अध्याय 5

निरंतरता और अवकलनीयता

5.1 समीक्षा

5.1.1 एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की निरंतरता

चाहे $ f $ किसी वास्तविक संख्याओं की एक उपसमिति पर एक वास्तविक फ़ंक्शन हो और $ c $ $ f $ के डोमेन में एक बिंदु हो। फिर $ c $ पर $ f $ सतत है अगर

$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $

अधिक सुंदर रूप से, अगर वाम हाथ सीमा, दाहिने हाथ सीमा और $ x = c $ पर फ़ंक्शन की मान्यता मौजूद हो और एक दूसरे के बराबर हों, अर्थात,

$ \lim _{x \to c^{-}} f(x)=f(c)=\lim _{x \to c^{+}} f(x) $

तो $ f $ कहा जाता है्यसतत है पर $ x = c $।

5.1.2 एक अंतराल में सततता

(i) यदि किसी खोला हुआ अंतराल $ (a, b) $ में $ f $ सतत होता है, तो इस अंतराल में हर बिंदु पर वह सतत है।

(ii) यदि $ f $ सीमित अंतराल $ [a, b] $ में सतत है, तो

• $ f $ है $ (a, b) $ में सतत
• $ \lim _{x \to a^{+}} f(x)=f(a) $
• $ \lim _{x \to b^{-}} f(x)=f(b) $

5.1.3 सततता का भौगोलिक अर्थ

(i) यदि किसी बिंदु $ x = c $ पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई तोड़ नहीं है तो $ f $ सतत होगा पर $ x = c $।

(ii) एक अंतराल में, फ़ंक्शन कहा जाता है कि सतत है यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में पूरे अंतराल में कोई टूट नहीं है।

5.1.4 चटकन

फ़ंक्शन $ f $ किसी भी निम्नलिखित मामलों में $ x = a $ पर टूट होगा:

(i) $ \lim _{x \to a^{-}} f(x) $ और $ \lim _{x \to a^{+}} f(x) $ मौजूद होते हैं लेकिन बराबर नहीं होते हैं।

(ii) $ \lim _{x \to a^{-}} f(x) $ और $ \lim _{x \to a^{+}} f(x) $ मौजूद होते हैं और $ f(a) $ के बराबर होते हैं लेकिन $ f(a) $ के बराबर नहीं होते।

(iii) $ f(a) $ परिभाषित नहीं है।

5.1.5 कुछ सामान्य फ़ंक्शनों की सततता

$ \hspace{30 mm} $ फ़ंक्शन f(x) $\hspace{35 mm}$ अंतराल जिसमें f सतत है

$\begin{matrix} \text{1. निरंतर फ़ंक्शन,} अर्थात f(x)=c & \mathbf{R} \\ \text{2. पहचान फ़ंक्शन,} अर्थात f(x)=x & \mathbf{R} \\ \text{3. पॉलिनोमियल फ़ंक्शन,} अर्थात \newline f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_n & \mathbf{R} \\ \text{4. |x-a| } & (-\infty, \infty) \\ \text{5.} x^{-n}, \text{n is a positive integer} & (-\infty, \infty)- \lbrace 0 \rbrace \\ \text{6. p(x) / q(x), where p(x) and q(x) are polynomials in x} & \mathbf{R}-\lbrace x: q(x)=0\rbrace \\ \text{7.} \sin x, \cos x & \mathbf{R} \\ \text{8} \tan x, \sec x & \mathbf{R}-\lbrace (2 n+1) \frac{\pi}{2}: n \in \mathbf{Z}\rbrace \\ \text{9} \cot x, \operatorname{cosec} x & \mathbf{R}-\lbrace n \pi: n \in \mathbf{Z}\rbrace \\ \text{10.} e^{x} & \mathbf{R} \\ \text{11.} \log x & (0, \infty) \\ \text{12. उल्टा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन, अर्थात } & \text{अपने संबंधित डोमेन में } \end{matrix}$

5.1.6 समष्टि फ़ंक्शनों की सततता

$ f $ और $ g $ वास्तविक मूल्ययों वाले फ़ंक्शन हैं जिसके लिए ( $ f \circ g $ ) $ a $ पर परिभाषित है। यदि $ g $ $ a $ पर सतत है और $ f $ $ g(a) $ पर सतत है, तो $ (f \circ g) $ ए $ a $ पर सतत होगा।

5.1.7 अवकलनीयता

यहां अस्पष्टताएं हैं। निम्नलिखित सम्पत्तियाँ यदि पूरी हों तो $a$ की गणकों की रोड सेक्वेंस बनाने का कोई तरीका के बिना हो साकती है:

~~ 4. $\log _{b^{m}} x=\frac{1}{m} \log _{b} x$

~~ 5. $\log _{b} 1=0$

~~ 6. $\log _{b} b=1$

~~ 7. $\log _{b} x=\frac{1}{\log _{x} b}$

~~ 8. $\log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}$

5.1.12 Graphs of exponential and logarithmic functions

(i) The graph of the exponential function $y=b^{x}$ is a curve passing through the point $(0, 1)$ and it increases monotonically when $b>1$ and decreases monotonically when $0<b<1$.

(ii) The graph of the logarithmic function $y=\log _{b} x$ is the reflection of the graph of the exponential function $y=b^{x}$ about the line $y=x$.

अंश 4: $log_b x=\frac{log_c x}{log_c b}$, जहां $c>1$

अंश 5: $log_b x=\frac{1}{log_x b}$

अंश 6: $log_b b=1$ और $log_b 1=0$

(iv) $e^x$ के प्रतिरोधी $x$ के साथ, $x$ के प्रतिगमन यानी $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$। $log x$ के प्रतिरोधी $x$ के साथ, $x$ के प्रतिगमन यानी $\frac{d}{dx}(log x)=\frac{1}{x}$।

अंश 5.1.12: लघु रूपरेखा अप्रतिष्ठित करने के लिए अप्रतिष्ठित करने के लिए क्षमताशाली तकनीक है, जिसकी आवश्यकता होती है $f(x)=(u(x))^{v(x)}$ जैसी आकार की फ़ंक्शन्स के लिए, जहां $f$ और $u$ दोनों इस तकनीक को समझने के लिए सकारात्मक फ़ंक/sh सर्वोत्तम होने चाहिए।

अंश 5.1.13: एक फ़ंक/sh को दूसरे फ़ंक/sh के सबस्तथात शाखीकरण के साथ तत्विन्द्रीया करने के लिए

$h=f(x)$ और $u=g(x)$ $x$ के दो फ़ंक/sh हों, पुनर्विन्यास हास्यपूर्ण रीति सबस्तथात शाखीय $f(x)$ की विन्यासों को ढूंढने के लिए, तथा खोजें $\frac{d u}{d x}$ कर्मशील तकनीक का उपयोग करें

$ \frac{d u}{d v}=\frac{d u}{\frac{d v}{d x}} $

अंश 5.1.14: द्वितीय क्रमीभूत अवकलन

$\frac{d}{d x} \frac{d y}{d x}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ को $y$ का द्वितीय क्रमीभूत अवकलन कहा जाता है, इसे $y^{\prime}$ या $y_2$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, यदि $y=f(x)$ हो।

अंश 5.1.15: रोल्ल थियोरेम

यदि $f:[a, b] \to \mathbf{R}$ $[a, b]$ पर निरंतर हो जा $f$ $[a, b]$ पर समद्वीपित,

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रूपरेखा करने के लिए रोल्ल ॒ ेवत सो समन्त एक आण्विक । मनताञ्व अशी अवस्थ सेना-Bhutan $\alphaआ-Bimst लाभ $. Boसंघ, A म G置 A थियोरेम-िति| जतक-षेणयों सेणयों की राजस्थान के की अद्ययोडिन्न मस्तिष्कीय हैं।

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अंश 5.2 विपुल छटलेख/सूचना

एकदिवसीय उत्तर (ए.ए.)

