अध्याय 8

युग्मितों का उपयोग

~~ 8.1 सारांश

इस अध्याय में, युग्मितों के नीचे के क्षेत्र, रेखाओं और वृत्ताकारों, पारवर्तिकों और अंडकारों के बीचे का क्षेत्र, और उपरोक्त युग्मितों द्वारा सीमित क्षेत्र को ढूंढने के लिए युग्मितों के एक विशेष अनुप्रयोग के साथ में व्यवस्थित किया गया है।

~~ 8.1.1 वर्तमान $y=f(x), x$-axis और रेखाओं $x=a$ और $x=b(b>a)$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रमिति फार्मूला द्वारा दिया जाता है:

$ \text{ क्षेत्रमिति }=\int_a^{b} y d x \ = \ \int_a^{b} f(x) d x $

~~ 8.1.2 वर्तमान $x=\phi(y), y$-axis और रेखाओं $y=c, \ y=d$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रमिति फार्मूला द्वारा दिया जाता है:

$ \text{ क्षेत्रमिति }=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y $

~~ 8.1.3 दो युग्मितों $y=f(x), y=g(x)$ और रेखाओं $x=a, x=b$ के बीचे बंद क्षेत्र का क्षेत्रमिति फार्मूला द्वारा दिया जाता है।

$ \text{ क्षेत्रमिति }=\int_a^{b}[f(x)-g(x)] d x \text{, जहाँ } f(x) \geq g(x) \text{ है }[a, b] \text{ में} $

~~ 8.1.4 यदि $f(x) \geq g(x)$ है $[a, c]$ में और $f(x) \leq g(x)$ है $[c, b]$ में, $a<c<b$, तो

क्षेत्रमिति $=\int_a^{c}[f(x)-g(x)] d x+\int_c^{b}(g(x)-f(x)) d x$

8.2 हल किए गए उदाहरण

लघु उत्तर (S.A.)

~~ उदाहरण 1 0 और $\pi$ के बीच में चाप के क्षेत्रमिति $y=\sin x$ ढूंढें।

समाधान हमें है

$ \begin{aligned} \text{ क्षेत्रमिति } OAB & =\int_0^{\pi} y d x=\int_0^{\pi} \sin x d x=|-\cos x|_0^{\pi} \\ & =\cos 0-\cos \pi=2 \text{ वर्ग इकाइयाँ। } \end{aligned} $

चित्र 8.1

~~ उदाहरण 2 $a y^{2}=x^{3}$ वृत्त $y=अ$ और $y=2 अ$ के बीच सीमित क्षेत्र की क्षेत्रमिति ढूंढें।

समाधान हमें है

$ \begin{aligned} \text{ क्षेत्रमिति BMNC }=\int_a^{2 अ} x d y & =\int_a^{2 अ} अ^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} d y \\ & =\frac{3 अ^{\frac{1}{3}}}{5}\big|y^{\frac{5}{3}}\big|_a^{2 अ} \\ & =\frac{3 अ^{\frac{1}{3}}}{5}\big|(2 अ)^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{5}{3}}\big| \\ & =\frac{3}{5} अ^{\frac{1}{3}} अ^{\frac{5}{3}}\big|(2)^{\frac{5}{3}}-1\big| \\ & =\frac{3}{5} अ^{2}\big|2.2^{\frac{2}{3}}-1\big| \text{ वर्ग इकाइयाँ। } \end{aligned} $

चित्र 8.2

~~ उदाहरण 3 $y^2 = 2x $ पारवत रेखा $x-y = 4$ द्वारा सीमित क्षेत्र की क्षेत्रमिति ढूंढें।

समाधान दिए गए युग्मितों के कट बिंदु निम्नलिखित समीकरणों को हल करके प्राप्त किए जाते हैं

चित्र 8.3

$x-y=4$ और $y^{2}=2 x$ के लिए $x$ और $y$ के लिए।

हमें $y^{2}=8+2 y$ है यानी, $(y-4)(y+2)=0$

जो $y=4,-2$ और

$x=8,2$ देता है।

इसलिए, औपचारिकता $=\int _{-2}^{4} \big(4+y-\frac{1}{2} y^{2}\big) d y$

$=\Big|4 y+\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{6} y^{3}\Big| _{-2}^{4}=18$ वर्ग इकाइयाँ।

