अध्याय 6

व्युत्पन्नों का अनुप्रयोग

6. 1 अवलोकन

6.1.1 राशि की परिवर्तन दर

यदि $y=f(x)$ एक समीकरण हो, तो $\frac{d}{dx}(f(x))$ राशि की परिवर्तन दर को $y$ के साथ $x$ के संबंध का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार यदि ’ $s$ ’ दूरी को और ’ $t$ ’ समय को प्रतिनिधित्व करता है, तो $\frac{ds}{dt}$ समय के साथ दूरी की परिवर्तन दर को प्रतिनिधित्व करता है।

6.1.2 संमिश्रण और नार्मल

एक रेखा जो एक बिंदु $(x_1, y_1)$ पर एक कर्व $y=f(x)$ को स्पर्श करती है, संमिश्रण कहलाती है और इसकी समीकरण दिया जाता है $y-y_1= (\frac{dy}{dx})_{(x_1, y_1)}(x-x_1)$।

कर्व का नार्मल संपर्क के बिना लंबक रेखा है, और इसका समीकरण दिया जाता है:

$ y-y_1=\frac{-1}{(\frac{dy}{dx})(x_1, y_1)}(x-x_1) $

ढलान के बीच अंतर को संमिश्रण के बिंदु में स्पर्श करने पर उत्पन्न होने वाला कोण संमिश्रणों के तांगों के बीच का कोण होता है।

6.1.3 आंशिकता

क्योंकि $f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ है, हम कह सकते हैं कि $f^{\prime}(x)$ प्रायः समान होता है

को $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$\Rightarrow$ $f(x+\Delta x)$ का अनुमानित मान $f(x)+\Delta x \cdot f^{\prime}(x)$ के बराबर होता है।

6.1.4 बढ़ती/घटती क्रियाएँ

एक अखण्ड क्रिया एक अवधि $(a, b)$ में है:

(i) सख्त रूप से बढ़ती है अगर हर $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए, $x_1 < x_2$ तो $f(x_1) < f(x_2)$ या हर $x \in (a, b)$ के लिए, $f^{\prime}(x) > 0$ हो।

(ii) सख्त रूप से घटती है अगर हर $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए, $x_1 < x_2$ तो $f(x_1) > f(x_2)$ या हर $x \in (a, b)$ के लिए, $f^{\prime}(x) < 0$ हो।

6.1.5 सिद्धांत : यदि $f$ $[a, b]$ पर एक अखंड क्रिया है और $(a, b)$ में विभेदी है, तो

(i) $f$ $[a, b]$ में बढ़ती है अगर हर $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है

(ii) $f$ $[a, b]$ में घटती है अगर हर $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है

(iii) $f$ $[a, b]$ में एक सामान्य क्रिया है अगर हर $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ है।

6.1.6 अधिकतम और न्यूनतम

वास्तविक मान वाली कर्व $f$ के लिए स्थानीय अधिकतम/स्थानीय न्यूनतम

दूसरे के स्थान में कोई अंतर्निहित संख्या $f$ का एक बिंदु $c$ इन्टीरियर में होता है,

(i) स्थानीय अधिकतम, यदि एक $h > 0$ ऐसा हो कि $f(c) > f(x)$, यदि सभी $x$ $(c-h, c+h)$ में है।

मान $f(c)$ को $f$ का स्थानीय अधिकतम मान कहा जाता है।

(ii) स्थानीय न्यूनतम, यदि एक $h > 0$ ऐसा हो कि $f(c) < f(x)$, यदि सभी $x$ $(c-h, c+h)$ में है।

मान $f(c)$ को $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान कहा जाता है।

एक फ़ंक्शन $f$ जो $[a, b]$ पर परिभाषित है, कहलाती है स्थानीय अधिकतम (या पूर्ण अधिकतम) $x=c, c \in [a, b]$ पर है, यदि $f(x) \leq f(c)$ है सभी $x \in [a, b]$ के लिए।

इसी तरह, एक फ़ंक्शन $f(x)$ जो $[a, b]$ में परिभाषित है, कहलाती है न्यूनतम [या पूर्ण न्यूनतम] $x=d$ पर है, यदि $f(x) \geq f(d)$ है सभी $x \in [a, b]$ के लिए।

6.1.7 f का सांकेतिक बिंदु : किसी फ़ंक्शन $f$ के डोमेन में एक बिंदु $c$ जिस पर या तो $f^{\prime}(c)=0$ होता है या $f$ विभेदी नहीं है, f का सांकेतिक बिंदु कहलाता है।

स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं के खोज के लिए काम नियम :

(a) प्रथम विभक्ति पहचान की परीक्षा :

(i) यदि $f^{\prime}(x)$ बढ़ते $c$ के माध्यम से $x$ में बदलता है सकारात्मक से नकारात्मक, तो $c$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है, और $f(c)$ स्थानीय अधिकतम मान है।

(ii) यदि $f^{\prime}(x)$ नकारात्मक से सकारात्मक बदलता है $c$ के माध्यम से $x$ में बढ़ता है, तो $c$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है, और $f(c)$ स्थानीय न्यूनतम मान है।

(iii) यदि $f^{\prime}(x)$ $c$ के माध्यम से बदलता नहीं है, तो $c$ न तो स्थानीय न्यूनतम बिंदु है और न ही स्थानीय अधिकतम बिंदु है। ऐसा एक बिंदु तटस्थि अंतर कहलाता है।

(b) द्वितीय विभाजक परीक्षा : $I$ एक अंतराल पर परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन $f$ हो और $c \in I$ हो। $f$ को $c$ पर दो बार विभक्त करने की अनुमति है। तब

(i) $ x=c$ स्थानीय अधिकतम बिंदु होता है यदि $f^{\prime}(c)=0$ हो और $f^{\prime \prime}(c)<0$ हो। इस मामले में $f(c)$ स्थानीय अधिकतम मान होता है।

(ii) $ x=c$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु होता है यदि $f^{\prime}(c)=0$ हो और $f^{\prime \prime}(c)>0$ हो। इस मामले में $f(c)$ स्थानीय न्यूनतम मान होता है।

(iii) यदि $f^{\prime}(c)=0$ हो और $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो तो परीक्षण असफल होता है। इस मामले में, हम पहले विभाजक परीक्षण में वापस जाते हैं।

6.1.8 प्रभावी अधिकतम और / या प्रभावी न्यूनतम ढूंढने के लिए कार्य नियम :

चरण 1: दिए गए अंतराल में $f$ के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं।

चरण 2: इन सभी बिंदुओं और अंतराल के अंत बिंदुओं पर, $f$ के मानों की गणना करें।

चरण 3: चरण 2 में गणना की गई मानों में से $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों की पहचान करें। अधिकतम मान $f$ की प्रभावी अधिकतम मान होगा और न्यूनतम मान $f$ की प्रभावी न्यूनतम मान होगा।

6.2 हल किये गए उदाहरण

संक्षेप उत्तर प्रकार (S.A.)