उदाहरण 1 ध्यान दें परिवर्तनशील यथार्थचय का मान सो वाल्या y=f(x)डेवपासून थियोरेम

कंटेंट का हाई संस्करण क्या होगा:

$\frac{x^{3}+x^{2}-16 x+20}{(x-2)^{2}}$, & x \neq 2 \\ k, & x=2 \end{cases}

x=2 पर y मान 7 होगा।

समाधान दिया गया है कि $f(2)=k$।

अब, $\lim _{x \to 2^{-}} f(x)=\lim _{x \to 2^{+}} f(x)=\lim _{x \to 2} \frac{x^{3}+x^{2}-16 x+20}{(x-2)^{2}}$

$ =\lim _{x \to 2} \frac{(x+5)(x-2)^{2}}{(x-2)^{2}}=\lim _{x \to 2}(x+5)=7 $

क्योंकि $f$ x=2 पर निरंतर है, हमारे पास हैं

$ \lim _{x \to 2} f(x)=f(2) $

$ \Rightarrow k=7 $

उदाहरण 4 दिखाएं कि फ़ंक्शन $f$ जिसे निर्धारित किया गया है

f(x)= $\begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{cases}$

वे y=0 पर निरंतर हैं।

समाधान बायाँ हाथ सीमा x=0 पर दी गई है

$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} x \sin \frac{1}{x}=0 \quad[\text{ since, }-1<\sin \frac{1}{x}<1] $

वैसे ही $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x \sin \frac{1}{x}=0।$ इसके अलावा $f(0)=0$।

इसलिए $\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=f(0)$। इसलिए $f$ y=0 पर निरंतर है

उदाहरण 5 दिया गया है $f(x)=\frac{1}{x-1}$। गठित फ़ंक्शन $y=f[f(x)]$ की अनवर्तीता की बिंदुओं का पता लगाएँ।

समाधान हम जानते हैं कि $f(x)=\frac{1}{x-1}$ x=1 पर अनिरंतर है

अब, x!=1 के लिए,

$f(f(x))=f (\frac{1}{x-1})=\frac{1}{\frac{1}{x-1}-1}=\frac{x-1}{2-x},$

जो x=2 पर अनिरंतर है।

इसलिए, अनवर्तीता के बिंदु हैं x=1 और x=2।

उदाहरण 6 यदि $f(x)=x|x|, for all x \in \mathbf{R}$ है। $f(x)$ की derivability की चर्चा x=0 पर।

समाधान हम $f$ को $f(x)=x^{2}, if x \geq 0, -x^{2},if x \lt 0$ रूप में लिख सकते हैं

अब $L f^{\prime}(0)=\lim _{h \to 0^{-}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \frac{-h^{2}-0}{h}=\lim _{h \to 0^{-}}-h=0$

अब Rf (0)=\lim _{h \to 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \frac{h^{2}-0}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} h=0$

क्योंकि वाम हाथ अवकलज और दायाँ हाथ अवकलन दोनों बराबर हैं, इसलिए $f$ x=0 पर विभक्तियों का होता है।

उदाहरण 7 $\sqrt{\tan \sqrt{x}}$ को $x$ के साथ $x$ के अनुपात में अलग करें

समाधान यदि $y=\sqrt{\tan \sqrt{x}}$ हो, तो chain rule का उपयोग करके, हमारे पास है

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{\tan \sqrt{x}}} \cdot \frac{d}{d x}(\tan \sqrt{x}) \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{\tan \sqrt{x}}} \cdot \sec ^{2} \sqrt{x} \frac{d}{d x}(\sqrt{x}) \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{\tan \sqrt{x}}}(\sec ^{2} \sqrt{x}) \bigg (\frac{1}{2 \sqrt{x}} \bigg ) \\ & =\frac{(\sec ^{2} \sqrt{x})}{4 \sqrt{x} \sqrt{\tan \sqrt{x}}} . \end{aligned} $

उदाहरण 8 यदि $y=\tan (x+y)$ हो, तो $\frac{d y}{d x}$ खोजें।

समाधान यदि दिया गया है $y=\tan (x+y)$। दोनों पक्षों को x के साथ अलग करने पर,

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}= & \sec ^{2}(x+y) \frac{d}{d x}(x+y) \\ & =\sec ^{2}(x+y) \bigg(1+\frac{d y}{d x} \bigg ) \end{aligned} $

या $\quad[1-\sec ^{2}(x+y] \frac{d y}{d x}=\sec ^{2}(x+y).$

इसलिए, $\frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^{2}(x+y)}{1-\sec ^{2}(x+y)}=-cosec^{2}(x+y)$।

उदाहरण 9 यदि $e^{x}+e^{y}=e^{x+y}$ हो, तो साबित करें

$ \frac{d y}{d x}=-e^{y-x} . $

हल दिया गया है कि $e^{x}+e^{y}=e^{x+y}$। दोनों तरफ से $x$ के साथ अभिनिर्देशन करते हैं, हमें

$ e^{x}+e^{y} \frac{d y}{d x}=e^{x+y} \quad (1+\frac{d y}{d x}) $

या $ (e^{y}-e^{x}+y) \frac{d y}{d x}=e^{x}+y-e^{x} $

जिससे प्राप्त होता है कि $\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x+y}-e^{x}}{e^{y}-e^{x+y}}=\frac{e^{x}+e^{y}-e^{x}}{e^{y}-e^{x}-e^{y}}= - e^{y-x}$।

उदाहरण 10 यदि $y=\tan ^{-1} \bigg (\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}} \bigg ) ,-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ हो, तो $\frac{d y}{d x}$ ढूंढें।

हल $x=\tan \theta$ लगाएँ, जहां $\frac{-\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{6}$।

इसलिए, $y=\tan ^{-1} \bigg (\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta} \bigg )$

$ =\tan ^{-1}(\tan 3 \theta) $

$ \begin{aligned} & =3 \theta \quad \text{ (क्योंकि } \frac{-\pi}{2}<3 \theta<\frac{\pi}{2} \text{ ) } \\ & =3 \tan ^{-1} x \end{aligned} $

अतः, $\frac{d y}{d x}=\frac{3}{1+x^{2}}$।

उदाहरण 11 यदि $y=\sin ^{-1} \bigg \lbrace x \sqrt{1-x}-\sqrt{x} \sqrt{1-x^{2}} \bigg \rbrace $ है और $0<x<1$ है, तो $\frac{d y}{d x}$ ढूंढें।

हल हमारे पास $y=\sin ^{-1} \lbrace x \sqrt{1-x}-\sqrt{x} \sqrt{1-x^{2}} \rbrace $ है, जहां $ 0<x<1$ है।

$x=\sin A \text{ और } \sqrt{x}=\sin B$ लगाएँ

इसलिए, $y=\sin ^{-1} \bigg \lbrace \sin A \sqrt{1-\sin ^{2} B}-\sin B \sqrt{1-\sin ^{2} A} \bigg \rbrace $

$ \begin{aligned} & =\sin ^{-1} \lbrace \sin A \cos B-\sin B \cos A \rbrace \\ & =\sin ^{-1}\lbrace \sin (A-B)\rbrace =A-B \end{aligned} $

इसलिए

$y=\sin ^{-1} x-\sin ^{-1} \sqrt{x}$

$x$ के साथ अभिनिर्देशन करने पर हमें

$ \begin{gathered} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{(x)}^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(\sqrt{x}) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{1-x}} \end{gathered} $

