ऐन्टीग्रेल

7.1 अवलोकन

7.1.1 यदि $\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$ हो, तो हम इसे $\int f(x) d x=F(x)+C$ लिखते हैं। ये ऐन्टीग्रेल अनिश्चित ऐन्टीग्रेल या सामान्य ऐन्टीग्रेल कहलाते हैं, $C$ को ऐन्टीग्रेशन की एक स्थिरांक कहते हैं। ये सभी ऐन्टीग्रेल एक स्थिरांक से अलग होते हैं।

7.1.2 यदि दो फ़ंक्शंस में एक स्थिरांक का अंतर होता है, तो उनकी यही विभाजक है।

7.1.3 ज्यामितिक रूप से, प्रवक्ता $\int f(x) d x=F(x)+C=y$ (कहें मान लगाते हैं) एक परिवार को प्रदर्शित करता है। $C$ के अलग-अलग मान इस परिवार के अलग-अलग सदस्यों को प्राप्त करते हैं और इन सदस्यों को किसी वनलय के साथ विन्यासित करके प्राप्त कर सकते हैं। और इन वनलयों की तालिकाओं के काटन कोण सुखता $x=a$ के रेखांशों के साथ प्रवक्ताओं की सुखता करती हैं।

7.1.4 अविनिर्दिष्ट ऐन्टीग्रेल की कुछ गुणसूत्रे

(i) विभाजन और ऐन्टीग्रेशन की प्रक्रिया एक दूसरे के उल्ट हैं, अर्थात्, $\frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x)$ और $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$, यहाँ $C$ कोई भी विचित्र स्थिरांक है।

(ii) समान विभाजक के साथ दो अविनिर्दिष्ट ऐन्टीग्रेल समान परिवार को लाती हैं, और इसलिए वे समान होती हैं। तो अगर $f$ और $g$ ऐसे दो फ़ंक्शंस हैं जिन्हें $\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$ कहा जाता है, तो $\int f(x) d x$ और $\int g(x) d x$ समान होती हैं।

(iii) दो फ़ंक्शंस के योग का ऐन्टीग्रेल फ़ंक्शंस के ऐन्टीग्रेलों का योग होता है, यानी, $\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$।

(iv) एक स्थिरांक गुणक या ऐन्टीग्रेल चिन्ह के पहले या उसके बाद लिखा जा सकता है, अर्थात्, $\int a f(x) d x=a \int f(x) d x$, जहाँ ’ $a$ ’ एक स्थिरांक है।

(v) गुणसूत्र (iii) और (iv) को एक सीमित संख्या के फ़ंक्शंस $f_1, f_2, \ldots, f_n$ और वास्तविक संख्याओं, $k_1, k_2, \ldots, k_n$ के लिए सामान्य किया जा सकता है, जो

$ \int(k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)) d x=k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x $

7.1.5 ऐन्टीग्रेशन के तरीके

वहाँ कुछ ऐसे तरीके हैं जिनका उपयोग करके हम ऐन्टीग्रेल की खोज कर सकते हैं जहाँ हम सीधे रूप से $f$ के पूर्ववर्तियों का चयन नहीं कर सकते। इनमें से कुछ तरीके निम्नलिखित पर आधारित होते हैं:

~~ 1. प्रतिस्थापन द्वारा ऐन्टीग्रेशन

~~ 2. आंशिक भंगुत्व का उपयोग करके ऐन्टीग्रेशन

~~ 3. भागों द्वारा ऐन्टीग्रेशन करना।

7.1.6 निश्चित ऐन्टीग्रेल

निश्चित ऐन्टीग्रेल को $\int f(x) d x$ से चिन्हित किया जाता है, जहाँ $a$ ऐन्टीग्रेल की निचली सीमा है और $b$ ऐन्टीग्रेल की ऊपरी सीमा है। निश्चित ऐन्टीग्रेल निम्न दो तरीकों से मान्यांकित की जाती है:

(i) सम के सीमा के रूप में निश्चित ऐन्टीग्रेल

(ii) $\quad \int_a^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)$, अगर $F$ $f(x)$ का एक ऐन्वन्दी न्यूतनी है।

7.1.7 निश्चित ऐन्टीग्रेल को सीमा के समक के रूप में

निश्चित ऐन्टीग्रेल $\int_a^{b} f(x) d x$ वह क्षेत्र है जिसे कर्व $y=f(x)$, अक्ष $x=a, x=b$ और $x$-तल के माध्यम से सीमित करती है, और यह निम्न द्वारा दिया जाता है

$ \int_a^{b} f(x) d x=(b-a) \lim _{n \to \infty} \Big [ \frac{1}{n} f(a)+f(a+h)+\ldots f(a+(n-1) h) \Big ] $

$ \int_a^{b} f(x) d x=\lim _{h \to 0} h |big [ f(a)+f(a+h)+\ldots+f(a+(n-1) h) \Big ] $

ऊपर दिए गए सामग्री का हिंदी संस्करण क्या होगा: where $h=\frac{b-a}{n} \to 0$ as $n \to \infty$.

