रित मैट्रिक्स होती है और $A-A^{T}$ एक स्क्यू सममिश्रित मैट्रिक्स होती है।

(iv) प्रमेय 2: किसी भी वर्गीकरण मैट्रिक्स A को लगभग एक सममिश्रित मैट्रिक्स और एक स्क्यू सममिश्रित मैट्रिक्स के योग के रूप में प्रकट किया जा सकता है, अर्थात्

शीर्षक: 3.1.10 पलटने योग्य संख्याएँ

(I) यदि $A$ एक आदेश का वर्गमण्डल $m \times m$ है, और यदि एक और वर्गमण्डल $B$ उसी आदेश $m \times m$ की है, ऐसा कि $AB=BA=I_m$, तो $A$ को पलटने योग्य मैट्रिक्स कहा जाता है और $B$ को $A$ का पलटे मैट्रिक्स कहा जाता है और इसे $A^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

ध्यान दें:

~~ 1. एक आयत मैट्रिक्स उसका पलटे मैट्रिक्स नहीं होता है, क्योंकि $BA$ और $AB$ के उत्पादों के लिए परिभाषित होने और बराबर होने के लिए, जरूरी है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ दोनों ही वर्गमण्डल हों और उनकी आदेश एक समान हो।

~~ 2. यदि $B$ $A$ का पलट, तो $A$ भी $B$ का पलट होता है।

(ii) प्रमेय 3 (पलटने की अद्वितीयता) पलटने योग्य मैट्रिक्स का पलट, कि यदि वह मौजूद हो, अद्वितीय होता है।

(iii) प्रमेय 4: यदि $A$ और $B$ एक ही आदेश की टेबलमण्डल हैं, तो $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ होता है।

शीर्षक: 3.1.11 तत्वीय पंक्ति या स्तंभ क्रियाएँ उपयोग करके मैट्रिक्स का पलट

तत्वीय पंक्ति प्रक्रियाओं का उपयोग करके $A^{-1}$ को ढूंढ़ने के लिए, $(A=IA)$ पर एक क्रम को लिखें और रो प्रक्रियाओं को (A = I A) पर लागू करें जब तक हम $(I=BA)$ को प्राप्त न करें। मैट्रिक्स $B$ $A$ का पलट होगा। इसी तरह, यदि हम स्तंभ प्रक्रियाओं का उपयोग करके $A^{-1}$ ढूंढ़ना चाहते हैं, तो, $A=AI$ लिखें और स्तंभ प्रक्रियाओं का एक क्रम (A = AI) पर लागू करें जब तक हमें $I = AB$ मिल जाए।

नोट: केवल एक या अधिक तत्वीय पंक्ति (या स्तंभ) प्रक्रियाओं को करने के बाद $A=IA$ (या A = AI) पर, यदि हम मात्रिका $A$ की एक या अधिक पंक्तियों में सभी शून्य प्राप्त करते हैं, तो $A^{-1}$ मौजूद नहीं होता है।

3.2 हल किए गए उदाहरण

शीर्षक: संक्षेप उत्तर (S.A.)

उदाहरण 1 भौतिक मात्रिका $A=[a _{i j}] _{2 \times 2}$ बनाएँ जिसके तत्व $a _{i j}=e^{2 i x} \sin j x$ से दिए जाते हैं।

समाधान

$ \begin{matrix} \text{ के लिए } & i=1, j=1, & a _{11} = & e^{2 x} \sin x \\ \text{ के लिए } & i=1, j=2, & a _{12}= & e^{2 x} \sin 2 x \\ \text{ के लिए } & i=2, j=1, & a _{21}= & e^{4 x} \sin x \\ \text{ के लिए } & i=2, j=2, & a _{22}= & e^{4 x} \sin 2 x \end{matrix} $

इसलिए

$ A=\begin{bmatrix} e^{2 x} \sin x & e^{2 x} \sin 2 x \\ e^{4 x} \sin x & e^{4 x} \sin 2 x \end{bmatrix} $

उदाहरण 2 यदि $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & 1\end{bmatrix} , C=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}, D=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & 9\end{bmatrix} $ हैं, तो

A $+B, B+C, C+D$ और $B+D$ में से कौन सी योग निर्धारित है?

