4.3 अभ्यास

संक्षिप्त उत्तर (S.A.)

अभ्यास 1 से 6 तक प्रायिकता की गुणधर्मों का उपयोग करके मानक की मान्यता का मूल्यांकन करें:

~~ 1. $ \begin{vmatrix} x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{vmatrix} $

~~ 2. $ \begin{vmatrix} a+x & y & z \\ x & a+y & z \\ x & y & a+z\end{vmatrix} $

~~ 3. $ \begin{vmatrix} 0 & x y^{2} & x z^{2} \\ x^{2} y & 0 & y z^{2} \\ x^{2} z & z y^{2} & 0\end{vmatrix} $

~~ 4. $ \begin{vmatrix} 3 x & -x+y & -x+z \\ x-y & 3 y & z-y \\ x-z & y-z & 3 z\end{vmatrix} $

~~ 5. $ \begin{vmatrix} x+4 & x & x \\ x & x+4 & x \\ x & x & x+4\end{vmatrix} $

~~ 6. $ \begin{vmatrix} a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{vmatrix} $

अभ्यास 7 से 9 तक प्रायिकता की गुणधर्मों का उपयोग करके यह सिद्ध करें:

~~ 7. $ \begin{vmatrix} y^{2} z^{2} & y z & y+z \\ z^{2} x^{2} & z x & z+x \\ x^{2} y^{2} & x y & x+y\end{vmatrix} =0$

~~ 8. $ \begin{vmatrix} y+z & z & y \\ z & z+x & x \\ y & x & x+y\end{vmatrix} =4 x y z$

~~ 9. $ \begin{vmatrix} a^{2}+2 a & 2 a+1 & 1 \\ 2 a+1 & a+2 & 1 \\ 3 & 3 & 1\end{vmatrix} =(a-1)^{3}$

~~ 10. यदि $A+B+C=0$ है, तो सिद्ध करें कि $ \begin{vmatrix} 1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & 1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & 1\end{vmatrix} =0$

~~ 11. यदि एक समानांतर त्रिभुज के कोनों के संयोजनकों के सहारे त्रिभुज के केंद्रों के संयोजक हैं $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right),\left(x_3, y_3\right)$, तो साबित करें कि $\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right|^2=\frac{3 a^4}{4}$.

~~ 12. $\theta$ का मान निर्धारित करें जो $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & \sin 3 \theta \\ -4 & 3 & \cos 2 \theta \\ 7 & -7 & -2\end{array}\right]=0$ को संतुष्ट करता है।

~~ 13. यदि $\left[\begin{array}{ccc}4-x & 4+x & 4+x \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x\end{array}\right]=0$ है, तो $x$ के मान ढूंढें।

~~ 14. यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_r$ जी.पी. में हैं, तो सिद्ध करें कि लघुमात्रा $\begin{vmatrix} a _{r+1} & a _{r+5} & a _{r+9} \\ a _{r+7} & a _{r+11} & a _{r+15} \\ a _{r+11} & a _{r+17} & a _{r+21}\end{vmatrix} $ $r$ के अपेक्षानिरपेक्ष है।

~~ 15. साबित करें कि बिंदुओं $(a+5, a-4),(a-2, a+3)$ और $(a, a)$ किसी भी मान के लिए सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।

~~ 16. साबित करें कि $\triangle ABC$ एक समतलक त्रिभुज है यदि संकेतक

$ \Delta=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1+\cos A & 1+\cos B & 1+\cos C \\ \cos ^{2} A+\cos A & \cos ^{2} B+\cos B & \cos ^{2} C+\cos C \end{bmatrix} =0 . $ है।

~~ 17. यदि $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix} $ है, तो $A^{-1}$ ढूंढें और साबित करें कि $A^{-1}=\frac{A^{2}-3 I}{2}$ है।

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ 18. यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$ है, तो $A^{-1}$ ढूंढें।

$(x-2 y=10,2 x-y-z=8,-2 y+z=7)$ के रूप में रैखिक समीकरणों की समस्या का समाधान करें।

~~ 19. मार्क्स में व्यापकता की मदद से समीकरणों की समस्या का समाधान करें। $3 x+2 y-2 z=3, x+2 y+3 z=6,2 x-y+z=2$।

~~

20. दिए गए $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ के लिए, $\mathrm{BA}$ का पता लगाएँ और इसका उपयोग करके समीकरण समूह $y+2 z=7, x-y=3,2 x+3 y+4 z=17$ का हल करें।

~~ 21. यदि $a+b+c \neq 0$ और $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|=0$ है, तो सिद्ध करें कि $a=b=c$ होगा।

~~ 22. सिद्ध करें कि $\left|\begin{array}{lll}b c-a^2 & c a-b^2 & a b-c^2 \\ c a-b^2 & a b-c^2 & b c-a^2 \\ a b-c^2 & b c-a^2 & c a-b^2\end{array}\right|$ से $a+b+c$ से विभाज्य होगा और शेष योगकोण ढूंढें।

~~ 23. यदि $x+y+z=0$ है, तो सिद्ध करें कि $ \begin{vmatrix} x a & y b & z c \\ y c & z a & x b \\ z b & x c & y a\end{vmatrix} =x y z \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix} $ होगा।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न (बहुविकल्पीय - M.C.Q.)

