विभेदक समीकरण

अध्याय 9

अंतरद्रव्यस्थितिसमीकरण

9.1 समीक्षा

(i) एक सीमांकीय समीकरण में अवाधार्य चर संबंधी (संबंधों की) प्रतियोगी चर के साथ निर्धारित चर के साथ एक समीकरण कहलाता है।

(ii) एक सीधी समीकरण जिसमें अवाधार्य चर के संबंध में केवल एक निर्धारित चर के प्रतियोगी चर होते हैं को साधारित सीमांकीय समीकरण कहते हैं और एक समीकरण जिसमें अवाधार्य चर के संबंध में एक से अधिक निर्धारित चर होते हैं को अधिभागीय सीमांकीय समीकरण कहा जाता है।

(iii) सीमांकीय समीकरण का क्रम समीकरण में प्राप्त सबसे उच्च क्रम के अवाधार्य से होने वाले अवाधार्य का क्रम होता है।

(iv) एक सीमांकीय समीकरण का डिग्री परिभाषित हो जब यह इसके अवाधार्य में कोई पदांकीय समीकरण हो।

(v) डिग्री (जब परिभाषित) एक सीमांकीय समीकरण में उसके अवाधार्य के सबसे उच्च क्रम के अवाधार्य की उच्चतम शक्ति (केवल सकारात्मक पूर्णांक) होती है।

(vi) शामिल चरों के बीच का संबंध, जो दिए गए सीमांकीय समीकरण को पूरा करता है, इसे इसका समाधान कहा जाता है। जो समाधान सीमांकीय समीकरण के आदेश के अनुसार अनशुद्ध संयमियों के समान संख्या का होता है, उसे सामान्य समाधान कहा जाता है और अनिश्चित संयमियों से आज्ञाकारी सामान्य समाधान कहा जाता है।

(vii) एक दिए गए समान्य कार्यपालित के लिए सीमांकीय समीकरण बनाने के लिए, हम दिए गए समान्य में अनिश्चित संयमियों की संख्या के तारतम्यिक रूप में फलने की प्रक्रिया को अनशुद्ध करते हैं और तब अनिश्चित संयमियों को उठा देते हैं।

(viii) कर्व परिवार को प्रदर्शित करने वाले सीमांकीय समीकरण का क्रम कुर्व परिवार के लिए संसाधन समीकरण में मौजूद अनिश्चित संयमियों की संख्या के बराबर होता है।

(ix) ‘चरों को अलग करने वाली विधि’ का उपयोग इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें चरों को पूरी तरह से अलग किया जा सकता है, अर्थातः $x$ के साथ रहने वाले शब्दों को $d x$ के साथ रखना चाहिए और $y$ के साथ रहने वाले शब्दों को $d y$ के साथ रखना चाहिए।

(x) एक फ़ंक्शन $F(x, y)$ को अवधोपयोग का एक समानाधिकारी फ़ंक्शन कहा जाता है यदि $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ के लिए कुछ गैर-शून्य संदर्भ $\lambda$।

(xi) एक ऐसा सीमांकीय समीकरण जिसको $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ या $\frac{d x}{d y}=G(x, y)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां $F(x, y)$ और $G(x, y)$ अवधोपयोग के समानाधिकारी फ़ंक्शन होते हैं, उसे एक समानाधिकारी सीमांकीय समीकरण कहते हैं।

(xii) $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ का एक समानाधिकारी सीमांकीय समीकरण हल करने के लिए, हम संभाल $y=v x$ का उपयोग करते हैं और $\frac{d x}{d y}=G(x, y)$ का एक समानाधिकारी सीमांकीय समीकरण हल करने के लिए, हम संभाल $x=v y$ का उपयोग करते हैं।

(xiii) एक समीकरण के रूप में $\frac{d y}{d x}+P y=Q$, जहां $P$ और $Q$ स्थायी या $x$ के फ़ंक्शन होते हैं केवल पहले वर्ग के समीय सिमित समीकरण के रूप में जाना जाता है। इसका समाधान $y$ (I.F.) $=\int(Q \times$ I.F.) $d x+$ C द्वारा दिया जाता है, जहां I.F. (एकत्रीकरणे के कारक) $=e^{\int \rho d x}$।

(xiv) पहली आदेश रैखिक अवकलजनीय समीकरण का एक और प्रकार है $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$, यहाँ $P_1$ और $Q_1$ स्थायी संख्याएं या केवल $y$ के फ़ंक्शन हो सकते हैं। इस प्रकार के अवकलजनीय समीकरण का समाधान $x$ (I.F.) $=\int(Q_1 \times.$ I.F. $) d y+$ C होता है, जहाँ I.F. $=e^{\int \mathcal P_1 d y}$।

9.2 हल किये गए उदाहरण

लघु उत्तर (S.A.)