उदाहरण 1 दी गई वक्र $y=5 x-2 x^{3}$ के लिए, यदि $x$ दर के साथ 2 इकाई / सेकंड बढ़ता है, तो वक्र की ढाल का बदलने की दर $x=3$ पर कितनी होगी ?

समाधान वक्र की ढाल $=\frac{d y}{d x}=5-6 x^{2}$

$\Rightarrow \quad \frac{d}{d t} \big(\frac{d y}{d x} \big)=-12 x \cdot \frac{d x}{d t}$

$ \begin{aligned} & =-12 \cdot(3) \cdot(2) \\ & =-72 \text{ इकाई } / सेकंड। \end{aligned} $

इस प्रकार, वक्र की ढाल $x$ दर के साथ 2 इकाई / सेकंड बढ़ते हुए 72 इकाई / सेकंड की दर से कम हो रही है जब $x$ 2 इकाई / सेकंड की दर से बढ़ता है।

उदाहरण 2 एक शंकुवत संकुल के एक समानांत बिन्दु की ढाल का बदलने की दर $\frac{\pi}{4}$ समानांत कोण है और नियमित दर से $2 \hspace{1 mm} cm^{2} / सेकंड$ में सतत रूप से पानी टपक रहा है, जिसका एक छोटा सा होल दिया गया है नमी से आठी हुई बिंदु। जब शंकु की तिरछी ऊंचाई $4 \hspace{1 mm} cm$ हो, तो पानी की तिरछी ऊंचाई का घटने का दर क्या होगा।

समाधान यदि $s$ सतह क्षेत्र हो, तो

$ \frac{d s}{d t}=2 cm^{2} / सेकंड $

$s=\pi r . l=\pi l \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot l=\frac{\pi}{\sqrt{2}} l^{2}$

इसलिए, $\frac{d s}{d t}=\frac{2 \pi}{\sqrt{2}} l \cdot \frac{d l}{d t}=\sqrt{2} \pi l \cdot \frac{d l}{d t}$

जब $l=4 \hspace{1 mm} cm$ हो, तो $\frac{d l}{d t}=\frac{1}{\sqrt{2} \pi \cdot 4} \cdot 2=\frac{1}{2 \sqrt{2} \pi}=\frac{\sqrt{2}}{4 \pi} \hspace{1 mm} cm / सेकंड$ हो।

Fig. 6.1

उदाहरण 3 वक्रीयों $y^{2}=x$ और $x^{2}=y$ के क्षेत्रों के संपर्क कोण ढूंढें।

समाधान दिए गए समीकरणों को हल करते हैं, हमारे पास $y^{2}=x$ और $x^{2}=y \Rightarrow x^{4}=x$ या $x^{4}-x=0$ है।

$\Rightarrow x(x^{3}-1)=0 \Rightarrow x=0, x=1$

इसलिए, $ \quad y=0, y=1 $

मतलब संपर्क बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।

और भी $y^{2}=x \Rightarrow \quad 2 y \frac{d y}{d x}=1 \quad$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 y}$

और $\quad x^{2}=y \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x$

$(0,0)$ में, वक्र $y^{2}=x$ का तांगेंटियल कोण $y$-अक्ष के समानीय और वक्र $x^{2}=y$ की तांगेंटियल कोण $x$-अक्ष के समानीय होता है।

$\Rightarrow$ संपर्क कोण $=\frac{\pi}{2}$

$(1,1)$ पर, वक्र $y_2=x$ का तांगेंटियल कोण $\frac{1}{2}$ के बराबर होता है और $x^{2}=y$ का तांगेंटियल कोण 2 होता है।

$\tan \theta= \Big |\frac{2-\frac{1}{2}}{1+1} \Big |=\frac{3}{4} . \quad \quad \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} \big ( \frac{3}{4} \big ) $

उदाहरण 4 दिखाएं यह साबित हो के फ़ंक्शन $f(x)=\tan x-4 x$ $ \Big ( \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \Big ) $ पर सख्त गड़बड़ होता है।

समाधान $f(x)=\tan x-4 x \Rightarrow f^{\prime}(x)=\sec ^{2} x-4$

जब $\frac{-\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}, 1<\sec x<2$

इसलिए, $1<\sec ^{2} x<4 \Rightarrow-3<(\sec ^{2} x-4)<0$

तो $\frac{-\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$ के लिए, $f^{\prime}(x)<0$

इसलिए $f$ वास्तव में $ \Big ( \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \Big )$ पर सख्त गड़बड़ होता है।

उदाहरण 5 जांचें की कौन से मानों के लिए, फ़ंक्शन $y=x^{4}-\frac{4 x^{3}}{3}$ बढ़ रहा है और कौन से मान नहीं।

समाधान $y=x^{4}-\frac{4 x^{3}}{3} \quad \Rightarrow \frac{d y}{d x}=4 x^{3}-4 x^{2}=4 x^{2}(x-1)$

अब, $\frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow x=0, x=1$

क्योंकि $f^{\prime}(x)<0 \forall x \in(-\infty, 0) \cup(0,1)$ और $f$ $(-\infty, 0]$ और $[0,1]$ में प्राथमिक है। इसलिए $f$ $(-\infty, 1]$ में बढ़ रहा है और $f$ $[1, \infty)$ में बढ़ रहा है।

नोट: यहाँ $f$ $(-\infty, 0) \cup(0,1)$ में सख्त बढ़ रहा है और $(1, \infty)$ में सख्त बढ़ रहा है।

उदाहरण 6 दिए गए फ़ंक्शन $f(x)=4 x^{3}-18 x^{2}+27 x-7$ का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है।

समाधान $f(x)=4 x^{3}-18 x^{2}+27 x-7$

$f^{\prime}(x)=12 x^{2}-36 x+27=3(4 x^{2}-12 x+9)=3(2 x-3)^{2}$

$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (क्रिटिकल बिंदु)

क्योंकि $f^{\prime}(x)>0$ सभी $x<\frac{3}{2}$ के लिए और सभी $x>\frac{3}{2}$ के लिए

इसलिए $x=\frac{3}{2}$ एक वक्रषण का बिंदु है, अर्थात न ही अधिकतम का बिंदु है और न ही न्यूनतम का बिंदु है।

