अध्याय 3

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन

3.1 अवलोकन

3.1.1 शब्द ‘त्रिकोणमितीय’ यूनानी शब्द ‘त्रिगन’ और ‘मेट्रान’ से लिया गया है, जिसका अर्थ होता है त्रिभुज की पक्षों को मापना। कोण एक निश्चित रेखांकन से एक निश्चित रेखा के संबंध में घूरती रेखा की चोटी की माप है। अगर घूरन घूरन प्रदेश हाथ की ओर से हो तो कोण नकारात्मक होता है और यदि घूरन घूरन प्रदेश प्रति-घड़ी की दिशा में होता है, तो यह सकारात्मक होता है। आमतौर पर हम कोणों को मापन के लिए दो प्रकार की सूचनाएं अपनाते हैं, अर्थात, (i) सेक्सेज़ीमल प्रणाली (ii) परिपथ प्रणाली।

सेक्सेक्सीमल प्रणाली में मापन की इकाई डिग्री होती है। यदि प्रारंभिक से अंतिम पर घूरती से घड़ी की $\frac{1}{360}$ भाग होती है, तो कोण की माप $1^{\circ}$ मानी जाती है। इस प्रणाली में श्रेणियां इस प्रकार हैं:

$ \begin{aligned} & 1^{\circ}=60^{\prime} \\ & 1^{\prime}=60^{\prime \prime} \end{aligned} $

परिपथ प्रणाली में मापन की इकाई रैडियन होती है। एक वृत्त के केंद्र में से उत्पन्न त्रिज्यांक PQ की लंबाई $s$ रैडियन संकेतांक $\theta$ द्वारा व्याप्त की जाती है, जहां $\theta$ वृत्त के केंद्र में PQ की व्यापकता को रैडियन में मापे गए हैं।

3.1.2 डिग्री और रैडियन के बीच संबंध

एक वृत्त का परिधि हमेशा अपने व्यास के एक स्थायी अनुपात में होती है। यह स्थायी अनुपात एक संख्या होती है जिसे $\pi$ के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जो सभी प्रायोगिक उद्देश्य के लिए लगभग $\frac{22}{7}$ के रूप में लिया जाता है। डिग्री और रैडियन माप के बीच संबंध इस प्रकार है:

$ \begin{aligned} 2 \text{ दाई कोण } & =180^{\circ}=\pi \text{ रेडियन } \\ 1 \text{ रेडियन } & =\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime}(\text{ अनुमानित }) \\ 1^{\circ} & =\frac{\pi}{180} \text{ रेडियन }=0.01746 \text{ रेडियन (अनुमानित) } \end{aligned} $

3.1.3 त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय अनुपात को न्यूनतम कोणों के त्रिभुज की पक्षों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। त्रिकोणमितीय अनुपातों की विस्तारणक्षमता त्रिभुज के लिए किसी भी कोण तक रादियन माप (वास्तविक संख्या) में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कहलाते हैं। विभिन्न चतुर्थांकों में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के चिन्ह निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

3.1.4 त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की डोमेन और सीमा

३.१.५ कुछ $९०^{\circ}$ से कम कोणों के साइन, कोसाइन और टैन्जेंट

३.१.६ संबद्ध या संबंधित कोणें $\frac{n \pi}{२} \pm \theta$ कहलाते हैं और $\theta \pm n \times ३६०^{\circ}$ को coterminal कोणें कहा जाता है। सामान्य छूट के लिए, हमारे पास निम्नलिखित नियम हैं। $(\frac{n \pi}{२} \pm \theta)$ के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की मान संख्यात्मक रूप से समान होगी

(a) यदि $n$ सम पूर्णांक है, तो समान फ़ंक्शन की मान कोणों के क्वाड्रेंट के आधार पर बीजगणित चिन्ह के साथ होगी।

(b) यदि $n$ विषम पूर्णांक है, तो उस क्षेत्र में फ़ंक्शन की संशोधित समकोण की मान होगी। यहां साइन और कोसाइन, टैन और कोट, सेक और कोसेक एक दूसरे के संशोधित संबंध होते हैं।

३.१.७ नकारात्मक कोणों के फ़ंक्शन परिभाषित करें, $\theta$ एक कोण है। तब

$ \begin{aligned} \sin (-\theta) & =-\sin \theta, \cos (-\theta)=\cos \theta \\ \tan (-\theta) & =-\tan \theta, \cot (-\theta)=-\cot \theta \\ \sec (-\theta) & =\sec \theta, \cosec(-\theta)=-\cosec \theta \end{aligned} $

३.१.८ संयुक्त कोणों के बारे में कुछ सूत्र

दो या दो से अधिक कोणों के सम कोण संयोजन को संयुक्त कोण कहते हैं। इस दिशा में मुख्य प्राप्तियों को त्रिकोणमितीय पहचानों के नाम से जाना जाता हैं जैसा कि नीचे दिया गया है:

(i) $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$

(ii) $\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B$

(iii) $\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$

(iv) $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$

(v) $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{१-\tan A \tan B}$

(vi) $\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{१+\tan A \tan B}$ (vii) $\cot (A+B)=\frac{\cot A \cot B-१}{\cot A+\cot B}$

(viii) $\cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B+१}{\cot B-\cot A}$

(ix) $\sin २ A=२ \sin A \cos A=\frac{२ \tan A}{१+\tan ^{२} A}$

(x) $\cos २ A=\cos ^{२} A-\sin ^{२} A=१-२ \sin ^{२} A=२ \cos ^{२} A-१=\frac{१-\tan ^{२} A}{१+\tan ^{२} A}$