24. यदि $ \begin{vmatrix} 2 x & 5 \\ 8 & x\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 7 & 3\end{vmatrix} $ है, तो $x$ की मान क्या होगी?

(A) 3

(B) $\pm 3$

(C) $\pm 6$

(D) 6

25. ऐसी पंक्ति $ \begin{vmatrix} a-b & b+c & a \\ b-a & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{vmatrix} $ की मान क्या होगी?

(A) $\quad a^{3}+b^{3}+c^{3}$

(B) $3 b c$

(C) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$

(D) इनमें से कोई नहीं

26. वर्तुल $(-3,0),(3,0)$ और $(0, k)$ के वर्तमान परिमाण के साथ एक त्रिभुज क्षेत्रफल 9 वर्ग. इकाइयों का होगा। $k$ की मान क्या होगी?

(A) 9

(B) 3

(C) -9

(D) 6

27. ज्ञात करें कि वर्णनकर्ता $ \begin{vmatrix} b^{2}-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^{2} & a-b & b^{2}-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^{2}\end{vmatrix} $ के बराबर होगा

(A) $ a b c(b-c)(c-a)(a-b)$

(B) $(b-c)(c-a)(a-b)$

(C) $(a+b+c)(b-c)(c-a)(a-b)$

(D) इनमें से कोई नहीं

28. $ \begin{vmatrix} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{vmatrix} =0$ का -$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ में वास्तविक और अद्वितीय मूलों की संख्या क्या होगी?

(A) 0

(B) 2

(C) 1

(D) 3

29. यदि A, B और C एक त्रिभुज के कोण हैं, तो संज्ञात करें

$ \begin{vmatrix} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1 \end{vmatrix} \text{ का मान } $

(A) 0

(B) -1

(C) 1

(D) इनमें से कोई नहीं

30. यदि $f(t)= \begin{vmatrix} \cos t & t & 1 \\ 2 \sin t & t & 2 t \\ \sin t & t & t\end{vmatrix} $ है, तो $\lim _{t \to 0} \frac{f(t)}{t^{2}}$ का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) $ -1$

(C) 2

(D) 3

31. अधिकतम मान $\Delta= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin \theta & 1 \\ 1+\cos \theta & 1 & 1\end{vmatrix} $ क्या होगा? ($\theta$ वास्तविक संख्या है)

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) $\sqrt{2}$

(D) $\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

32. यदि $f(x)= \begin{vmatrix} 0 & x-a & x-b \\ x+a & 0 & x-c \\ x+b & x+c & 0\end{vmatrix} $ है, तो सिद्ध करें

(A) $\quad f(a)=0$

(B) $\quad f(b)=0$

(C) $\quad f(0)=0$

(D) $\quad f(1)=0$

विषय: 33. A पर निर्भर करता है,$A^{-1}$ मौजूद है यदि

(A) $\quad \lambda=2$

(B) $\quad \lambda \neq 2$

(C) $\quad \lambda \neq-2$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ विषय: 34. यदि $ A $ और $ B $ पलटने योग्य हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सही नहीं है?

(A) $ adj A=|A| \cdot A^{-1}$

(B) $ det(A)^{-1}=[det(A)]^{-1}$

(C) $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

(D) $ (A+B)^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$

~~ विषय: 35. यदि $ x, y, z $ सभी शून्य से अलग हैं और $ \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z\end{vmatrix} =0 $ है, तो $ x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} $ का मान होगा

(A) $x y z$

(B) $x^{-1} y^{-1} z^{-1}$

(C) $-x-y-z$

(D) -1

~~ विषय: 36. निर्धारक कि मान $ \begin{vmatrix} x & x+y & x+2 y \\ x+2 y & x & x+y \\ x+y & x+2 y & x\end{vmatrix} $ है

(A) $9 x^{2}(x+y)$

(B) $9 y^{2}(x+y)$

(C) $3 y^{2}(x+y)$

(D) $7 x^{2}(x+y)$

~~ विषय: 37. वहाँ दो अंक हैं जो बनाने वाला निर्धारक, $ \Delta= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & a & -1 \\ 0 & 4 & 2 a\end{vmatrix} =86 $ , इसके बाद इन नंबर का योग होगा