~~

कंटेंट का hi संस्करण क्या है: उदाहरण 4 परेबोलाओं $y^{2}=6 x$ और $x^{2}=6 y$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्र ढूंढें।

चित्र 8.4

समाधान दिए गए परेबोलाओं के कटवांचन बाइंड करने वाले बिंदु इन मसलों के लिए प्राप्त किए जाते हैं जैसे $x$ और $y$ के लिए ये हैं $0(0,0)$ और $(6,6)$। इसलिए

क्षेत्र $OABC \ =\int_0^{6} \big(\sqrt{6 x}-\frac{x^{2}}{6}\big)d x=\bigg|2 \sqrt{6} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{3}}{18}\bigg|_0^{6}$

$=2 \sqrt{6} \frac{(6)^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{(6)^{3}}{18}=12$ वर्गीय इकाइयों।

~~ उदाहरण 5 लकीर द्वारा घेरी गई क्षेत्र का क्षेत्र ढूंढें $x=3 कास्ट, y=2 साइन t$।

समाधान निम्नलिखित रूप में $t$ को बाहर निकालते हैं:

चित्र 8.5

$ x = 3 कास्ट, y = 2 साइन t \Rightarrow \frac{x}{3}=कास्ट टी$,

$ \frac{y}{2}= साइन t $ हम प्राप्त करते हैं

$ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 $,

जो एक अंडाकार का समीकरण है। चित्र 8.5 देखने से हम प्राप्त करते हैं

आवश्यक क्षेत्र $=4 \int_0^{3} \frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} d x$

$= \frac{8}{3} \big[ \frac{x}{2} \sqrt{9-x^{2}}+ \frac{9}{2} साइन ^{-1} \frac{x}{3}\big]_0^3 = 6 \pi $ वर्गीय इकाइयों।

लंबे उत्तर (L.A.)

~~ उदाहरण 6 परेबोला $y=\frac{3 x^{2}}{4}$ और रेखा $3 x-2 y+12=0$ के बीच सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्र ढूंढें।

समाधान दिए गए गुणों के समीकरण $y=\frac{3 x^{2}}{4}$ और $3 x-2 y+12=0$ के समाधान को प्राप्त किया जाता है,

हम प्राप्त करते हैं

$3 x^{2}-6 x-24=0 \quad \Rightarrow \quad(x-4)(x+2)=0$

$\Rightarrow x=4, x=-2$ जो $y=12, y=3$ देता है

चित्र 8.6 से, आवश्यक क्षेत्र $=$ क्षेत्र ABC का क्षेत्र

$= \int _{-2}^{4} \big(\frac{12+3 x}{2}\big) d x- \int _{-2}^{4} \frac{3 x^{2}}{4} d x$

$= \big[ 6 x+\frac{3 x^{2}}{4}\big]{-2}^{4}-\big|\frac{3 x^{3}}{12}\big|{-2}^{4}=27$ वर्गीय इकाइयों।

~~ उदाहरण 7 लकीरों $x=a t^{2}$ और $y=2 a t$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्र ढूंढें जो $t=1$ और $t=2$ के समान अंक परिपथ के बीच है।

चित्र 8.6

समाधान दिया गया है कि $x=a t^{2} \quad \ldots(i)$,

$y=2 a t \ldots$ (ii) $\Rightarrow t=\frac{y}{2 a}$ (i) में $t$ की मान्यता रखने से प्राप्त किया जाता है $y^{2}=4 a x$ $t=1$ और $t=2$ में (i) में $x=a$ और $x=4 a$

आवश्यक क्षेत्र $=2$ क्षेत्र $ABCD=$

$2 \int_a^{4 a} y d x=2 \times 2 \int_a^{4 a} \sqrt{a x} d x$

$=8 \sqrt{a}\big|\frac{(x)^{\frac{3}{2}}}{3}\big|_a^{4 a}=\frac{56}{3} a^{2}$ वर्गीय इकाइयों।

चित्र 8.7

~~ उदाहरण 8 $x$-अक्ष के ऊपर क्षेत्र का क्षेत्र ढूंढें, जिसमें परेबोला $y^{2}=a x$ और वृत्ताकार $x^{2}+y^{2}=2 a x$ शामिल है।

