अध्याय 10

सीधी रेखाएं

10.1 सारांश

10.1.1 रेखा का ढाल

यदि $\theta$ कोण है जो एक रेखा का बनाया जाता है जो सकारात्मक $x$-अक्ष के दिशा में घूरभरी दिशा में है, तो $\tan \theta$ की मान रेखा की ढाल कहलाती है और $m$ द्वारा चिह्नित की जाती है।

दो बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल निम्नलिखित है

$ m=\tan \theta=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

10.1.2 दो रेखाओं के बीच का कोण जिसकी ढालें $m_1$ और $m_2$ हैं, वह निम्नलिखित है

$ \tan \theta= \pm \frac{(m_1-m_2)}{1+m_1 m_2} $

यदि हम दो रेखाओं के बीच तीव्र कोण लेते हैं, तो $\tan \theta=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}|$

यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो $m_1=m_2$ होता है।

यदि रेखाएं लंबसा हैं, तो $m_1 m_2=-1$ होता है।

10.1.3 तीन बिंदुओं की सततता यदि तीन बिंदु $P(h, k), Q(x_1, y_1)$ और $R(x_2, y_2)$

ऐसे हों कि $PQ$ की ढाल $QR$ की ढाल के बराबर होती है, अर्थात $\frac{y_1-k}{x_1-h}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

या $\quad(h-x_1)(y_2-y_1)=(k-y_1)(x_2-x_1)$ तो वे कहलाते हैं स्पर्शी।

10.1.4 रेखा के विभिन्न सूत्र

(i) यदि एक रेखा $x$-अक्ष से दूरी $a$ पर और समानांतर है, तो रेखा का सूत्र $y= \pm a$ होता है।

(ii) यदि एक रेखा $y$-अक्ष से दूरी $b$ पर समानांतर है, तो उसका सूत्र $x= \pm b$ होता है।

(iii) बिंदु-ढाल सूत्र: ढाल $m$ वाली और बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली रेखा का सूत्र निम्नलिखित है $y-y_0=m(x-x_0)$

(iv) दो-बिंदु-सूत्र: दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का सूत्र निम्नलिखित है

$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) $

(v) ढाल छेद सूत्र: ढाल $m$ होने वाली और $y$-अक्ष पर छेद $c$ बनाने वाली रेखा का सूत्र निम्नलिखित होता है

$ y=m x+c $

ध्यान दें कि $c$ की मान $y$-अक्ष के सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष पर छेद बनाने के रास्ते पर निर्भर करेगी।

(vi) छेद सूत्र: $x$ - और $y$-अक्ष पर छेद $a$ और $b$ करने वाली रेखा का सूत्र निम्नलिखित होता है $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

(vii) सामान्य सूत्र: माना जाता है कि हमें एक त्रिंभुजीय रेखा नीचे दिए गए आंकड़ों के साथ पता है:

(a) मूल्य पर्याप्त (नॉर्मल) $p$ मूलस्थान से रेखा तक।

(b) कोण $\omega$ जो मूल्य के साथ $x$-अक्ष की सकारात्मक दिशा बनाता है।

तो ऐसी एक रेखा का सूत्र यह होता है $x \cos \omega+y \sin \omega=p$

10.1.5 रेखा का सामान्य सूत्र

जिसका कोई भी समयान्तर नहीं है, $Ax+B y+C=0$ को सामान्य सूत्र कहा जाता है, जहां $A$ और $B$ एक साथ शून्य नहीं होते हैं।

$A x+B y+C=\mathbf{0}$ के विभिन्न रूप

रेखा का सामान्य रूप निम्नलिखित रूपों में किया जा सकता है:

(i) ढाल छेद सूत्र: यदि $B \neq 0$ है, तो $A x+B y+C=0$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$ y=\frac{-A}{B} x+\frac{-C}{B} \text{ या } y=m x+c \text{, जहां } m=\frac{-A}{B} \text{ और } c=\frac{-C}{B} $

यदि $B=0$ है, तो $x=\frac{-C}{A}$ जो एक लंबवत रेखा है जिसकी ढाल परिभाषित नहीं होती है और $x$-अंतराल $\frac{-C}{A}$ होता है।

(ii) अंतर्वेक्तर रूप: यदि $C \neq 0$, तो $A x+B y+C=0$ को $\frac{x}{\frac{-C}{A}}+\frac{y}{\frac{-C}{B}}$ रूप में लिखा जा सकता है।

$=1$ या $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, जहां $a=\frac{-C}{A}$ और $b=\frac{-C}{B}$।

यदि $C=0$, तो $A x+B y+C=0$ को $A x+B y=0$ रूप में लिखा जा सकता है जो मूल पर से उठती हुई और इसलिए तीरों पर कोई अंतर्वेक्षण नहीं होता है।

(iii) सामान्य रूप: समीकरण $A x+B y+C=0$ का सामान्य रूप $x \cos \omega+y \sin \omega=p$ है जहां,

$ \cos \omega= \pm \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}, \sin \omega= \pm \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \text{ और } p= \pm \frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

ध्यान दें: $p$ हमेशा सकारात्मक होना चाहिए के रूप में संकेतों की सही चुनौती करना होगा।

10.1.6 एक रेखा से एक बिंदु तक की दूरी बिंदु $P(x_1, y_1)$ की लंबवत दूरी (या सरलतम दूरी) $d$ रूप में दी जाती है जोकि बनाने वाली रेखा $A x+B y+C=0$ के द्वारा दी जाती है