7.1.8 कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत

(i) क्षेत्रफल सम्बन्धी तार्किका: यहां गणना $A(x)$ क्षेत्रफल सम्बन्धी तार्किका को दर्शाती है और इसकी परिभाषा है $A(x)=\int_a^{x} f(x) d x$।

(ii) प्रथम कैलकुलस का मौलिक सिद्धांत

$[a, b]$ के बंद अंतराल पर एक सतत तार्किका $f$ हो और $A(x)$ क्षेत्रफल सम्बन्धी तार्किका हो । तब $A^{\prime}(x)=f(x)$ होगा सभी $x \in[a, b]$ के लिए।

(iii) सामग्री के आधार में प्युथगोरस के उपन्यास की दूसरी सिद्धांत

$[a, b]$ पर क्षेत्रफल सम्बंधी तार्किका $f$ को निरंतर तार्किका $F$ की एकांतित्रक हो ।

$\int_a^{b} f(x) d x=[F(x)]_a^{b}=F(b)-F(a)$

7.1.9 कई विशेषताएँ का निर्धारण करना

$P_0: \int_a^{b} f(x) d x=\int_a^{b} f(t) d t$

$P_1: \int_a^{b} f(x) d x=-\int_b^{a} f(x) d x$, विशेष रूप से, $\int_a^{a} f(x) d x=0$

$P_2: \int_a^{b} f(x) d x=\int_a^{c} f(x) d x+\int_c^{b} f(x) d x$

$ P_3: \int_a^{b} f(x) d x=\int_a^{b} f(a+b-x) d x $

$ P_4: \int_0^{a} f(x) d x=\int_0^{a} f(a-x) d x $

$ P_5: \int_0^{2 a} f(x_x) d x=\int_0^{a} f(x) d x+\int_0^{a} f(2 a-x) d x $

$ P_6: \int_0^{2 a} f(x) d x= \begin {cases} 2 \int_0^{a} f(x) d x, \text{ अगर } f(2 a-x)=f(x),\\ 0, \text{ अगर } f (2a-x) = -f(x) \end{cases} $

$ P_7:(i) \int _{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_0^{a} f(x) d x, \text{ अगर } f \text{ को दोहरी तार्किका कहा जाता है अर्थात् } f(-x)=f(x) $

$ \text{ (ii) } \int _{-a}^{a} f(x) d x=0, \text{ अगर } f \text{ को विषम तार्किका कहा जाता है अर्थात् } f(-x)=-f(x) $

7.2 हल किए गए उदाहरण

छोटे उत्तर (S.A.)

उदाहरण 1 $x$ के संबंध में $ \Bigg ( \frac{2 a}{\sqrt{x}}-\frac{b}{x^{2}}+3 c \sqrt[3]{x^{2}} \Bigg )\quad$ का ऐंठेकें करें।

समाधान $\int \Bigg ( \frac{2 a}{\sqrt{x}}-\frac{b}{x^{2}}+3 c \sqrt[3]{x^{2}} \Bigg ) d x$

$ \begin{aligned} & =\int 2 a(x)^{\frac{-1}{2}} d x-\int b x^{-2} d x+\int 3 c x^{\frac{2}{3}} d x \\ & =4 a \sqrt{x}+\frac{b}{x}+\frac{9 c x^{\frac{5}{3}}}{5}+C . \end{aligned} $

उदाहरण 2 $\int \frac{3 a x}{b^{2}+c^{2} x^{2}} d x$ का मान निर्णय करें।

समाधान $v=b^{2}+c^{2} x^{2}$ लें, तो $d v=2 c^{2} x d x$

इसलिए, $\int \frac{3 a x}{b^{2}+c^{2} x^{2}} d x=\frac{3 a}{2 c^{2}} \int \frac{d v}{v}$

$ =\frac{3 a}{2 c^{2}} \log |b^{2}+c^{2} x^{2}|+C \text{. } $

उदाहरण 3 से पुष्टि करें $ \int \frac{x^{3} d x}{x+1}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |x+1|+C $

समाधान $\frac{d}{d x} x \Bigg (-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |x+1|+C \Bigg ) $

$ \begin{aligned} & =1-\frac{2 x}{2}+\frac{3 x^{2}}{3}-\frac{1}{x+1} \\ & =1-x+x^{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^{3}}{x+1} . \end{aligned} $

इस प्रकार $ \Bigg ( x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |x+1|+C \Bigg ) =\int \frac{x^{3}}{x+1} d x $

उदाहरण 4 मानक $ \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} d x, x \neq 1 $ का मान निर्धारित कीजिए।

समाधान $I=\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} d x=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x+\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+I_1$,

यहां $I_1=\frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}} $ है।

पोष्ट $1-x^{2}=t^{2} \Rightarrow -2 x \hspace{1 mm} d x=2 t d t$। इसलिए

$ I_1=-d t=-t+C=-\sqrt{1-x^{2}}+C $

इसलिए $ I=\sin ^{-1} x-\sqrt{1-x^{2}}+C . $

उदाहरण 5 मानक $मानक 5. \ एक्स\beta>\alpha$

समाधान प्रतिस्थापित करते हैं $x-\alpha=t^{2}$। तो $\beta-x=\beta-(t^{2}+\alpha)=\beta-t^{2}-\alpha=-t^{2}-\alpha+\beta$ और $d x=2 t d t$।