~~ उदाहरण 1 परावृत्ति कुल के समूह $y=A e^{2 x}+B \cdot e^{-2 x}$ का अवकलजंय समीकरण ढूंढें।

समाधान $y=A e^{2 x}+$ B. $e^{-2 x}$

$ \quad \quad \quad \frac{d y}{d x}=2 A e^{2 x}-2 B \cdot e^{-2 x} \text{ और } \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=4 A e^{2 x}+4 B e^{-2 x} $

इसलिए $ \quad \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=4 y \text{ अर्थात } \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 y=0 \text{. } $

~~ उदाहरण 2 अवकलजनीय समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}$ का साधारण समाधान ढूंढें।

समाधान $\quad \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \quad \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x} \quad \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x}$

$ \Rightarrow \log y=\log x+\log c \Rightarrow y=c x $

~~ उदाहरण 3 जानते हैं कि $\frac{d y}{d x}=y e^{x}$ और $x=0, y=e$ है। जब $x=1$ हो, तो $y$ का मान ढूंढें।

समाधान $\frac{d y}{d x}=y e^{x} \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=\int e^{x} d x \Rightarrow \quad \log y=e^{x}+c$

$x=0$ और $y=e$ के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\log e=e^{0}+c$, अर्थात् $c=0(\because \log e=1)$ मिलता है

इसलिए, $\log y=e^{x}$।

अब, ऊपर के में $x=1$ की जगह प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\log y=e$ मिलता है अर्थात् $y=e^{e}$।

~~ उदाहरण 4 अवकलजनीय समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^{2}$ को हल कीजिए।

समाधान यह समीकरण प्रकार $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ का है, जो एक रैखिक अवकलजनीय समीकरण है।

अब I.F. $=\int \frac{1}{x} d x=e^{\log x}=x$ होता है।

इसलिए, दिए गए अवकलजन समीकरण का समाधान है

$ y \cdot x=\int x x^{2} d x \text{, अर्थात् } y x=\frac{x^{4}}{4}+c $

इसलिए $y=\frac{x^{3}}{4}+\frac{c}{x}$।

~~ उदाहरण 5 तार की परिवार के विभिन्न रेखाओं का अवकलजनीय समीकरण ढूंढें।

समाधान $y=m x$ तार के परिवार की रेखाएं हैं। इसलिए, $\frac{d y}{d x}=m$

$m$ को नष्ट करके, हमें $y=\frac{d y}{d x} \cdot x$ या $x \frac{d y}{d x}-y=0$ मिलता है।

~~ उदाहरण 6 एक समतल में सभी गैर-क्षैतिज रेखाओं का अवकलजनीय समीकरण ढूंढें।

समाधान समतल में गैर-क्षैतिज रेखाओं का साधारण समीकरण $a x+b y=c$ होता है, यहाँ $a \neq 0$ है।

इसलिए, $a \frac{d x}{d y}+b=0$ होता है।

फिर, दोनों पक्षों को $y$ के साथ विभाजित करके, हमें

$a \frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0 \Rightarrow \frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0$ मिलता है।

~~ उदाहरण 7 एक कर्व की समांतर जो किसी भी निश्चित बिना मूल पर किनारे को छूती होती है, का समीकरण ढूंढें जिसका ढलान $y+\frac{y}{x}$ है।

समाधान दिया गया है $\frac{d y}{d x}=y+\frac{y}{x} \quad=y \big(1+\frac{1}{x}\big)$

$ \Rightarrow \frac{d y}{y}= \big(1+\frac{1}{x}\big) d x $

दोनों पक्षों को इंटिग्रेट करने से हमें

$ \log y=x+\log x+c \Rightarrow \quad \log \big(\frac{y}{x}\big) =x+c $

$ \begin{aligned}

इस समय :

Y+X \frac{d x}{d y}\big(-y+x \frac{d x}{d y}\big)=0

उदाहरण 10 गणित सीमा समस्या.