समाधान केवल B + D को प्राथमिकता होती है क्योंकि एक ही आदेश की मात्रिकाओं को ही जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण 3 दिखाएँ कि वह मात्रिका जो सममिश्रित और टिखरी है, वह शून्य मात्रिका है।

समाधान $A=[a _{i j}]$ एक मात्रिका हो जो सममिश्रित और टिखरी है।

क्योंकि $A$ एक टिखरी मात्रिका है, इसलिए $A^{\prime}=-A$।

इसलिए, सभी $i$ और $j$ के लिए हमारे पास $a _{i j}=-a _{j i}$ होता है

फिर से, क्योंकि $A$ एक सममिश्रित मात्रिका है, इसलिए $A^{\prime}=A$।

इसलिए, सभी $i$ और $j$ के लिए हमारे पास

$ a _{j i}=a _{i j} $

इसलिए, (1) और (2) से हमें मिलता है

$ a _{i j}=-a _{i j} \text{ सभी } i \text{ और } j \text{ के लिए} $

हालांकि $A$ का कोई सिमीट्रिक और स्क्यू सिमीट्रिक मैट्रिक्स में व्यक्त करें। जहां

$ A=\begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} . $

समाधान हमें

$ A=\begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \text{, तो } A^{\prime}=\begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ -6 & 5 & 4 \end{bmatrix} $

अतएव $\quad \frac{A+A^{\prime}}{2}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2 & \frac{11}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ \frac{-5}{2} & \frac{3}{2} & 4\end{array}\right]$

और $ \frac{\mathrm{A}-\mathrm{A}^{\prime}}{2}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-3}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & \frac{-7}{2} & 0 \end{array}\right] $

इसलिए, $ \frac{\mathrm{A}+\mathrm{A}^{\prime}}{2}+\frac{\mathrm{A}-\mathrm{A}^{\prime}}{2}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & \frac{11}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ \frac{-5}{2} & \frac{3}{2} & 4 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{-3}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & \frac{-7}{2} & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{array}\right]=\mathrm{A} $

मिसाल 7 यदि $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix} $, तो दिखाएं कि $A$ में समीकरण को पूरा करता है

$ A^{3}-4 A^{2}-3 A+11 I=0 . $

समाधान $\quad A^{2}=A \times A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $ x $ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} $

$=\left[\begin{array}{lll}1+6+2 & 3+0+4 & 2-3+6 \\ 2+0-1 & 6+0-2 & 4+0-3 \\ 1+4+3 & 3+0+6 & 2-2+9\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{lll}9 & 7 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 8 & 9 & 9\end{array}\right]$

और $$ \begin{aligned}

अगर $A$ और $B$ सकारात्मक आदेश के वर्गीकृत हैं, तो $(A+B)(A-B)$ के बराबर होता है

(A) $A^{2}-B^{2}$

(B) $ A^{2}-BA-AB-B^{2}$

(C) $A^{2}-B^{2}+BA-AB$

(D) $ A^{2}-BA+B^{2}+AB$

समाधान (C) सही उत्तर है। $(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B)$ $=A^{2}-AB+BA-B^{2}$

उदाहरण 10 यदि $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 5 & 1\end{bmatrix} $ और $B=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \\ 1 & 5\end{bmatrix} $ हो, तब

(A) केवल $A B$ परिभाषित हैं

कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा:

(B) केवल BA परिभाषित है

(C) $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित हैं

(D) $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित नहीं हैं।

समाधान (C) सही उत्तर है। लेट $A=[a_{ij}]{2 \times 3}$ $ B=[b{ij}]_{3} \times 2 $। दोनों $AB$ और $BA$ परिभाषित हैं।

उदाहरण 11 मेट्रिक्स $A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 0 & 5 & 0 \\ 5 & 0 & 0\end{bmatrix} $ है

(A) स्केलर मेट्रिक्स

(B) डायगोनल मेट्रिक्स

(C) इकाई मेट्रिक्स

(D) वर्ग मेट्रिक्स

समाधान (D) सही उत्तर है।

उदाहरण 12 यदि $A$ और $B$ एक समान क्रम में हैं, तो $(AB^{\prime}-BA^{\prime})$ एक है

(A) स्क्यू सिमेट्रिक मेट्रिक्स

(B) शून्य मेट्रिक्स

(C) सिमेट्रिक मेट्रिक्स

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान (A) सही उत्तर है क्योंकि

$ (AB’ - BA’)’ = (AB’)’ - (BA’)' $

$ \begin{aligned} & =(B A’ - A B’) \\ & =-(A B’ - B A’) \end{aligned} $

उदाहरण 13 से 15 के लिए रिक्त स्थान भरें:

उदाहरण 13 यदि $A$ और $B$ दो स्क्यू सिमेट्रिक मेट्रिक्स हैं, तो $A B$ सिमेट्रिक मेट्रिक्स है अगर_____

समाधान $A B = B A$।

उदाहरण 14 यदि $A$ और $B$ के मात्रा के भीतर हैं, तो $(3 A-2 B)^{\prime}$ ….