अब

$ \begin{aligned} & I=\int \frac{2 t d t}{\sqrt{t^{2}(\beta-\alpha-t^{2})}}=\int \frac{2 d t}{\sqrt{(\beta-\alpha-t^{2})}} \\ & =2 \frac{d t}{\sqrt{k^{2}-t^{2}}}, \text{ जहाँ } k^{2}=\beta-\alpha \\ & =2 \sin ^{-1} \frac{t}{k}+C=2 \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}}+C . \end{aligned} $

उदाहरण 6 मानक $\int \tan ^{8} x \sec ^{4} x d x$

समाधान $I=\int \tan ^{8} x \sec ^{4} x d x$

$ \begin{aligned} & =\int \tan ^{8} x \ \sec ^{2} x \ \sec ^{2} x d x \\ & =\int \tan ^{8} x(\tan ^{2} x+1) \sec ^{2} x \hspace{1 mm} d x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\int \tan ^{10} x \ \sec ^{2} x d x+\int \tan ^{8} x \ \sec ^{2} x \hspace{1 mm} d x \\ & =\frac{\tan ^{11} x}{11}+\frac{\tan ^{9} x}{9}+C . \end{aligned} $

उदाहरण 7 मानक $\int \frac{x^{3}}{x^{4}+3 x^{2}+2} d x$

समाधान प्रतिस्थापित करते हैं $x^{2}=t$। तब $2 x \hspace{1 mm} d x=d t$।

अब इसलिए $I=\int \frac{x^{3} d x}{x^{4}+3 x^{2}+2}=\frac{1}{2} \int \frac{t d t}{t^{2}+3 t+2}$

ध्यान दें $\frac{t}{t^{2}+3 t+2}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+2}$

कंपरिंग समकोणी, हमे $A=-1, B=2$ मिलता है। फिर $I= \frac{1}{2} \Bigg [ 2 \int \frac{d t}{t+2}-\int \frac{d t}{t+1} \Bigg ]$

$ \begin{aligned} & = \Big [ \frac{1}{2} 2 \log |t+2|-\log |t+1| \Big ] \\ & =\log \Bigg |\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+1}} \Bigg |+C \end{aligned} $

उदाहरण 8 मानक $\int \frac{d x}{2 \sin ^{2} x+5 \cos ^{2} x}$

समाधान यहाँके आपेक्षांक और लघुच्छैप द्वारा निगरानी लो, हमें मिलता है

$ I=\int \frac{\sec ^{2} x d x}{2 \tan ^{2} x+5 } $

प्रतिस्थापित करते हैं $ \tan x=t$ सो $\sec ^{2} x d x=d t$। इसलिए

$ \begin{aligned} I & =\int \frac{d t}{2 t^{2}+5}=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+ \Big (\sqrt{\frac{5}{2} } \Big )^{2}} \\ & =\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \tan ^{-1} \Bigg ( \frac{ \sqrt{2} t}{ \sqrt{5}} \Bigg ) +C \\ & =\frac{1}{\sqrt{10}} \tan ^{-1} \Bigg ( \frac{\sqrt{2} \tan x}{\sqrt{5}} \Bigg ) +C . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 9 मानक Find $\int _{-1}^{2}(7 x-5) d x$ as a limit of sums.

समाधान यहाँ $a=-1, b=2$, और $h=\frac{2+1}{n}$, अर्थात $n h=3$ and $f(x)=7 x-5$ है।

अब किछ इस प्रकार होगा

$ \int _{-1}^{2}(7 x-5) d x=\lim _{h \to 0} h [f(-1)+f(-1+h)+f(-1+2 h)+\ldots+f(-1+(n-1) h)] $

ध्यान दें,

$f(-1)=-7-5=-12$

$f(-1+h)=-7+7 h-5=-12+7 h$

$f(-1+(n-1) h)=7(n-1) h-12$.

इसलिए,

$ \begin{aligned} & \int _{-1}^{2}(7 x-5) d x=\lim _{h \to 0} h \big[(-12)+(7 h-12)+(14 h-12)+\ldots+(7(n-1) h-12)\big]. \\ & =\lim _{h \to 0} h [7 h [1+2+\ldots+(n-1)]-12 n] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\lim _{h \to 0} h \Big[7 h \frac{(n-1) n}{2}-.12 n\Big]=\lim _{h \to 0} \Big[\frac{7}{2}(n h)(n h-h)-12 n h\Big] \\

विषय: & =\frac{7}{2}(3)(3-0)-12 \times 3=\frac{7 \times 9}{2}-36=\frac{-9}{2} . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 10 मान्य करें $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x$

समाधान हमारा

$ \begin{aligned} I & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x \hspace{30mm} …(1)\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{tan^7 \Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)} {cot^7 \Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)+tan^7\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)}dx \hspace{10mm} by (पृष्ठ संख्या 4) \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot ^{7}(x) d x}{\cot ^{7} x d x+\tan ^{7} x} \hspace{30mm} …(2) \end{aligned} $

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \Big(\frac{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} \Big) dx \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} d x \text{ which gives } I=\frac{\pi}{4} . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 11 मान्य करें $\int_2^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x$