(xi) $\tan २ A=\frac{२ \tan A}{१-\tan ^{२} A}$

(xii) $\sin ३ A=३ \sin A-४ \sin ^{३} A$

(xiii) $\cos ३ A=४ \cos ^{३} A-३ \cos A$

(xiv) $\tan ३ A=\frac{३ \tan A-\tan ^{३} A}{१-३ \tan ^{२} A}$

(xv) $\cos A+\cos B=२ \cos \frac{A+B}{२} \cos \frac{A-B}{२}$

(xvi) $टूट ए \ - ज़ो \पल बी =२ \सिन \फ़्रैक्शन{ए + ब}{२} \सिन \फ़्रैक्शन{ब - ए}{२}$

(xvii) $सिन ए + सिन ब = २ \सिन \फ़्रैक्शन{ए + ब}{२} \कॉस \फ़्रैक्शन{ए - ब}{२}$

(xviii) $सिन ए - सिन ब = २ \कॉस \फ़्रैक्शन{ए + ब}{२} \सिन \फ़्रैक्शन{ए - ब}{२}$

(xix) $२ \सिन ए \कॉस ब = सिन (ए + ब)+सिन (ए - ब)$

(xx) $२ \कॉस ए \सिन ब = सिन (ए + ब)-सिन (ए - ब)$

(xxi) $२ \कॉस ए \कॉस ब = कॉस (ए + ब)+कॉस (ए - ब)$

(xxii) $२ \सिन ए \सिन ब = कॉस (ए - ब)-कॉस (ए + ब)$

(xxiii) $सिन \फ़्रैक्शन{ए}{२}= \pm \√{\frac{१-कॉस ए}{२}} \quad \begin{aligned} & + \तो अगर \फ़्रैक्शन{ए}{२} \

(iii) यदि $\tan \theta=\tan \alpha$ या $\cot \theta=\cot \alpha$ हो, तो

$\theta=n \pi+\alpha, n \in \mathbf{Z}$, दोनों समीकरणों का सामान्य समाधान देता है।

(iv) $\sin ^{2} \theta=\sin ^{2} \alpha, \cos ^{2} \theta=$ $\cos ^{2} \alpha$ और

$\tan ^{2} \theta=\tan ^{2} \alpha$ में से किसी भी समीकरण को सनातन मान $\theta=n \pi \pm \alpha$ द्वारा दिया जाता है।

(v) $\sin \theta=\sin \alpha$ और $\cos \theta=\cos \alpha$ समकालीन रूप में समीकरण को सनातन मान $\theta=2 n \pi+\alpha, n \in \mathbf{Z}$ द्वारा दिया जाता है।

(vi) $a \cos \theta+b \sin \theta=c$ प्रकार के समीकरण का समाधान ढूंढ़ने के लिए, हम $a=r \cos \alpha$ और $b=r \sin \alpha$ रखते हैं, ताकि $r^{2}=a^{2}+b^{2}$ और $\tan \alpha=\frac{b}{a}$।

इस प्रकार हम पाते हैं $a \cos \theta+b \sin \theta=c$ को बदल गया है $r(\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha)=c$

या $\quad r \cos (\theta-\alpha)=c$ और इसलिए $\cos (\theta-\alpha)=\frac{c}{r}$। इससे दिया गया समीकरण का समाधान मिलता है।

व्यक्ति और न्यूनतम मान $A \cos \theta+B \sin \theta$ के व्यक्ति और न्यूनतम मान $\sqrt{A^{2}+B^{2}}$ और $-\sqrt{A^{2}+B^{2}}$ में होते हैं, जहां $A$ और $B$ मान होते हैं।

3.2 हल किए गए उदाहरण

लघु उत्तर प्रकार

~~ उदाहरण 1 $3 cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्तीय तार को काटकर और मोड़कर ऐसा बनाया जाता है कि यह एक हूप की परिधि पर चढ़ता है, जिसका त्रिज्या $48 cm$ है। हूप के केंद्र में सुरम्यित का कोण ढूंढ़ें।

समाधान दिया गया कि वृत्तीय तार $3 cm$ त्रिज्या का है, इसलिए जब यह काटा जाता है तो उसकी लम्बाई $=2 \pi \times 3=6 \pi cm$। फिर यह एक $48 cm$ त्रिज्या वाले वृत्तीय हूप के साथ रखा जाता है। यहां, $s=6 \pi cm$ वृत्त की चाप की लंबाई है और $r=48 cm$ वृत्त का त्रिज्या है। इसलिए, चाप की कोण $\theta$, रेडियन में, वृत्त के केंद्र पर प्रतिभेदित करता है, यह द्वारा दिया जाता है

$ \theta=\frac{\text{ Arc }}{\text{ Radius }}=\frac{6 \pi}{48}=\frac{\pi}{8}=22.5^{\circ} $

~~ उदाहरण 2 यदि $A=\cos ^{2} \theta+\sin ^{4} \theta$ हर मान के लिए $\theta$, तो सिद्ध करें कि $\frac{3}{4} \leq A \leq 1$।

समाधान है कि $A=\cos ^{2} \theta+\sin ^{4} \theta=\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \sin ^{2} \theta \leq \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$

इसलिए,

$ A \leq 1 $

और,

$ \begin{aligned} A & =\cos ^{2} \theta+\sin ^{4} \theta=(1-\sin ^{2} \theta)+\sin ^{4} \theta \\ & =(\sin ^{2} \theta-\frac{1}{2})^{2}+(1-\frac{1}{4})=(\sin ^{2} \theta-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} \end{aligned} $

इसलिए, $\frac{3}{4} \leq A \leq 1$।

~~ उदाहरण 3 $\sqrt{3} cosec 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}$ की मान ढूंढ़ें