$x=\frac{3}{2}$ ही एकमात्र क्रिटिकल बिंदु है, और $f$ का न अधिकतम हैं और न ही न्यूनतम होता है।

उदाहरण 7 अलगाव का उपयोग करके, $\sqrt{0.082}$ के अनुमानित मान की वैशिष्ट्य खोजें।

समाधान लेखन करें $f(x)=\sqrt{x}$

उपयोग करते हुए $f(x+\Delta x) \simeq f(x)+\Delta x \cdot f^{\prime}(x)$, $x=.09$ और $\Delta x=-0.008$,

हमें $f(0.09-0.008)=f(0.09)+(-0.008) f^{\prime}(0.09)$ मिलता है।

विषयक अंश के लिए हिन्दी में भविष्यवाणी का उपयोग करें।

उदाहरण 8 $ \ \ \Rightarrow \sqrt{0.082}=\sqrt{0.09}-0.008 . \Big ( \frac{1}{2 \sqrt{0.09}} \Big ) =0.3-\frac{0.008}{0.6}$

$=0.3-0.0133=0.2867$.

उदाहरण 9 इसके लिए कर्व्स की शर्त निकालें $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ; x y=c^{2}$ अर्थकर्मी (orthogonally) परि बिन्दुओं के।

समाधान कर्व्स $(x_1, y_1)$ पर उभरती है । इसलिए,

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{2 x}{a^{2}}-\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

$\Rightarrow$ intersect होते समय tangent की संख्यानक $(m_1)=\frac{b^{2} x_1}{a^{2} y_1}$

फिर से $x y=c^{2} \Rightarrow x \frac{d y}{d x}+y=0 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-y}{x} \Rightarrow m_2=\frac{-y_1}{x_1}$.

orthoganality, $m_1 \times m_2=-1 \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=1$ या $a^{2}-b^{2}=0$।

उदाहरण 10 लोकल मैक्सिमा और लोकल न्यूनतम के सभी बिंदुओं को ढूंढें

$f(x)=-\frac{3}{4} x^{4}-8 x^{3}-\frac{45}{2} x^{2}+105$ की।

समाधान $f^{\prime}(x)=-3 x^{3}-24 x^{2}-45 x$

$=-3 x(x^{2}+8 x+15)=-3 x(x+5)(x+3)$

$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=-5, x=-3, x=0$

$f^{\prime \prime}(x)=-9 x^{2}-48 x-45$

$=-3(3 x^{2}+16 x+15)$

$f^{\prime \prime}(0)=-45<0$। इसलिए, $x=0$ भिन्नतम बिंदु है

$f^{\prime \prime}(-3)=18>0$। इसलिए, $x=-3$ स्थाने स्थानीय न्यूनतम बिंदु है

$f^{\prime \prime}(-5)=-30<0$। क्योंकि इसलिए $x=-5$ स्थाने स्थानीय मैक्सिमा बिंदु है।

उदाहरण 11 मुख्यतः छिद्रक वासेल में से एक छोटे छिद्र के माध्यम से स्थिर त्रंरता $1 क्यू एम्टर / सेकंड$ की दर से बाहर टपक रहा है, जिसका उत्क्रमणध्वनि इतचाकारीय है। जब छिद्र का छिद्र उच्चता $4 सेंटीमीटर$ हो, तो छिद्रनुकासन की दर निकालें, जहां छिद्रिक का इस्पी संक्षेपण $\frac{\pi}{6}$ है।

समाधान दिया गया है कि $\frac{d v}{d t}=1 सेंटीमीटर^{3} / सेकंड$, जहाँ $v$ वासेल में पानी की मात्रा है।

तालिका 6.2 के अनुसार, $l=4 सेंटीमीटर, h=l \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} l$ और $r=l \sin \frac{\pi}{6}=\frac{l}{2}$ है।

इसीलिए, $v=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{\pi}{3} \frac{l^{2}}{4} \frac{\sqrt{3}}{2} l=\frac{\sqrt{3} \pi}{24} l^{3}$।

$ \frac{d v}{d t}=\frac{\sqrt{3} \pi}{8} l^{2} \frac{d l}{d t} $

इसलिए, $1=\frac{\sqrt{3} \pi}{8} 16 \cdot \frac{d l}{d t}$

$\Rightarrow \quad \frac{d l}{d t}=\frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} सेंटीमीटर / सेकंड$

Fig. 6.2

हेंस, घटाने की दर, slant ऊंचाई $=\frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} cm / s$।

उदाहरण 12 कर्व $y=\cos (x+y)$, $-2 \pi \leq x \leq 2 \pi$ के लिए सभी स्पंदनों के माध्यम सूत्र खोजें जो रेखा $x+2 y=0$ के लिए समांतर हैं।

समाधान दिया है कि $y=\cos (x+y) \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\sin (x+y) \quad \Big [ 1+ \frac{d y}{d x} \Big ] \hspace{10 mm} … (i) $

या $ \quad \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)} $

क्योंकि बहुभुज रेखा समान्तर है $x+2 y=0$, इसलिए बहुभुज रेखा की ढर्रा $=-\frac{1}{2}$

इसलिए, $-\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)}=-\frac{1}{2} \Rightarrow \sin (x+y)=1 \hspace{20mm} … (ii) $

क्योंकि $\cos (x+y)=y$ और $\sin (x+y)=1 \Rightarrow \cos ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x+y)=y^{2}+1$

$ \Rightarrow \quad 1=y^{2}+1 \text{ या } y=0 \text{. } $

इसलिए, $\cos x=0$।

इसलिए, $x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots$

अब, $x= \pm \frac{\pi}{2}$, $\pm \frac{3 \pi}{2}$, लेकिन $x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{-3 \pi}{2}$ दोनों समीकरण (ii) को संतुष्ट करते हैं।

इसलिए, अंक हैं $ \big (\frac{\pi}{2}, 0 \big ), \big ( \frac{-3 \pi}{2}, 0 \big ) $.