समाधान हमारा

$ \begin{aligned} I & =\int_2^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x \hspace{30mm} …(1) \\ & =\int_2^{8} \frac{\sqrt{10-(10-x)}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{10-(10-x)}} d x \hspace{15mm} by (पृष्ठ संख्या 3)\\ \Rightarrow \quad \quad I & =\int_2^{8} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{10-x}+\sqrt{x}} d x \hspace{30mm} …(2) \end{aligned} $

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$ 2 I=\int_2^{8} 1 d x=8-2=6 $

इसलिए $\quad I=3$

~~ उदाहरण 12 मान्य करें $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x$

समाधान हमारा

$ \begin{aligned} I & =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\sin 2 x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}} d x \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x) d x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =(-\cos x+\sin x)_0^{\frac{\pi}{4}} \\ & I=1 . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 13 मान्य करें $\int x^{2} \tan ^{-1} x d x$.

समाधान $I=\int x^{2} \tan ^{-1} x \ d x$

$ \begin{aligned} & =\tan ^{-1} x \int x^{2} d x-\int \frac{1}{1+x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{3} d x \\ & =\frac{x^{3}}{3} \tan ^{-1} x-\frac{1}{3} \int \bigg(x-\frac{x}{1+x^{2}}\bigg) d x \\ & =\frac{x^{3}}{3} \tan ^{-1} x-\frac{x^{2}}{6}+\frac{1}{6} \log |1+x^{2}|+C . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 14 मान्य करें $\int \sqrt{10-4 x+4 x^{2}} d x$

समाधान हमारा

$ I=\int \sqrt{10-4 x+4 x^{2}} \ d x=\int \sqrt{(2 x-1)^{2}+(3)^{2}} \ d x $

$t=2 x-1$ रखें, तो $d t=2 d x$.

इसलिए, $\quad I=\frac{1}{2} \int \sqrt{t^{2}+(3)^{2}} d t$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} t \frac{\sqrt{t^{2}+9}}{2}+\frac{9}{4} \log \Big|t+\sqrt{t^{2}+9}\Big|+C \\ & =\frac{1}{4}(2 x-1) \sqrt{(2 x-1)^{2}+9}+\frac{9}{4} \log \Big|(2 x-1)+\sqrt{(2 x-1)^{2}+9} \Big|+C . \end{aligned} $

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ उदाहरण 15 मान्य करें $\int \frac{x^{2} d x}{x^{4}+x^{2}-2}$.

समाधान $x^{2}=t$ लें. तो

$ \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}-2}=\frac{t}{t^{2}+t-2}=\frac{t}{(t+2)(t-1)}=\frac{A}{t+2}+\frac{B}{t-1} $

लेट $\quad t=A(t-1)+B(t+2)$.

सामान निर्धारण करके, हम पाते हैं $A=\frac{2}{3}, B=\frac{1}{3}$.

$

हल्के सरसराहट के साथ संबंधित कंटेंट: मात्रा $(\tan ^{-1} x)^{2}$ आई ब्लॉक है।

हल करते हुए, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$ I=\frac{x^{2}}{2} \Big[(\tan ^{-1} x)^2\Big]_0^{1}-\int_0^{1} \frac{x^{2} \cdot 2 \tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x $

$\Big[(\tan ^{-1} x)^2\Big]_0^{1}$ को आगे समीकरण देते हैं:

$(\tan ^{-1} 1)^2 - (\tan ^{-1} 0)^2 $

इसका मान होता है:

$\frac{\pi^2}{16} - 0 $

अब हमें इस विस्तृत अंग्रेजी को हिंदी में अनुवाद करना चाहिए।

मुझे आश्वासन दें कि मैं इसे ठीक तरीके से हिंदी में अनुवाद करके लौटा रहा हूं:

ज्ञानार्जन बी०एड० पाठ्यक्रम पाठ योजना

मुख्य विषय : भाषा - हिंदी (बालविकास तथा पाठयोजना)

संशोधन प्रमाणपत्र संघ GIS का महत्व नई पचासी संस्कृति (नई सभ्यता)

~ १. (अंकगणित) ल. १०+२०+३०+४०+५०=१५०

२. भूगोल महाद्वीपों का वितरण :

आफ्रिका ध्रुवीय खंड के उग्रीय स्रोतों पर at तापमान केंद्र

अइकोनिक- से क Reads “a पोर्टमा (इवाथा 22° )

द्वादश ध्रयी विज्ञान

५. अंकगणित कोई भी आदर्श मानक के अनुसार शेयरें की वस्तुओं के बिक्री निर्धारित करना लिखित योजना निर्माण करते पूर्व के बस्तियों एक मेर्क्यूरी योग्यता

६. जीवनी आर. दशरती की जीवनी- नगर पंचायत स्थापना और governance

~

७. (भूगोल) पेरमनेंट कम अलग कैरियर किया जा सकता है।

८. एल। दवास और चाणक्य महात्मा गांधी का जन्म (१८ जून १८६९)।

९. हितैषी एनीमी क्या होता है?

एनीमी के कारण   पानी में हरसंभव प्रकार की संख्या में होती है.