दिए गए समीकरण को लिखा जा सकता है

$ x^{2} \frac{d y}{d x}-x y=2 \cos ^{2} \big(\frac{y}{2 x}\big), x \neq 0 . \\ \Rightarrow \frac{x^{2} \frac{d y}{d x}-x y}{2 \cos ^{2} \frac{y}{2 x}}=1 \quad \Rightarrow \frac{ \sec^{2} \big( \frac{y}{2 x} \big ) } {2} \big[x^{2} \frac{d y}{d x}-x y\big]=1 $

दोनों पक्षों को $x^{3}$ से विभाजित करने के बाद, हमें यह मिलता है

$ \frac{\sec^2(\frac{y}{2x})}{2} \bigg[x\frac{\frac{dy}{x}-y}{x^2}\bigg] = \frac{1}{x^3} \hspace {5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} \frac{d}{dx} \bigg[ \tan \big(\frac{y}{2x}\big) \bigg] = \frac{1}{x^3} $

दोनों पक्षों को अंतर्वाली करने के बाद, हमें यह मिलता है

$ \tan \big(\frac{y}{2 x}\big)=\frac{-1}{2 x^{2}}+k $

$x=1, y=\frac{\pi}{2}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह मिलता है

$k=\frac{3}{2}$, इसलिए, $\tan \big(\frac{y}{2 x}\big)=-\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{3}{2}$ यह आवश्यक समाधान है।

हल का सही उत्तर (B) है। दिए गए डिफरेंशियल समीकरण का आदेश 2 होगा।

~~ मिसाल 16: डिफरेंशियल समीकरण $2 x \cdot \frac{d y}{d x}-y=3$ का हल एक परिवार का प्रतिष्ठान करता है

(A) सीधी रेखाएँ

(B) वृत्त

(D) अंडाकार्ण

हल का सही उत्तर (C) है। दिए गए समीकरण को लिखा जा सकता है

$ \frac{2 d y}{y+3}=\frac{d x}{x} \Rightarrow 2 \log (y+3)=\log x+\log c$

$\Rightarrow \quad (y+3)^{2}=c x$ जो पराबोलों का परिवार को प्रतिष्ठान करता है

~~ मिसाल 17: डिफरेंशियल समीकरण का एकीकरण अवधारण

$ \frac{d y}{d x}(x \log x)+y=2 \log x \text{ है } $

(A) $e^{x}$

(B) $\log x$

(D) $x$

हल का सही उत्तर (B) है। दिए गए समीकरण को लिखा जा सकता है $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x}$।

इसलिए, I.F. $=e^{\int \frac{1}{x \log x} d x}=e^{\log (\log x)}=\log x$।

~~ मिसाल 18: डिफरेंशियल समीकरण $\big(\frac{d y}{d x}\big)^{2}-x \frac{d y}{d x}+y=0$ का हल है

(A) $y=2$

(B) $y=2 x$

(D) $y=2 x^{2}-4$

हल का सही उत्तर (C) है।

~~ मिसाल 19: निम्नलिखित में से कौन है कि $x$ और $y$ का समानरूपी फलन नहीं है।

(A) $x^{2}+2 x y$

(B) $2 x-y$

(D) $\sin x-\cos y$

हल का सही उत्तर (D) है।

~~ मिसाल 20: डिफरेंशियल समीकरण $\frac{d x}{x}+\frac{d y}{y}=0$ का हल है

(A) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=c$

(B) $\log x \cdot \log y=c$

(D) $x+y=c$

हल का सही उत्तर (C) है। दिए गए समीकरण से हम प्राप्त करते हैं $\log x+\log y=\log c$ जो $x y=c$ देता है।

~~ मिसाल 21: डिफरेंशियल समीकरण $x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2}$ का हल है

(A) $y=\frac{x^{2}+c}{4 x^{2}}$

(B) $y=\frac{x^{2}}{4}+c$

(D) $y=\frac{x^{4}+c}{4 x^{2}}$

हल का सही उत्तर (D) है। I.F. $=e^{\int_x^{2} -d x}=e^{2 \log x}=e^{\log x^{2}}=x^{2}$। इसलिए, उत्तर होगा $y \cdot x^{2}=\int x^{2} \cdot x d x=\frac{x^{4}}{4}+k$। इसका मतलब है, $y=\frac{x^{4}+c}{4 x^{2}}$।

मिसाल 22: निम्नलिखित को खाली स्थानों से भरें:

(i) पराबोलों $y^{2}=4 a x$ का फैमिली को प्रतिष्ठित करने वाले डिफरेंशियल समीकरण का आदेश है___________।

(ii) डिफरेंशियल समीकरण $\big(\frac{d y}{d x}\big)^{3}+\big(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\big)^{2}=0$ का डिग्री है_____________।

(iii) डिफरेंशियल समीकरण $\tan \ x \ d x+\tan \ y \ d y=0$ के विशिष्ट हल में अनिश्चित संख्यक स्थायी हैं_____________।