$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

दो परालल रेखाओं के बीच की दूरी

दो परालल रेखाओं $y=m x+c_1$ और $y=m x+c_2$ के बीच की दूरी $d$ इस प्रकार होती है

$ d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} . $

10.1.7 ध्रुवीकरण और ध्रुवीकरण का समीकरण निश्चित नियमों के तहत एक निदेशांक $(h, k)$ वाले एक बिंदु $P$ द्वारा वर्णित कराई जा रही वक्र को अपना ध्रुवीकरण कहा जाता है। एक बिंदु $P$ के ध्रुवीकरण को प्राप्त करने के लिए, $h$ और $k$ की संबंधित गति को व्यक्त करें। चरों में से किसी भी मानों को हटाएं और अंततः $h$ को $x$ और $k$ को $y$ से बदलें ताकि $P$ का ध्रुवीकरण प्राप्त हो।

10.1.8 दो दिए गए रेखाओं के छेदन द्वारा दिए जाने वाले दो रेखाओं $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+$ $c_2=0$

(i) छेद करने के लिए यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (ii) परालल और अलग होने के लिए जब $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

(iii) एक होने के लिए यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

टिप्पणियाँ

(i) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ रेखा $a x+b y+c=0$ के ऊपरी या निम्नी ओर होते हैं, यदि $a x_1+b y_1+c$ और $a x_2+b y_2+c$ एक ही चिन्ह होते हैं या उल्टे चिन्ह होते हैं।

(ii) रेखाओं $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+c=0$ को लंबवत होने का शर्त $a_1 a_2+b_1 b_2=0$ है।

(iii) दो रेखाओं $a_1 x+b_1 y+$ $c_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ के छेद कि बिंदु से जो रेखा $a_1 x+b_1 y+c_1+k(a x_2+b y_2+c_2)=0$ है। $k$ की मान समस्या में दी गई अतिरिक्त शर्त से निर्धारित होती है।

10.2 सुलझाए गए उदाहरण

संक्षेप उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 1 $(2,3)$ बिन्दु से होकर और $x$-अक्ष के सकारात्मक दिशा के $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ढूंढें।

समाधान यहां रेखा का ढाल $m=\tan \theta=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ है और दिया गया बिंदु $(2,3)$ है। इसलिए, रेखा के समीकरण के लिए रेखा के बिंदुवाले सूत्र का उपयोग करते हुए हमारे पास है

$y-3=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2) \quad$ या $x-\sqrt{3 y}+(3 \sqrt{3}-2)=0$।

कौन सा समलयन अवतरण है: ~~** उदाहरण 2** ज्यामिति से मुक्त रेखा पर मान 4 है और सकारात्मक दिशा से $x$- अक्ष के साथ सकारात्मक दो सेकंड की ढलान होती है।

** समाधान ** रेखा की समान्तर रूप की समीकरण नियम $x \cos \omega+y \sin \omega=p$ है। यहाँ $p=4$ और $\omega=30^{\circ}$। इसलिए, रेखा की समीकरण है

$ \begin{aligned} & x \cos 30^{\circ}+y \sin 30^{\circ}=4 \ & x \frac{\sqrt{3}}{2}+y \frac{1}{2}=4 \quad \text{ या } \quad \sqrt{3} x+y=8 \end{aligned} $

~~** उदाहरण 3** दिखाओ कि हर सीधी रेखा का समीकरण $A x+B y+C=0$ का रूप होता है, जहां $A, B$ और $C$ मान हैं।

सबूत एक सीधी रेखा दिया गया है, या तो यह $y$-अक्ष को काटती है, या यह $y$ के साथ समांतर होती है या इसे मेल खाती है। हम जानते हैं कि जो रेखा $y$-तार को काटती है (अर्थात, इसके पास $y$-अंतर) उसे $y=m x+b$ रूप में लिखा जा सकता है; और यदि रेखा $y$-तार के समानांतर है या एकत्रित है, तो इसकी समीकरण $x=x_1$ के रूप में होती है, जहां संयोजन के मामले में $x=0$ होता है। इन दोनों समीकरणों को दिए गए समस्या में दिए गए रूप में हैं और फिर यह सबूत है।

~~** उदाहरण 4** $(1,2)$ से गुजरती हुई सीधी रेखा का समीकरण खोजें और रेखा $x+y+7=0$ के लिए लंबकोण हो।

** समाधान ** रेखा $x+y+7=0$ के लेखेक की ढलान $m$ होने के लिए जो समीकरण ढूंढा जाना चाहिए जो उसके अपरकाल के लिए लंबकोण हो। दिए गए रेखा $y=(-1) x-7$ का ढलान -1 है। इसलिए, रेखाओं की लम्बवता की स्थिति का उपयोग करते हुए, हमारे पास $m \times(-1)=-1$ या $m=1$ होता है (क्यों?)

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण है $y-1=(1)(x-2)$ या $y-1=x-2 \quad x-$ $y-1=0$।

~~** उदाहरण 5** रेखाओं $3 x+4 y=9$ और $6 x+8 y=15$ के बीच की दूरी ढूंढें।

** समाधान ** रेखाओं $3 x+4 y=9$ और $6 x+8 y=15$ के समीकरण को दोबारा लिखा जा सकता है

$ 3 x+4 y-9=0 \quad \text{ और } \quad 3 x+4 y-\frac{15}{2}=0 $

इसलिए, इन रेखाओं की ढलान एक समान है और इसलिए वे एक-दूसरे के समानांतर हैं। इसलिए, उनके बीच की दूरी निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ |\frac{9-\frac{15}{2}}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}|=\frac{3}{10} $

~~** उदाहरण 6** संबर्धिक रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ के बीच की दूरी के मध्यवर्ती बिंदु की स्थिति $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{4}{p^{2}}$ है, यहां $p$ एक स्थिर है।

** समाधान ** दिए गए रेखा की समीकरण को अपवर्तन रूप में बदलकर, हमारे पास $\frac{x}{\frac{p}{\cos \alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin \alpha}}=1$ है, जो दिए गए बिंदुओं $\frac{p}{\cos \alpha}, 0$ और $0, \frac{p}{\sin \alpha}$ के बीच की रेखा के बीच मध्यबिन्दु देता है।

फिर $(h, k)$ से उस के मध्यबिन्दु को दर्शाता है,

तब $h=\frac{p}{2 \cos \alpha}$ और $k=\frac{p}{2 \sin \alpha} \quad$ (क्यों?)