~ १०. अध्ययन विज्ञान श्री सर्वपल्ली राधाकृष्णन का जन्म (५ सितंबर १८८८)

११. अध्यापन तकनीक दिसंबर १५ - विश्व मानवाधिकार दिवस कैशियतों के वीतानंद नगर, नगर महापालीका ईंधन उत्पादित कर सकते हैं।

१२. दर्शनशास्त्र समाधि और PSG Centre for Applied नई

~

दिए गए संदर्भ का ट्यांसलेशन इस प्रकार होगा:

$3 e^{x}-5 e^{-x}=a(4 e^{x}+5 e^{-x})+b(4 e^{x}-5 e^{-x})$. कोईफ़िशिएं दोनों ओर से तुलना करते हैं, हमें $3=4 a+4 b$ और $-5=5 a-5 b$ मिलता है। इससे सत्यापित होता है कि $a=\frac{-1}{8}, b=\frac{7}{8}$।

~~ उदाहरण 23 $\int _{a+c}^{b+c} f(x) d x$ बराबर होता है

(A) $\int_a^{b} f(x-c) d x$

(B) $\int_a^{b} f(x+c) d x$

(C) $\int_a^{b} f(x) d x$

(D) $\int _{a-c}^{b-c} f(x) d x$

समाधान (B) सही उत्तर है, क्योंकि $x=t+c$ लेकर, हमें

$ I=\int_a^{b} f(c+t) d t=\int_a^{b} f(x+c) d x $

~~ उदाहरण 24 यदि [0,1] में स्थिर फ़ंक्शंस $f$ और $g$ हैं जो $f(x)=f(a-x)$ और $g(x)+g(a-x)=a$ को पूरा करते हैं, तो $\int_0^{a} f(x) \cdot g(x) d x$ बराबर होगा

(A) $\frac{a}{2}$

(B) $\frac{a}{2} \int_0^{a} f(x) d x$

(C) $\int_0^{a} f(x) d x$

(D) $a \int_0^{a} f(x) d x$

समाधान B सही उत्तर है। क्योंकि $I=\int_0^{a} f(x) \cdot g(x) d x$

$ \begin{aligned} & =\int_0^{a} f(a-x) g(a-x) d x=\int_0^{a} f(x)(a-g(x)) d x \ & =a \int_0^{a} f(x) d x-\int_0^{a} f(x) \cdot g(x) d x=a \int_0^{a} f(x) d x-I \end{aligned} $

या $\quad I \quad=\frac{a}{2} \int_0^{a} f(x) d x$।

~~ उदाहरण 25 यदि $x=\int_0^{y} \frac{d t}{\sqrt{1+9 t^{2}}}$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=a y$ है, तो $a$ बराबर होगा

(A) 3

(B) 6

(C) 9

(D) 1

समाधान (C) सही उत्तर है, क्योंकि $x=\int_0^{y} \frac{d t}{\sqrt{1+9 t^{2}}} \Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{1}{\sqrt{1+9 y^{2}}}$

जिससे $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{18 y}{2 \sqrt{1+9 y^{2}}} \cdot \frac{d y}{d x}=9 y$ मिलता है।

~~ उदाहरण 26 $\int _{-1}^{1} \frac{x^{3}+|x|+1}{x^{2}+2|x|+1} d x$ बराबर होता है

(A) $\log 2$

(B) $2 \log 2$

(C) $\frac{1}{2} \log 2$

(D) $4 \log 2$

समाधान (B) सही उत्तर है, क्योंकि $I=\int _{-1}^{1} \frac{x^{3}+|x|+1}{x^{2}+2|x|+1} d x$

$ =\int _{-1}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}+2|x|+1}+\int _{-1}^{1} \frac{|x|+1}{x^{2}+2|x|+1} d x=0+2 \int_0^{1} \frac{|x|+1}{(|x|+1)^{2}} d x $
$\hspace{60mm} $[विषम संकेत + सम संकेत]

$ =2 \int_0^{1} \frac{x+1}{(x+1)^{2}} d x=2 \int_0^{1} \frac{1}{x+1} d x \quad=2|\log | x+1||_0^{1}=2 \log 2. $

~~ उदाहरण 27 यदि $\int_0^{1} \frac{e^{t}}{1+t} d t=a$ है, तो $\int_0^{1} \frac{e^{t}}{(1+t)^{2}} d t$ बराबर होगा

(A) $a-1+\frac{e}{2}$

(B) $a+1-\frac{e}{2}$

(C) $a-1-\frac{e}{2}$

(D) $a+1+\frac{e}{2}$

समाधान (B) सही उत्तर है, क्योंकि $I=\int_0^{1} \frac{e^{t}}{1+t} d t$

$ =\bigg|\frac{1}{1+t} e^{t}\bigg|_0^{1}+\int_0^{1} \frac{e^{t}}{(1+t)^{2}} d t=a \text{ (दिया गया) } $

इसलिए, $\int_0^{1} \frac{e^{t}}{(1+t)^{2}}=a-\frac{e}{2}+1$।

~~ उदाहरण 28 $ \int _{-2}^{2}|x \cos \pi x| d x \text{ बराबर होता है } $

(A) $\frac{8}{\pi}$

(B) $\frac{4}{\pi}$

(C) $\frac{2}{\pi}$

(D) $\frac{1}{\pi}$

समाधान (A) सही उत्तर है, क्योंकि $I=\int _{-2}^{2}|x \cos \pi x| d x=2 \int_0^{2}|x \cos \pi x| d x$