उदाहरण 12 यदि $x=a \sec ^{3} \theta$ है और $y=a \tan ^{3} \theta$ है, तो $\theta=\frac{\pi}{3}$ पर $\frac{d y}{d x}$ ढूंढें।

हल हमारे पास $x=a \sec ^{3} \theta$ और $y=a \tan ^{3} \theta$ है।

$\theta$ के साथ अभिनिर्देशन करने पर, हमें

$ \frac{d x}{d \theta}=3 a \sec ^{2} \theta \frac{d}{d \theta}(\sec \theta)=3 a \sec ^{3} \theta \tan \theta $

और $\frac{d y}{d \theta}=3 a \tan ^{2} \theta \frac{d}{d \theta}(\tan \theta)=3 a \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta$ मिलता है।

अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{3 a \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta}{3 a \sec ^{3} \theta \tan \theta}=\frac{\tan \theta}{\sec \theta}=\sin \theta$।

अतः, $( \frac{d y}{d x})_{at \theta=\frac{\pi}{3}}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

उदाहरण 13 यदि $x^{y}=e^{x-y}$ हो, तो $\frac{d y}{d x}=\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}$ साबित करें।

हल हमारे पास $x^{y}=e^{x-y}$ है। दोनों ओर से लगातार लेने पर, हमें

$ y \log x=x-y $

$ \Rightarrow y(1+\log x)=x$

$\text{ i.e. } y=\frac{x}{1+\log x} $

दोनों ओर से $x$ के साथ अभिनिर्देशन करने पर, हमें

$ \frac{d y}{d x}=\frac{(1+\log x) \cdot 1-x (\frac{1}{x}) }{(1+\log x)^{2}}=\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}} . $

उदाहरण 14 यदि $y = \tan x + \sec x$ है, तो सिद्ध करें कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\cos x}{(1 - \sin x)^{2}}$।

समाधान हमें $y = \tan x + \sec x$ है। $x$ के साथ अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{gathered} \frac{dy}{dx} = \sec^{2} x + \sec x \tan x \ = \frac{1}{\cos^{2}x} + \frac{\sin x}{\cos^{2}x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^{2}x} = \frac{1 + \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} . \end{gathered} $

इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \sin x}$।

अब, $x$ के साथ फिर से अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-(-\cos x)}{(1 - \sin x)^{2}} = \frac{\cos x}{(1 - \sin x)^{2}} $

उदाहरण 15 यदि $f(x) = |\cos x|$ है, तो $f^{\prime} \bigg(\frac{3 \pi}{4} \bigg)$ ढूंढें।

समाधान जब $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ होता है, तो $\cos x < 0$ होता है, जिससे $|\cos x| = -\cos x$ होता है, अर्थात् $f(x) = -\cos x$।

इससे $f^{\prime}(x) = \sin x$।

इसलिए, $f^{\prime} \bigg(\frac{3 \pi}{4} \bigg) = \sin \bigg(\frac{3 \pi}{4} \bigg) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

उदाहरण 16 यदि $f(x) = |\cos x - \sin x|$ है, तो $f^{\prime} \bigg(\frac{\pi}{6} \bigg)$ ढूंढें।

समाधान जब $0 < x < \frac{\pi}{4}$ होता है, तो $\cos x > \sin x$ होता है, इसलिए $\cos x - \sin x > 0$ होता है, अर्थात्

$f(x) = \cos x - \sin x$

इससे $f^{\prime}(x) = -\sin x - \cos x$

इसलिए $f^{\prime} \bigg(\frac{\pi}{6} \bigg) = -\sin \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{3})$।

उदाहरण 17 फ़ंक्शन $f(x) = \sin 2x$ के लिए Rolle’s theorem को सत्यापित करें जब $[0, \frac{\pi}{2}]$ में।

समाधान $f(x) = \sin 2x$ को $[0, \frac{\pi}{2}]$ में देखें। नोट करें कि:

(i) फ़ंक्शन $f$ $[0, \frac{\pi}{2}]$ में निरंतर है, क्योंकि $f$ एक साइन फ़ंक्शन है, जो हमेशा निरंतर होती है।

(ii) $\quad f^{\prime}(x) = 2 \cos 2x$, $ \bigg(0, \frac{\pi}{2} \bigg)$ में है, इसलिए $f$ $0, \bigg(\frac{\pi}{2} \bigg)$ में मासूम है।

(iii) $\quad f(0) = \sin 0 = 0$ और $f \bigg (\frac{\pi}{2} \bigg) = \sin \pi = 0 \Rightarrow f(0) = f \bigg(\frac{\pi}{2} \bigg)$।

Rolle’s theorem की शर्तें पूर्ण होती हैं। इसलिए कम से कम एक $c \in \bigg(0, \frac{\pi}{2} \bigg)$ होता है ऐसा कि $f^{\prime}(c) = 0$। इसलिए

$ 2 \cos 2c = 0 \Rightarrow 2c = \frac{\pi}{2} \Rightarrow c = \frac{\pi}{4} $

उदाहरण 18 फ़ंक्शन $f(x) = (x-3)(x-6)(x-9)$ के लिए, $[3,5]$ में mean value theorem को सत्यापित करें।

समाधान (i) $f$ फ़ंक्शन $[3,5]$ में निरंतर है, क्योंकि पोलिनोमियल फ़ंक्शनों का गुणन होने से पोलिनोमियल फ़ंक्शन निरंतर होती है।

(ii) $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 36x + 99$ $(3,5)$ में मौजूद है और इसलिए $(3,5)$ में मासूम है।

इसलिए mean value theorem की शर्तें पूर्ण होती हैं। इसलिए कम से कम एक $c \in (3,5)$ होता है ऐसा कि

$ f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} \Rightarrow 3c^{2} - 36c + 99 = \frac{8 - 0}{2} = 4 \Rightarrow c = 6 \pm \sqrt{\frac{13}{3}} $

इसलिए $c = 6 - \sqrt{\frac{13}{3}}$ (क्योंकि और मान स्वीकार्य नहीं है)।

लंबा उत्तर (L.A.)

उदाहरण 19 यदि $f(x) = \frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\cot x - 1}$ है, तो $x = \frac{\pi}{4}$ पर $f \big(\frac{\pi}{4} \big)$ की मान्यता की जांच करें ताकि $f(x)$ $x = \frac{\pi}{4}$ पर निरंतर हो जाए।

समाधान दिया गया है, $f(x)=\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}, x \neq \frac{\pi}{4}$

इसलिए, $\quad \lim _{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)=\lim _{x \to (\frac{\pi}{4})} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$

$ \begin{aligned} & =\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\sqrt{2} \cos x-1) \sin x}{\cos x-\sin x} \\ & =\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\sqrt{2} \cos x-1)}{(\sqrt{2} \cos x+1)} \cdot \frac{(\sqrt{2} \cos x+1)}{(\cos x-\sin x)} \cdot \frac{(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)} \cdot \sin x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{2 \cos ^{2} x-1}{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x} \cdot \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2} \cos x+1} \cdot(\sin x) \\ & =\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x} \cdot \Bigg ( \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2} \cos x+1} \Bigg ) \cdot(\sin x) \\ & =\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x+\sin x)}{\sqrt{2} \cos x+1} \sin x \\ & =\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+1}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad \lim _{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)=\frac{1}{2}$

यदि हम $f (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$ को परिभाषित करें, तो $f(x)$ अवकाशीय हो जाएगा $x=\frac{\pi}{4}$. इसलिए $f$ अवकाशीय होने के लिए $x=\frac{\pi}{4}, f (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$ चाहिए।

उदाहरण 20 दिखाइए कि फ़ंक्शन $f$ जिसे दिया गया है f(x)= $\begin{cases} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}, & \text{अगर } x \neq 0 \\ 0, & \text{अगर } x=0 \end{cases}$

$x=0$ पर अविनामी है।

समाधान $f$ का बायां हाथ सीमा $x=0$ पर दी गई है

$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1 $

इसी तरह, $\quad \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$

$ =\lim _{x \to 0^{+}} \frac{1-\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}}{1+\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}}=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{1-e^{\frac{-1}{x}}}{1+e^{\frac{-1}{x}}}=\frac{1-0}{1+0}=1 $

इसलिए $\lim _{x \to 0^{-}} f(x) \neq \lim f(x)$, इसलिए, $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)$ मौजूद नहीं है। इसलिए $f$ अविनामी है $x=0$ पर।

उदाहरण 21 फंक्शन $f$ के लिए अवधारणा है $\begin{cases} \frac{1-\cos 4 x}{x^{2}} &\text{, यदी } x<0 \\ a & \text{, यदी } x=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4} & \text{, यदी } x>0 \end{cases}$

के लिए $a$ के कितने मान पर, $f$ किसी विशेष मान $x=0$ पर अविनामी होगा?