इसका मतलब है कि $\cos \alpha=\frac{p}{2 h}$ और $\sin \alpha=\frac{p}{2 k}$

वर्ग करने और जोड़ने से हमें मिलता है

कन्टेंट : $\frac{p^{2}}{4 h^{2}}+\frac{p^{2}}{4 k^{2}}=1 \quad$ या $\quad \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{k^{2}}=\frac{4}{p^{2}}$।

इसलिए, आवश्यक स्थानक पथ $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{4}{p^{2}}$ है।

~~उदाहरण 7 यदि दो बिंदुओं $ए(2,0)$ और $बी(3,1)$ को दिया गया है और इससे $A$ के माध्यम से घड़ी की दिशा में $15^{\circ}$ के कोण से पलटा जाता है। नए स्थान में रेखा की समीकरण ढूंढ़ें।

समाधान रेखा $A B$ की ढल $अ \frac{1-0}{3-2}=1$ या $\tan 45^{\circ}$ (क्यों?) (चित्र देखें)। $15^{\circ}$ केवल के माध्यम से लेख को पलटने के बाद, नये स्थान में रेखा $A C$ की ढल $\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ होती है।

चित्र 10.1

इसलिए, नई रेखा $A C$ का समीकरण है

$y-0=\sqrt{3}(x-2)$

$ \text{ या } y-\sqrt{3} x+2 \sqrt{3}=0 $

लंबा उत्तर प्रकार

~~ उदाहरण 8 यदि बिंदु $A(3,2)$ से गुजरनेवाली रेखा की ढाल $\frac{3}{4}$ है, तो उस रेखा पर वे बिंदुओं को ढ़ूंढ़ें जो बिंदु $ए$ से 5 इकाई दूर हैं।

समाधान ढाल $\frac{3}{4}$ वाली रेखा की समीकरण दिया गया है

या

$ \begin{aligned} y-2 & =\frac{3}{4}(x-3) \\ 4 y-3 x+1 & =0 \text{1} \end{aligned} $

$(h, k)$ उस रेखा पर बिंदुओं को ढ़ूंढ़ने के लिए होने चाहिए

$ \begin{aligned} (h-3)^{2}+(k-2)^{2}=25 \text{2} \end{aligned} $

इसके अलावा, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 4 k-3 h+1 & =0 \text{3}\\ k & =\frac{3 h-1}{4} \text{4} \end{aligned} $

मान के h की मान्यता में (2) में और सरलित करके, हम देखते हैं

खा पर

$ \begin{aligned} 25 h^{2}-150 h-175 & =0 \\ h^{2}-6 h-7 & =0 \\ (h+1)(h-7) & =0 \Rightarrow h=-1, h=7 \end{aligned} $

या

(4) में, हमें $k=-1$ और $k=5$ मिलता है। इसलिए, आवश्यक बिंदुओं की निर्देशिकाएँ या तो $(-1,-1)$ हैं या $(7,5)$।

~~ उदाहरण 9 रेखाएँ $5 x-6 y-1=0$ और $3 x+2 y+5=0$ के छेदबिंदु से गुजरती हैं और रेखा $3 x-5 y+$ $11=0$ के लिए लंबवत है। का समीकरण ढूंढ़ें।

समाधान पहले हम $5 x-6 y-1=0$ और $3 x+2 y+5=0$ रेखाओं के छेदबिंदु का ढांचा किया जाता है, जो $(-1,-1)$ है। इसके अलावा रेखा $3 x-5 y+11=0$ की ढाल $\frac{3}{5}$ है। इसलिए, इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $\frac{-5}{3}$ होती है (क्यों?)। इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण निम्नलिखित होता है

$ y+1=\frac{-5}{3}(x+1) $

या

$ 5 x+3 y+8=0 $

वैकल्पिक रूप से, रेखाओं $5 x-6 y-1=0$ और $3 x+2 y+5=0$ के छेद रेखा से गुजरनेवाली किसी भी रेखा का सामान्य समीकरण है

$ \begin{aligned} 5 x-6 y-1+k(3 x+2 y+5)=0 \text{1} \end{aligned} $

या इसकी ढाल $\frac{-(5+3 k)}{-6+2 k}$ होती है

इसके अलावा, रेखा $3 x-5 y+11=0$ की ढाल $\frac{3}{5}$ है

अब दोनों लंबवत हैं

तब $\frac{-(5+3 k)}{-6+2 k} \times \frac{3}{5}=-1$

या

$ k=45 $

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण दिया गया है

$ \begin{aligned} 5 x-6 y-1+45(3 x+2 y+5) & =0 \\ 5 x+3 y+8 & =0 \end{aligned} $

या

~~उदाहरण 10 अंकग्रहण $(1,2)$ से आ रही प्रकाश-किरण को बिंदु $A$ पर $x$-अक्ष पर प्रतिफलित किया जाता है और फिर बिंदु $(5,3)$ से गुजरती है। बिंदु $A$ के निर्धारित संयोजन ढूंढ़ें।