=2 $\bigg \lbrace \int_0^{\frac{1}{2}}|x \cos \pi x| d x+\int _{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}|x \cos \pi x| d x+\int _{\frac{3}{2}}^{2}|x \cos \pi x| d x \bigg \rbrace =\frac{8}{\pi} . $

हर उदाहरण 29 से 32 में खाली स्थान को भरें।

~~ उदाहरण 29 $\int \frac{\sin ^{6} x}{\cos ^{8} x} d x=$___________.

समाधान $\quad \frac{\tan ^{7} x}{7}+C$

~~ उदाहरण 30 $\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 $ अगर $f$ एक__________ संख्या है।

समाधान विषम।

~~ उदाहरण 31 $\int_0^{2 a} f(x) d x=2 \int_0^{a} f(x) d x$, अगर $f(2 a-x)=$_____________.

समाधान $f(x)$।

~~ उदाहरण 32 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{n} x d x}{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x}=$______________.

समाधान $\frac{\pi}{4}.$

7.3 अभ्यास

संक्षेप उत्तर (S.A.)

निम्नलिखित को सत्यापित करें:

~~ 1. $\quad \int \frac{2 x-1}{2 x+3} d x=x-\log |(2 x+3)^{2}|+C$

~~ 2. $\quad \int \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x} d x=\log |x^{2}+3 x|+C$

निम्नलिखित को मान्य करें:

~~ 3. $\int \frac{(x^{2}+2) d x}{x+1}$

~~ 4. $\quad \int \frac{e^{6 \log x}-e^{5 \log x}}{e^{4 \log x}-e^{3 \log x}} d x$

~~ 5. $\int \frac{(1+\cos x)}{x+\sin x} d x$

~~ 6. $\int \frac{d x}{1+\cos x}$

~~ 7. $\int \tan ^{2} x \sec ^{4} x d x$

~~ 8. $\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1+ \sin2x}} d x $

~~ 9. $\int \sqrt{1+\sin x} d x$

~~ 10. $\int \frac{x}{\sqrt{x}+1} d x $ $\hspace {3mm}$(संकेत : $\sqrt{x}=z$ डालें)

~~ 11. $\int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} $

~~ 12. $\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1+x^{\frac{3}{4}}} d x$ $\hspace {3mm}$(संकेत : $x=z^{4}$ डालें)

~~ 13. $\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4} dx $

~~ 14. $\int \frac{d x}{\sqrt{16-9 x^{2}}}$

~~ 15. $\int \frac{dt}{\sqrt{3t - 2t^2}} $

~~ 16. $\int \frac{3x - 1}{\sqrt{x^2 + 9}} d x$

~~ 17. $\int \sqrt{5 - 2x + x^2 } d x$

~~ 18. $\int \frac{x}{x^4 - 1} d x$

~~ 19. $ \int \frac {x ^2}{1 - x^4} d x \quad \text{put~} x^2 = t $

~~ 20. $\int {\sqrt{2ax - x^2}} d x$

~~ 21. $\int \frac {\sin^{-1}x}{(1-x^2)^\frac{3}{2}} d x $

~~ 22. $\int \frac{(\cos5x + \cos4x)}{1 - 2cos 3x} d x$

~~ 23. $\int \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{\sin^2 x \cos^2 x}dx$

~~ 24. $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3 - x^3}} d x$

~~ 25. $\int \frac{\cos x - cos 2x}{1-\cos x} d x$

~~ 26. $\int \frac{dx}{x{\sqrt{x^4 -1}}} d x$ $\hspace {5mm}$ (संकेत : $x^{2}=\sec \theta$ डालें)

सही योग के रूप में निम्नलिखित को मान्य करें:

~~ 27. $\int_0^2(x^2 + 3) dx $

~~ 28. $\int_0^2 e^x dx $

निम्नलिखित को मान्य करें:

~~ 29. $\int _0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$

~~ 30. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan x d x}{1+m^{2} \tan ^{2} x}$

~~ 31. $\int_1^{2} \frac{d x}{\sqrt{(x-1)(2-x)}}$

~~ 32. $\int_0^{1} \frac{x d x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

~~ 33. $\int_0^{\pi} x \sin x \cos ^{2} x d x$

~~ 34. $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}$ (संकेत: $x = \sin \theta$ करें)

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ 35. $\int \frac{x^2dx}{x^4 - x^2 - 12}$

~~ 36. $\int \frac{x^2dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$

~~ 37. $\int_0^{\pi} \frac{x}{1 + \sin x}$

~~ 38. $\int \frac{2x - 1}{(x-1)(x+2)(x-3)} dx$

~~

39. $\int e^{\tan^{-1_x}} \big(\frac{1+x+x^2}{1+x^2} \big) dx $

~~ 40. $\int \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}dx$ $\hspace {10mm}$ (Hint : put $x=a \tan^2 \theta$)

~~ 41. $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt(1+ \cos x)}{(1- \cos x)^{\frac{5}{2}}}$

~~ 42. $\int e^{-3 x} \cos ^{3} x \ d x$

~~ 43. $\int \sqrt{\tan x} \ d x$ $\hspace {10mm}$ (Hint: Put $\tan x=t^{2}$ )

~~ 44. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{(a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x)^{2}}$

(Hint: Divide Numerator and Denominator by $\cos ^{4} x$ )

~~ 45. $ \int_0^{1} x \log (1+2 x) d x$

~~ 46. $\int_0^{\pi} x \log \sin x d x$

~~ 47. $\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin x+\cos x) d x$

Objective Type Questions

Choose the correct option from given four options in each of the Exercises from 48 to 63.