इसलिए, बहुलक का समान्तर एकता $ \big ( \frac{\pi}{2}, 0 \big )$ पर लंबके सूत्र है $y=-\frac{1}{2} \big ( x-\frac{\pi}{2} \big ) $ या $2 x+4 y-\pi=0$, और

बहुलक का समान्तर एकता $ \big ( \frac{-3 \pi}{2} , 0 \big ) $ पर लंबके सूत्र है $y=-\frac{1}{2} \big ( x+\frac{3 \pi}{2} \big ) $ या $2 x+4 y+3 \pi=0$।

उदाहरण 13 कर्वों $y^{2}=4 a x$ और $x^{2}=4 b y$ के छेदों का कोण ढूंढें।

समाधान दिया है कि $y^{2}=4 a x \ldots$ (i) और $x^{2}=4 b y \ldots$ (ii)। (i) और (ii) को हल करके, हम प्राप्त करते हैं

$ \bigg ( \frac{x^{2}}{4 b} \bigg ) =4 a x \quad \Rightarrow x^{4}=64 a b^{2} x $

या $\quad x(x^{3}-64 a b^{2})=0 \Rightarrow x=0, x=4 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}$

इसलिए, प्रांकों के छेद हैं $(0,0)$ और $ \bigg ( 4 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}, 4 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} \bigg )$।

फिर से, $y^{2}=4 a x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{4 a}{2 y}=\frac{2 a}{y}$ और $x^{2}=4 b y \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{4 b}=\frac{x}{2 b}$

इसलिए, $(0,0)$ पर कर्व $y^{2}=4 a x$ की लंबवृत्ति $y$-axis के समानता और कर्व $x^{2}=4b y$ की लंबवृत्ति $x$-axis के समानता है।

$\Rightarrow$ कर्वों के बीच कोण $=\frac{\pi}{2}$

$ \bigg ( 4 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}, 4 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} \bigg )$ पर, $m_1$ (कर्व (i) के लंबके की ढर्रा) $=2 \bigg ( \frac{a}b^{\frac{1}{3}} \bigg ) $

$=\frac{2 a}{4 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2} \big (\frac{a}b\big )^{\frac{1}{3}}, m_2($ कर्व (ii) के लंबके की ढर्रा) $=\frac{4 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{2 b}=2 \big ( \frac{a}b\big)^{\frac{1}{3}} $

इसलिए, $tan \theta= \bigg |\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \bigg |= \Bigg |\frac{2 \frac{a}b^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{2} \frac{a}b^{\frac{1}{3}}}{1+2 \frac{a}b^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} \frac{a}b^{\frac{1}{3}}} \Bigg |=\frac{3 a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{2 \big(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}} \big) $

इसलिए, $\theta=\tan ^{-1} \Bigg ( \frac{3 a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{2( a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})} \Bigg )$

उदाहरण 14 दिखाएँ कि कोई भी बिंदु पर मानक $x=3 \cos \theta-\cos ^{3} \theta, y=3 \sin \theta-\sin ^{3} \theta$ की समतिल वक्र का समीकरण $4(y \cos ^{3} \theta-x \sin ^{3} \theta)=3 \sin 4 \theta$ है।

समाधान हमें $x=3 \cos \theta-\cos ^{3} \theta$ मिलता है

इसलिए, $\quad \frac{d x}{d \theta}=-3 \sin \theta+3 \cos ^{2} \theta \sin \theta=-3 \sin \theta(1-\cos ^{2} \theta)=-3 \sin ^{3} \theta$।

$\frac{d y}{d \theta}=3 \cos \theta-3 \sin ^{2} \theta \cos \theta=3 \cos \theta(1-\sin ^{2} \theta)=3 \cos ^{3} \theta$

$\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{3} \theta}{\sin ^{3} \theta}$। इसलिए, समताल के ढीलाी=+$\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos ^{3} \theta}$

इसलिए समता का समीकरण है

$ \begin{aligned} & y-(3 \sin \theta-\sin ^{3} \theta)=\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos ^{3} \theta}[x-(3 \cos \theta-\cos ^{3} \theta)] \\ & \Rightarrow y \cos ^{3} \theta-3 \sin \theta \cos ^{3} \theta+\sin ^{3} \theta \cos ^{3} \theta=x \sin ^{3} \theta-3 \sin ^{3} \theta \cos \theta+\sin ^{3} \theta \cos ^{3} \theta \\ & \Rightarrow y \cos ^{3} \theta-x \sin ^{3} \theta=3 \sin \theta \cos \theta(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac{3}{2} \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \\ & =\frac{3}{4} \sin 4 \theta \end{aligned} $

या

$ \quad \quad 4(y \cos ^{3} \theta-x \sin ^{3} \theta)=3 \sin 4 \theta . $

उदाहरण 15 निकालें

$ f(x)=\sec x+\log \cos ^{2} x, 0<x<2 \pi $

की अधिकतम और न्यूनतम मानों को।

समाधान $f(x)=\sec x+2 \log \cos x$

इसलिए, $f^{\prime}(x)=\sec x \tan x-2 \tan x=\tan x(\sec x-2)$

$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow \tan x=0$ or $\sec x=2$ or $\cos x=\frac{1}{2}$

इसलिए, $x$ के possible मान हैं $x=0$ or $x=\pi$ और

$ x=\frac{\pi}{3}$ या $x=\frac{5 \pi}{3} $

फिर से, $f^{\prime \prime}(x)=\sec ^{2} x(\sec x-2)+\tan x(\sec x \tan x)$

$ \begin{aligned} & =\sec ^{3} x+\sec x \tan ^{2} x-2 \sec ^{2} x \\ & =\sec x(\sec ^{2} x+\tan ^{2} x-2 \sec x) \text{. हम ध्यान देते हैं कि } \end{aligned} $

$f^{\prime \prime}(0)=1(1+0-2)=-1<0$. इसलिए, $x=0$ सर्वोच्चता का बिंदु है।

$f^{\prime \prime}(\pi)=-1(1+0+2)=-3<0$. इसलिए, $x=\pi$ सर्वोच्चता का बिंदु है।

$f^{\prime \prime} \quad \big (\frac{\pi}{3}\big)=2(4+3-4)=6>0$. इसलिए, $x=\frac{\pi}{3}$ न्यूनतमता का बिंदु है।

$f^{\prime \prime} \quad \big( \frac{5 \pi}{3}=2(4+3-4)=6>0 \big )$. इसलिए, $x=\frac{5 \pi}{3}$ न्यूनतमता का बिंदु है।

यहां मान $y$ का अधिकतम मान $x=0$ पर 1+0=1 होता है

यहां मान $y$ का अधिकतम मान $x=\pi$ पर -1+0=-1 होता है।

यहां मान $y$ का न्यूनतम मान $x=\frac{\pi}{3}$ पर $

वर्गमूलाद्दर्भिण:१०६ , वर्गमूलाद्दर्भिण : १२२ $ लगभगन 2+2 \log \frac{1}{2}=2(1-\log 2) $

$य$ की न्यूनतम मान $x=\frac{5 \pi}{3}$ पर होगा

$2+2 \log \frac{1}{2}=2(1-\log 2)$

उदाहरण १६ किसी दीर्घवृत्त में परिभ्र्मित होने वाले सर्वाधिक आयतीय चतुर्भुज का क्षेत्र निकालो, जिसकी ओर कम और बड़ी समान गुणलब्धि दी हुई हो ।

समाधान यदि $A B C D$ एक चक्रमें परिभ्र्मित चतुर्भुज $A B=2 x$ और $B C=2 y$ के साथ हो, जहां $C(x, y)$ ਔर $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ हो । तब चतुर्भुज का आयतन $A$ $4 x y$ यानी $A=4 x y$ होगा जो $A^{2}=16 x^{2} y^{2}=जहां $दी गई हो । इसलिए, $s=16 x^{2} \bigg ( 1-\frac{x^{2}}{a^{2}} \bigg ) \cdot b^{2}=\frac{16 b^{2}}{a^{2}}(a^{2} x^{2}-x^{4})$ होगा ।

$\Rightarrow \quad \frac{d s}{d x}=\frac{16 b^{2}}{a^{2}} .[2 a^{2} x-4 x^{3}]$.