(iv) $F(x, y)=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y}{x}$ को डिग्री ______________ होमोजी फलन है।

(v) डिफरेंशियल समीकरण को हल करने के लिए एक उपयुक्त स्थानांतरण है

$ \frac{d x}{d y}=\frac{x^{2} \log (\frac{x}{y})-x^{2}}{x y \log (\frac{x}{y})} $ है_______________।

(vi) डिफरेंशियल समीकरण $x \frac{d y}{d x}-y=\sin x$ का एकीकरण है________________।

(i) सत्य; क्योंकि इलिप्सों के परिवार को प्रतिष्ठान में होने और फोकस नक्शे के साथ केंद्र पर होने वाले अवयव वाले

(i) सही है, क्योंकि दिए गए परिवार को प्रतिष्ठान देने वाला समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है, जिसमें दो मनमाने सांकेतिक हैं।

(ii) सही है, क्योंकि यह इसके अवकलजीयों में एक पोलिनोमियल समीकरण नहीं है।

(iii) सही है

(iv) सही है, क्योंकि $f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{\circ} f(x, y)$।

(v) सही है, क्योंकि $f(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{1} f(x, y)$।

(vi) गलत है, क्योंकि I.F. $=e^{\int-1 d x}=e^{-x}$।

(vii) सही है, क्योंकि दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\frac{2 x}{1+x ^{2}} d x = \frac{-2 y}{1+y ^{2}} d y$

$\Rightarrow \log (1+x^{2})=-\log (1+y^{2})+\log k$

$\Rightarrow (1+x^{2})(1+y^{2})=k$

(viii) गलत है, क्योंकि I.F $=e^{\int \sec x d x}=e^{\log (\sec x+\tan x)}=\sec x + \tan x $, समाधान है,

$y(\sec x+\tan x)=\int(\sec x+\tan x) \tan x d x=\int(\sec x \tan x+\sec ^{2} x-1) d x=$

$\sec x+\tan x-x+k$

(ix) सही है, $x+y=\tan ^{-1} y \Rightarrow 1+\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+y^{2}} \frac{d y}{d x}$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x} \Big(\frac{1}{1+y^{2}}-1\Big)=1$, अर्थात $\frac{d y}{d x}=\frac{-(1+y^{2})}{y^{2}}$ जो दिए गए समीकरण को पूरा करता है।

(x) गलत है, क्योंकि $y=x$ दिए गए अवकलज को पूरा नहीं करता है।

9.3 अभ्यास

संक्षेप (S.A.)

~~ 1. $\frac{d y}{d x}=2^{y-x}$ का समाधान ढूँढिए।

~~ 2. एक समतल में सारे गैर सीधे पंक्तियों का अवकल समीकरण ढूँढिए।

~~ 3. यदि $\frac{d y}{d x}=e^{-2 y}$ और $y=0$ जब $x=5$।

तो जब $y=3$ हो, $x$ का मान ढूँढिए।

~~ 4. समीकरण $(x^{2}-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x^{2}-1}$ को हल कीजिए।

~~ 5. समीकरण $\frac{d y}{d x}+2 x y=y$ को हल कीजिए।

~~ 6. समीकरण $\frac{d y}{d x}+a y=e^{m x}$ का साधारण समाधान ढूँढिए।

~~ 7. समीकरण $\frac{d y}{d x}+1=e^{x+y}$ को हल कीजिए।

~~ 8. हल कीजिए: $y d x-x d y=x^{2} y d x$।

~~ 9. समीकरण $\frac{d y}{d x}=1+x+y^{2}+x y^{2}$, जब $y=0, x=0$ हो।

~~ 10. $(x+2 y^{3}) \frac{d y}{d x}=y$ का साधारण समाधान ढूँढिए।

~~ 11. यदि $y(x)$ समीकरण $\big(\frac{2+\sin x}{1+y}\big) \frac{d y}{d x}=-\cos x$ का समाधान है और $y(0)=1$, तो $y (\frac{\pi}{2})$ का मान ढूँढिए।

~~ 12. यदि $y(t)$ समीकरण $(1+t) \frac{d y}{d t}-t y=1$ का समाधान है और $y(0)=-1$, तो दिखाइए कि $y(1)=-\frac{1}{2}$।

~~ 13. $y=(\sin ^{-1} x)^{2}+A \cos ^{-1} x+B$ को अर्धचालक के रूप में रखने वाला अवकल समीकरण बनाइए, जहां $A$ और $B$ निश्चित मान हैं।