समाधान $3 A^{\prime}-2 B^{\prime}$

उदाहरण 15 मैट्रिक्स का जोड़ मात्रा को निर्धारित है यदि________________

समाधान समान।

क्या उक्त विवरण हर उदाहरण 16 से 19 में सही या गलत हैं:

उदाहरण 16 यदि दो मैट्रिक्स $A$ और $B$ समान क्रम हैं, तो $2 A+B=B+2 A$।

समाधान सही है

उदाहरण 17 मैट्रिक्स घटाव समानार्थी है

समाधान गलत है

उदाहरण 18 गैर-संगत मैट्रिक्स $A, (A^{\prime})^{-1} = (A^{-1})^{\prime}$।

समाधान सही है

उदाहरण 19 $AB=AC \Rightarrow B=C$ समान क्रम के तीन मैट्रिक्स के लिए।

समाधान गलत है

3.3 अभ्यास

छोटे उत्तर (एसए)

~~ 1. यदि किसी मैट्रिक्स में 28 तत्व हैं, तो उसके कितने क्रम हो सकते हैं? अगर उसमें 13 तत्व हैं तो क्या हो सकते हैं?

~~ 2. मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix} a & 1 & x \\ 2 & \sqrt{3} & x^{2}-y \\ 0 & 5 & \frac{-2}{5}\end{bmatrix} $ में लिखें:

(i) मैट्रिक्स A का क्रम

(ii) तत्वों की संख्या

(iii) तत्व $a_{23}, a_{31}, a_{12}$ लिखें

~~ 3. निम्नलिखित करें $a_{2 \times 2}$ है मैट्रिक्

(i) $a_{ij}=\frac{(i-2j)^{2}}{2}$

(ii) $a_{ij}=|-2i+3j|$

~~ 4. $a_{ij}=e^{ix}\sin jx$ द्वारा दिए गए तत्वों के द्वारा एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स बनाओ

~~ 5. मान खोजें $a$ और $b$ अगर $A=B$ हैं, जहां

$A= \begin{bmatrix} a+4 & 3b \\ 8 & -6\end{bmatrix} , \quad B= \begin{bmatrix} 2a+2 & b^{2}+2 \\ 8 & b^{2}-5b\end{bmatrix} $

~~ 6. यदि संभव हो, तो मैट्रिक्स $A$ और $B$ का योग तलाशें, जहां $A= \begin{bmatrix} \sqrt{3} & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix} $,

and $B= \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & 6\end{bmatrix} $

~~ 7. यदि $X= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -3\end{bmatrix} $ है और $Y= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 7 & 2 & 4\end{bmatrix} $ है, तो खोजें

(i) $X+Y$

(ii) $2X-3Y$

(iii) एक मैट्रिक्स $Z$ ऐसा होता है कि $X+Y+Z$ एक शून्य मैट्रिक्स होती है।

~~ 8. मैट्रिक्स समीकरण को संतुलनयुक्त करते हुए $x$ के गैर-शून्य मान बताएं:

$ x \begin{bmatrix} 2 x & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 8 & 5 x \\ 4 & 4 x \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} (x^{2}+8) & 24 \\ (10) & 6 x \end{bmatrix} . $

~~ 9. यदि $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} $ है, तो दिखाएं कि $(A+B)(A-B) \neq A^{2}-B^{2}$।

~~ 10. यदि संभव हो तो, $x$ की मान बताएं जब

$ \begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix} $ $ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 15 & 3 & 2 \end{bmatrix} $ $ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} $ =O।

~~ 11. दिखाएं कि $A=\left[\begin{array}{cc}5 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right]$ समीकरण $A^2-3 A-7 I=O$ को पूरा करता है और इसके अलावा $\mathrm{A}^{-1}$ भी ढूंढें।

~~ 12. मैट्रिक्स समीकरण को संतुलनयुक्त करते हुए मैट्रिक्स $A$ ढूंढें: $ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \mathrm{A}\left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] $

~~ 13. यदि $\left[\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 3\end{array}\right] A=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right]$ है, तो $A$ ढूंढें।

~~ 14. यदि $A=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]$ है, तो सत्यापित करें $(B A)^2 \neq B^2 A^2$

~~ 15. संभव हो तो, $B A$ और $A B$ ढूंढें, जहां $ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right] $

~~ 16. एक उदाहरण द्वारा दिखाएं कि $A \neq O, B \neq O, A B=O$ है।

~~ 17. दिए गए $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 3 & 9 & 6\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ के लिए, क्या $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$ होता है?