समाधान है

$ \begin{aligned} \sqrt{3} cosec 20^{\circ}-\sec 20^{\circ} & =\frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}} \\ & =\frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}=4(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}) \\ & =4(\frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}) $

की $\sin \theta+\sin 3 \theta+\sin 5 \theta=0$

अगर $x \cos \theta=y \cos (\theta+\frac{2 \pi}{3})=z \cos (\theta+\frac{4 \pi}{3})$ है, तो $x y+y z+z x$ की मान्यता का हिसाब लगाएं।

समझिए कि $x y+y z+z x=x y z(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ होता है।

अगर हम $x \cos \theta=y \cos (\theta+\frac{2 \pi}{3})=z \cos (\theta+\frac{4 \pi}{3})=k$ (ऐसा कहीं),

तो

$ x=\frac{k}{\cos \theta}, y=\frac{k}{\cos (\theta+\frac{2 \pi}{3})} \text{ एवं } z=\frac{k}{\cos (\theta+\frac{4 \pi}{3})} $

जिससे $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{k}[\cos \theta+\cos (\theta+\frac{2 \pi}{3})+\cos (\theta+\frac{4 \pi}{3})]$

$ \begin{aligned} = & \frac{1}{k}[\cos \theta+\cos \theta \cos \frac{2 \pi}{3}-\sin \theta \sin \frac{2 \pi}{3}. \\ & .+\cos \theta \cos \frac{4 \pi}{3}-\sin \theta \sin \frac{4 \pi}{3}] \\

बाएं कुंजी $\text{{प्रत्येक}} \neq 0$ की लिखने के लिये करने के लिए

$-2 \sin ^{2} \beta-4 \sin \alpha \sin \beta \sin \alpha \sin \beta+\cos 2 \alpha$

$=-2 \sin ^{2} \beta-4 \sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha+\sin ^{2} \beta$

$=-2 \sin ^{2} \beta-4(1-\cos ^{2} \alpha) \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha+\sin ^{2} \beta$

$=-2 \sin ^{2} \beta-4 \sin ^{2} \beta+4 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha+\sin ^{2} \beta$

$=-7 \sin ^{2} \beta+4 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha$

$=-7 \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha+\cos 2 \alpha \sin ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha(1+\sin ^{2} \beta)+\cos 2 \alpha \sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha+\cos 2 \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha \sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha(1+\sin ^{2} \beta)$

$=\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta+\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta+\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha(\cos ^{2} \beta+1)+\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \beta$

$=\cos 2 \alpha(\cos ^{2} \beta+1)+\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \beta(\cos ^{2} \beta+1)$

$=\cos 2 \alpha(\cos ^{2} \beta+1)-\cos ^{2} \beta(\cos ^{2} \beta+1)$

$=(\cos ^{2} \beta+1)(\cos 2 \alpha-\cos ^{2} \beta)$

$=\cos ^{2} \beta(1+\cos 2 \alpha-\cos ^{2} \beta)$

$=\cos ^{2} \beta(\cos 2 \alpha-(1-\cos ^{2} \beta))$

$=\cos ^{2} \beta(\cos 2 \alpha-\sin ^{2} \beta)$

$=\cos ^{2} \beta(\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta+\cos 2 \alpha-\sin ^{2} \beta)$

$=\cos ^{2} \beta(\cos 2 \alpha \cos ^{2} \beta+\cos 2 \alpha-\sin ^{2} \beta)$

$=\cos ^{2} \beta(\cos ^{2} \beta(1+\cos 2 \alpha))$

$=\cos ^{2} \beta \cos ^{2} \beta(1+\cos 2 \alpha)$

$=\cos ^{2} \beta \cos ^{2} \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos \beta \cos \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos \beta(1-\sin ^{2} \beta) \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos \beta(1 \cos ^{2} \beta) \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos ^{3} \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos ^{2} \beta \cos \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{4} \beta \cos \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos \beta \cos \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos 2 \beta \cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos 2 \beta \cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha$

$=\cos ^{2} \beta \cos 2 \beta \cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha$

$=\cos 2 \alpha(\cos ^{2} \beta \cos 2 \beta-1)$

$=\cos 2 \alpha(\cos ^{2} \beta-\sin ^{2} \beta)$

$=\cos 2 \alpha(\cos 2 \beta)$

$=\cos 2 \alpha(\cos \beta)^{2}$

$=\cos 2 \alpha(\cos 2 \alpha)$

$=(\cos 2 \alpha)^{2}$

$=\text{{RHS}}$

ऊपरी शैलीबद्ध और अक्षरों के साथ एक उद्धरण है

यहां नीचे लिखा गया है:

& +(\cos 2 \alpha \cos 2 \beta-\sin 2 \alpha \sin 2 \beta) \

= & 2 \sin ^{2} \beta+4 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta-4 \sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta \

& +\cos 2 \alpha \cos 2 \beta-\sin 2 \alpha \sin 2 \beta \

= & 2 \sin ^{2} \beta+\sin 2 \alpha \sin 2 \beta-4 \sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+\cos 2 \alpha \cos 2 \beta-\sin \

& 2 \alpha \sin 2 \beta !CLAIM: \ (\ cos 2 \ beta) - (2 \ sin ^ {2} \ alpha) (2 \ sin ^ {2} \ beta) + \ cos 2 \ alpha \ cos 2 \ beta \ quad \ text {(Why?)} \

\ begin {aligned} & = (1- \ cos 2 \ beta) - (2 \ sin ^ {2} \ alpha)(2 \ sin ^ {2} \ beta) + \ cos 2 \ alpha \ cos 2 \ beta \ quad \ text { (Why?)}
\ end {aligned} $