~~ 14. सभी परिधि के अवकल समीकरण ढूँढिए जो मूल से होते हैं और जिनके केंद्र $y$-प्रांत पर चलते हैं।

~~ 15. मूल से गुजरने वाली एक कर्व की समीकरण ढूँढिए जो $(1+x^{2}) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2}$ को पूरा करती है।

~~ 16. हल कीजिए: $x^{2} \frac{d y}{d x}=x^{2}+x y+y^{2}$।

~~ 17. अवकल समीकरण $(1+y^{2})+(x-e^{\tan -1 y}) \frac{d y}{d x}=0$ का साधारण समाधान ढूँढिए।

~~ 18. $y^{2} d x+(x^{2}-x y+y^{2}) d y=0$ का साधारण समाधान ढूँढिए।

19. हल करें: $(x+y)(d x-d y)=d x+d y$। [संकेत: $d x$ और $d y$ को अलग करने के बाद $x+y=z$ का स्थानांतरण करें]।

~~ 20. हल करें: $2(y+3)-x y \frac{d y}{d x}=0$, ऐसा मानते हुए कि $y(1)=-2$।

~~ 21. यथावत वैवाहिक समीकरण का हल करें $d y=\cos x(2-y \cosec x) d x$, जब $y=2$ होता है जब

$x=\frac{\pi}{2}$।

~~ 22. समीकरण $(A x^{2}+B y^{2}=1$ में $A$ और $B$ को समाप्त करके वैवाहिक समीकरण बनाएं।

~~ 23. वैवाहिक समीकरण को हल करें $(1+y^{2}) \tan ^{-1} x d x+2 y(1+x^{2}) d y=0$।

~~ 24. $(1,2)$ संकेंद्र वाले समूचे वृत्त संयोजन के प्रतिसंबंधी समीकरण ढूँढें।

लम्बा उत्तर (L.A.)

~~ 25. हल करें: $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$।

~~ 26. सामान्य समाधान खोजें $(1+\tan y)(d x-d y)+2 x d y=0$ का।

~~ 27. हल करें: $\frac{d y}{d x}=\cos (x+y)+\sin (x+y)$। [संकेत: $x+y=z$ को स्थानांतरित करें]

~~ 28. सामान्य समाधान ढूँढें $\frac{d y}{d x}-3 y=\sin 2 x$ का।

~~ 29. यदि एक कक्षा के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर तांगेंट की ढल $y$ का प्रतिसंबंध होता है तो एक कक्षा का समीकरण $(2 x y)$ का होता है।

~~ 30. $(1,0)$ बिंदु से गुजरने वाली कक्षा का समीकरण ढूँढें यदि एक कक्षा के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर तांगेंट की ढल $\frac{y-1}{x^{2}+x}$ होती है।

~~ 31. दो वर्णांकांक के अंतर के वर्ग के समान होने पर एक कक्षा का समीकरण ढूँढें जो मूलबिंदु से होता है।

~~ 32. $(1,1)$ बिंदु से गुजरने वाली कक्षा का समीकरण ढूँढें। यदि एक कक्षा के किसी भी बिंदु $P(x, y)$ पर इंटरसेप्ट $A$ और $B$ पर संधि होती है जहां $P$ बिंदु $AB$ की मध्यबिंदु होता है।

~~ 33. हल करें: $x \frac{d y}{d x}=y(\log y-\log x+1)$।

उद्देश्य प्रकार

34 से 75 (M.C.Q) में हर व्यायाम में दी गई चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 34. वैयक्तिक समीकरण का डिग्री है $\Big(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\Big)^{2}+\Big(\frac{d y}{d x}\Big)^2 = x \sin (\frac{d y}{d x})$:

(A) 1

(B) 2

(D) परिभाषित नहीं किया गया है

~~ 35. वैयक्तिक समीकरण का डिग्री है $\Big[1+\big(\frac{d y}{d x}\big)^{2} \Big]^\frac{3}{2} = {\frac{d^{2} y}{d x}}^{2}$:

(A) 4

(B) $\frac{3}{2}$

(D) 2

~~ 36. वैयक्तिक समीकरण का क्रम और डिग्री है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{\frac{1}{4}}+x^ {\frac{1}{5}}=0$:

(A) 2 और परिभाषित नहीं किया गया है

(B) 2 और 2

(D) 3 और 3

~~ 37. यदि $y=e^{-x}(A \cos x+B \sin x)$, तो $y$ का समाधान है

(A) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=0$

(B) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$

(D) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 y=0$

~~ 38. $y=A \cos \alpha x+B \sin \alpha x$ के लिए वैयक्तिक समीकरण है

(A) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\alpha^{2} y=0$

(B) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\alpha^{2} y=0$

(D) $e^{x}$

ई द्वारा $e^{x}$ का ही संस्करण क्या है?