~~ 18. $x$ और $y$ के लिए हल करें : $ x\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -8 \\ -11 \end{array}\right]=0 . $

~~ 19. यदि $X$ और $Y$ $2 \times 2$ मैट्रिक्स हैं, तो $X$ और $Y$ के लिए निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरणों को हल करें $ 2 \mathrm{X}+3 \mathrm{Y}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}\right], 3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}=\left[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{array}\right] . $

~~ 20. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}7 & 3\end{array}\right]$ है, तो ऐसी एक गैर-शून्य मैट्रिक्स $C$ ढूंढें जिसके लिए $A C=B C$ हो।

~~ 21. ऐसी मैट्रिक्स $A, B$ और $C$ का उदाहरण दें जिसके लिए $A B=A C$ होता है, जहां $A$ गैर-शून्य मैट्रिक्स है, लेकिन $\mathrm{B} \neq \mathrm{C}$।

~~

कंटेंट का हिंदी संस्करण है: 22. यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & 1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & -4\end{array}\right]$ और $\mathrm{C}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 0\end{array}\right]$ है, तो सत्यापित करें:

(i) (AB) $\mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})$

(ii) $\mathrm{A}(\mathrm{B}+\mathrm{C})=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$.

~~ 23. यदि $\mathrm{P}=\left[\begin{array}{ccc}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right]$ और $\mathrm{Q}=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right]$ है, तो साबित करें कि $ \mathrm{PQ}=\left[\begin{array}{ccc} x a & 0 & 0 \\ 0 & y b & 0 \\ 0 & 0 & z c \end{array}\right]=\mathrm{QP} . $

~~ 24. यदि : $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right]=\mathrm{A}$ तो, $\mathbf{A}$ ढूँढ़ें।

~~ 25. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{lll}5 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6\end{array}\right]$ और $C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ हो, तो सत्यापित करें कि $A(B+C)=(AB+AC)$.

~~ 26. यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} $ है, तो सत्यापित करें कि $A^{2}+A=A(A+I)$, जहां $I$ $3 \times 3$ इकाई बनवट है।

~~ 27. यदि $A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} $ और $B=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6\end{bmatrix} $ है, तो सत्यापित करें :

(i) $\quad(A^{\prime})^{\prime}=A$

(ii) $\quad(AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$

(iii) $\quad(k A)^{\prime}=(k A^{\prime})$.

~~ 28. यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix} , \quad B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3\end{bmatrix} $ है, तो सत्यापित करें :

(i) $\quad(2 A+B)^{\prime}=2 A^{\prime}+B^{\prime}$

(ii) $\quad(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$.

~~ 29. दिखाएं कि $A^{\prime} A$ और $A A^{\prime}$ हर मान परिसंख्यात्रीय पदावली हैं।

~~ 30. $A$ और $B$ एकांत मान पदावली हैंगणे $3 \times 3$ आदेश की मैट्रिक्स हैं। यह क्या है : $(A B)^{2}=A^{2} B^{2}$ ? कारण बताएँ।

~~ 31. दिखाएं कि यदि $A$ और $B$ एकांत मान पदावली हों ऐसा कि $A B=B A$, तो

$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $

~~ 32. यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} , \quad C=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} $ और $a=4, b=-2$ हैं।

इसका प्रमाण करें:

(a) $A+(B+C)=(A+B)+C$

(b) $A(BC)=(AB) C$

(c) $(a+b) B=a B+b B$

(d) $a(C-A)=a C-a A$

(e) $(A^{T})^{T}=A$

(f) $(b A)^{T}=b A^{T}$

(g) $(AB)^{T}=B^{T} A^{T}$

(h) $(A-B) C=AC-BC$

(i) $(A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}$

~~ 33. यदि $A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} $ है, तो दिखाएं कि $A^{2}=\begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & \cos 2 \theta\end{bmatrix} $ होता है।

~~

कंटेंट का हिंदी संस्करण: 34. यदि $A=\begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0\end{bmatrix} $, $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} $ और $x^{2}=-1$ है, तो दिखाएं कि $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}$।

~~ 35. सत्यापित करें कि $A^{2}=I$ जब $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4\end{bmatrix} $।

~~ 36. गणितीय उद्धरण द्वारा प्रमाणित करें कि $(A^{\prime})^{n}=(A^{n})^{\prime}$, जहां $n \in \mathbf{N}$ के लिए किसी भी वर्गीय आयामवाले बीमान A।

~~ 37. निम्नलिखित मान-वर्ग मैट्रिक्सों के रूप में, प्राथमिक पंक्ति संख्याओं द्वारा इनके व्युत्क्रमण का अवरोह (यदि संभव हो) तय करें।