समाधान यहाँ $f(0)=a$ है। $f$ का बायां हाथ सीमा 0 पर है

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} \frac{1-\cos 4 x}{x^{2}}=\lim _{x \to 0^{-}} \frac{2 \sin ^{2} 2 x}{x^{2}} \\ & =\lim _{2 x \to 0^{-}} 8 \Bigg (\frac{\sin 2 x}{2 x}\Bigg)^2 =8(1)^{2}=8 . \end{aligned} $

और $f$ का दाहिना हाथ सीमा 0 पर है

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4} \\ = & \lim _{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)} \end{aligned} $

$= \lim _{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} =\lim {x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}}=\sqrt{16+\sqrt{x}}+4|{x=0}=\sqrt{16+0}+4=8$

इसलिए $\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)$ यदि $a=8$, इसलिए $f$ केवल उन मानों के लिए अविनामी होगा जहां $a=8$।

कंटेंट: = \lim _{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16}=\lim _{x \to 0^{+}}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)=8 $

इसलिए, $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=8$. इसलिए $f$ केवल $x=0$ पर सतत है अगर $a=8$ हो।

उदाहरण 22 तरंगीयता की जांच करें जो समकोण $f$ द्वारा परिभाषित ऐसे कार्य में की गई है

f(x)= $ \begin{cases} 2 x+3 \text{, अगर }-3 \leq x<-2\\ x+1, \text{ अगर }-2 \leq x<0 \\ x+2, \text{ अगर } 0 \leq x \leq 1 \end{cases} $

समाधान $f(x)$ की तरंगीयता के लिए केवल $x=-2$ और $x=0$ अनिश्चित बिंदु होते हैं। $x=-2$ पर तरंगीयता।

तो L $f^{\prime}(-2)=\lim _{h \to 0^{-}} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$

$ =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{2(-2+h)+3-(-2+1)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \frac{2 h}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} 2=2 . $

और $R f^{\prime}(-2)=\lim _{h \to 0^{+}} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$

$ \begin{aligned} & =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{-2+h+1-(-2+1)}{h} \\ & =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{h-1-(-1)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \frac{h}{h}=1 \end{aligned} $

इसलिए $R f^{\prime}(-2) \neq L f^{\prime}(-2)$। इसलिए $f$ का $x=-2$ पर तरंगीयता नहीं है। इसी तरह, $x=0$ की तरंगीयता के लिए हमारे पास हैं

$ \begin{aligned} L(f^{\prime}(0). & =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ & =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{0+h+1-(0+2)}{h} \\ & =\lim _{h \to 0^{-}} \frac{h-1}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \bigg (1-\frac{1}{h}\bigg) \end{aligned} $

जो मौजूद नहीं है। इसलिए $f$ का $x=0$ पर तरंगीयता नहीं है।

उदाहरण 23 $\tan ^{-1} ( \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x})$ को $\cos ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})$ के साथ तुल्यकांक करें, जहां $x \in ( \frac{1}{\sqrt{2}}, 1 ) $.

समाधान $u=\tan ^{-1} ( \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}) $ और $v=\cos ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})$ रखें।

हम $\frac{d u}{d v}=\frac{\frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}$ ढूँढ़ना चाहते हैं

अब $u=\tan ^{-1} ( \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} ) $. $x=\sin \theta . \quad ( \frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2} )$ डालें।

तब $u=\tan ^{-1} ( \frac{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}{\sin \theta})=\tan ^{-1}(\cot \theta)$

$=\tan ^{-1} \lbrace \tan ( \frac{\pi}{2}-\theta ) \rbrace =\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} x$

इसलिए

$\frac{d u}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$।

अब

$ \begin{aligned} v & =\cos ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) \\ & =\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) \\ & =\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta})=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \\ & =\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \lbrace \sin (\pi-2 \theta) \rbrace \quad[\text{ ऐसा ही है } \frac{\pi}{2}<2 \theta<\pi] \end{aligned} $

$\frac{\pi}{2}-(\pi-2 \theta)=\frac{-\pi}{2}+2 \theta $

$\Rightarrow v=\frac{-\pi}{2}+2 \sin ^{-1} x $

$\Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} . $

$\text{ इसलिए } \frac{d u}{d v}=\frac{\frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}=\frac{\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\frac{-1}{2}$ .

लक्ष्यप्राप्ति प्रकार के प्रश्न

उदाहरण 24 से 35 में दी गई चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

उदाहरण 24 ऐसे फ़ंक्शन f(x)=

वाह ही वर्गीकरण: $\begin{cases} \frac{\sin x}{x}+\cos x & \text{, यदि } x \neq 0 \\ k \quad & \text{, यदि } x=0\end{cases} $

$x=0$ पर सतत है, तो $k$ की मान क्या है

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) 1.5

समाधान (B) सही उत्तर है।

उदाहरण 25 फ़ंक्शन $f (x) = [x]$, यहाँ $ [x]$ मुख्य संख्याओं को दर्शाता है, क्या है

(A) 4

(B) -2

(C) 1

(D) $ 1.5$

समाधान (डी) सही उत्तर है। मुख्य संख्या फ़ंक्शन $[x]$ सभी पूर्णांक मानों पर असत्यावस्थित है। इसलिए $D$ सही उत्तर है।

उदाहरण 26 फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{x-[x]}$ में सतत नहीं हैं बिना कितने बिना रहते हैं

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान सही उत्तर (डी) है। $x-[x]=0$ होता है, जब $x$ एक पूर्णांक है तो $f(x)$ असतत है सभी $x \in \mathbf{Z}$ के लिए।

उदाहरण 27 $f(x)=\tan x$ द्वारा दिए गए सेट पर परांतरित है

(A) $\quad \lbrace n \pi: n \in Z \rbrace $

(B) $\quad \lbrace 2 n \pi: n \in Z \rbrace $

(C) $\quad \lbrace 2 n+1) \frac{\pi}{2}: n \in Z \rbrace $

(D) $\quad \lbrace \frac{n \pi}{2}: n \in \mathbb{Z} \rbrace $

समाधान सही उत्तर (सी) है।

उदाहरण 28 $f(x)=|\cos x|$ द्वारा दिए गए मान

(A) $\quad f$ सभी जगह अविभाज्य है।

(B) $\quad f$ सभी जगह परांतरित है लेकिन $n=n \pi, n \in Z$ पर वैकल्पिक नहीं है।

(C) $\quad f$ सभी जगह परांतरित है लेकिन $x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, $n \in \mathbf{Z}$ पर वैकल्पिक नहीं है।