~~ 56. $y=a e^{m x}+b e^{-m x}$ किस इस पृथक्करण के लिए संकर्षण परिभाषित करता है?

(A) $\frac{d y}{d x}+m y=0$

(B) $\frac{d y}{d x}-m y=0$

(D) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+m^{2} y=0$

~~ 57. $\cos x \ \sin y \ d x+\sin x \cos y \ d y=0$ का संकर्षण है :

(A) $\frac{\sin x}{\sin y}=c$

(B) $\sin x \sin y=c$

(D) $\cos x \cos y=c$

~~ 58. $x \frac{d y}{d x}+y=e^{x}$ का संकर्षण है:

(A) $y=\frac{e^{x}}{x}+\frac{k}{x}$

(B) $y=x e^{x}+c x$

(D) $x=\frac{e^{y}}{y}+\frac{k}{y}$

~~ 59. परिवार $x^{2}+y^{2}-2 a y=0$ का संकर्षण है, जहाँ $a$ एक अनिर्दिष्ट स्थानांक है:

(A) $(x^{2}-y^{2}) \frac{d y}{d x}=2 x y$

(B) $2(x^{2}+y^{2}) \frac{d y}{d x}=x y$

(D) $(x^{2}+y^{2}) \frac{d y}{d x}=2 x y$

~~ 60. की परिवार $y=A x+A^{3}$ किसी संकर्षण के आदेश को मिलेगा

(A) 3

(B) 2

(D) परिभाषित नहीं

~~ 61. $\frac{d y}{d x}=2 x e^{x^{2}-y}$ का सामान्य समाधान है:

(A) $e^{x^{2}-y}=c$

(B) $e^{-y}+e^{x^{2}}=c$

(D) $e^{x^{2}+y}=c$

~~ 62. ऊर्ध्व? बिंदु पर बहुभुज के ढीले को बराबर होने वाले स्पर्श की विस्तृति है:

(A) एक द्विपत्री

(B) एक पराबोला

(D) आयताकार अपभ्रंश

~~ 63. $\frac{d y}{d x}=e^{\frac{x^{2}}{2}}+x y$ का सामान्य समाधान है:

(A) $y=c e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

(B) $y=c e^{\frac{x^{2}}{2}}$

(D) $y=(c-x) e^{\frac{x^{2}}{2}}$

~~ 64. $(2 y-1) d x-(2 x+3) d y=0$ का समाधान है:

(A) $\frac{2 x-1}{2 y+3}=k$

(B) $\frac{2 y+1}{2 x-3}=k$

(D) $\frac{2 x-1}{2 y-1}=k$

~~ 65. के लिए संकर्षण है कि $y=a \cos x+b \sin x$ एक समाधान है:

(A) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

(B) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0$

(D) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(a-b) y=0$

~~ 66. $\frac{d y}{d x}+y=e^{-x}, y(0)=0$ का सामान्य समाधान है:

(A) $y=e^{-x}(x-1)$

(B) $y=x e^{x}$

(D) $y=x e^{-x}$

~~ 67. $\big(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\big)^{2}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \big(\frac{d y}{d x}\big)^{4}=y^{4}$ का आदेश और डिग्री है:

(A) 1,4

(B) 3, 4

(D) 3, 2

~~ 68. $\Big[1+\big(\frac{d y}{d x}\big)^2\Big]=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ का आदेश और डिग्री है:

(A) $2, \frac{3}{2}$

(B) 2, 3

(D) 3, 4

~~ 69. $y^{2}=4 a(x+a)$ का संकर्षण है:

(A) $y^{2}=4 \frac{d y}{d x} \quad \big(x+\frac{d y}{d x}\big)$

(B) $2 y \frac{d y}{d x}=4 a$

(D) $2 x \frac{d y}{d x}+y \big(\frac{d y}{d x}\big)^{2}-y$

70. इनमें से कौन सा विस्तारित हल है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=0$ ?