(i) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 7\end{bmatrix} $।

(ii) $\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6\end{bmatrix} $।

~~ 38. यदि $\begin{bmatrix} x y & 4 \\ z+6 & x+y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & w \\ 0 & 6\end{bmatrix} $ है, तो $x, y, z$ और $w$ के मान ढूंढें।

~~ 39. यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 12\end{bmatrix} $ और $B=\begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 8\end{bmatrix} $ हैं, ऐसी मैट्रिक्स $C$ ढूंढें जिससे $3 A+5 B+2 C$ एक शून्य मैट्रिक्स हो।

~~ 40. यदि $A=\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2\end{bmatrix} $ है, तो $A^{2}-5 A-14$ ढूंढें। इसके बाद, $A^{3}$ प्राप्त करें।

~~ 41. यदि

$3 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & 6 \\ -1 & 2 d\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 4 & a+b \\ c+d & 3\end{bmatrix} $,

तो $a, b, c$ और $d$ के मान ढूंढें।

~~ 42. ऐसी मैट्रिक्स $A$ ढूंढें जिसके लिए लागू होगा

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \quad A=\begin{bmatrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & -2 & -5 \\ 9 & 22 & 15 \end{bmatrix} $

~~ 43. यदि $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1\end{bmatrix} $ है, तो $A^{2}+2 A+7 I$ ढूंढें।

~~ 44. यदि $A=\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} $ है, और $A^{-1}=A^{\prime}$ है, तो $\alpha$ का मान ढूंढें।

~~ 45. यदि मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 0 & a & 3 \\ 2 & b & -1 \\ c & 1 & 0\end{bmatrix} $ एक स्क्यू-सममत्र है, तो इसके मान ढूंढें

~~ 46. यदि $P(x)=\begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x\end{bmatrix} $ है, तो दिखाएं कि

$P(x) . P(y)=P(x+y)=P(y) . P(x)$।

~~ 47. यदि $A$ एक वर्गमय मैट्रिक्स है और $A^{2}=A$ है, तो दिखाएं कि $(I+A)^{3}=7 A+I$।

~~ 48. यदि $A, B$ एक ही क्रम की वर्गमय मैट्रिक्स हैं और $B$ एक स्क्यू-सममत्र है, तो दिखाएं कि $A^{\prime} B A$ स्क्यू-सममत्र है।

लम्बा उत्तर (एल.ए.)

~~ 49. यदि $AB=BA$ होता है तो किसी भी दो संख्याओं के लिए, गणितीय उद्धरण द्वारा प्रमाणित करें कि $(A B)^{n}=A^{n} B^{n}$।

~~ 50. यदि संभव हो, प्राथमिक पंक्ति संख्याओं का उपयोग करके निम्नलिखित मैट्रिक्सों का उल्टावरोह ढूंढें

(i) $\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{array}\right]$

(ii) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$

(iii) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]$

~~

यहां दिए गए सभी वस्तुनिष्ठ प्रश्नों का उचित उत्तर चयन करें।

~~ 53. मैट्रिक्स $P=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{array}\right]$ एक

(A) वर्ग मैट्रिक्स

(B) डायगोनल मैट्रिक्स

(C) इकाई मैट्रिक्स

(D) कोई नहीं

~~ 54. प्रत्येक प्रवेश के सम्भावित $3 \times 3$ आदेश की मैट्रिक्स की कुल संभावित संख्या $2$ या $0$ है

(A) 9

(B) 27

(C) 81

(D) 512

~~ 55. यदि $\left[\begin{array}{cc}2 x+y & 4 x \\ 5 x-7 & 4 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7 & 7 y-13 \\ y & x+6\end{array}\right]$ होता है, तो $x+y$ की मान क्या होगी

(A) $x=3, y=1$

(B) $x=2, y=3$

(C) $x=2, y=4$

(D) $x=3, y=3$

~~ 56. यदि $\mathrm{A}=\frac{1}{\pi}\left[\begin{array}{cc}\sin ^{-1}(x \pi) & \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\pi}\right) \\ \sin ^{-1}\left(\frac{x}{\pi}\right) & \cot ^{-1}(\pi x)\end{array}\right], \mathrm{B}=\frac{1}{\pi}\left[\begin{array}{cc}-\cos ^{-1}(x \pi) & \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\pi}\right) \\ \sin ^{-1}\left(\frac{x}{\pi}\right) & -\tan ^{-1}(\pi x)\end{array}\right]$ होता है, तो $A-B$ के बराबर क्या होता है

(A) आई

(B) $\mathrm{O}$

(C) 21

(D) $\frac{1}{2} \mathrm{I}$

~~ 57. यदि $A$ और $B$ दो मैट्रिक्स हैं आदेश $3 \times m$ और $3 \times n$, क्रमशः, और $m=n$, तो मैट्रिक्स $(5 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})$ का आदेश होगा