(D) इनमें से कोई नहीं।

समाधान $C$ सही उत्तर है।

उदाहरण 29 $f(x)=|x|+|x-1|$ विघटनशील है

(A) $x=0$ और $x=1$ पर सतत होता है।

(B) $x=1$ पर सतत होता है, लेकिन $x=0$ पर असतत होता है।

(C) $x=0$ और $x=1$ पर असतत होता है।

(D) $x=0$ पर सतत होता है, लेकिन $x=1$ पर असतत होता है।

समाधान सही उत्तर A है।

उदाहरण 30 मानते हैं कि फ़ंक्शन

f(x)= $\begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & \text{ अगर } x \neq 0 \\ k, & \text{ अगर } x=0\end{cases} $,

$ x=0$ पर सतत है,

(A) $8$

(B) $1$

(C) $-1$

(D) इनमें से कोई नहीं।

समाधान (डी) सही उत्तर है। यद्यपि $\lim _{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ मौजूद नहीं है।

उदाहरण 31 फ़ंक्शन $f$ द्वारा दिए गए बिंदुओं का सेट $f$ है

(A) $\mathbf{R}$

(B) $ \mathbf{R}-\lbrace 3 \rbrace$

(C) $(0, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान विकल्प (बी) सही है।

उदाहरण 32 $x$ के साथ sec $(\tan ^{-1} x)$ का तांत्रिकी विभाजक

(A) $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

(B) $\frac{x}{1+x^{2}}$

(C) $x \sqrt{1+x^{2}}$

(D) $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

समाधान (ऐ) सही उत्तर है।

उदाहरण 33 यदि $u= \sin ^{-1} ( \frac{2 x}{1+x^{2}})$ और $v=\tan ^{-1} (\frac{2 x}{1-x^{2}})$ हैं, तो $\frac{d u}{d v}$ क्या होगा

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $x$

(C) $\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

(D) 1

समाधान (ऐ) सही उत्तर है।

उदाहरण 34 $f(x)=e^{x} \sin x$ के लिए Rolle’s के सिद्धांत में $c$ की मूल्य

(A) $\frac{\pi}{6}$

(B) $\frac{\pi}{4}$

(C) $\frac{\pi}{2}$

अनुवाद:

(D) $\frac{3 \pi}{4}$ का ही संस्करण क्या है

समाधान (D) सही उत्तर है।

उदाहरण 35 $f(x)=x(x-2)$ के लिए औसत मूल्य के लिए $c$ का मान, $x \in [1,2]$ में

(A) $\frac{3}{2}$

(B) $\frac{2}{3}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{3}{2}$

समाधान (A) सही उत्तर है।

उदाहरण 36 निम्नलिखित मिलान करें

स्तम्भ-1 $\hspace{60 mm}$ स्तम्भ-2

(A) यदि एक फ़ंक्शन $f(x)=$ $ \begin{cases} & \frac{\sin 3 x}{x}, \text{ यदि } x \neq 0 \\ & \frac{k}{2}, \text{ यदि } x=0\end{cases} \hspace{40 mm} (a) |x| $ $ \newline $ x=0 पर निरंतर है, तो k का मान होता है

(B) प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन अलग हो सकता है $\hspace{35 mm}$ (b) सत्य

(C) एक फ़ंक्शन का उदाहरण है जो स्थिरताग्रही है $\hspace{34 mm} $ (c) 6 $ \newline $ हर जगह होता है लेकिन केवल एक बिंदु पर अलग होता है

(D) पहचान फ़ंक्शन यानी $f(x)=x \forall x \in R \newline $ एक स्थिर फ़ंक्शन है $ \hspace{67 mm } $ (d) असत्य

समाधान $A \to c, B \to d, \quad C \to a, D \to b$

प्रत्येक उदाहरण 37 से 41 में खाली स्थान भरें।

उदाहरण 37 जिन स्थानों पर फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{\log |x|}$ अस्थायी होता है, उनकी संख्या है________________

समाधान दिया गया फ़ंक्शन $x=0, \pm 1$ पर अस्थायी है और इसलिए अस्थानुति की संख्या 3 है।

उदाहरण 38 यदि $f(x)=\begin{cases}a x+1 \text{ if } x \geq 1 \\ x+2 \text{ if } x<1\end{cases}$ अनिरंतर है, तो $a$ का मान होना चाहिए __________

समाधान $a=2$

उदाहरण 39 $\log_{10} x$ के अवरोही के अनुप्रवेश का विवरण है_______________

समाधान $(\log _{10} e) \frac{1}{x}$।

उदाहरण 40 यदि $y=\sec ^{-1} \bigg (\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \bigg ) +\sin ^{-1} \bigg (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \bigg )$ हो, तो $\frac{d y}{d x}$ बराबर होता है_____________

समाधान 0।

उदाहरण 41 $\sin x$ का विपरीत मान $cos x$ के अनुप्रवेश का विवरण है______________

समाधान $-\cot x$

उद्घाटन 42 से 46 में क्या कथन सत्य है या असत्य बताएं।

उदाहरण 42 स्थिरता के लिए, $x=a$ पर प्रत्येक $\lim _{x \to a^{+}} f(x)$ और $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ $f(a)$ के बराबर होते हैं।

समाधान सत्य।

उदाहरण 43 $y=|x-1|$ एक स्थिर फ़ंक्शन है।

समाधान सत्य।

उदाहरण 44 एक स्थिर फ़ंक्शन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहां सीमा मौजूद नहीं होती है।

समाधान असत्य।

उदाहरण 45 $ |\sin x|$ हर मान के लिए एक विभिन्न फ़ंक्शन है।

समाधान असत्य।

उदाहरण 46 $\cos |x|$ हर जगह विभिन्न है।

समाधान सत्य।

5.3 अभ्यास

छोटा उत्तर (छ. उ.)

~~ 1. $f(x)=x^{3}+2 x^{2}-1$ की स्थिरता का अध्ययन करें $x=1$ पर।

2 से 10 के उदाहरणों में से किस फ़ंक्शन को संयमी या असंयमी माना जाता है, निर्दिष्ट स्थानों पर:

~~ 2. $f(x)=\begin{cases} 3 x+5, & \text{ यदि } x \geq 2 \\ x^{2}, & \text{ यदि } x<2\end{cases}$, $x=2$ पर

~~ 3. $f(x)=$ $\begin{cases}\frac{1-\cos 2 x}{x^{2}} & \text{ जब } x \neq 0 \\ 5 & \text{ जब } x=0 \end{cases} \quad $, $x=0$ पर

~~

4. f(x)= $\begin{cases}\frac{2 x^{2}-3 x-2}{x-2}, & \text{ अगर } x \neq 2 \\ 5,& \text{ अगर } x=2\end{cases}\quad $ at $x=2$

~~ 5. $f(x)= \begin{cases}\frac{|x-4|}{2(x-4)}, & \text{ अगर } x \neq 4 \\ 0, & \text{ अगर } x = 4 \end{cases} \quad $ at $x=4$

~~ 6. f(x)=$\begin{cases} |x| \cos \frac{1}{x}, & \text{ अगर } x \neq 0 \\ 0, & \text{ अगर } x=0\end{cases}\quad $ at $x=0$

~~ 7. $f(x)=\begin{cases} |x-a| \sin \frac{1}{x-a}, & \text{ अगर } x \neq 0 \\ 0, & \text{ अगर } x=a\end{cases}\quad $ at $x=a$

~~ 8. f(x)=$ \begin{cases}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & \text{ अगर } x \neq 0 ,\\ 0 & \text{ अगर } x=0 \end{cases} \quad $ at $x=0$