समाधान यदि प्रतिक्रियाशील रेखाग्राफिक पर $x$-अक्ष पर टकराती है जिसकी संयोजन बिंदु $A$ होती है जिसके संयोजनक $(x, 0)$ होते हैं। चित्र से स्पष्ट होता है कि प्रतिफलित प्रकाश-किरण का ढलान निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$ \begin{aligned} \tan \theta=\frac{3}{5-x} \text{1} \end{aligned} $

मानचित्र 10.2

इसके अलावा, प्रतिक्रियाशील किरण का ढलान दिया गया है

$ \begin{aligned} \tan (\pi-\theta) & =\frac{-2}{x-1} \text{क्यों?}\ \\ -\tan \theta & =\frac{-2}{x-1} \text{2} \end{aligned} $

(1) और (2) को हल करके, हम पाते हैं

$ \frac{3}{5-x}=\frac{2}{x-1} \quad \text{ या } \quad x=\frac{13}{5} $

इसलिए, बिंदु $A$ के आवश्यक संयोजन $(\frac{13}{5}, 0)$ हैं।

~~उदाहरण 11 यदि एक वर्ग का एक आधारशाखा रेखा $8 x-15 y=0$ की ओर होती है और इसका एक शीर्षबिंदु $(1,2)$ पर होता है, तो इस शीर्षबिंदु के माध्यम से गुजरने वाले बाहुरेखाओं की समीकरण ढूंढ़ें।

समाधान $ABCD$ को दिया गया वर्ग हो और शीर्षबिंदु $D$ के संयोजन $(1,2)$ हैं। हमें इसके बाहु $DC$ और $A D$ की समीकरण ढूंढ़नी होती है।

मानचित्र 10.3

दिया गया है कि $BD$ संयोजय रेखा $8 x-15 y=0$ के अनुसार होता है, इसलिए इसका ढलान $\frac{8}{15}$ होता है (क्यों?)। $BD$ से बनी $AD$ और $DC$ की कोण होती है $45^{\circ}$ (क्यों?)। यदि दोनों ओरों का ढलान $m$ हो तो,

$ \begin{aligned} \tan 45^{\circ}=\frac{m-\frac{8}{15}}{1+\frac{8 m}{15}} \text{ क्यों?} \end{aligned} $

अथवा

$ 15+8 m=15 m-8 $

अथवा

$ 7 m=23, \text{ जिससे } m=\frac{23}{7} $

इसलिए, बाहु $DC$ की समीकरण निम्नलिखित है

$ y-2=\frac{23}{7}(x-1) \text{ or } 23 x-7 y-9=0 . $

इसी तरह, एकौर $AD$ की समीकरण निम्नलिखित है

$ y-2=\frac{-7}{23}(x-1) \text{ or } 7 x+23 y-53=0 . $

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

उदाहरण 12 से 20 तक में प्रत्येक का चार संभावित विकल्प होते हैं, जिसमें से केवल एक विकल्प सही होता है। सही विकल्प (M.C.Q.) चुनें।

~~उदाहरण 12 $x-y+3=0$ रेखा का उक्षेमार्ग के साथ कोण कितने होता है

(A) $45^{\circ}$

(B) $135^{\circ}$

(C) $-45^{\circ}$

(D) $-135^{\circ}$

समाधान (A) सही उत्तर है। $x-y+3=0$ रेखा की समीकरण को $y=x+3 \Rightarrow m=\tan \theta=1$ रूप में लिखा जा सकता है और इसलिए $\theta=45^{\circ}$ होता है।

~~उदाहरण 13 रेखाएं $a x+b y=c$ और $a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}$ लपेटी हुई हैं यदि

(A) $a a^{\prime}+b b^{\prime}=0$

(B) $a b^{\prime}=b a^{\prime}$

(C) $a b+a^{\prime} b^{\prime}=0$

(D) $a b^{\prime}+b a^{\prime}=0$

समाधान (A) सही उत्तर है। रेखा $a x+b y=c$ का ढलान $\frac{-a}{b}$ होता है,

और रेखा $a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}$ का ढलान $\frac{-a^{\prime}}{b^{\prime}}$ होता है। अगर रेखाएं लपेटी हुई हों तो पर्पेंडिकुलरर होती हैं अगर

$ \begin{aligned}

वत्सरांक $(1,2)$ से होने वाला एक रेखा A $(1,2)$ से होती है ऐसी कि उसका व्यासीय बीच अक्षों को प $P$ पर वर्धित कर दिया जाता है. रेखा का समीकरण है

(ए) $x + 2y = 5$

(ब) $x - y + 1 = 0$

(सी) $x + y - 3 = 0$

(डी) $2x + y - 4 = 0$

समाधान सही विकल्प है (D)। हम जानते हैं कि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के साथ कटने वाली रेखा की समीकरण निम्न रूप में होती है

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$

यहां हमारे पास निम्नलिखित है

$$ \begin{aligned} 1=\frac{a+0}{2} \text{ और } 2=\frac{0+b}{2}, \text{क्योंकि?} \end{aligned} $$

$$ a=2 \text{ और } b=4 $$

इसलिए, रेखा की आवश्यक समीकरण निम्न रूप में होगी

$$ \frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1 \quad \text{ या } \quad 2 x+y-4=0 $$

~~उदाहरण 19 दिए गए रेखा $5 x+y+6=0$ के बारे में बिना चिन्हांकित समय $(4,-13)$ का प्रतिबिंब है