\ begin {aligned} & = (1- \ cos 2 \ beta) - (1- \ cos 2 \ alpha)(1- \ cos 2 \ beta) + \ cos 2 \ alpha \ cos 2 \ beta
& = \ cos 2 \ alpha \ \ text {(Why?)}
\ end {aligned} $

उदहारण 13 यदि कोण $ \ theta $ को दो भागों में विभाजित किया जाता है, जैसे कि एक भाग की घुसलभूत कोण $k $ हटाऊ बार अन्य द्वारा घुसलभूत कोण, और $ \ phi $ उनका अंतर है, तो दिखाएं कि साइन \ theta = \ frac {k + 1} {k-1} \sin \ phi

समाधान परिभाषित विभाजित कीजिए कि~ \ theta = \ alpha + \ beta। तो \ तन \ alpha = k \ तन \ beta या

$ \ frac {\ tan \ alpha} {\ tan \ beta} = \ frac {k} {1}$

कंप्यूट करने और विभाजित करने योग्य करने के बाद हमारे पास है

या

$ \ begin {aligned} & \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {\ tan \ alpha- \ tan \ beta} = \ frac {k +1} {k-1} \ या \ \ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta} {\ sin \ alpha \ cos \ beta- \ cos \ alpha \ sin \ beta} = \ frac {k +1} {k-1} \ text {Why? } \ end {aligned} $

अर्थात,

साइनलाइन

केवल जब $ \ alpha - \ beta = \ phi $ और $ \ alpha + \ beta = \ theta $ होता है। इसलिए,

$ \ frac {\साइन \ थीटा} {\साइन \ फी} = \ frac {k + 1} {k-1} \ quad \ या \ quad \ साइन \ थीटा = \ frac {k + 1} {k-1} \ साइन \ फी

उदाहरण 14 हल करें \ sqrt {3} \ कॉस \ theta + \ साइन \ theta = \ sqrt {2}

समाधान। दिए गए समीकरण को 2 से विभाजित करके प्राप्त करें

$ \ begin {aligned} & \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ कॉस \ theta + \ frac {1} {2} \ साइन \ theta = \ frac {1} {\ sqrt {2}} या \ कॉस \ \ frac {\ pi} {6} \ कॉस \ \ theta \ + \ साइन \ \ frac {\ pi} {6} \ \ थिटा \ = \ कॉस \ \ frac {\ pi} {4} \ या \ वो \ \ कॉस \ (\ frac {\ pi} {6} - \ theta) = \ कॉस \ \ frac {\ pi} {4} \ या \ व्रत \ (\ theta- \ फ्रैक {\ pi} {6}) = \ \ कॉस \ \ frac {\ pi} {4} \ end {aligned} $

इस प्रकार, समाधान हैं, अर्थात $ \ थीटा = 2 m \ पी \ \ पी \ pm \ \ \ फ्रैक {\ pi} {4} + \ फ्रैकिक {\ pi} {6}$

इसलिए समाधान हैं

$ \theta = 2 m \ पी + \ फ्रैक {\ pi} {4} + \ \ फ्रैक {\ pi} {6}$ और $ \ \ θ = 2 m \ पी - \ फ्रैक {\ pi} {4} + \ \ फ्रैक {\ pi} {6}$, अर्थात, \ \ थीटा = 2 पी + \ \ फ्रैक। {5 पी} {12} और $ \theta = 2 m \ पी - \ \ फ्रैक {\ pi} {12}

उदाहरण 16:यदि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ समीकरण $a x^{2}-b x+c=0$ की जड़ें हैं, तो $a$, $b$ और $c$ की संबंध संतुलन को पूरा करते हैं।

(A) $a^{2}+b^{2}+2 a c=0$

(B) $a^{2}-b^{2}+2 a c=0$

(C) $a^{2}+c^{2}+2 a b=0$

(D) $a^{2}-b^{2}-2 a c=0$

समाधान सही विकल्प (B) है। दिया गया है कि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ समीकरण $a x^{2}-b x+c=0$ की जड़ें हैं, इसलिए $\sin \theta+\cos \theta=\frac{b}{a}$ और $\sin \theta \cos \theta=\frac{c}{a}$।

हमें Identity $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करना होगा, इससे हमें यह ज्ञात होता है

$ \frac{b^{2}}{a^{2}}=1+\frac{2 c}{a} \text{ या } a^{2}-b^{2}+2 a c=0 $

दिए गए समाधान $3 \tan (\theta-15^{\circ})=\tan (\theta+15^{\circ})$ के लिए, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

$ \frac{\tan (\theta+15^{\circ})}{\tan (\theta-15^{\circ})}=\frac{3}{1} $

कम्पोनेंडो और डिविडेंडो को लागू करना; हमें $\frac{\tan (\theta+15^{\circ})+\tan (\theta-15^{\circ})}{\tan (\theta+15^{\circ})-\tan (\theta-15^{\circ})}=2$ मिलता है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \frac{\sin (\theta+15^{\circ}) \cos (\theta-15^{\circ})+\sin (\theta-15^{\circ}) \cos (\theta+15^{\circ})}{\sin (\theta+15^{\circ}) \cos (\theta-15^{\circ})-\sin (\theta-15^{\circ}) \cos (\theta+15^{\circ})}=2 \\ & \Rightarrow \frac{\sin 2 \theta}{\sin 30^{\circ}}=2 \text{ अर्थात् }, \sin 2 \theta=1 \quad \text{ (क्यों?) } \\ & \text{ इसलिए } \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned} $

बताएं कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य. अपने उत्तर की गवाही दें