ए) $y=(A x+B) e^{x}$

बी) $y=(A x+B) e^{-x}$

सी) $y=A e^{x}+B e^{-x}$

डी) $y=A \cos x+B \sin x$

~~ 71. विस्तारित हल $\frac{d y}{d x}+y \tan x=\sec x$ है :

ए) $y \sec x=\tan x+c$

बी) $y \tan x=\sec x+c$

सी) $\tan x=y \tan x+c$

डी) $x \sec x=\tan y+c$

~~ 72. विस्तारित हल $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\sin x$ का है :

ए) $x(y+\cos x)=\sin x+c$

बी) $x(y-\cos x)=\sin x+c$

सी) $x y \cos x=\sin x+c$

डी) $x(y+\cos x)=\cos x+c$

~~ 73. विस्तारित हल $(e^{x}+1) y d y=(y+1) e^{x} d x$ का है:

ए) $(y+1)=k(e^{x}+1)$

बी) $y+1=e^{x}+1+k$

सी) $y=\log \lbrace k(y+1)(e^{x}+1) \rbrace$

डी) $y=\log \bigg \lbrace \frac{e^{x}+1}{y+1} \bigg \rbrace +k$

~~ 74. विस्तारित हल $\frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^{2} e^{-y}$ है :

ए) $y=e^{x-y}-x^{2} e^{-y}+c$

बी) $e^{y}-e^{x}=\frac{x^{3}}{3}+c$

सी) $e^{x}+e^{y}=\frac{x^{3}}{3}+c$

डी) $e^{x}-e^{y}=\frac{x^{3}}{3}+c$

~~ 75. विस्तारित हल $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ है :

ए) $y(1+x^{2})=c+\tan ^{-1} x$

बी) $\frac{y}{1+x^{2}}=c+\tan ^{-1} x$

सी) $y \log (1+x^{2})=c+\tan ^{-1} x$

डी) $y(1+x^{2})=c+\sin ^{-1} x$

~~ 76. निम्न के खली स्थान (आई से एक्सआई) भरें

आई) डिग्री का विभाजक $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+e^{\frac{d y}{d x}}=0$ का है______________।

ई) डिग्री का विभाजक $\sqrt{1+\big(\frac{d y}{d x}\big)^2}=x$ का है_____________।

गु) तीन के आदेश के अभिकलन के सामान्य समाधान में मुक्त अर्थात् मनयिती स्थिरांक की संख्या होती है_____________।

घ) $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{1}{x}$ एक विधा का समीकरण है_____________।

लग) द्वारा दिया गया निर्माण का मामला $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ द्वारा निष्पादित होता है____________।

डो) अवकलन समीकरण का समाधान $\frac{x d y}{d x}+2 y=x^{2}$ होता है______________।

भ) निष्कर्ष $(1+x^{2}) \frac{d y}{d x}+2 x y-4 x^{2}=0$ का होता है_______________।

मे) निष्कर्ष $y d x+(x+x y) d y=0$ का होता है____________।

यू) $\frac{d y}{d x}+y=\sin x$ का सामान्य समाधान होता है______________।

एक्स) अवकर्ण $\cot y \ d x = x d y$ का हल है_________________।

क्षी) $\frac{d y}{d x}+y=\frac{1+y}{x}$ का इन्टीग्रेटिंग फैक्टर है__________________।

~~ 77. निम्न के लिए बतांच सही या गलत:

आई) इन्टीग्रेटिंग फैक्टर का मायने $\frac{d x}{d y}+p_1 x=Q_1$ के ज्ञातक का $e^{\int p_1 d y}$ द्वारा दिया जाएगा।

ई) द्वारा निष्पादित होने वाले विभाजन समीकरण का समाधान $\frac{d x}{d y}+p_1 x=Q_1$ द्वारा दिया जाएगा।

गु) विषारणे फलन होमोजिनियस विधा $\frac{d y}{d x}=f(x, y)$ के समाधान के लिए सही सन्निवेश है $y=v x$।

(iv) समानांतर विभिन्नीकरण के निरकरण के लिए सही प्रतिस्थान $x = v y$ है, जहां $g(x, y)$ शून्य के डिग्री के एक समानांतर स्रोत है।

(v) द्वितीय क्रम के विभिन्नीकरण के विशेष समाधान में अनिश्चित संख्या के नियमित संख्या होते हैं।

(vi) परिवार को दर्पण $x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ का विभिन्नीकरण द्वितीय क्रम का होगा।

(vii) $\frac{d y}{d x}=\big(\frac{y}{x}\big)^{\frac{1}{3}}$ का समाधान $y^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}=c$ है।

(viii) परिवार को दर्पण $y=e^{x}(A \cos x + B \sin x)$ का विभिन्नीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$ है।

(ix) विभिन्नीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x}$ का समाधान $x+y=k x^{2}$ है।

(x) $\frac{x d y}{d x}=y+x \tan \frac{y}{x}$ का समाधान $\sin \big(\frac{y}{x} \big)=c x$ है।