(A) $(-1,-14)$

(B) $(3,4)$

(C) $(0,0)$

(D) $(1,2)$

समाधान सही विकल्प $(A)$ है। $(h, k)$ ऐसा बिंदु हो, जो रेखा $5 x+y+6=0$ के बारे में दिए गए बिंदु $(4,-13)$ का प्रतिबिंब हो। बिंदु $(h, k)$ और $(4,-13)$ के बीच रेखा खंड के बीच बिंदु का मध्यबिंदु निम्न रूप में होगा

$$ \frac{h+4}{2}, \frac{k-13}{2}, \text{क्योंकि?} $$

इस बिंदु पर दी गई रेखा पर होता है, इसलिए हमारे पास निम्नलिखित होगा

$$ 5 \frac{h+4}{2}+\frac{k-13}{2}+6=0 \quad \text{ या } \quad 5 h+k+19=0 $$

फिर $(h, k)$ रेखा खंड $(h, k)$ और $(4,-13)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का ढाल $\frac{k+13}{h-4}$ देती है। यह रेखा दी गई रेखा के लिए लंबक रेखा है और इसलिए $(-5) \frac{k+3}{h-4}=-1$ (क्यों?)।

यह हमें निम्नलिखित देगा

$$ 5 k+65=h-4 $$

$$ \begin{aligned} \text{ या } \quad h-5 k-69=0 \text{ 2} \end{aligned} $$

(1) और (2) को हल करने पर, हमें $h=-1$ और $k=-14$ प्राप्त होता है। इसलिए दिए गए बिंदु का प्रतिबिंब $(-1,-14)$ है।

~~उदाहरण 20 ऐसे एक बिंदु का मान रखते हुए जिसकी दूरी बिन्दु $(4,0)$ से इसकी दूरी इसी तरह होती है जैसी कि यह बिन्दु $x=16$ रेखा से है। बिंदु की ध्रुवीकरण है

(A) $3 x^{2}+4 y^{2}=192$

(B) $4 x^{2}+3 y^{2}=192$

(C) $x^{2}+y^{2}=192$

(D) इनमें से कोई नहीं है

समाधान सही विकल्प है (A)। $(h, k)$ को स्थानांतरित हुए बिंदु की संख्यात्मक संदर्भित करें। तब हमें

$$ \begin{aligned} \sqrt{(h-4)^{2}+k^{2}}=\frac{1}{2} \frac{h-16}{\sqrt{1^{2}+0}}, \text{ क्योंकि?} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (h-4)^{2}+k^{2} & =\frac{1}{4}(h-16)^{2} \ 4(h^{2}-8 h+16+k^{2}) & =h^{2}-32 h+256 \ 3 h^{2}+4 k^{2} & =192 \end{aligned} $$

इसलिए, आवश्यक ध्रुवीकरण $3 x^{2}+4 y^{2}=192$ द्वारा दिया जाता है

10.3 अभ्यास

लघु उत्तर की प्रकार के प्रश्न

~~

1. उस सीधी रेखा की समीकरण तलाशें जो बिंदु $(1,-2)$ से गुजरती है और अक्षों से बराबर कटाव करती है।

~~ 2. उस रेखा की समीकरण तलाशें जो दिए गए बिंदु $(5,2)$ से गुजरती है और बिन्दुओं $(2,3)$ और $(3,-1)$ को जोड़ने वाली रेखा के लिए लंबक है।

~~ 3. उस रेखाओं के बीच का कोण तलाशें $y=(2-\sqrt{3})(x+5)$ और $y=(2+\sqrt{3})(x-7)$।

~~ 4. उस रेखाओं की समीकरण तलाशें जो बिंदु $(3,4)$ से गुजरती हैं और मानक अक्षों को कटाने वाली रेखाओं के कटाव का योग 14 होता है।

~~ 5. उस रेखा $x+y=4$ पर बिंदुओं को तलाशें जो रेखा $4 x+3 y=10$ से एक यूनिट दूरी पर स्थित हैं।

~~ 6. दिखाएं कि दोनों रेखाओं $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ और $\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$ के बीच कोण $tan^{-1} \left(\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}\right)$ होता है।

7. लाइन्स की समीकरण ढूंढें जो $(1,2)$ से गुजरती हैं और $y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।

~~ 8. $2 x+y=$ 5 और $x+3 y+8=0$ के संबंध में बिना मिलते हुए एक रेखा के समीकरण ढूंढें और जो $3 x+4 y=7$ रेखा के समांतर हो।

~~ 9. $a x+b y+8=0$ रेखा द्वारा स्थलांतर द्वारा किसी लंबकोणीय मनिशी एक्सिस पर कटी गई लंबाई लें, जिनके बारे में लंबाई तथा चिह्न के समान पर उसी माप की होती हैं; और यही ऐसे लंबकोणीय मनिशी एक्सिस द्वारा कटी गई जिन्हें $2 x-3 y+6=0$ रेखा द्वारा अपने चिह्नों से किये गए।

~~ 10. यदि एक रेखा के स्थलांतर के बीच के स्थान ( -5 , 4) द्वारा अनुपात $1: 2$ से विभाजित होता हैं, तो रेखा का समीकरण ढूंढें।

~~ 11. जिस पर आमदानि लंबवृत्त से चौड़ाई चार इकाइयाँ होती हैं और जों लाइन का $120^{\circ}$ के साथ सकारात्मक दिशा $x$-अक्ष के साथ बनाती हैं की समीकरण ढूंढें।

[सूचना: साधारित रूप इस्तेमाल करें, यहाँ $\omega=30^{\circ}$.]