(A) $m \times 3$

(B) $3 \times 3$

(C) $m \times n$

(D) $3 \times n$

~~ 58. यदि $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ होता है, तो $\boldsymbol{A}^2$ कितना होगा

(A) $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$

~~ 59. यदि मैट्रिक्स $A=\left[a_j\right]_{2 \times 2}$, जहां $a_v=1$ अगर $i \neq j$ $=0$ अगर $i=j$ तो $A^2$ कितना होगा

(A) आई

(B) $\mathrm{A}$

(C) 0

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 60. मैट्रिक्स $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ एक

(A) पहचान मैट्रिक्स

(B) सममिति मैट्रिक्स

(C) पेंलचार मैट्रिक्स

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 61. मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 0 & -5 & 8 \\ 5 & 0 & 12 \\ -8 & -12 & 0\end{bmatrix} $ एक

(A) डायगोनल मैट्रिक्स

(B) सममिति मैट्रिक्स

(C) पेंलचार मैट्रिक्स

(D) यूनिट मैट्रिक्स

~~ 62. यदि $A$ एक आदेश $m \times n$ का मैट्रिक्स है और $B$ एक मैट्रिक्स है जिसका $AB^{\prime}$ और $B^{\prime} A$ दोनों के परिभाषित हैं, तो मैट्रिक्स $B$ का आदेश होगा

(A) $m \times m$

(B) $n \times n$

(C) $n \times m$

(D) $m \times n$

~~ 63. यदि $A$ और $B$ एक ही आदेश के मैट्रिक्स हैं, तो $(A B^{\prime}-B A^{\prime})$ एक

(A) पेंलचार मैट्रिक्स

(B) शून्य मैट्रिक्स

(C) सममिति मैट्रिक्स

(D) यूनिट मैट्रिक्स

~~

हालांकि $A^{2}=I$ वाले वर्ग मैट्रिक्स के लिए $(A-I)^{3}+(A+I)^{3}-7 A$ का समान है

(A) $A$

(B) $\quad I-A$

(C) $\quad I+A$

(D) $\quad 3 A$

~~ 66. निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण में मूल अंक संगणना $C_2 \to C_2-2 C_1$ का उपयोग करते हुए हमारे पास है:

$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right]$, हमारे पास है:

(A) $\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\ 0 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ 2 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\ 0 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\ 2 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & 4\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{cc}1 & -5 \\ 2 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ 2 & 0\end{array}\right]$

~~ 67. निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण में मूल पंक्ति क्रिया $R_1 \rightarrow R_1-3 R_2$ का उपयोग करते हुए हमारे पास है:

$\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$, हमारे पास है:

(A) $\left[\begin{array}{cc}-5 & -7 \\ 3 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -7 \\ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{cc}-5 & -7 \\ 3 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{cc}-5 & -7 \\ 3 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & -7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\ -5 & -7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3 & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$

प्रत्येक ब्याज 68-81 में खाली जगह भरें.

~~ 68. ___________मैट्रिक्स एक साथ सममित और कर्णघातीय मैट्रिक्स है।

~~ 69. दो कर्णघातीय मैट्रिक्सों का योगफल हमेशा ___________ मैट्रिक्स होता है।

~~ 70. एक मैट्रिक्स का नकारात्मक प्राप्त किया जाता है उसे उसके साथ ___________ से गुणा करके।

~~ 71. किसी भी मैट्रिक्स के यांत्रिक द्वारा scalar ___________ का उपयोग करने पर शून्य मैट्रिक्स होता है।

~~ 72. एक मैट्रिक्स जो कि एक वर्गीय मैट्रिक्स नहीं है, को ___________मैट्रिक्स कहा जाता है।

~~ 73. मैट्रिक्स गुणा ___________योग के ऊपर होती है।

~~ 74. यदि $A$ एक सममित्रिक मैट्रिक्स है, तो $A^{3}$ एक ___________मैट्रिक्स होती है।

~~

75. यदि $A$ एक वक्र सममिश्रित पट्टी है, तो $A^{2}$ एक ___________ है।

~~ 76. यदि $A$ और $B$ एक ही क्रम के वर्गीकरण हैं, तो

(i) $\quad(AB)^{\prime}=$ ___________

(ii) $\quad(k A)^{\prime}= ___________ \quad(k$ कोई भी स्केलर है $)$

(iii) $\quad[k(A-B)]^{\prime}=$ ___________

~~ 77. यदि $A$ वक्र सममिश्रित है, तो $k A$ एक ___________ है। ( $k$ कोई भी स्केलर है)