~~ उदाहरण 21 “$2^{\sin \theta}+2^{\cos \theta} \geq 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ असम्यकता सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है”

समाधान यथार्थ है. क्योंकि $2^{\sin \theta}$ और $2^{\cos \theta}$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए क्रम-अंक (धारी राशि) इन दोनों संख्याओं का अर्थिक माध्यम (A.M.) इनके ज्यामिति माध्यम (G.M.) से अधिक या उसके बराबर होता है और इसलिए

$ \begin{aligned} & \frac{2^{\sin \theta}+2^{\cos \theta}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin \theta} \times 2^{\cos \theta}}=\sqrt{2^{\sin \theta+\cos \theta}} \\ & \geq 2^{\frac{\sin \theta+\cos \theta}{2}}=2^{\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta)} \\ & \geq 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4}+\theta)} \\ & -1 \leq \sin (\frac{\pi}{4}+\theta) \leq 1, \text{ हमें मिलता है } \\ & \frac{2^{\sin \theta}+2^{\cos \theta}}{2} \geq 2^{\frac{-1}{\sqrt{2}}} \Rightarrow 2^{\sin \theta}+2^{\cos \theta} \geq 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{aligned} $

प्रत्येक वस्तु को इसके सही उत्तर के साथ मिलाने के लिए स्तंभ $C_1$ में दिए गए प्रति प्रश्न को, स्तंभ $C_2$ में दिए गए सही उत्तर के साथ मिलाओ

~~ उदाहरण 22

$\mathbf{C} _1$

(a) $\frac{1-\cos x}{\sin x}$

(b) $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$

(c) $\frac{1+\cos x}{\sin x}$

(d) $\sqrt{1+\sin 2 x}$

$\mathbf{C} _2$

(i) $\quad \cot ^{2} \frac{x}{2}$

(ii) $\cot \frac{x}{2}$

(iii) $|\cos x+\sin x|$

(iv) $\tan \frac{x}{2}$

समाधान

(a) $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}=\tan \frac{x}{2}$.

इसलिए (a) का सही उत्तर (iv) से मिलता है, जिसे (a) $\rightarrow$ (iv) के द्वारा दर्शाया जाता है (b) $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}=\cot ^{2} \frac{x}{2}$. इसलिए (b) का सही उत्तर (i) के साथ मिलता है, अर्थात्, (b) $\rightarrow$ (i)

(c) $\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}=\cot \frac{x}{2}$.

इसलिए (c) का सही उत्तर (ii) के साथ मिलता है, ता (c) $\rightarrow$ (ii)

(d) $\sqrt{1+\sin 2 x}=\sqrt{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(\sin x+\cos x)^{2}} \\ & =|(\sin x+\cos x)| . \text{ इसलिए (d) का सही उत्तर (iii) के साथ मिलता है, ता (d) } \rightarrow \text{ (iii) } \end{aligned} $

3.3 अभ्यास

संक्षेप उत्तर प्रकार

~~

1. साबित करें कि $\frac{\tan A+\sec A-1}{\tan A-\sec A+1}=\frac{1+\sin A}{\cos A}$

~~ 2. यदि $\frac{2 \sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}=y$ है, तो साबित करें कि $\frac{1-\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\sin \alpha}$ भी $y$ के बराबर है।

$ [\text{ संकेत: } \frac{1-\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\sin \alpha}=\frac{1-\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\sin \alpha} \cdot \frac{1+\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}] $

~~ 3. यदि $m \sin \theta=n \sin (\theta+2 \alpha)$ है, तो साबित करें कि $\tan (\theta+\alpha) \cot \alpha=\frac{m+n}{m-n}$ है।

[ संकेत: $\frac{\sin (\theta+2 \alpha)}{\sin \theta}=\frac{m}{n}$ को व्यक्त करें और componendo और dividendo का उपयोग करें]

~~ 4. यदि $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$ और $\sin (\alpha-\beta)=\frac{5}{13}$ है, जहाँ $\alpha$ 0 और $\frac{\pi}{4}$ के बीच है, तो $\tan 2 \alpha$ की मान ढूंढें [ संकेत: $\tan 2 \alpha$ को $\tan (\alpha+\beta+\alpha-\beta$ के रूप में व्यक्त करें ]

~~ 5. यदि $\tan x=\frac{b}{a}$ है, तो $\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$ की मान ढूंढें

~~ 6. साबित करें कि $\cos \theta \cos \frac{\theta}{2}-\cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}=\sin 7 \theta \sin 8 \theta$।

[ संकेत: L.H.S. $\frac{1}{2}[2 \cos \theta \cos \frac{\theta}{2}-2 \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}.$ व्यक्त करें ]

~~ 7. यदि $a \cos \theta+b \sin \theta=m$ है और $a \sin \theta-b \cos \theta=n$ है, तो साबित करें कि $a^{2}+b^{2}=m^{2}+n^{2}$

~~ 8. $\tan 22^{\circ} 30^{\prime}$ की मान ढूंढें।

[ संकेत: $\theta=45^{\circ}$ लेने के लिए, $\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$ का उपयोग करें ]

~~ 9. साबित करें कि $\sin 4 A=4 \sin A \cos ^{3} A-4 \cos A \sin ^{3} A$।

~~ 10. यदि $\tan \theta+\sin \theta=m$ है और $\tan \theta-\sin \theta=n$ है, तो साबित करें कि $m^{2}-n^{2}=4 \sin \theta \tan \theta$ [ संकेत: $m+n=2 \tan \theta, m-n=2 \sin \theta$ का उपयोग करें, फिर $m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)$ का उपयोग करें ]

~~ 11. यदि $\tan (A+B)=p, \tan (A-B)=q$ है, तो साबित करें कि $\tan 2 A=\frac{p+q}{1-p q}$ [ संकेत: $2 A=(A+B)+(A-B)$ का उपयोग करें ]

~~ 12. यदि $\cos \alpha+\cos \beta=0=\sin \alpha+\sin \beta$ है, तो साबित करें कि $\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta=-2 \cos (\alpha+\beta)$। [ संकेत: $(\cos \alpha+\cos \beta)^{2}-(\sin \alpha+\sin \beta)^{2}=0$ का उपयोग करें ]

~~ 13. यदि $\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{a+b}{a-b}$ है, तो साबित करें कि $\frac{\tan x}{\tan y}=\frac{a}{b}$ [ संकेत: Componendo and Dividendo का उपयोग करें].