~~ 12. एक समत्रिभुज आधार का एक पक्ष का समीकरण ढूंढें जिसका विपरीतचिह्नी शीर्षक दिया जाता हैं $3 x+4 y=4$, और उसका विपरीत नवियह शीर्षक $(2,2)$ हैं।

लंबे उत्तर प्रकार

~~ 13. यदि समकोणी त्रिभुज के आधार का समीकरण $x+y=2$ हैं और त्रिभुज के शीर्षक दिया गया हैं $(2,-1)$, तो त्रिभुज की पक्ष की लंबाई ढूंढें।

[सूचना: इस पर ऊंचाई से अनुभूत (p) की लंबाई ढूंढें (2, -1) को रेखा से और $p=l$ साइन $60^{\circ}$ का उपयोग करें, जहां $l$ त्रिभुज की पक्ष की लंबाई हैं].

~~ 14. एक परिवर्तनीय रेखा एक निश्चित बिंदु $P$ से गुजरती हैं। रेखा पर से धनात्मक डायगों की लंबाईयों का जमीनी योग शून्य होता हैं जिन्हें $(2,0), (0,2)$ और $(1,1)$ बिंदुओं से तालाक़ी ले गए होते हैं। बिंदु $P$ की निर्देशांक ढूंढें।

[सूचना: रेखा की ढलाई $m$ हो, तो निश्चित बिंदु $P(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-y_1=m(x-x_1)$ होता हैं। शून्य की जमीनी दूरियों का बिंदु $1=k)$ होगा। इससे $y-1=m(x-1)$ मिलता हैं। इस से $(x_1, y_1)$ $(1,1)$ होगा।]

~~ 15. $(1,2)$ बिंदु से किस दिशा में एक रेखा बनाई जानी चाहिए जिसका बिंदु $x+y=4$ रेखा के साथ दूरी $\frac{\sqrt{6}}{3}$ हो।

~~ 16. एक सीधी रेखा हर दिशा में के अपने इंटर्सेप्ट्स के प्रतिपालकों का जमा सम रहती हैं। बताएं की रेखा एक निश्चित बिंदु से गुजरती हैं।

[सूचना: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ जहां $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ नियमित$ \frac{1}{क्रमिक}$ हैं। इससे $\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1 \quad$ रेखा एक निश्चित बिंदु के माध्यम से गुजरती हैं। $(k, k).$]

~~ 17. रेखा का समीकरण ढूंढें जो $(-4,3)$ बिंदु से गुजरती हैं और रेखा के बारों के बीच का हिस्सा इस बिंदु द्वारा आंतरिक रूप से $5: 3$ में विभाजित होता हैं।

~~ 18. $x-y+1=0$ और $2 x-3 y+5=0$ के संबंध में बिना मिलते हुए रेखाओं का समीकरण ढूंढें और जो $3,2$ बिंदु से $\frac{7}{5}$ दूर होती हैं।

~~ 19. यदि एकसमत्रिभुज में एक निर्देशांक जगह का योग 1 हैं, तो बिंदु का अवलोकन ढूंढें। [सूचना: दिया गया हैं $|x|+|y|=1$, जो एक वर्ग के चार भागों को देता हैं].

~~

20. $P_1, P_2$ दोनों रेखाओं $y-\sqrt{3}|x|=2$ के किसी भी दो बिंदुओं पर हैं जो इन रेखाओं के संचिकाओं (intersection point) से 5 इकाइयों की दूरी पर हैं। दिए गए रेखाओं के बीच कोण के बीसेक्टर के द्वारा खींची गई लंब की निग्रानुक्र (foot of perpendiculars) की स्थिति की निर्णय करें।

[संकेत: रेखाएँ $y=\sqrt{3} x+2$ और $y=-\sqrt{3} x+2$ हैं, $x \geq 0$ या $x<0$ के अनुसार। $y$-निर्देशांक किसी भींग के बीच के बीसेक्टर है। $P_1,P_2$ ये बिंदुओं की यही रेखाएं होती हैं जो अपनी निर्देशांक एकता के कोणिकी निम्नधनवत्ता के बांजर (point) से लंबों की बाल चपेट (perpendicular) निग्रानुक्रों का एक सापू पैर (foot) होता है। पंद्रह डिग्रि की बाह्यत उच्चता के सन्धि की नाप (measure) द्वारा निर्देशांकों का द्विआंश दिया जाता है।] .

21. यदयपि $p$ लंबता प्रतीमायामा (perpendicular) है और सीधी रेखा है $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ और $a^{2}$, $p^{2}$, $b^{2}$ माध्यमिक अ.प. में हैं, तदHye दिखाये की $a^{4}+b^{4}=0$।

Acknowledgment

ॠुची के मताबि अनुयायों कां चयन करें

22. एक रेखा जो अंतर्विंशी, $-3$ क्षेत्र को काटने के, और $x$ अथवा $y$ अक्षसे $x$ अथवा $y$ अमन्य है, उसका समीकरण है?

(A) $5 y-3 x+15=0$

(B) $3 y-5 x+15=0$

(C) $5 y-3 x-15=0$

(D) इनमें से कौन नहीं

23. रेखा जो समीकरण बीन का क्षेत्र है, उसकी ढाल होती है? (intercepts)

(A) -1

(B) 0

(C) 2

(D) $\sqrt{3}$

24. रेखाएँ $y = x$ के लिए लंबता होती है, उसका समीकरण हो?

(A) $x-y=5$

(B) $x+y=5$

(C) $x+y=1$

(D) $x-y=1$

25. समीकरण जी रेखा करेगा जिससे अंक परे $(1,2)$, और यह रेखा $x+y+1=0$ के लंबात में सबोलहे वाला होगा?

(A) $y-x+1=0$

(B) $y-x-1=0$

(C) $y-x+2=0$

(D) $y-x-2=0$

26. जी रेखा के बिंदुंओं कीए पैर (अंक परे यं अंदर से रेखे परे) नगतज्ञा (coords) $a,-b$ और इसा, उसकी ढाल होगी?