~~ 9. $f(x)=\begin{cases} & \frac{x^{2}}{2}, & \text{ अगर } 0 \leq x \leq 1 \\ & 2 x^{2}-3 x+\frac{3}{2}, & \text{ अगर } 1<x \leq 2\end{cases} \quad $ at $x=1$

~~ 10. $f(x)=|x|+|x-1|$ at $x=1$

Find the value of $k$ in each of the Exercises 11 to 14 so that the function $f$ is continuous at the indicated point:

~~ 11. $f(x)=\begin{cases} 3 x-8, & \text{ अगर } x \leq 5 \\ 2 k, & \text{ अगर } x>5\end{cases} $ at $x=5$

~~ 12. f(x)= $ \begin{cases} \frac{2^{x+2}-16}{4^{x}-16}, & \text{ अगर } x \neq 2 \\ k \quad,& \text{ अगर } x=2 \end{cases} \quad $ at x=2

~~ 13. f(x)= $\begin{cases} \frac{\sqrt{1+k x}-\sqrt{1-k x}}{x} & ,\text{ अगर } -1 \leq x<0 \\ \frac{2 x+1}{x-1} & ,\text{ अगर } 0 \leq x<1 \end{cases} \quad $ at x = 0

~~ 14. $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos k x}{x \sin x} & \text{ अगर } x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & \text{,अगर } x=0\end{cases} \quad $ at $x=0$

~~ 15. दिखाएं कि समय के साथ बढ़ाया गया फ़ंक्शन $f$ बाल्कि $x=0$ पर है.

$ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|+2 x^{2}}, & x \neq 0 \\ k \quad, & x=0 \end{cases} $

~~ 16. ऐसे मान चुनें जिससे फ़ंक्शन $f$ को $x=4$ पर सतत हो.

$ f(x)=\begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|}+a & \text{ अगर } x<4 \\ a+b & \text{ अगर } x=4 \\ \frac{x-4}{|x-4|}+b & \text{ अगर } x>4 \end{cases} $

~~ 17. फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{x+2}$ के गुणनखंड $y=f(f(x))$ की अनचाहे चलन की स्थानों को खोजें.

~~ 18. मान $t=\frac{1}{x-1}$ के लिए फ़ंक्शन $f(t)=\frac{1}{t^{2}+t-2}$ कि असत्यान्तरता की सभी स्थान खोजें.

~~ 19. दिखाएं कि फ़ंक्शन $f(x)=|\sin x+\cos x|$ पर $x=\pi$ के प्रतिरोधी है.

रूपांतरित करने का क्षमतापूर्व प्यार करें, जहां $f$ के लिए व्यर्थ है.

~~ 20. $f(x)=\begin{cases} & x[x], \quad \text{ अगर } 0 \leq x<2 \\ & (x-1) x, \text{ अगर } 2 \leq x<3\end{cases} \quad $ पर $x=2$.

~~ 21. $f(x)=\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x} & \text{ अगर } x \neq 0 \\ 0 & \text{, अगर } x=0\end{cases} \quad $ पर $x=0$.

~~ 22. $f(x)=\begin{cases} 1+x & \text{, अगर } x \leq 2 \\ 5-x & \text{, अगर } x>2\end{cases} \quad $ पर $x=2$.

~~ 23. दिखाएं कि $f(x)=|x-5|$ सतत होता है लेकिन $x=5$ पर विभेदी नहीं होता है।

24. यदि एक कार्य $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ का समीकरण $f(x+y)=f(x) f(y)$ को सभी $x, y \in \mathbf{R}$ के लिए सन्तोषपूर्वक पूरा करता है, $f(x) \neq 0$. मान लीजिए कि कार्य $x=0$ पर अविभाज्य है और $f^{\prime}(0)=2$ है। सिद्ध कीजिए कि $f^{\prime}(x)=2 f(x)$।

बचत करें प्रत्येक को $x$ के साथ विभाजित करने के लिए (अभ्यास 25 से 43) :

~~ 25. $2^{\cos ^{2} x}$

~~ 26. $\frac{8^{x}}{x^{8}}$

~~ 27. $\log (x+\sqrt{x^{2}+a})$

~~ 28. $\log [\log (\log x^{5})]$

~~ 29. $\sin \sqrt{x}+\cos ^{2} \sqrt{x}$

~~ 30. $\sin ^{n}(a x^{2}+b x+c)$

~~ 31. $\cos (\tan \sqrt{x+1})$

~~ 32. $\sin x^{2}+\sin ^{2} x+\sin ^{2}(x^{2})$

~~ 33. $\sin ^{-1} (\frac{1}{\sqrt{x+1}})$

~~ 34. $(\sin x)^{\cos x}$

~~ 35. $\sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x$

~~ 36. $(x+1)^{2}(x+2)^{3}(x+3)^{4}$

~~ 37. $\cos ^{-1} ( \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}), \frac{- \pi}{4}<x<\frac{\pi}{4} \quad$

~~ 38. $\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}},-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}$

~~ 39. $\tan ^{-1}(\sec x+\tan x),-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$

~~ 40. $\tan ^{-1} \frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x},-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ and $\frac{a}{b} \tan x>-1$

~~ 41. $\sec ^{-1} \frac{1}{4 x^{3}-3 x}, 0<x<\frac{1}{\sqrt{2}} \quad$

~~ 42. $\tan ^{-1} \frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}<\frac{x}{a}<\frac{1}{\sqrt{3}}$

~~ 43. $\tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}},-1<x \triangleleft, x \neq 0$

प्रत्येक व्यक्ति द्वारा प्रकाशित फ़ंक्शन की $\frac{d y}{d x}$ खोजें जब पैरामीट्रिक रूप में दिया जाता है अभ्यासों 44 से 48 तक।

~~ 44. $x=t+\frac{1}{t}, y=t-\frac{1}{t}$

~~ 45. $x=e^{\theta} ( \theta+\frac{1}{\theta}) , y=e^{-\theta} ( \theta-\frac{1}{\theta}) $

~~ 46. $x=3 \cos \theta-2 \cos ^{3} \theta, y=3 \sin \theta-2 \sin ^{3} \theta$.

~~ 47. $\sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}}, \quad \tan y=\frac{2 t}{1-t^{2}}$.

~~ 48. $x=\frac{1+\log t}{t^{2}}, \quad y=\frac{3+2 \log t}{t}$.

~~ 49. यदि $x=e^{\cos 2 t}$ और $y=e^{\sin 2 t}$, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d y}{d x}=\frac{-y \log x}{x \log y}$।

~~ 50. यदि $x=a \sin 2 t(1+\cos 2 t)$ और $y=b \cos 2 t(1-\cos 2 t)$ है, तो दिखाएं कि $ (\frac{d y}{d x})_{\text{ at } t=\frac{\pi}{4}} = \frac{b}{a} $

~~ 51. यदि $x=3 \sin t-\sin 3 t, y=3 \cos t-\cos 3 t$ है, तो निकालें $\frac{d y}{d x}$ at $t=\frac{\pi}{3}$।

~~ 52. $\frac{x}{\sin x}$ को $\sin x$ के साथ विभाजित करें।

~~ 53. $\tan ^{-1} ( \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} ) $ को $\tan ^{-1} x$ के साथ विभाजित करें जब $x \neq 0$।

प्रत्येक मामले में $\frac{d y}{d x}$ ढूंढ़ें जब $x$ और $y$ को संबंध द्वारा जोड़ते हैं जो निम्नलिखित मामलों में दिया गया है, 54 से 57 तक।

~~ 54. $\quad \sin (x y)+\frac{x}{y}=x^{2}-y$

~~ 55. $\quad \sec (x+y)=x y$

~~ 56. $\tan ^{-1}(x^{2}+y^{2})=a$

~~ 57. $(x^{2}+y^{2})^{2}=x y$

~~ 58. यदि $a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ है, तो इसका सिद्धांत करें $\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d y}=1$।

~~

59. यदि $x=e^{\frac{x}{y}}$, तो सिद्ध करें कि $\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x \log x}$.