समाधान दिए गए समीकरणों का समाधान करने से हमें मिलता है

$ x^{2}+a x=2 a x$

जो र or $x=0, x=a$, जो प्रदान करते हैं

$y=0 . \quad \quad y= \pm a$

चित्र 8.8 क्षेत्र $ODAB=$ से

$\int_0^{a}\big(\sqrt{2 a x-x^{2}}-\sqrt{a x}\big) d x$

$x=2 a \sin ^{2} \theta$ रखें। तो $d x=4 a$ $\sin \theta \cos \theta d \theta$ और

$x=0, \Rightarrow \theta=0, x=a \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$।

फिर से, $\int_0^{a} \sqrt{2 a x–x^{2}} d x$

चित्र 8.8

$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(2 a \sin \theta \cos \theta)(4 a \sin \theta \cos \theta) d \theta$

$=a^{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos 4 \theta) d \theta=a^{2} \big(\theta-\frac{\sin 4 \theta}{4}\big)_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4} a^{2}$।

इसके आगे,

$ इंट_0^{a} \ sqrt{a x} d x=\ sqrt{a} \ अनुपात \frac{2} {3} \ Big(x ^ {\frac{3}{2}} \Big) _0 ^ {a} =\frac{2} {3} a^{2} $

इसलिए अपेक्षित क्षेत्र $=\frac{\pi}{4} a^{2}-\frac{2}{3} a^{2}=a^{2} \quad \big(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\big)$ वर्गिय इकाइयों।

~~ उदाहरण 9 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ वाले वृत्त के छोटे क्षेत्र का क्षेत्र निकालें जो रेखा $x=\frac{a}{2}$ द्वारा काटा जाता है।

समाधान समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ और $x=\frac{a}{2}$ का समाधान करके हमें उनके परस्परित्यागी बिंदु मिलते हैं जो $\Big(\frac{a}{2}, \sqrt{3} \frac{a}{2}\Big)$ और $\Big(\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3} a}{2}\Big)$ हैं।

इसलिए, चित्र 8.9 से, हम यह प्राप्त करते हैं

चित्र 8.9

आवश्यक क्षेत्र $=2$ क्षेत्र $OAB=2 \int _{\frac{a}{2}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$

$=2 \Big[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\Big]_{\frac{a}{2}}^{a}$

$=2 \Big[\frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{a}{4} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{6}\Big]$

$=\frac{a^{2}}{12}\big(6 \pi-3 \sqrt{3}-2 \pi \big)$

$=\frac{a^{2}}{12}\big(4 \pi-3 \sqrt{3}\big)$ वर्गिय इकाइयाँ।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न

उदाहरण 10 से उदाहरण 12 तक में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ उदाहरण 10 मेंदियाप्त का क्षेत्र $x^{2}+y^{2}=2$ से बराबर है

(A) $4 \pi$ वर्गिय इकाइयाँ

(B) $2 \sqrt{2} \pi$ वर्गिय इकाइयाँ

(C) $4 \pi^{2}$ वर्गिय इकाइयाँ

(D) $2 \pi$ वर्गिय इकाइयाँ

समाधान सही जवाब है (डी); क्योंकि क्षेत्र $=4 \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^{2}}$

$ =4 \big(\frac{x}{2} \sqrt{2-x^{2}}+\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}\big)_0^{\sqrt{2}}=2 \pi \text{ वर्गिय इकाइयाँ। } $

उदाहरण 11 उपवृत्ति $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ द्वारा कवृत क्षेत्र $=\pi a b$ होता है

(A) $\pi^{2} a b$ वर्गिय इकाइयाँ

(B) $\pi a b$ वर्गिय इकाइयाँ

(C) $\pi a^{2} b$ वर्गिय इकाइयाँ

(D) $\pi a b^{2}$ वर्गिय इकाइयाँ

समाधान सही जवाब है (बी); क्योंकि क्षेत्र $=4 \int_0^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$

$ =\frac{4 b}{a} \Big[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\Big]_0^{a}=\pi a b . $

उदाहरण 12 त्रिकोणीय वक्र $y=x^{2}$ और रेखा $y=16$ द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्र

(A) $\frac{32}{3}$ ।

(B) $\frac{256}{3}$

(C) $\frac{64}{3}$

(D) $\frac{128}{3}$

विषय: समाधान सही उत्तर है (B); क्योंकि क्षेत्र $=2 \int_0^{16} \sqrt{y} , d y$

प्रत्येक उदाहरण 13 और 14 में खाली जगह भरें।

~~ उदाहरण 13 $x=y^{2}, y$-प्रतिच्छेदक और $y=3$ और $y=4$ रेखा द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल____________

समाधान $\frac{37}{3}$ वर्ग इकाई

~~ उदाहरण 14 $y=x^{2}+x, x$-प्रतिच्छेदक और $x=2$ और $x=5$ रेखा द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल समान है________________.