(A) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a b}$

(B) $\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$

(C) $\frac{b^{2}-a^{2}}{2 a b}$

(D) कोई नहीं

27. अगर एक रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ के बदने अंक (points) $(2,-3)$ और $(4,-5)$ परे है, तब $(a, b)$ होंगे कौन?

(A) $(1,1)$

(B) $(-1,1)$

(C) $(1,-1)$

(D) $(-1,-1)$

28. लंबित होए रेखा $2 x-3 y+5=0$ं और $3 x+4 y=0$ं का बदने अंक (point) और रेखा $5 x-2 y=0$ं के बना एक अंतटहेरा का तट दूरी होंगे।

(A) $\frac{130}{17 \sqrt{29}}$

(B) $\frac{13}{7 \sqrt{29}}$

(C) $\frac{130}{7}$

(D) कोई नहीं

29. लंबतेज (inclined) रेखा नाई $(3,-2)$ औरल्ध वजडत्पूर्वी $60^{\circ}$ होगें, सम्पति रेखा $(\sqrt{3} x+y=1)$ जग ९ सम्पति रेखा होगी?

(A) $y+2=0, \sqrt{3} x-y-2-3 \sqrt{3}=0$

(B) $x-2=0, \sqrt{3} x-y+2+3 \sqrt{3}=0$

(C) $\sqrt{3} x-y-2-3 \sqrt{3}=0$

(D) कोई नहीं

30. लंबितें (passing through) रेखा $(1,0)$ औरअवस्थित होए वरणक प्यादेयसे $\frac{\sqrt{3}}{2}$ अंक के दूरी परे होगें। उसकी ऊर्ध्वाधर होंगे?

(A) $\sqrt{3} x+y-\sqrt{3}=0, \sqrt{3} x-y-\sqrt{3}=0$

(B) $\sqrt{3} x+y+\sqrt{3}=0, \sqrt{3} x-y+\sqrt{3}=0$

(C) $x+\sqrt{3} y-\sqrt{3}=0, x-\sqrt{3} y-\sqrt{3}=0$

(D) कोई नहीं

31. रेखयौं Dur (intercept) $y=mx+c1$ं और $y=mx+c2$ं के बाईंयें (left) दूरी होंगें।

(A) $\frac{c1-c2}{\sqrt{m^{2}+1}}$

(B) $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}}$

(C) $\frac{c_2-c_1}{\sqrt{1+m^{2}}}$

(D) 0

~~ 32. रेखा $y=3 x+4$ पर बिन्दु $(2,3)$ से अन्यतम रेखा में लंबाई है

(A) $\frac{37}{10}, \frac{-1}{10}$

(B) $\frac{-1}{10}, \frac{37}{10}$

(C) $\frac{10}{37},-10$

(D) $\frac{2}{3},-\frac{1}{3}$

~~ 33. यदि एक रेखा की आंतर्दशा निर्माण की सीमा में बीच में होने वाले दो संकेत मेरुदंड के निधारितक का योगया (3,2)" है, तो रेखा की समीकरण होगी

(A) $2 x+3 y=12$

(B) $3 x+2 y=12$

(C) $4 x-3 y=6$

(D) $5 x-2 y=10$

~~ 34. रेखा $y=3 x-1$ के समानांतर होने वाले रेखा की समीकरण

(A) $y+2=x+1$

(B) $y+2=3(x+1)$

(C) $y-2=3(x-1)$

(D) $y-2=x-1$

~~ 35. घन के लाइनों द्वारा बनाए गए घन निर्धारित है

(A) $y=x, \quad y+x=1$

(B) $y=x, x+y=2$

(C) $2 y=x, y+x=\frac{1}{3}$

(D) $y=2 x, \quad y+2 x=1$

~~ 36. एक रेखा का निर्देशांकीय पैरामीटर को कितने ज्ञात करना चाहिए?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 3

~~ 37. बिंदु $(4,1)$ निम्नांकित दो सहक्रिय संवर्तनों का प्रतिनिधित्व करता है:

(i) रेखा $y=x$ के बारे में प्रतिबिंब

(ii) प्रतीक्षाल योग्य $x$-अक्ष के साथ एक परिधान के माध्यम से चरम दूरी 2 इकाइयों तक. तो बिंदु के अंतिम संयोजन निर्देशांक होंगे

(A) $(4,3)$

(B) $(3,4)$

(C) $(1,4)$

(D) $\frac{7}{2}, \frac{7}{2}$

~~ 38. इस सेऋ .सेऋलाओं के बीच sam :x:y:नियत दूरी रखने वाला निर्दिष्ट बिंदु है

(A) $(1,-1)$

(B) $(1,1)$

(C) $(0,0)$

(D) $(0,1)$

~~ 39. एक रेखा $3 x+y=3$ से गुजरती है और $(2,2)$ से गुजरती है। इसकी $y$ अंटर्व्यासवर्ती होगी

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{2}{3}$

(C) 1

(D) $\frac{4}{3}$

~~ 40. अन्यतम की दूरी को विभाजित करने वाली रेखा $3 x+4 y+2=0$ और अन्यतम रेखाओं $3 x+4 y+5=0$ और $3 x+4 y-5=0$ के बीच का अनुपात होगा

(A) $1: 2$

(B) $3: 7$

(C) $2: 3$

(D) $2: 5$

~~ 41. संरेख त्रिभुज और मध्य बींदु 0 के प्रमुखि के बीच भागचित्र कुंज। एक बिंदु $A(h, k)$ हो और $D(\alpha, \beta)$ भूमि पर बिंदु हो। तो $\frac{2 \alpha+h}{3}=0=\frac{2 \beta+k}{3}$। भी $\alpha+\beta-2=0$ और $.\frac{k-0}{h-0} \times(-1)=-1]$ चर यास्प्राम्च $1 \times 1$ है