~~ 14. यदि $\tan \theta=\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}$ है, तो साबित करें कि $\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} \cos \theta$।

[ संकेत: $\tan \theta=\tan (\alpha-\frac{\pi}{4}) \quad \theta=\alpha-\frac{\pi}{4}$ का उपयोग करें ]

~~ 15. यदि $\sin \theta+\cos \theta=1$ है, तो $\theta$ का सामान्य मान ढूंढें।

~~ 16. $\tan \theta=-1$ और $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $\theta$ के सबसे सामान्य मान का पता लगाएं।

~~ 17. यदि $\cot \theta+\tan \theta=2 cosec \theta$ है, तो $\theta$ का सामान्य मान ढूंढें।

~~

18. यदि $2 \sin ^{2} \theta=3 \cos \theta$ हो, जहां $0 \leq \theta \leq 2 \pi$, तो $\theta$ की मान का पता करें।

~~ 19. यदि $\sec x \cos 5 x+1=0$ हो, जहां $0<x \leq \frac{\pi}{2}$, तो $x$ की मान का पता करें।

लंबे उत्तर प्रकार

~~ 20. यदि $\sin (\theta+\alpha)=a$ और $\sin (\theta+\beta)=b$ होता है, तो सिद्ध करें कि $\cos 2(\alpha-\beta)-4 a b \cos (\alpha-\beta)=1-2 a^{2}-2 b^{2}$

[संकेत: $\cos (\alpha-\beta)=\cos ((\theta+\alpha)-(\theta+\beta))$ को व्यक्त करें]

~~ 21. यदि $\cos (\theta+\phi)=m \cos (\theta-\phi)$ हो, तो सिद्ध करें कि $\tan \theta=\frac{1-m}{1+m} \cot \phi$।

[संकेत: $\frac{\cos (\theta+\phi)}{\cos (\theta-\phi)}=\frac{m}{1}$ को व्यक्त करें और Componendo और Dividendo लागू करें]

~~ 22. अभिव्यक्ति की मान पता करें

$3[\sin ^{4}(\frac{3 \pi}{2}-\alpha)+\sin ^{4}(3 \pi+\alpha)]-2\sin ^{6}(\frac{\pi}{2}+\alpha)+\sin ^{6}(5 \pi-\alpha)]$

~~ 23. यदि $a \cos 2 \theta+b \sin 2 \theta=c$ के रूप में $\alpha$ और $\beta$ अपनी जड़ रखता है, तो सिद्ध करें कि $\tan \alpha+\tan \beta=\frac{2 b}{a+c}$।

[संकेत: अभिजाति $\cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$ और $\sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$ प्रयोग करें]।

~~ 24. यदि $x=\sec \phi-\tan \phi$ और $y=cosec \phi+\cot \phi$ हो, तो सिद्ध करें कि $x y+x-y+1=0$ [संकेत: $x y+1$ ढूंढें और फिर सिद्ध करें कि $x-y=-(x y+1)$]

~~ 25. यदि $\theta$ प्रथम चतुर्भुज में रहता है और $\cos \theta=\frac{8}{17}$ है, तो $\cos (30^{\circ}+\theta)+\cos (45^{\circ}-\theta)+\cos (120^{\circ}-\theta)$ की मान पता करें।

~~ 26. अभिव्यक्ति की मान पता करें $\cos ^{4} \frac{\pi}{8}+\cos ^{4} \frac{3 \pi}{8}+\cos ^{4} \frac{5 \pi}{8}+\cos ^{4} \frac{7 \pi}{8}$

[संकेत: अभिव्यक्ति को $2(\cos ^{4} \frac{\pi}{8}+\cos ^{4} \frac{3 \pi}{8})$

$=2[(\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8})^{2}-2 \cos ^{2} \frac{\pi}{8} \cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}]$ में सरल रूप में लाया जा सकता है।

~~ 27. विधान $5 \cos ^{2} \theta+7 \sin ^{2} \theta-6=0$ का सामान्य समाधान पता करें

~~ 28. विधान का सामान्य समाधान पता करें

$\sin x-3 \sin 2 x+\sin 3 x=\cos x-3 \cos 2 x+\cos 3 x$

~~ 29. यदि $(\sqrt{3}-1) \cos \theta+(\sqrt{3}+1) \sin \theta=2$ हो, तो सामान्य समाधान पता करें

[संकेत: पुत्र $\sqrt{3}-1=r \sin \alpha, \sqrt{3}+1=r \cos \alpha$ है, जिससे $\tan \alpha=\tan (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})$

$ .\alpha=\frac{\pi}{12}] $

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

अभ्यास 30 से 59 (M.C.Q.) में दी गई चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 30. यदि $\sin \theta+cosec \theta=2$ हो, तो $\sin ^{2} \theta+cosec^{2} \theta$ क्या है?