समाधान $\frac{297}{6}$ वर्ग इकाई

8.3 प्रश्नोत्तरी

संक्षेप उत्तर (S.A.)

~~ 1. $y^{2}=9 x, y=3 x$ के मर्गशीर्षों द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 2. $y^{2}=2 p x, x^{2}=2 p y$ के मर्गशीर्षों द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 3. $y=x^{3}$ और $y=x+6$ और $x=0$ द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 4. $y^{2}=4 x, x^{2}=4 y$ के मर्गशीर्षों द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 5. $y^{2}=9 x$ और $y=x$ के बीच सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 6. पराबोला $x^{2}=y$ और रेखा $y=x+2$ द्वारा मचाया गया क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 7. रेखा $x=2$ और पराबोला $y^{2}=8 x$ द्वारा बीचबचाया गया क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 8. क्षेत्र $\lbrace (x, 0): y=\sqrt{4-x^{2}} \rbrace$ और $x$-प्रतिच्छेदक का स्केच बनाएं। संधि का क्षेत्र ढूंढें और निर्धारण का उपयोग करके क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 9. वक्री $y=2 \sqrt{x}$ तले द्वारा खपत की सीमा $x=0$ और $x=1$ के बीच ढूंढें।

~~ 10. बीचबचाया गया क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें जो रेखा $2 y=5 x+7, x$ प्रतिच्छेदक और रेखाओं $x=2$ और $x=8$ द्वारा मर्गित है।

~~ 11. अंतराल $[1,5]$ में तांबल वक्री $y=\sqrt{x-1}$ का एक अशोधित स्केच बनाएं। केवल निर्धारित और $x=1$ और $x=5$ द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 12. रेखाओं $x$ $=0$ और $x=a$ के बीच बने क्षेत्र के तले $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 13. $y=\sqrt{x}$ और $y=x$ के बीच सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 14. वक्र $y=-x^{2}$ और सीधी रेखा $x+y+2=0$ द्वारा मोचित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 15. प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y=\sqrt{x}, x=2 y+3$ और $x$-प्रतिच्छेदक द्वारा मर्गित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

लंबा उत्तर (L.A.)

~~ 16. $y^{2}=2 x$ और $x^{2}+y^{2}=4 x$ द्वारा मोड़े गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 17. $y=\sin x$ द्वारा मर्गित $x=0$ और $x=2 \pi$ के बीच क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 18. ढाल-प्रविष्टि $(-1,1),(0$, $5)$ और $( 3,2 )$ द्वारा मोड़े गए त्रिकोण के द्वारा बने क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें, ढांचट प्रक्रिया का उपयोग करके।

~~ 19. रेखा $y^{2} \leq 6 a x.$ और $.x^{2}+y^{2} \leq 16 a^{2}$ में बने क्षेत्र का एक अशोधित स्केच बनाएं। ढांचट प्रक्रिया का उपयोग करके बनाए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 20. रेखाओं $x+2 y=2, y-x=1$ और $2 x+y=7$ द्वारा मोचित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 21. रेखाओं $y=4 x+5, y=5-x$ और $4 y=x+5$ द्वारा मोचित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 22. वक्र $y=2 \cos x$ और $x$-प्रतिच्छेदक के बीच $x=0$ से $x=2 \pi$ तक क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।

~~ 23. दिए गए वक्र $y=1+|x+1|, x=-3, x=3, y=0$ का एक अशोधित स्केच बनाएं और उनके द्वारा मोचित क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें, ढांचट प्रक्रिया का उपयोग करके।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

प्रश्न 24 से 34 तक के हर अभ्यास में

~~ 24. $y$-अक्ष, $y=\cos x$ और $y=\sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $\sqrt{2}$ वर्ग इकाई

(B) $(\sqrt{2}+1)$ वर्ग इकाई

(C) $(\sqrt{2}-1)$ वर्ग इकाई

(D) $(2 \sqrt{2}-1)$ वर्ग इकाई

~~ 25. क्रॉस पर घिरी इंशुलिखित रेखा $x^{2}=4 y$ और सीधी रेखा $x=4 y-2$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $\frac{3}{8}$ वर्ग इकाई