(A) $(-1,-1)$

(B) $(2,2)$

(C) $(-2,-2)$

(D) $(2,-2)$

42. यदि $a, b, c$ एक ए.पी. है, तो सीधी रेखाओं $a x+b y+c=0$ हमेशा से गुजरती है

43. रेखा जो बिंदु $(1,-2)$ से काटती है और द्विदलीय intercept काटती है

44. रेखा $(3,2)$ से काट काटती है और $\angle 45^{\circ}$ के साथ बना काटती है $x-2 y=3$ रेखा की समीकरण रेखाओं की

45. बिंदु $(3,4)$ और $(2,-6)$ रेखा के पर की ओर स्थित हैं

46. एक बिंदु ए.पी. के क्षेत्र से दूरी का वर्ग संख्यात्मक तरह से उसकी दूस् $5 x-12 y=3$ रेखा से दूस pipeline की समीकरण

47. रेखाओं की आंतरित भुजा की मध्यवर्ती की कच्ची pipeline का स्थान

अभ्यास 48 से 56 तक कथनों का उत्तर सत्य या असत्य है। व्याख्या कीजिए।

~~ 48. यदि त्रिभुज के कोणों के संख्येण्डीय संयोजन हैं, तो त्रिभुज समांतराधिकारी नहीं हो सकता।

~~ 49. बिंदु $A(-2,1), B(0,5), C(-1,2)$ संयोजी हैं।

~~ 50. रेखा का समीपवर्ती वर्ग $(a \cos ^{3} \theta, a \sin ^{3} \theta)$ और रेखा $x \sec \theta+y cosec \theta=a$ के लिए अपेक्षाकृत रेखा $x \cos \theta-y \sin \theta=a \sin 2 \theta$ है।

~~ 51. इस्पती रेखा $5 x+4 y=0$ संयोजन बिंदु से गुजरती है जो इस्पती रेखाओं $x+2 y-10=0$ और $2 x+y+5=0$ के संयोजन बिंदु का होता है।

~~ 52. समांतर त्रिभुज का शीर्षक $(2,3)$ है और विपरीत पक्ष का समीकरण $x+y=2$ है। तो अन्य दोनों पक्ष $y-3=(2 \pm \sqrt{3})(x-2)$ हैं।

~~ 53. रेखा का समुच्चय $4 x+y-1=0$ और $7 x-3 y-35=0$ के संयोजन बिंदु के बीच इस्पाती रेखा का समीकरण बिंदु $(3,5)$ से विसमसूर्न दूरी पर है जो बिंदुओं $(0,0)$ और $(8,34)$ से समांतर है।

~~ 54. रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ऐसे तरीके से चलती है कि $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{c^{2}}$, जहां $c$ एक स्थिरांक है। मूल के नियमित पाद का जगह $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ है।

~~ 55. यदि $a, b, c$ जी.पी. में हैं तो रेखाओं $a x+2 y+1=0, b x+3 y+1=0$ और $c x+4 y+1=0$ संयोजी होती हैं।

~~ 56. बिंदुओं $(3,-4)$ और $(-2,6)$ को जोड़ने वाली रेखा $(-3,6)$ और $(9,-18)$ को जोड़ने वाली रेखा के लिए लंबाई के विपरीत होती है।

अभ्यास 57 से 59 तक Column $C_1$ के तहत दिए गए प्रश्नों को Column $C_2$ के तहत उचित उत्तरों के साथ मेल कीजिए।

~~ 57.

Column $C_1$

(a) रेखा $x+5 y=13$ पर बिन्दु

$P$ और $Q$ के संयोजक जो $12 x-5 y+26=0$ से 2 इकाइयों की दूरी पर हैं

(b) रेखा $x+y=4$ पर बिन्दु

जो $4 x+3 y-10=0$ से 1 इकाई की दूरी पर हैं

(c) $A(-2,5)$ और $B(3,1)$ के बीच चलती रेखा के बिन्दु

जिसके लिए $AP=PQ=QB$ होते हैं

~~ 58. अगर रेखाएं

$(2 x+3 y+4)+\lambda(6 x-y+12)=0$

Column $\mathbf{C} _1$

(a) $y$-अक्ष पर समांतर है (iii) $1, \frac{12}{5}, -3, \frac{16}{5}$

Column $\mathbf{C} _2$

(i) $(3,1),(-7,11)$

(ii) $-\frac{1}{3}, \frac{11}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}$

Column $C_2$

(i) $\lambda=-\frac{3}{4}$

(b) $7 x+y-4=0$ के लिए लंबाई के विपरीत है

(ii) $\lambda=-\frac{1}{3}$

(c) $(1,2)$ से गुजरनेवाली है

(iii) $\lambda=-\frac{17}{41}$

(d) $x$ अक्ष के पार समांतर है

(iv) $\lambda=3$

~~ 59. रेखाओं $2 x-3 y=0$ और $4 x-5 y=2$ के छेद से चलती रेखा का समीकरण

Column $C_1$

(a) बिंदु $(2,1)$ से गुजरनेवाली है

(b) रेखा $x+2 y+1=0$ के लिए लंबाई के विपरीत है

(c) रेखा $3 x-4 y+5=0$ के समानांतर है

(d) धुंए और पटाके की दिशा के समानांतर है

Column $C_2$

(i) $2 x-y=4$

(ii) $x+y-5=0$

(iii) $x-y-1=0$

(iv) $3 x-4 y-1=0$