~~ 78. यदि $A$ और $B$ सममिश्रित पट्टियाँ हैं, तो

(i) $\quad AB-BA$ एक ___________ है

(ii) $\quad BA-2 AB$ एक ___________ है

~~ 79. यदि $A$ एक सममिश्रित पट्टी है, तो $B^{\prime} A B$ ___________ होगा।

~~ 80. यदि $A$ और $B$ एक ही क्रम के सममिश्रित पट्टियाँ हैं, तो $A B$ सममिश्रित है यदि और केवल यदि ___________

~~ 81. $A^{-1}$ को सरणीय पंक्ति पारिति के द्वारा खोजते समय यदि हमें एक या अधिक में सभी शून्य मिलते हैं, तो $A^{-1}$ ___________ होगा।

कक्षा १२ के लिए अभ्यास ८२ से १०१ तक के वाक्यों में कौन सा वाक्य सही है और कौन सा गलत।

~~ 82. एक पट्टी एक संख्या को दर्शाती है।

~~ 83. किसी भी क्रम की पट्टीयों को जोड़ा जा सकता है।

~~ 84. दो पट्टियाँ समान हैं अगर उनकी संख्या की पंक्तियाँ और संख्या की स्तंभ एक जैसी होती है।

~~ 85. भिन्न क्रम की पट्टियों को घटाया नहीं जा सकता।

~~ 86. पट्टी जोड़ने का संघटनात्मक और सहमतिपूर्ण होता है।

~~ 87. पट्टी गुणन सम्प्रदायी होती है।

~~ 88. हर तत्व एकता पट्टी के रूप में एक पहचान पट्टी कहलाता है।

~~ 89. यदि $A$ और $B$ एक ही क्रम की पट्टियाँ हैं, तो $A+B=B+A$ होता है।

~~ 90. यदि $A$ और $B$ एक ही क्रम की पट्टियाँ हैं, तो $A-B=B-A$ होता है।

~~ 91. मैट्रिक्स $AB=O$ होने की स्थिति में, $A=O$ होगा या $B=O$ होगा या फिर $A$ और $B$ दोनों शून्य पट्टियाँ होंगी।

~~ 92. एक स्तंभ पट्टी का परिवर्तन एक स्तंभ पट्टी होता है।

~~ 93. यदि $A$ और $B$ एक ही क्रम की पट्टियाँ हैं, तो $AB=BA$ होता है।

~~ 94. यदि तीनों पट्टियों में से प्रत्येक समान क्रम हैं, तो उनका योग सम्मेलित पट्टी होता है।

~~ 95. यदि $A$ और $B$ किसी भी क्रम की पट्टियाँ हैं, तो $(A B)^{\prime}=A^{\prime} B^{\prime}$ होता है।

~~ 96. यदि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$ है, जहां $A$ और $B$ वर्गीकरण नहीं हैं, तो $A$ में पंक्तियों की संख्या बराबर होती है और $B$ में स्तंभों की संख्या बराबर होती है।

~~ 97. यदि $A, B$ और $C$ किसी भी क्रम के वर्गीकरण हों, तो $AB=AC$ हमेशा इसका परिणाम होता है कि $B=C$ होता है।

~~ 98. $AA^{\prime}$ किसी भी पट्टी के लिए हमेशा एक समांतर पट्टी होता है।

~~ 99. यदि $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2\end{bmatrix} $ और $B=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1\end{bmatrix} $, तो $AB$ और $BA$ परिभाषित हैं और बराबर होते हैं।

~~ 100 . यदि $A$ वक्र सममिश्रित पट्टी है, तो $A^{2}$ एक समांतर पट्टी होती है।

~~ 101 . $(A B)^{-1}=A^{-1} \cdot B^{-1}$, जहां $A$ और $B$ संवर्तनीय पट्टियाँ हैं और गुणन के संघटित संपत्ति के साथ सापेक्षता के साथ स्थापित होती हैं।

समाधान

1. $28 \times 1,1 \times 28,4 \times 7,7 \times 4,14 \times 2,2 \times 14$. यदि मैट्रिक्स में 13 तत्व हैं तो इसका आदेश $13 \times 1$ या $1 \times 13$ होगा।

~~ 2. (i) $3 \times 3$,

(ii) 9 ,

(iii) $a _{23}=x^{2}-y, a _{31}=0, a _{12}=1$

~~ 3. (i) $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & 2\end{bmatrix} $ (ii) $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2\end{bmatrix} $

~~ 4.