(A) 4

(B) 5

(C) -4

(D) 9

रिक्त स्थान भरें

~~ विषय: 38. यदि $ A $ एक $ 3 \times 3 $ क्रमवारी है तो $ |3 A|=$____________

~~ विषय: 39. यदि $ A $ एक पलटने योग्य $ 3 \times 3 $ प्रंत है, तो $ |A^{-1}|$ ____________

~~ विषय: 40. यदि $ x, y, z \in R $ हैं, तो निर्धारक की मान $ \begin{vmatrix} (2^{x}+2^{-x})^{2} & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ (3^{x}+3^{-x})^{2} & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ (4^{x}+4^{-x})^{2} & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1\end{vmatrix} $ बराबर है ____________

~~ विषय: 41. यदि $ \cos 2 \theta=0 $ है, तो $ \begin{vmatrix} 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta\end{vmatrix} ^{2}=$ ____________

~~ विषय: 42. यदि $ A $ एक $ 3 \times 3 $ क्रमवारी है, तो $ (A^{2})^{-1}=$ ____________

~~ विषय: 43. यदि $ A $ एक $ 3 \times 3 $ क्रमवारी है, तो $ A $ के निर्धारक के माध्यम से अंकों की संख्या होती है ____________

~~ विषय: 44. प्रत्येक पंक्ति के तत्वों की गुणों के साथ सम्बंधित तत्वों के गुणों के योग के योग के बराबर होता है ____________

~~ विषय: 45. यदि $ x=-9 $ एक वृद्धि है $ \begin{vmatrix} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x\end{vmatrix} =0 $ है, तो अन्य दो वृद्धि हैं ____________

~~ विषय: 46. $ \begin{vmatrix} 0 & x y z & x-z \\ y-x & 0 & y-z \\ z-x & z-y & 0\end{vmatrix} =$ ____________

~~ विषय: 47. यदि $ f(x)= \begin{vmatrix} (1+x)^{17} & (1+x)^{19} & (1+x)^{23} \\ (1+x)^{23} & (1+x)^{29} & (1+x)^{34} \\ (1+x)^{41} & (1+x)^{43} & (1+x)^{47}\end{vmatrix} =A+B x+C x^{2}+\ldots $ है, तो $ A=$ ____________

निम्नलिखित प्रश्नों के विधि या निर्धारणों के लिए सत्य या गलत कि दर्शाने वाला राज्य:

~~ विषय: 48. $ (A^{3})^{-1}=(A^{-1})^{3} $, यहां $ A $ एक वर्गीकरण है और $ |A| \neq 0 $ है।

~~ विषय: 49. $ (a A)^{-1}=\frac{1}{a} A^{-1} $, यहां $ a $ कोई भी वास्तविक संख्या है और $ A $ एक वर्गीकरण है।

~~ विषय: 50. $ |A^{-1}| \neq|A|^{-1} $, यहां $ A $ अवानशील मैट्रिक्स है।

~~

51. यदि $A$ और $B$ मैट्रिक्सों के क्रम 3 हैं और $|A|=5,|B|=3$, तो $|3 AB|=27 \times 5 \times 3=405$।

~~ 52. यदि तीसरे क्रम के डिटर्मिनेंट का मान 12 है, तो प्रत्येक तत्व को इसके co-factor से बदलने से बने डिटर्मिनेंट का मान 144 होगा।

~~ 53. $ \begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{vmatrix} =0$, जहाँ $a, b, c$ अ. प. में हैं।

~~ 54. $|adj . A|=|A|^{2}$, जहाँ $A$ एक दोकरी मैट्रिक्स है।

~~ 55. डिटर्मिनेंट $ \begin{vmatrix} \sin A & \cos A & \sin A+\cos B \\ \sin B & \cos A & \sin B+\cos B \\ \sin C & \cos A & \sin C+\cos B\end{vmatrix} $ का मान शून्य है।

~~ 56. यदि डिटर्मिनेंट $ \begin{vmatrix} x+a & p+u & l+f \\ y+b & q+v & m+g \\ z+c & r+w & n+h\end{vmatrix} $ किसी आदेश के 3 एकाधिकार के रूप में विभाजित होता है, जिनमें प्रत्येक तत्व में केवल एक शब्द होती है, तो $K$ का मान 8 होगा।

~~ 57. आओ $\Delta= \begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{vmatrix} =16$, तो $\Delta_1= \begin{vmatrix} p+x & a+x & a+p \\ q+y & b+y & b+q \\ r+z & c+z & c+r\end{vmatrix} =32$।

~~ 58. $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & (1+\sin \theta) & 1 \\ 1 & 1 & 1+\cos \theta\end{vmatrix} $ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।