~~ 60. यदि $y^{x}=e^{y-x}$, तो सिद्ध करें कि $\frac{d y}{d x}=\frac{(1+\log y)^{2}}{\log y}$.

~~ 61. यदि $y=(\cos x)^{(\cos x)^{(\cos x) \ldots \infty}}$, तो दिखाएं कि $\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2} \tan x}{y \log \cos x-1}$.

~~ 62. यदि $x \sin (a+y)+\sin a \cos (a+y)=0$, तो सिद्ध करें कि $\frac{d y}{d x}=\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}$.

~~ 63. यदि $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=a(x-y)$, तो सिद्ध करें कि $\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}$.

~~ 64. यदि $y=\tan ^{-1} x$, तो $y$ के एकलोन में लिखें $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$।

हर एक्सरसाइज़ में दिए गए फ़ंक्शनों के लिए Rolle’s प्रमेय की पुष्टि करें।

~~ 65. $f(x)=x(x-1)^{2}$, $[0,1]$ में।

~~ 66. $f(x)=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$, $ [0, \frac{\pi}{2} ] $ में।

~~ 67. $f(x)=\log (x^{2}+2)-\log 3$, $[-1,1]$ में।

~~ 68. $f(x)=x(x+3) e^{-x / 2}$, $[-3,0]$ में।

~~ 69. $f(x)=\sqrt{4-x^{2}}$, $[-2,2]$ में।

~~ 70. दिए गए फ़ंक्शन के लिए Rolle’s प्रमेय की उपयोगिता पर चर्चा करें $ f(x)=\begin{cases} & x^{2}+1, \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\ & 3-x, \text{ if } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} . $

~~ 71. $y=(\cos x-1)$, $[0,2 \pi]$ में, ऐसे बिंदुओं को ढूंढें जहां संदर्भ रेखा $x$-axis के समानांतर है।

~~ 72. Rolle’s प्रमेय का उपयोग करके, $y=x(x-4), x \in[0,4]$ में, ऐसे बिंदु ढूंढें जहां सम्मिलित रेखा $x$-axis के समानांतर है।

हर एक्सरसाइज़ में दिए गए फ़ंक्शनों के लिए मानक मान प्रमेय की पुष्टि करें।

~~ 73. $f(x)=\frac{1}{4 x-1}$, $[1,4]$ में।

~~ 74. $f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+3$, $[0,1]$ में।

~~ 75. $f(x)=\sin x-\sin 2 x$, $[0, \pi]$ में।

~~ 76. $f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$, $[1,5]$ में।

~~ 77. $y=(x-3)^{2}$ के रेखा पर ऐसे बिंदु ढूंढें जहां संरेख होने वाली रेखा $(3,0)$ और $(4,1)$ को समानांतर है।

~~ 78. मानक मान प्रमेय का उपयोग करके, सिद्ध करें कि अमर रेखा $y=2 x^{2}-5 x+3$ के बीच बिंदु $A(1,0)$ और $B(2,1)$ पर संरेख रेखा $AB$ के समानांतर है। इसके अलावा, उस बिंदु को भी ढूंढें।

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ 79. $p$ और $q$ के मान ढूंढें, ताकि

$ f(x)=\begin{cases} & x^{2}+3 x+p, & \text{ if } x \leq 1 \\ & q x+2 \quad & \text{, if } x>1 \end{cases} $

को $x=1$ पर अद्वितीय बनाया जा सके।

~~ 80. यदि $x^{m} \cdot y^{n}=(x+y)^{m+n}$, तो सिद्ध करें कि

(i) $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}$ और

(ii) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$।

~~ 81. यदि $x=\sin t$ और $y=\sin p t$, तो सिद्ध करें कि $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+p^{2} y=0$।

~~ 82. यदि $y=x^{\tan x}+\sqrt{\frac{x^{2}+1}{2}}$, तो $\frac{d y}{d x}$ ढूंढें।

उद्दीपक प्रकार के प्रश्न

हर एक्सरसाइज़ में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन करें एक्सरसाइज़ 83 से 96 तक।

~~ 83. यदि $f(x)=2 x$ और $g(x)=\frac{x^{2}}{2}+1$, तो कौन सा विकल्प एक विचलित फ़ंक्शन हो सकता है

(A) $f(x)+g(x)$

(B) $f(x)-g(x)$

(C) $f(x) \cdot g(x)$

(D) $\frac{g(x)}{f(x)}$

~~ 84. फ़ंक्शन $f(x)=\frac{4-x^{2}}{4 x-x^{3}}$ होता है

(A) केवल एक बिंदु पर असत्यावधानी

(B) ठीक दो बिंदुओं पर असत्यावधानी

(C) ठीक तीन बिंदुओं पर असत्यावधानी

(D) इनमें से कोई नहीं

85. वह समूह बिंदु जहां फ़ंक्शन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=|2 x-1| \sin x$ पृथक्तन की जा सकती है

(A) $\mathbf{R}$

(B) $\mathbf{R}- \lbrace \frac{1}{2} \rbrace $

(C) $(0, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

86. वह फ़ंक्शन $f(x)=\cot x$ जहां में असत्यावधानी होती है

(A) {$ x=n \pi: n \in \mathbf{Z} $}

(B) {$ x=2 n \pi: n \in \mathbf{Z} $}

(C) $ \lbrace x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ; n \in \mathbf{Z} \rbrace $

(iv) $ \lbrace x=\frac{n \pi}{2} ; n \in \mathbf{Z} \rbrace $

87. फ़ंक्शन $f(x)=e^{|x|}$ होती है

(A) हर जगह सतत है, लेकिन $x=0$ पर विभिन्न अविलंबी है

(B) हर जगह सतत और विभिन्नयोग्य है

(C) $x=0$ पर सतत नहीं है

(D) इनमें से कोई नहीं।

88. यदि $f(x)=x^{2} \sin \frac{1}{x}$, जहां $x \neq 0$, फिर फ़ंक्शन $f$ की मान $x=0$ पर, ताकि फ़ंक्शन $x=0$ पर सतत हो, होता है

(A) 0

(B) -1

(C) 1

(D) इनमें से कोई नहीं।

89. यदि $f(x)= \begin{cases}m x+1 \text{, if } x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin x+n \text{, if } x>\frac{\pi}{2}\end{cases} \quad $, $x=\frac{\pi}{2}$ में सतत है, तब

(A) $m=1, n=0$

(B) $m=\frac{n \pi}{2}+1$

(C) $n=\frac{m \pi}{2}$

(D) $m=n=\frac{\pi}{2}$

90. लेट $f(x)=|\sin x|$। तब

(A) $f$ हर जगह विभिन्नयोग्य है

(B) $f$ हर जगह सतत है, लेकिन $x=n \pi, n \in \mathbf{Z}$ पर अविभिन्नयोग्य है।

(C) $f$ हर जगह सतत है, लेकिन $x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, $n \in \mathbf{Z}$ पर अविभिन्नयोग्य है।

(D) इनमें से कोई नहीं।

91. यदि $y=\log ( \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} ) $, तो $\frac{d y}{d x}$ बराबर होता है