चित्र में दिखाया गया है।

फिर, $\frac{d s}{d x}=0 \Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ होगा और $y=\frac{b}{\sqrt{2}}$ होगा

चित्र ।

अब, $\quad \frac{d^{2} s}{d x^{2}}=\frac{16 b^{2}}{a^{2}}[2 a^{2}-12 x^{2}]$

$\quad x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ पर, $\frac{d^{2} s}{d x^{2}}=\frac{16 b^{2}}{a^{2}}[2 a^{2}-6 a^{2}]=\frac{16 b^{2}}{a^{2}}(-4 a^{2})<0$ होगा।

इसप्रकार, $x=\frac{a}{\sqrt{2}}, y=\frac{b}{\sqrt{2}}, s$ अधिकतम होगा और इसलिए क्षेत्र $A$ अधिकतम होगा।

अधिकतम क्षेत्र $=4 \cdot x \cdot y=4 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}=2 a b$ वर्ग इकाई।

**उदाहरण १७ ** फलन $f(x)=\sin 2 x-x , \quad $ की सबसे बड़ी और सबसे छोटी मानव्याप्ति का अंतर निकालो $\bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigg ]$ में ।

समाधान $f(x)=\sin 2 x-x$

$\Rightarrow \quad f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x-1$

इसलिए, $f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow \cos 2 x=\frac{1}{2} \Rightarrow 2 x$ होगा $\frac{-\pi}{3}$ या $\frac{\pi}{3}$ इसलिए $x=-\frac{\pi}{6}$ या $\frac{\pi}{6}$

$ \begin{aligned} & f \bigg (-\frac{\pi}{2} \bigg )=\sin (-\pi)+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \\ & f \bigg (-\frac{\pi}{6} \bigg )=\sin -\frac{2 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6} \\ & f \bigg ( \frac{\pi}{6} \bigg )=\sin \frac{2 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6} \\ & f \bigg ( \frac{\pi}{2} \bigg )=\sin (\pi)-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2} \end{aligned} $

स्पष्ट है कि $\frac{\pi}{2}$ सबसे बड़ा मान है और $-\frac{\pi}{2}$ सबसे छोटा है।

इसलिए, अंतर $=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$

उदाहरण १८ किसी वृत्त के भीतर एक समतलीय त्रिभुज का ऊंचाकोण $2 \theta$ रेडियस $a$ होने पर निकालिये कि किसी भी त्रिभुज का ऊंचाकोण का क्षेत्र अधिकतम $हो जाता है तब जब $\theta = \frac{\pi}{6}$ हो।

समाधान $A B C$ कोई ऐसा समतलीय त्रिभुज हो जिसको वृत्त में परिभ्रमित किया गया है, जिसमें $\triangle A B C$ में ऊँचाई $a$ है। जैसा कि चित्र 16.4 में दिखाया गया है।

$A D=AO+OD=a+a \cos 2 \theta$ और $B C=2 BD=2 a \sin 2 \theta$ होगा

इसलिए, $\triangle A B C$ के क्षेत्र $= \frac{1}{2} B C \times A D$

$ \begin{aligned} & \quad= \frac{1}{2} 2 a \sin 2 \theta \cdot(a+a \cos 2 \theta) \\ & =a^{2} \sin 2 \theta(1+\cos 2 \theta) \end{aligned} $

चप का

$\Rightarrow \quad \Delta=a^{2} \sin 2 \theta+\frac{1}{2} a^{2} \sin 4 \theta$

इसलिए, $\frac{d \Delta}{d \theta}=2 a^{2} \cos 2 \theta+2 a^{2} \cos 4 \theta$

$ =2 a^{2}(\cos 2 \theta+\cos 4 \theta) $

$\frac{d \Delta}{d \theta}=0 \Rightarrow \cos 2 \theta=-\cos 4 \theta=\cos (\pi-4 \theta)$

Fig. 6.4

इसलिए, $2 \theta=\pi-4 \theta \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}$

$\frac{d^{2} \Delta}{d \theta^{2}}=2 a^{2}(-2 \sin 2 \theta-4 \sin 4 \theta)<0($ at $\theta=\frac{\pi}{6})$.

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्र अधिकतम होगा जब $\theta=\frac{\pi}{6}$.

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

19 के उदाहरण

दक्षिणत्य में पर जाने भाषी द्वारा निर्धारित बिंदु पर चक्र $3 y=6 x-5 x^{3}$ पर, जो कि नॉर्मल से होता है जब शुरुआत से जूड़ी हुई हो उसका होगा।

(a) 1

(b) $\frac{1}{3}$

(c) 2

(d) $\frac{1}{2}$

समाधान इसलिए बंदरगाह पर जाने भाषी को बिंदु (एम, वान) में होने वाले दिये गए चक्र $3 y=6 x-5 x^{3}$ के, हम नॉर्मल ($x_1, y_1$) पर तब हमारे पास एक और नोट दे एक और मानते हैं, लिया गया दिया है कि (ग्रीष्म, अंत) पर शुरुआत से जोड़ी हुई नार्मल द्वारा पार होता है, वह दिए गए चक्र $2-5 x_1^{2}=\frac{-x_1}{y_1}=\frac{-3}{6-5 x_1^{2}}$। जैसा कि $x_1=1$ में समीकरण खाने से औरेक्ट खान मिलता है, इसलिए सही उत्तर है (ए)।

20 के उदाहरण

दिए गए दो परिमाण $x^{3}-3 x y^{2}+2=0$ और $3 x^{2} y-y^{3}=2$

(अ) एक-दूसरे की स्पर्श होती होगी

(ख) 90 डिग्री के कतरेंगे

(ग) 60 डिग्री के कतरेंगे

(द) 45 डिग्री के कतरेंगे

समाधान द्वारा प्रथना समीकरण का कह सकते हैं $=3 x^{2}-3 y^{2}-6 x y \frac{d y}{d x}=0$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{2 x y}=(m_1)$ कहीं और नहीं , यह बाताती है और मेन और