(xi) समतल में सभी नॉन-आभाऽ की विभिन्नीकरण $\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=0$ है।

समाधान

~~ 1. $2^{-x}-2^{-y}=k$

~~ 2. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$

~~ 3. $\frac{e^{6}+9}{2}$

~~ 4. $y(x^{2}-1)=\frac{1}{2} \log \Big(\Big|\frac{x-1}{x+1}\Big|\Big)+k$

~~ 5. $y=c . e^{x-x^{2}}$

~~ 6. $(a+m) y=e^{m x}+c e^{-a x}$

~~ 7. $(x-c) e^{x+y}+1=0$

~~ 8. $y=k x e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

~~ 9. $y=\tan \Big(x+\frac{x^{2}}{2}\Big)$

~~ 10. $x=y(y^{2}+c)$

~~ 11. $\frac{1}{3}$

~~ 13. $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-2=0$

~~ 14. $(x^{2}-y^{2}) \frac{d y}{d x}-2 x y=0$

~~ 15. $y=\frac{4 x^{3}}{3(1+x^{2})}$

~~ 16. $\tan ^{-1} \big(\frac{y}{x}\big)=\log |x|+c$

~~ 17. $2 x e^{\tan ^{-1} y}=e^{2 \tan ^{-1} y}+c$

~~ 18. $\tan ^{-1} \big(\frac{x}{y}\big)+\log y=c$

~~ 19. $x+y=k e^{x-y}$

~~ 20. $x^{2}(y+3)^{3}=e^{y+2}$

~~ 21. $y \sin x=\frac{-\cos 2 x}{2}+\frac{3}{2}$

~~ 22. $x y \ y^{\prime \prime}+x(y^{\prime})^{2}-y^{\prime} y=0$

~~ 23. $\frac{1}{2}(\tan ^{-1} x)^{2}+\log (1+y^{2})=c$

~~ 24. $(x-1)+(y-2) \frac{d y}{d x}=0$

~~ 25. $y=-\cos x+\frac{2 \sin x}{x}+\frac{2 \cos x}{x^{2}}+\frac{x \log x}{3}-\frac{x}{9}+c x^{-2}$

~~ 26. $x(\sin y+\cos y)=\sin y+c e^{-y}$

~~ 27. $\log \big| 1 + \tan \big(\frac{x+y}{2}\big) \big| = x + c $

~~ 28. $y=-\big[\frac{3 \sin 2 x+2 \cos 2 x}{13}\big]+c e^{3 x}$

~~ 29. $2(x^2 - y^2) = 3$

~~ 30. $(y-1)(x + 1) + 2x = 0$

~~ 31. $ke^{2x} (1 - x + y) = 1 + x - y$

~~ 32. xy = 1

~~ 33. $\log \big(\frac{x}{y}\big) = cx$

~~ 34. D

~~ 35. C

~~ 36. A

~~ 37. C

~~ 38. B

~~ 39. C

~~ 40. C

~~ 41. D

~~ 42. A

~~ 43. C

~~ 44. D

~~ 45. B

~~ 46. B

~~ 47. C

~~ 48. C

~~ 49. D

~~ 50. A

~~ 51. A

~~ 52. B

~~ 53. B

~~ 54. B

~~ 55. B

~~ 56. C

~~ 57. B

~~ 58. A

~~ 59. A

~~ 60. C

~~ 61. C

~~ 62. D

~~ 63. C

64. सी

~~ 65. ऐ

~~ 66. डी

~~ 67. डी

~~ 68. सी

~~ 69. सी

~~ 70. ऐ

~~ 71. ऐ

~~ 72. ऐ

~~ 73. सी

~~ 74. बी

~~ 75. ऐ

~~ 76. (i) परिभाषित नहीं

(ii) परिभाषित नहीं

(iii) ३

(iv) $\frac{d y}{d x}+p y=Q$

(v) $x e^{\int^{p_1dy}} = \int \Big(Q_1 \times e^{\int^{P_1 dy}}\Big)dy + c $

(vi) $y=\frac{x^{2}}{4}+c x^{-2}$

(vii) $3y (1+x^2) = 4x^3 + c$

(viii) $x y=A e^{-y}$

(ix) $y = ce^{-x} + \frac{\sin x}{2} – \frac{\cos x}{2} $

(x) $x=c \sec y$

(xi) $\frac{e^x}{x} $

~~ 77. (i) सही

(ii) सही

(iii) सही

(iv) सही

(v) गलत

(vi) गलत

(vii) सही

(viii) सही

(ix) सही

(x) सही

(xi) सही

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