(A) $\frac{4 x^{3}}{1-x^{4}}$

(B) $\frac{-4 x}{1-x^{4}}$

(C) $\frac{1}{4-x^{4}}$

(D) $\frac{-4 x^{3}}{1-x^{4}}$

92.यदि $y=\sqrt{\sin x+y}$, तो $\frac{d y}{d x}$ बराबर होता है

(A) $\frac{\cos x}{2 y-1}$

(B) $\frac{\cos x}{1-2 y}$

(C) $\frac{\sin x}{1-2 y}$

(D) $\frac{\sin x}{2 y-1}$

93. यदि $\cos ^{-1}(2 x^{2}-1)$ की परिवर्ती $\cos ^{-1} x$ के साथ अवकलन है

(A) 2

(B) $\frac{-1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$

(C) $\frac{2}{x}$

(D) $1-x^{2}$

94. यदि $x=t^{2}, y=t^{3}$, तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ बराबर होता है

(A) $\frac{3}{2}$

(B) $\frac{3}{4 t}$

(C) $\frac{3}{2 t}$

(D) $\frac{3}{4}$

95. फ़ंक्शन $f(x)=x^{3}-3 x$ के लिए Rolle’s theorem में सी की मान $[0, \sqrt{3}]$ के अवधान में

(A) 1

(B) -1

(C) $\frac{3}{2}$

(D) $\frac{1}{3}$

96. फ़ंक्शन $f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[1,3]$ के लिए सांचित मूल्य सिद्धांत के लिए सी का मान

(A) 1

(B) $\sqrt{3}$

(C) 2

(D) इनमें से कोई नहीं

प्रत्येक अभ्यास 97 से 101 तक को खाली स्थानों में भरें:

97. एक ऐसे फ़ंक्शन का उदाहरण जो हर जगह सतत है, लेकिन ठीक दो बिंदुओं पर असत्यावधान होता है________________

98. $\frac{d(x^{2})}{d(x^{3})}$ बराबर होता है________________

99. यदि $f(x)=|\cos x|$, तो $f^{\prime} (\frac{\pi}{4})=$________________

~

कंटेंट का हिंदी संस्करण: 100 . यदि $f(x)=|\cos x-\sin x|$ हो, तो $f^{\prime} (\frac{\pi}{3})=$____________

~~ 101. रेखा $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ के लिए, दिया गया है $\frac{d y}{d x}$, $ (\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ पर ____________

उद्योगों 102 से 106 में प्रत्येक कथन के लिए सच या गलत दर्शाएं.

~~ 102. फलन $f(x)=|x-1|$ के लिए रोल के सिद्धांत को $[0,2]$ में लागू किया जा सकता है।

~~ 103. यदि फ अपने डोमेन $D$ पर निरंतर है, तो $|f|$ भी $D$ पर निरंतर है।

~~ 104. दो निरंतर फलन का संयोजन एक निरंतर फलन है।

~~ 105. त्रिकोणमितीय और प्रतिष्ठानीय त्रिकोणमितीय फलन अपने संबंधित डोमेन में अविभाज्य हैं।

~~ 106. यदि $f . g$ $x=a$ पर निरंतर है, तो $f$ और $g$ $x=a$ पर अलग-अलग निरंतर हैं।

समाधान

~~ 1. $x=1$ पर निरंतर

~~ 2. असंगत

~~ 3. असंगत

~~ 4. निरंतर

~~ 5. असंगत

~~ 6. निरंतर

~~ 7. निरंतर

~~ 8. असंगत

~~ 9. निरंतर

~~ 10. निरंतर

~~ 11. $k=\frac{7}{2}$

~~ 12. $k=\frac{1}{2}$

~~ 13. $k=-1$

~~ 14. $k= \pm 1$

~~ 16. $a=1, b=-1$

~~ 17. $x=-2$ और $x=\frac{-5}{2}$ पर असंगत

~~ 18. $x=1, \frac{1}{2}$ और 2 पर असंगत

~~ 20. $x=2$ पर अविभाज्य

~~ 21. $x=0$ पर अलग-अलग निरंतर

~~ 22. $x=2$ पर अविभाज्य

~~ 25. $-(\log 2) \cdot \sin 2 x \cdot 2^{\cos ^{2} x}$

~~ 26. $\frac{8^{x}}{x^{8}} \Big[\log 8-\frac{8}{x}\Big]$

~~ 27. $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a}}$

~~ 28. $\frac{5}{x \log (x^{5}) \log (\log x^{5})}$

~~ 29. $\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}-\frac{\sin 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$

~~ 30. $n(2 a x+b) \sin ^{n-1}(a x^{2}+b x+c) \cos (a x^{2}+b x+c)$

~~ 31. $\frac{-1}{2 \sqrt{x+1}} \sin \Big(\tan \sqrt{x+1}\Big) \sec ^{2} \Big(\sqrt{x+1}\Big)$

~~ 32. $2 x \cos (x)^{2}+2 x \sin (2 x^{2})+\sin 2 x$

~~ 33. $\frac{-1}{2 \sqrt{x}(x+1)}$

~~ 34. $(\sin x)^{\cos x} \Big[\frac{\cos ^{2} x}{\sin x}-\sin x \cdot \log \sin x\Big]$

~~ 35. $\sin ^{m x} x \cos ^{n} x(-n \tan x+m \cot x)$

~~ 36. $(x+1)(x+2)^{2}(x+3)^{3} \big[9 x^{2}+34 x+29\big]$

~~ 37. -1

~~ 38. $\frac{1}{2}$

~~ 39. $\frac{1}{2}$

~~ 40. -1

~~ 41. $\frac{-3}{\sqrt{1-x^{2}}}$

~~ 42. $\frac{3 a}{a^{2}+x^{2}}$

~~ 43. $\frac{-x}{\sqrt{1-x^{4}}}$

~~ 44. $\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}$

~~ 45. $e^{-2 \theta} \Big(\frac{-\theta^{3}+\theta^{2}+\theta+1}{\theta^{3}+\theta^{2}+\theta-1}\Big)$

~~ 46. $\cot \theta$

~~ 47. 1

~~ 48. t

~~ 51. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

~~ 52. $\frac{\tan x-x}{\sin ^{2} x}$

~~ 53. $\frac{1}{2}$

~~ 54. $\frac{2 x y^{2}-y^{3} \cos (x y)-y}{x y^{2} \cos (x y)-x+y^{2}}$

~~ 55. $\frac{y-\sec (x+y) \tan (x+y)}{\sec (x+y) \tan (x+y)-x}$

~~ 56. $\frac{-x}{y}$

~~ 57. $\frac{y-4 x^{3}-4 x y^{2}}{4 y x^{2}+4 y^{3}-x}$

~~ 64. $-2 \sin y \cos ^{3} y$

~~

हे परिणाम: 70. $ f $ क्षेत्रफल $ x = 1 $ पर अवकेशीय नहीं है

~~ 71. $(\pi,-2)$

~~ 72. $(2,-4)$

~~ 77. $ \begin{pmatrix}\frac{7}{2}, & \frac{1}{4} \end{pmatrix} $

~~ 78. $ \big(\frac{3}{2}, 0\big) $

~~ 79. $ p=3, q=5 $

~~ 82. $ x^{\tan x} \Big(\sec ^{2} x \log x+\frac{\tan x}{x}\Big)+\frac{x}{\sqrt{2} \sqrt{x^{2}+1}} $

~~ 83. D

~~ 84. C

~~ 85. B

~~ 86. A

~~ 87. A

~~ 88. A

~~ 89. C

~~ 90. B

~~ 91. B

~~ 92. A

~~ 93. A

~~ 94. B

~~ 95. A

~~ 96. B

~~ 97. $ |x|+|x-1| $

~~ 98. $ \frac{2}{3 x} $

~~ 99. $ \frac{-1}{\sqrt{2}} $

~~ 100. $ \Big(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\Big) $

~~ 101. -1

~~ 102. गलत

~~ 103. सही

~~ 104. सही

~~ 105. सही

~~ 106. गलत