(A) 1

(B) 4

(C) 2

(D) ये कोई नहीं

~~ 31. यदि $f(x)=\cos ^{2} x+\sec ^{2} x$ हो, तो

(A) $f(x)<1$

(B) $f(x)=1$

(C) $2<f(x)<1$

(D) $f(x) \geq 2$

[संकेत: $\quad$ A.M $\geq$ G.M.]

~~ 32. यदि $\tan \theta=\frac{1}{2}$ और $\tan \phi=\frac{1}{3}$ हो, तो $\theta+\phi$ की मान क्या होगी?

(A) $\frac{\pi}{6}$

(B) $\pi$

(C) 0

(D) $\frac{\pi}{4}$

~~ 33. निम्नलिखित में से कौन सही नहीं है?

(A) $\sin \theta=-\frac{1}{5}$

(B) $\cos \theta=1$

(C) $\sec \theta=\frac{1}{2}$

(D) $\tan \theta=20$

~~ 34. $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$ की मान है

(A) 0

(B) 1

(C) $\frac{1}{2}$

(D) परिभाषित नहीं

~~ 35. $\frac{1-\tan ^{2} 15^{\circ}}{1+\tan ^{2} 15^{\circ}}$ की मान है

(A) 1

(B) $\sqrt{3}$

(C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) 2

~~ 36. $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$ की मान है

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) 0

(C) 1

(D) -1

~~ 37. यदि $\tan \theta=3$ है और $\theta$ तीसरे क्षेत्र में है, तो $\sin \theta$ की मान है

(A) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

(B) $-\frac{1}{\sqrt{10}}$

(C) $\frac{-3}{\sqrt{10}}$

(D) $\frac{3}{\sqrt{10}}$

~~ 38. $\tan 75^{\circ}-\cot 75^{\circ}$ की मान बराबर है

(A) $2 \sqrt{3}$

(B) $2+\sqrt{3}$

(C) $2-\sqrt{3}$

(D) 1

~~ 39. निम्नलिखित में से कौन सही है?

(A) $\sin 1^{\circ}>\sin 1$

(B) $\sin 1^{\circ}<\sin 1$

(C) $\sin 1^{\circ}=\sin 1$

(D) $\sin 1^{\circ}=\frac{\pi}{18^{\circ}} \sin 1$

[संकेत: 1 रेडियन $=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 30^{\prime}$ लगभग $]$

~~ 40. यदि $\tan \alpha=\frac{m}{m+1}, \tan \beta=\frac{1}{2 m+1}$ है, तो $\alpha+\beta$ की मान बराबर है

(A) $\frac{\pi}{2}$

(B) $\frac{\pi}{3}$

(C) $\frac{\pi}{6}$

(D) $\frac{\pi}{4}$

~~ 41. $3 \cos x+4 \sin x+8$ का न्यूनतम मान है

(A) 5

(B) 9

(C) 7

(D) 3

~~ 42. $\tan 3 A-\tan 2 A-\tan A$ की मान बराबर है

(A) $\tan 3 A \tan 2 A \tan A$

(B) $-\tan 3 A \tan 2 A \tan A$

(C) $\tan A \tan 2 A-\tan 2 A \tan 3 A-\tan 3 A \tan A$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 43. $\sin (45^{\circ}+\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta)$ की मान है

(A) $2 \cos \theta$

(B) $2 \sin \theta$

(C) 1

(D) 0

~~ 44. $\cot (\frac{\pi}{4}+\theta) \cot (\frac{\pi}{4}-\theta)$ की मान है

(A) $\quad-1$

(B) 0

(C) 1

(D) परिभाषित नहीं

~~ 45. $\cos 2 \theta \cos 2 \phi+\sin ^{2}(\theta-\phi)-\sin ^{2}(\theta+\phi)$ की मान है

(A) $\sin 2(\theta+\phi)$

(B) $\cos 2(\theta+\phi)$

(C) $\sin 2(\theta-\phi)$

(D) $\cos 2(\theta-\phi)$

[संकेत: $\sin ^{2} A-\sin ^{2} B=\sin (A+B) \sin (A-B)$ ]

~~ 46. $\cos 12^{\circ}+\cos 84^{\circ}+\cos 156^{\circ}+\cos 132^{\circ}$ की मान है

(A) $\frac{1}{2}$

(B) 1

(C) $-\frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{8}$

~~ 47. यदि $\tan A=\frac{1}{2}, \tan B=\frac{1}{3}$ है, तो $\tan (2 A+B)$ की मान है

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

~~ 48. $\sin \frac{\pi}{10} \sin \frac{13 \pi}{10}$ की मान है

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $-\frac{1}{2}$

(C) $-\frac{1}{4}$

(D) 1

[संकेत: $\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ ]

~~ 49. $\sin 50^{\circ}-\sin 70^{\circ}+\sin 10^{\circ}$ की मान है

(A) 1

(B) 0

(C) $\frac{1}{2}$

(D) 2

~~ 50. यदि $\sin \theta+\cos \theta=1$ है, तो $\sin 2 \theta$ की मान है

(A) 1

(B) $\frac{1}{2}$

(C) 0

(D) -1

~~ 51. यदि $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$ है, तो $(1+\tan \alpha)(1+\tan \beta)$ की मान है

(A) 1

(B) 2

(C) -2

(D) परिभाषित नहीं

~~

कन्टेंट:

52. अगर $\sin \theta=\frac{-4}{5}$ है और $\theta$ तीसरे क्वर्टर में है, तो $\cos \frac{\theta}{2}$ का मान होगा

(A) $\frac{1}{5}$

(B) $-\frac{1}{\sqrt{10}}$

(C) $-\frac{1}{\sqrt{5}}$

(D) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

~~ 53. समीकरण $\tan x+\sec x=2 \cos x$ की समाधानों की संख्या $[0,2 \pi]$ द्वारा दी गई अंतराल में है