$\begin{bmatrix} e^{x} \sin x \quad e^{x} \sin 2 x\\ e^{2 x} \sin x \quad e^{2 x} \sin 2 x\\ e^{3 x} \sin x \quad e^{3 x} \sin 2 x \end{bmatrix}$

~~ 5. $a=2, b=2$

~~ 6. असंभव है

~~ 7. (i) $X+Y=\begin{bmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 12 & 0 & 1\end{bmatrix} $

(ii) $2 X-3 Y=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -11 & -10 & -18\end{bmatrix} $

(iii) $Z=\begin{bmatrix} -5 & -2 & 2 \\ -12 & 0 & -1\end{bmatrix} $

~~ 8. $x=4$

~~ 10. $-2,-14$

~~ 11. $A^{-1}=\frac{-1}{7} \quad \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 5\end{bmatrix} $

~~ 12. $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} $

~~ 13. $A= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1\end{bmatrix} $

~~ 15. $AB=\begin{bmatrix} 12 & 9 \\ 12 & 15\end{bmatrix} \quad BA=\begin{bmatrix} 9 & 6 & 12 \\ 7 & 8 & 16 \\ 4 & 5 & 10\end{bmatrix} \quad$

~~ 18. $x=1, y=2$

~~ 19. $X=\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -3\end{bmatrix} , Y=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix} $

~~ 20. $\begin{bmatrix}k \\ 2 k \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} k & k \\ 2 k & 2 k \end{bmatrix} $ इत्यादि।

जहां $k$ एक वास्तविक संख्या है।

~~ 24. $A=[-4]$

~~ 30. सत्य जब $A B=B A$

~~ 37. (i) $\frac{1}{22} \quad \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} $

(ii) संभव नहीं

~~ 38. $x=2, y=4$ या $x=4, y=2, z=-6, w=4$

~~ 39. $\begin{bmatrix} -24 & -10 \\ -28 & -38\end{bmatrix} $

~~ 40. $A^3 = \begin{bmatrix} 187 & -195 \\ -156 & 148 \end{bmatrix}$

~~ 41. a = 2, b = 4 , c = 1 d = 3

~~ 42. $\begin{bmatrix} 1 & -2 & -5 \\ 3 & 4 & 0\end{bmatrix} $

~~ 43. $\quad \begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18\end{bmatrix} $

~~ 44. सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य

~~ 45. a = -2, b = 0, c = -3

~~ 50. $x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, y= \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, z= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

~~ 47. (i) $\begin{bmatrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1\end{bmatrix} $ (ii) अवरोही मान्य नहीं है (iii) $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{bmatrix} $

~~ 52.

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & \frac{5}{2}\\ \\ 2 & -1 & \frac{3}{2}\\ \\ \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 2 \end{bmatrix} $ + $\begin{bmatrix} 0 & 1 & \frac{-3}{2}\\ \\ -1 & 0 & \frac{1}{2}\\ \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \end{bmatrix}$

~~ 53. A

~~ 54. D

~~ 55. B

~~ 56. D

~~ 57. D

~~ 58. D

~~ 59. A

~~ 60. B

~~ 61. C

~~ 62. D

~~ 63. A

~~ 64. A

~~ 65. D

~~ 66. D

~~ 67. A

~~ 68. शून्य मानक

~~ 69. स्क्यू सममिश्रण मैट्रिक्स

~~ 70. -1

~~

71. 0

~~ 72. कोणीय प्रायमीट्रिक्स

~~ 73. वितरक

~~ 74. सममित्रिक्स प्रायमीट्रिक्स

~~ 75. सममित्रिक्स प्रायमीट्रिक्स

~~ 76. (i) $B^{\prime} A^{\prime}$

(ii) $k A^{\prime}$

(iii) $k(A^{\prime} - B^{\prime})$

~~ 77. स्क्यू संयुक्तिक प्रायमीट्रिक्स

~~ 78. (i) स्क्यू संयुक्तिक प्रायमीट्रिक्स

(ii) न सममित्रिक न स्क्यू संयुक्तिक प्रायमीट्रिक्स

~~ 79. सममित्रिक प्रायमीट्रिक्स

~~ 80. $AB=BA$

~~ 81. मौजूद नहीं है

~~ 82. गलत

~~ 83. गलत

~~ 84. गलत

~~ 85. सत्य

~~ 86. सत्य

~~ 87. गलत

~~ 88. गलत

~~ 89. सत्य

~~ 90. गलत

~~ 91. गलत

~~ 92. गलत

~~ 93. गलत

~~ 94. सत्य

~~ 95. गलत

~~ 96. सत्य

~~ 97. गलत

~~ 98. सत्य

~~ 99. गलत

~~ 100 . सत्य

~~ 101 . सत्य