~~ 48. $\int \frac{\cos 2 x-\cos 2 \theta}{\cos x-\cos \theta} d x$ is equal to

(A) $2(\sin x \ +\ x \cos \theta)+C$

(B) $2(\sin x \ - \ x \cos \theta)+C$

(C) $2(\sin x \ + \ 2 x \cos \theta)+C$

(D) $2(\sin x \ - \ 2 x \cos \theta)+C$

~~ 49. $\int \frac{d x}{\sin (x-a) \sin (x-b)}$ is equal to

(A) $\sin (b-a) \log \bigg|\frac{\sin (x-b)}{\sin (x-a)}\bigg|+C$

(B) cosec $(b-a) \log \bigg|\frac{\sin (x-a)}{\sin (x-b)}\bigg|+C$

(C) $cosec(b-a) \log \bigg|\frac{\sin (x-b)}{\sin (x-a)}\bigg|+C$

(D) $\sin (b-a) \log \bigg|\frac{\sin (x-a)}{\sin (x-b)}\bigg|+C$

~~ 50. $\int \tan ^{-1} \sqrt{x} d x$ is equal to

(A) $(x+1) \tan ^{-1} \sqrt{x}-\sqrt{x}+C$

(B) $x \tan ^{-1} \sqrt{x}-\sqrt{x}+C$

(C) $\sqrt{x}-x \tan ^{-1} \sqrt{x}+C$

(D) $\sqrt{x}-(x+1) \tan ^{-1} \sqrt{x}+C$

~~ 51. $\int e^{x} \bigg(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\bigg)^2 d x$ is equal to

(A) $\frac{e^{x}}{1+x^{2}}+C$

(B) $\frac{-e^{x}}{1+x^{2}}+C$

(C) $\frac{e^{x}}{(1+x^{2})^{2}}+C$

(D) $\frac{-e^{x}}{(1+x^{2})^{2}}+C$

~~ 52. $\int \frac{x^{9}}{\big(4 x^{2}+1 \big)^{6}} d x$ is equal to

(A) $\frac{1}{5 x} \big(4+{\frac{1}{x^{2}}}\big)^{-5}+C$

(B) $\frac{1}{5} \big(4+{\frac{1}{x^{2}}}\big)^{-5}+C$

(C) $\frac{1}{10 x}(1+4)^{-5}+C$

(D) $\frac{1}{10} \big(\frac{1}{x^{2}}+4\big)^{-5}+C$

~~ 53. If $\int \frac{d x}{(x+2)(x^{2}+1)}=a \log |1+x^{2}|+b \tan ^{-1} x+\frac{1}{5} \log |x+2|+ C$, then

(A) $a=\frac{-1}{10}, \ b=\frac{-2}{5}$

(B) $a=\frac{1}{10}, \ b=-\frac{2}{5}$

(C) $a=\frac{-1}{10}, \ b=\frac{2}{5}$

(D) $a=\frac{1}{10}, \ b=\frac{2}{5}$

~~ 54. $\int \frac{x^{3}}{x+1}$ is equal to

(A) $x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |1-x|+C$

(B) $x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\log |1-x|+C$

(C) $x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\log |1+x|+C$

(D) $x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\log |1+x|+C$

~~ 55. $\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ is equal to

(A) $\log |1+\cos x|+C$

(B) $\log |x+\sin x|+C$

(C) $x-\tan \frac{x}{2}+C$

(D) $x \cdot \tan \frac{x}{2}+C$

~~ 56. If $\int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{1+x^{2}}}=a(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}+b \sqrt{1+x^{2}}+C$, then

(A) $a=\frac{1}{3}, \quad b=1$

(B) $a=\frac{-1}{3}, \quad b=1$

(C) $a=\frac{-1}{3}, \quad b=-1$

(D) $a=\frac{1}{3}, \quad b=-1$

~~ 57. $\int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos 2 x}$ is equal to

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

~~ 58. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$ is equal to

(A) $2 \sqrt{2}$

(B) $2(\sqrt{2}+1)$

(C) 2

(D) $2(\sqrt{2}-1)$

~~ 59. $\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x e^{\sin x} d x$ is equal to___________.

~~ 60. $\int \frac{x+3}{(x+4)^{2}} e^{x} d x=$____________.

Fill in the blanks in each of the following Exercise 60 to 63.

~~ 61. If $\int_0^{a} \frac{1}{1+4 x^{2}} d x=\frac{\pi}{8}$, then $a=$________.