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

~~ 54. मान $\sin \frac{\pi}{18}+\sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{2 \pi}{9}+\sin \frac{5 \pi}{18}$ इसके समान है

(A) $\sin \frac{7 \pi}{18}+\sin \frac{4 \pi}{9}$

(B) 1

(C) $\cos \frac{\pi}{6}+\cos \frac{3 \pi}{7}$

(D) $\cos \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{9}$

~~ 55. अगर $A$ दूसरे क्वर्टर में है और $3 \tan A+4=0$ है, तो $2 \cot A-5 \cos A+\sin A$ का मान समान है

(A) $\frac{-53}{10}$

(B) $\frac{23}{10}$

(C) $\frac{37}{10}$

(D) $\frac{7}{10}$

~~ 56. मान $\cos ^{2} 48^{\circ}-\sin ^{2} 12^{\circ}$ है

(A) $\frac{\sqrt{5}+1}{8}$

(B) $\frac{\sqrt{5}-1}{8}$

(C) $\frac{\sqrt{5}+1}{5}$

(D) $\frac{\sqrt{5}+1}{2 \sqrt{2}}$

[हिन्ट: उपयोग करें $\cos ^{2} A-\sin ^{2} B=\cos (A+B) \cos (A-B)$ ]

~~ 57. अगर $\tan \alpha=\frac{1}{7}, \tan \beta=\frac{1}{3}$ है, तो $\cos 2 \alpha$ इसके समान है

(A) $\sin 2 \beta$

(B) $\sin 4 \beta$

(C) $\sin 3 \beta$

(D) $\cos 2 \beta$

~~ 58. अगर $\tan \theta=\frac{a}{b}$ है, तो $b \cos 2 \theta+a \sin 2 \theta$ इसके समान है

(A) $a$

(B) $b$

(C) $\frac{a}{b}$

(D) कोई नहीं

~~ 59. अगर वास्तविक मान $x$ के लिए $\cos \theta=x+\frac{1}{x}$ है, तो

(A) $\theta$ एक तीव्र कोण है

(B) $\theta$ एक दायीं कोण है

(C) $\theta$ एक तिक्ष्ण कोण है

(D) $\theta$ का कोई मान संभव नहीं है

अभ्यास 60 से 67 के लिए रिक्त स्थान भरें:

~~ 60. मान $\frac{\sin 50^{\circ}}{\sin 130^{\circ}}$ है

~~ 61. अगर $k=\sin (\frac{\pi}{18}) \sin (\frac{5 \pi}{18}) \sin (\frac{7 \pi}{18})$ है, तो $k$ की संख्यात्मक मान क्या है

~~ 62. अगर $\tan A=\frac{1-\cos B}{\sin B}$ है, तो $\tan 2 A=$

~~ 63. अगर $\sin x+\cos x=a$ है, तो

(i) $\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=$

(ii) $|\sin x-\cos x|=$

~~ 64. एक त्रिभुज $ABC$ में $\angle C=90^{\circ}$ है, जिसकी जड़ें $\tan A$ और $\tan B$ हैं, उसका समीकरण है

[हिन्ट: $A+B=90^{\circ} \Rightarrow \tan A \tan B=1$ और $\tan A+\tan B=\frac{2}{\sin 2 A}$ ]

~~ 65. $3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)=$

~~ 66. दिया गया है $x>0$, तो $f(x)=-3 \cos \sqrt{3+x+x^{2}}$ के मान अंतराल में होते हैं

~~ 67. फ़ंक्शन $y=\sqrt{3} \sin x+\cos x$ की ग्राफ पर एक बिंदु से $x$-अक्ष से अधिकतम दूरी क्या है

हर एक अभ्यास में 68 से 75, कोई बयान सही है या गलत? साथ ही संवर्धन दें.

~~ 68. अगर $\tan A=\frac{1-\cos B}{\sin B}$ है, तो तब $\tan 2 A=\tan B$

~~ 69. समता $\sin A+\sin 2 A+\sin 3 A=3$ का केवल कुछ वास्तविक मानों के लिए सत्य है।

~~ 70. $\sin 10^{\circ}$ से $\cos 10^{\circ}$ अधिक है।

~~ 71. $\cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{16 \pi}{15}=\frac{1}{16}$

~~

72. एक मान $\theta$ का जो समीकरण $\sin ^{4} \theta-2 \sin ^{2} \theta-1$ को संतुष्ट करता है, वह 0 और $2 \pi$ के बीच में होता है।

~~ 73. यदि $cosec x=1+\cot x$ हो, तो $x=2 n \pi, 2 n \pi+\frac{\pi}{2}$

~~ 74. यदि $\tan \theta+\tan 2 \theta+\sqrt{3} \tan \theta \tan 2 \theta=\sqrt{3}$ हो, तो $\theta=\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{9}$

~~ 75. यदि $\tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta)$ हो, तो $\cos (\theta-\frac{\pi}{4})= \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

~~ 76. निम्नलिखित में, प्रत्येक वस्तुसूची $C_1$ के अधीन दिए गए सही उत्तर के साथ मेल खाती है:

(a) $\sin (x+y) \sin (x-y)$ (i) $\cos ^{2} x-\sin ^{2} y$

(b) $\cos (x+y) \cos (x-y)$ (ii) $\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$

(c) $\cot (\frac{\pi}{4}+\theta)$ (iii) $\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}$

(d) $\tan (\frac{\pi}{4}+\theta)$ (iv) $\sin ^{2} x-\sin ^{2} y$