$ 6 x y+3 x^{2} \frac{d y}{d x}-3 y^{2} \frac{d y}{d x}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{-2 x y}{x^{2}-y^{2}}=(m_2) \text{ कहीं और नहीं } $

क्योंकि $m_1 \cdot m_2=-1$। इसलिए, सही उत्तर है (ख)।

21 के उदाहरण

चक्र पर निर्धारित आइंटर्वल $x=e^{t}$. cost, $y=e^{t}$. $\sin t$ के लिए सहायक की संख्या है

(अ) 0

(ख) $\frac{\pi}{4}$

(ग) $\frac{\pi}{3}$

(द) $\frac{\pi}{2}$

$\frac{d x}{d t}=-e^{t} \cdot \sin t+e^{t} \cos t, \frac{d y}{d t}=e^{t} \cos t+e^{t} \sin t$

इसलिए, $ \big ( \frac{d y}{d x} \big ) _{t=\frac{\pi}{4}}=\frac{\cos t+\sin t}{\cos t-\sin t}=\frac{\sqrt{2}}{0}$ और इसलिए सही उत्तर है (द)।

22 के उदाहरण

भारत मट्र 1-बिंदु पर छेद शुनायक $y=\sin x$ में जहां $\theta = 0$ शुरुआत से संपर्क करती है का होगा।

(अ) $x=0$

(ख) $y=0$

(ग) $x+y=0$

(द) $x-y=0$

समाधान $\frac{d y}{d x}=\cos x$। इसलिए, उभारता समीकरण $= \Big (\frac{-1}{\cos x} \Big ) _{x=0} =-1$। इसलिए, नीति उत्तर है $y-0=-1(x-0)$ या $x+y=0$

इसलिए, सही उत्तर है (ग)।

23 के उदाहरण

चक्र पर इसकी नियमित संपर्क बिंदु $y^{2}=x$ पर जहां कि शुनायक $90 \degree$ बांसी हो तब होगा

(अ) $ \big ( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \big )$

हालाँकि, उल्लेख की गई दशा खत्म होती है | यहां सही उत्तर के सब्सेट दिए गए हैं:

1. उइरे नहीं
2. उरते नहीं
3. 48 m / s
4. v
5. 45 डिग्री
6. 31.984
7. 0.006 cm^3

8. एक आदमी, $2 m$ ऊंची, $1 \frac{2}{3} m / s$ की गति से चलता है जो एक सड़क के लाइट की ओर चला जाता है जो माला में $5 \frac{1}{3} m$ ऊंची है। उसकी छाया की टिप की गति क्या है? उसकी छाया की लंबाई की गति क्या होती है जब वह लाइट के बेस से $3 \frac{1}{3} m$ दूर होता है?

~~ 9. एक स्विमिंग पूल को साफ करने के लिए निकाला जाना है। यदि $L$ पूल में प्लग को छोड़कर ड्रेन करने के बाद $t$ सेकंड में पानी की कितनी लीटर होती है और $L=200(10-t)^{2}$ है। 5 सेकंड के अंत में पानी की दौड़ कितनी तेजी से हो रही है? पहले 5 सेकंड में पानी की औसत दौड़ क्या है?

~~ 10. एक क्यूब के आयतन में तेजी से बढ़ती है। साबित करें कि इसकी सतह का विस्तार उसकी पक्ष की लंबाई के उलट होता है।

~~ 11. $x$ और $y$ दो स्क्वायरों के पक्ष हैं जिसके लिए $y=x-x^{2}$ है। दूसरे स्क्वायर के क्षेत्र के विपरीत विन्यास की दर क्या है?

~~ 12. साबित करें कि वक्र $2 x=y^{2}$ और $2 x y=k$ एक दूसरे के लगे हुए अंतस्पर्शी होते हैं।

~~ 13. साबित करें कि वक्र $x y=4$ और $x^{2}+y^{2}=8$ एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।

~~ 14. ढलान जिसका स्पर्श धराप्रवाह $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ पर होता है में स्थान की संयोजनाएं ढलान के समत्रिभुज के लिए बराबर आंतरिक मन देने वाली हैं।

~~ 15. ढांचे $y=4-x^{2}$ और $y=x^{2}$ की क्रमबद्धता का पता लगाइए।

~~ 16. साबित करें कि वक्र $y^{2}=4 x$ और $x^{2}+y^{2}-6 x+1=0$ दोनों अंतस्पर्शी होते हैं बिंदु $(1,2)$ पर।

~~ 17. $3 x^{2}-y^{2}=8$ के लक्षण रेखाओं का समतल रेखाओं के समानांतर होने वाला समीकरण खोजें जो रेखा $x+3 y=4$ के समानांतर होता है।

~~ 18. $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0$ के ढांचे पर कौन से बिन्दुओं पर, जांचक रेखाएं $y$-अक्ष के परामर्शिक होती हैं?

~~ 19. दिखाएं कि रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ढांचे $y=b \cdot e^{\frac{-x}{a}}$ को छूती है जहां ढांचा $y$ के अक्ष के संपर्क में अपवर्तित होता है।

~~ 20. दिखाएं कि $एफ(क्ष)=2 क्ष+\cot ^{-1} क्ष+\log \big(\sqrt{1+क्ष^{2}}-क्ष \big )$ पूरे $\mathbf{आर}$ में बढ़ता है।

~~ 21. दिखाएं कि $ए=1$ एवं वन्ध्र $\mathbf{आर}$ में $एफ(क्ष)=\sqrt{3} \sin क्ष-\cos क्ष-2 अ क्ष+ब$ क्रमशः बढ़ता है।

~~ 22. \begin{math}दिखाएं कि $ए=1(0, \frac{\pi}{4})$ में $एफ(क्ष)=\tan ^{-1}(\sin क्ष+\cos क्ष)$ एकनुमान बद्ध है।

~~ 23. वक्र $y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x-27$ की ढाल का अधिकतम संकेत बिंदु क्या है? साथ ही अधिकतम संकेत की ढाल जांचें।

~~ 24. साबित करें कि $एफ(क्ष)=\sin क्ष+\sqrt{3} \cos क्ष$ का अधिकतम मान $क्ष=\frac{\pi}{6}$ पर होता है।

लंबा उत्तर (एल.ए.)