~~ 62. $\int \frac{\sin x}{3+4 \cos ^{2} x} d x=$_________.

~~ 63. The value of $\int _{-\pi}^{\pi} \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x$ is

SOLUTIONS

~~ 3. $\frac{x^{2}}{2}-x+3 \log |x+1|+c $

~~ 4. $\frac{x^{3}}{3}+c$

~~ 5. $\log |x+\sin x|+c$

~~ 6. $\tan \frac{x}{2}+C $

~~ 7. $\frac{\tan ^{5} x}{5}+\frac{\tan ^{3} x}{3}+c$

~~ 8. x+c

~~ 9. $-2 \cos \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2}+c$

~~ 10. $2 \Big[\frac{x \sqrt{x}}{3}-\frac{x}{2}+\sqrt{x}-\log |\sqrt{x}+1|\Big]+c$

~~ 11. $-a \Big[\cos ^{-1} \Big(\frac{x}{a}\Big)+\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\Big]+c$

~~ 12. $\frac{4}{3} \Big[x^{3 / 4}-\log \Big|1+x^{\frac{3}{4}}\Big|\Big]+c$

~~ 13. $\frac{-1}{3} \Big(1+{\frac{1}{x^{2}}}\Big)^{\frac{3}{2}}+c$

~~ 14. $\frac{1}{3} \sin ^{-1} \frac{3 x}{4}+c$

~~ 15. $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin ^{-1} \Big(\frac{4 t-3}{3}\Big)+c$

~~ 16. $3 \sqrt{x^{2}+9}-\log \big|x+\sqrt{x^{2}+9}\big|+c$

~~ 17. $\frac{x-1}{2} \sqrt{5-2 x+x^{2}}+2 \log \big|x-1+\sqrt{5-2 x+x^{2}}\big|+c$

~~ 18. $\frac{1}{4} \lbrace \log |x^{2}-1|-\log |x^{2}+1|\rbrace +c$

~~ 19. $\frac{1}{4} \Big\lbrace \log |\frac{1+x}{1-x}|\Big\rbrace -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+c$

~~ 20. $\frac{x-a}{2} \sqrt{2 a x-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \big(\frac{x-a}{a}\big)+c$

~~ 21. $\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\log |\sqrt{1-x^{2}}|$

~~ 22. $-\Big(\frac{1}{2} \sin 2 x+\sin x\Big)+c$

~~ 23. $\tan x-\cot x-3 x+c$

~~ 24. $\frac{2}{3} \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x^{3}}{a^{3}}}+c$

~~ 25. $2 \sin x+x+c$

~~ 26. $\frac{1}{2} \sec ^{-1}(x^{2})+c$

~~ 27. $\frac{26}{3}$

~~ 28. $e^{2}-1$

~~ 29. $\tan ^{-1} e-\frac{\pi}{4}$

~~ 30. $\frac{\log m}{m^{2}-1}$

~~ 31. $\pi$

~~ 32. $\sqrt{2}-1$

~~ 33. $\frac{\pi}{3}$

~~ 34. $\frac{\sqrt{2}}{2} \tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{3}$

~~ 35. $\frac{1}{7} \log |\frac{x-2}{x+2}|+\frac{\sqrt{3}}{7} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}+c$

~~ 36. $\frac{1}{a^{2}-b^{2}} \lbrace a \tan ^{-1} \frac{x}{a}-b \tan ^{-1} \frac{x}{b}\rbrace+c$

~~ 37. $\pi$

~~ 38. $\log \Bigg|\frac{\sqrt{x-3}}{(x-1)^{\frac{1}{6}}(x+2)^{\frac{1}{3}}} \Bigg|+c$

~~ 39. $x e^{\tan ^{-1 x}}+c$

40. $a \Big[\frac{x}{a} \tan ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}-\sqrt{\frac{x}{a}}+\tan ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}\Big]+c$

~~ 41. $\frac{3}{2}$

~~ 42. $\frac{e^{-3 x}}{24}[\sin 3 x-\cos 3 x]+\frac{3 e^{-3 x}}{40}[\sin x-3 \cos x]+c$

~~ 43. $\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1} \Big(\frac{\tan x-1}{\sqrt{2 \tan x}}\Big) + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \Big|\frac{\tan x-\sqrt{2 \tan x}+1}{\tan x+\sqrt{2 \tan x}+1}\Big|+c$

~~ 44. $\frac{\pi}{4} \big(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3} b^{3}}\big)$

~~ 45. $\frac{3}{8} \log 3$

~~ 46. $\frac{\pi^{2}}{2} \log \frac{1}{2}$

~~ 47. $\frac{\pi}{4} \log \frac{1}{2}$

~~ 48. A

~~ 49. C

~~ 50. A

~~ 51. C

~~ 52. D

~~ 53. C

~~ 54. D

~~ 55. D

~~ 56. D

~~ 57. A

~~ 58. D

~~ 59. $e-1$

~~ 60. $\frac{e^{x}}{x+4}+c$

~~ 61. $\frac{1}{2}$

~~ 62. $\frac{-1}{2 \sqrt{3}} \tan ^{-1} \Big(\frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}\Big)+c$

~~ 63. 0