(B) $\frac{5}{8}$ वर्ग इकाई

(C) $\frac{7}{8}$ वर्ग इकाई

(D) $\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई

~~ 26. क्रॉस पर घिरी इंशुलिखित रेखा $y=\sqrt{16-x^{2}}$ और $x$-अक्ष का क्षेत्रफल है

(A) 8 वर्ग इकाई

(B) $20 \pi$ वर्ग इकाई

(C) $16 \pi$ वर्ग इकाई

(D) $256 \pi$ वर्ग इकाई

~~ 27. द्विक्षेत्री $x$-अक्ष, रेखा $y=x$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=32$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $16 \pi$ वर्ग इकाई

(B) $4 \pi$ वर्ग इकाई

(C) $32 \pi$ वर्ग इकाई

(D) 24 वर्ग इकाई

~~ 28. इंशुलिखित रेखा $y=\cos x$ के बीच कितनी क्षेत्र फल होगी जिसके सीमा $x=0$ से $x=\pi$ होती है

(A) 2 वर्ग इकाई

(B) 4 वर्ग इकाई

(C) 3 वर्ग इकाई

(D) 1 वर्ग इकाई

~~ 29. पराबोला $y^{2}=x$ और सीधी रेखा $2 y=x$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई

(B) 1 वर्ग इकाई

(C) $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई

(D) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई

~~ 30. इंशुलिखित रेखा $y=\sin x$ के बीच कितनी क्षेत्रफल होगी जिसके सीमा $x=0, x=\frac{\pi}{2}$ और $x$-अक्ष होती है

(A) 2 वर्ग इकाई

(B) 4 वर्ग इकाई

(C) 3 वर्ग इकाई

(D) 1 वर्ग इकाई

~~ 31. बाह्यकक्ष $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $20 \pi$ वर्ग इकाई

(C) $16 \pi^{2}$ वर्ग इकाई

(B) $20 \pi^{2}$ वर्ग इकाई

(D) $25 \pi$ वर्ग इकाई

~~ 32. वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $2 \pi$ वर्ग इकाई

(B) $\pi$ वर्ग इकाई

(C) $3 \pi$ वर्ग इकाई

(D) $4 \pi$ वर्ग इकाई

~~ 33. इंशुलिखित रेखा $y=x+1$ और रेखाओं $x=2$ और $x=3$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) $\frac{7}{2}$ वर्ग इकाई

(B) $\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

(C) $\frac{11}{2}$ वर्ग इकाई

(D) $\frac{13}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 34. इंशुलिखित रेखा $x=2 y+3$ और $y$-रेखाओं $y=1$ और $y=-1$ द्वारा घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल है

(A) 4 वर्ग इकाई

(B) $\frac{3}{2}$ वर्ग इकाई

(C) 6 वर्ग इकाई

(D) 8 वर्ग इकाई

समाधान

~~ 1. $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 2. $\frac{4}{3} p^{2}$ वर्ग इकाई

~~ 3. 10 वर्ग इकाई

~~ 4. $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई

~~ 5. $\frac{27}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 6. $\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 7. $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई

~~ 8. $2 \pi$ वर्ग इकाई

~~ 9. $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई

~~ 10. 96 वर्ग इकाई

~~ 11. $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई

~~ 12. $\frac{\pi a^{2}}{4}$ वर्ग इकाई

~~ 13. $\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

~~ 14. $\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 15. 9 वर्ग इकाई

~~ 16. $2 \Big[\pi-\frac{8}{3}\Big]$ वर्ग इकाई

~~ 17. 4 वर्ग इकाई

~~ 18. $\frac{15}{2}$ वर्ग इकाई

~~ 19. $\frac{4}{3}(\sqrt{3}+2 \pi) a^{2}$ वर्ग इकाई

~~ 20. 6 वर्ग इकाई

~~

21. संख्या २१. $\frac{१५}{२}$ वर्ग मापक

~~ 22. ८ वर्ग मापक

~~ 23. १५ वर्ग मापक

~~ 24. सी

~~ 25. डी

~~ 26. ए

~~ 27. बी

~~ 28. ए

~~ 29. ए

~~ 30. डी

~~ 31. ए

~~ 32. बी

~~ 33. ए

~~ 34. सी