~~ 25. यदि एक दायां कोण त्रिभुज के भुजों के लंबाई का योग दिया जाता है, तो दिखाएं कि त्रिभुज का क्षेत्र अधिकतम होता है जब उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ होता है।

~~ 26. फ़ंक्शन $एफ(क्ष)=क्ष^{5}-5 क्ष^{4}+5 क्ष^{3}-1$ के स्थानीय अधिकतम, स्थानीय न्यूनतम और क्षेत्रफल के स्थानीय छिद्र के संकेत बिंदु और उसके मान के संबंध में सूचित करें।

कंटेंट के हिंदी संस्करण को हम हिंदी अक्षर के साथ नकली करेंगे: 27. एक शहर में एक टेलीफोन कंपनी के पास 500 सदस्य हैं और वर्ष में प्रति सदस्य से निर्धारित शुल्क 300 रुपये है। कंपनी का प्रस्ताव है कि वार्षिक सदस्यता बढ़ाई जाए और यह विश्वास है कि हर 1 रुपये की वृद्धि के लिए एक सदस्य सेवा को छोड़ देगा। ज्यादातर लाभ की वृद्धि का पता करें?

~~ 28. यदि सीधी रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ ढील समर्थित करती है $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, तो सिद्ध करें कि $a^{2} \cos ^{2} \alpha+b^{2} \sin ^{2} \alpha=p^{2}$।

~~ 29. एक चौकोर आधार वाली खुली बॉक्स को एक निर्दिष्ट मात्रा कार्डबोर्ड से बनाना है जिसका क्षेत्रफल $c^{2}$ है। दिखाएं कि बॉक्स का अधिकतम आयाम $\frac{c^{3}}{6 \sqrt{3}}$ घनघनात्मक इकाई है।

~~ 30. आयाम $36 , \text{cm}$ के आयत का आयाम खोजें जो अधिकतम मात्रा में वृत्तीय होता है, जब इसका एक सिर में घुमाया जाता है। इसके अलावा अधिकतम आयाम भी खोजें।

~~ 31. यदि एक सामतलीय घनघनात्मक के सतह क्षेत्रफल का योग कांटी और गोला का ब्रह्माण्ड स्थिर है, तो जब उनकी आयताओं का योगन न्यूनतम होता है, तो एक एज का अनुपात वाक्यमान गोलाकार के व्यास के साथ क्या होगा?

~~ 32. $AB$ एक वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त पर कोई बिंदु है। सिद्ध करें कि त्रिभुज $ABC$ क्षेत्रफल अधिकतम होता है, जब यह समद्विबाहु होता है।

~~ 33. एक वर्तुल आधार और ऊँचाई में धातु बॉक्स $1024 , \text{cm}^{3}$ को समायोजित करना चाहता है। शीर्ष और नीचे के लिए सामग्री $5 , \text{रुपये / cm}^{2}$ की लागत होती है और तरफ के लिए सामग्री $2 , \text{रुपये / cm}^{2}$ की लागत होती है। बॉक्स की न्यूनतम लागत पता करें।

~~ 34. लद्धा आयत के सतह क्षेत्रफल के योग का ब्रह्माण्डीय पारपीड़ीधार के सतह क्षेत्रफल के योग समान है। साबित करें कि अधिकतम मात्रा के योग का योग मिनिमम होता है, यदि $x$ गोला के तीन गुना बराबर होता है। इसके अलावा योग की न्यूनतम मानक मान भी पता करें।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

35 से 39 तक के प्रत्येक प्रश्न में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

~~ 35. एक समांतरत्रिभुज के साइड $2 , \text{cm/sec}$ की गति से बढ़ रहे हैं। क्षेत्रफल का श्रेणी सिर $10 , \text{cm}$ होने पर बढ़ती है:

(A) $10 , \text{cm}^{2}/\text{s}$

(B) $\sqrt{3} , \text{cm}^{2}/\text{s}$

(C) $10 \sqrt{3} , \text{cm}^{2}/\text{s}$

(D) $\frac{10}{3} , \text{cm}^{2}/\text{s}$

~~ 36. एक सीढ़ी, 5 मीटर लंबी, जोर-जोर सहित एक आँधर सीढ़ी पर टिकी हुई है। यदि सीढ़ी का शीर्ष $10 , \text{cm/sec}$ की गति से नीचे की ओर स्लाइड करता है, तो पेड़ की ओर संकुचन की गति क्या होती है जब नीचे की ओर की ओर $2 , \text{मीटर}$ है:

(A) $\frac{1}{10}$ रेडियन/$\text{सेकंड}$

(B) $\frac{1}{20}$ रेडियन/$\text{सेकंड}$

(C) $20$ रेडियन/$\text{सेकंड}$

(D) $10$ रेडियन/$\text{सेकंड}$

~~ 37. सीमा $y=x^{\frac{1}{5}}$ का ($0,0$) पर संपर्क है

(A) एक लंबवत संरेखा (y-अक्ष के पार)

(B) एक क्षैतिज संरेखा (x-अक्ष के पार)

(C) एक अज्ञात संरेखा

(D) कोई संरेखा नहीं

~~ 38. लक्षित के $3x^{2}-y^{2}=8$ के समानांतर कोण की संख्या को संयुक्त रेखा के समानरेख जो $x+3y=8$ के लाइन के साथ समानांतर है और

(A) $3x-y=8$

(B) $3x+y+8=0$

(C) $x+3y \pm 8=0$

(D) $x+3y=0$

~~ 39. यदि परवत $a y+x^{2}=7$ और $x^{3}=y$ ने (1,1) पर अपेक्षाकारक आकात्मक टक्कर लगाई हो, तो $a$ की मान क्या है:

(A) 1

(B) 0

(C) -6

(D) . 6

~~ 40. यदि $y=x^{4}-10$ है और यदि $x$ 2 से 1.99 तक बदलता है, तो $y$ में परिवर्तन क्या है

(A) .32

(B) .032

(C) 5.68

(D) 5.968

~~ 41. कटाक्ष की समीकरण $y(1+x^{2})=2-x$ परवत के, जहां वह $x$-अक्ष काटती है:

(A) $x+5 y=2$

(B) $x-5 y=2$

(C) $5 x-y=2$

(D) $5 x+y=2$

~~ 42. वह बिंदु जहां परवत $y=x^{3}-12 x+18$ के बहुज्ञता वाले रेखांश $x$-अक्ष से समानांतर होते हैं:

(A) $(2,-2),(-2,-34)$

(B) $(2,34),(-2,0)$

(C) $(0,34),(-2,0)$

(D) $(2,2),(-2,34)$

~~ 43. परवत $y=e^{2 x}$ के कटाक्षक बिंदु $(0,1)$ पर क्या होती है:

(A) $(0,1)$

(B) $ \big ( -\frac{1}{2}, 0 \big ) $

(C) $(2,0)$

(D) $(0,2)$

~~ 44. परवत $x=t^{2}+3 t-8, y=2 t^{2}-2 t-5$ के कटाक्षक रेखा का ढल $(2,-1)$ बिंदु पर है:

(A) $\frac{22}{7}$

(B) $\frac{6}{7}$

(C) $\frac{-6}{7}$

(D) -6

~~ 45. दो परवतों $x^{3}-3 x y^{2}+2=0$ और $3 x^{2} y-y^{3}-2=0$ का कटाव एक कोण है

(A) $\frac{\pi}{4}$

(B) $\frac{\pi}{3}$

(C) $\frac{\pi}{2}$

(D) $\frac{\pi}{6}$

~~ 46. सभी $x$ मानों के लिए फ़ंक्शन $f(x)=2 x^{3}+9 x^{2}+12 x-1$ घट रहा है

(A) $[-1, \infty)$

(B) $[-2,-1]$

(C) $(-\infty,-2]$

(D) $[-1,1]$

~~ 47. $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=2 x+\cos x$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$:

(A) कम से कम मिनिमम पर है, $x=\pi$

(B) अधिकतम पर होता है, $x=0$

(C) अवतल फ़ंक्शन है

(D) वृद्धि फ़ंक्शन है

~~ 48. $ y=x(x-3)^{2}$ के लिए $x$ के मानों के लिए घटता है:

(A) $1<x<3$

(B) $x<0$

(C) $x>0$

(D) $0<x<\frac{3}{2}$

~~ 49. फ़ंक्शन $f(x)=4 \sin ^{3} x-6 \sin ^{2} x+12 \sin x+100$ सख्त रूप से

(A) वृद्धि, $\big ( \pi, \frac{3 \pi}{2} \big ) $ में है

(B) घटती है, $\big ( \frac{\pi}{2}, \pi \big ) $ में है

(C) घटती है, $\big [ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \big ]$

(D) घटती होता है, $\big [ 0, \frac{\pi}{2} \big ]$

~~ 50. निम्नलिखित किसी फ़ंक्शन के लिए घटता है, $ \big ( 0, \frac{\pi}{2} \big )$

(A) $\sin 2 x$

(B) $\tan x$

(C) $\cos x$

(D) $\cos 3 x$

~~ 51. फ़ंक्शन $f(x)=\tan x-x$

(A) हमेशा वृद्धि होता है

(B) हमेशा घटाव होता है

(C) कभी भी वृद्धि नहीं होता है

(D) कभी दोनों में से कुछ बढ़ता है और कभी कुछ घटता है।

~~ 52. यदि $x$ वास्तविक है, तो $x^{2}-8 x+17$ का न्यूनतम मान क्या है

(A) -1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

~~ 53. बहुपद $x^{3}-18 x^{2}+96 x$ का सबसे छोटा मान $[0,9]$ में क्या है

(A) 126

(B) 0

(C) 135

(D) 160

~~ 54. फ़ंक्शन $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+4$ में

(A) दो स्थानीय अधिकतम बिंदु होते हैं

(B) दो स्थानीय न्यूनतम बिंदु होते हैं

(C) एक अधिकतम और एक न्यूनतम है

(D) कोई अधिकतम या न्यूनतम नहीं है

~~ 55. $\sin x \cdot \cos x$ का अधिकतम मान क्या है

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\sqrt{2}$

(D) $2 \sqrt{2}$

~~ 56. $x=\frac{5 \pi}{6}$ पर $f(x)=2 \sin 3 x+3 \cos 3 x$:

(A) अधिकतम होता है

(B) न्यूनतम होता है

(C) शून्य होता है

(D) न अधिकतम होता है और न न्यूनतम।

~~

57. मांग की अधिकतम ढलान $y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x-27$ है:

(A) 0

(B) 12

(C) 16

(D) 32

~~ 58. $f(x)=x^{x}$ का एक स्थिर बिंदु है

(A) $x=e$

(B) $x=\frac{1}{e}$

(C) $x=1$

(D) $x=\sqrt{e}$

~~ 59. $\frac{1}x^{x}$ की अधिकतम मान है:

(A) $e$

(B) $e^{e}$

(C) $e^{\frac{1}{e}}$

(D) $ \big ( \frac{1}{e} \big )^{\frac{1}{e}} $

इनमे से प्रत्येक अभ्यास 60 से 64 के लिए रिक्त स्थानों को भरें:

~~ 60. तत्व $y=4 x^{2}+2 x-8$ और $y=x^{3}-x+13$ एक दूसरे को छूते हैं उस बिंदु पर______________.

~~ 61. तत्व $y=\tan x$ की सामान्य का समीकरण $(0,0)$ पर होता है______________.

~~ 62. $f(x)=\sin x-a x+b$ का वालुए संख्याओं की मान जिनके लिए फ़ंक्शन $f(x)$ $\mathbf{R}$ पर बढ़ता है______________.

~~ 63. $f(x)=\frac{2 x^{2}-1}{x^{4}}, x>0$ का फ़ंक्शन ______________ के बीच घटता है.

~~ 64. $f(x)=a x+\frac{b}{x}(a>0, b>0, x>0)$ का कमतरतम मूल्य ___________________ है.

समाधान

~~ 3. $8 m / s$

~~ 4. $\big(\sqrt{2-\sqrt{2}}\big) v$ unit/sec.

~~ 5. $\theta=\frac{\pi}{3}$

~~ 6. 31.92

~~ 7. $0.018 \pi cm^{3}$

~~ 8. $2 \frac{2}{3} m / s$ towards light, $-1 m / s$

~~ 9. 2000 litres/s, 3000 litre/s

~~ 11. $2 x^{3}-3 x+1$

~~ 12. $k^{2}=8$

~~ 14. $(4,4)$

~~ 15. $\tan ^{-1} \Big(\frac{4 \sqrt{2}}{7}\Big)$

~~ 17. $x+3 y= \pm 8$

~~ 18. $(3,2),(-1,2) $

~~ 23. $(1,-16)$, मांग की अधिकतम ढलान $=12$

~~ 26. $x=1$ स्थानीय अधिकतम का विन्दु है; लोकल मैक्सिमम $=0$

$x=3$ स्थानीय न्यूनतम का विन्दु है; लोकल मिनिमम $=-28$

$x=0$ में आन्तरिक बिन्दु है।

~~ 27. रु 100

~~ 30. $6 cm, 12 cm, 864 \pi cm^{3}$