सेट्स

अध्याय 1

सेट

1.1 अवलोकन

इस अध्याय में सेट की एक अवधारणा, सेट पर आपरेशनों का विवेचन किया जाता है। सेट की अवधारणा संबंध और फंक्शनों के अध्ययन में उपयोगी होगी।

1.1.1सेट और उनके प्रतिष्ठान सेट एक अच्छी परिभाषित वस्तु संग्रह होता है। सेट की प्रतिष्ठान करने के दो तरीके होते हैं (i) रोस्टर या तालिकात्मक रूप (ii) सेट निर्माता रूप

1.1.2शून्य सेट एक ऐसा सेट जिसमें कोई तत्व नहीं होता है, उसे शून्य सेट या रिक्त सेट या शून्य सेट कहा जाता है और इसका प्रतीक $\lbrace \rbrace $या $\phi$ है।

1.1.3सीमित और असीमित सेट जो एक सीमित संख्या के तत्वों से मिलकर बना होता है, उसे सीमित सेट कहा जाता है वरना, सेट को असीमित सेट कहा जाता है।

1.1.4उपसेट सेट ए एक उप सेट होता है यदि ए सेट का हर तत्व भी $बी$ का तत्व होता है । प्रतीकों के द्वारा हम लिखते हैं $ए \subset ब$ अगर $ए \in ए \Rightarrow ए \in ब$।

हम यथार्थ अंकों का सेट को $\mathbf{आर}$ से चिह्नित करते हैं

प्राकृतिक संख्याओं का सेट $\mathbf{N}$ से चिह्नित किया जाता है

पूर्णांकों का सेट $\mathbf{Z}$ से चिह्नित किया जाता है

गणितीय संख्याओं का सेट $\mathbf{Q}$ से चिह्नित किया जाता है

अगणितीय संख्याओं का सेट $\mathbf{T}$ से चिह्नित किया जाता है

हम देखते हैं

$ \begin{aligned} & \mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q} \subset \mathbf{R} \\ & \mathbf{T} \subset \mathbf{R}, \mathbf{Q} \not \subset \mathbf{T}, \mathbf{N} \not \subset \mathbf{T} \end{aligned} $

1.1.5बराबर सेट जब दो सेट ए और ब दिए जाएं, अगर ए के प्रत्येक तत्व ब का भी तत्व है और यदि ब के प्रत्येक तत्व ए का भी तत्व है, तो सेट ए और ब को बराबर कहा जाता है। दो बराबर सेट के तत्व समान होते हैं।

1.1.6अंतरालें $\mathbf{R}$ के उपसेट के रूप में $a, b \in R$ और $a<b$। तो

(a) एक खुला अंतराल $(a, b)$ रियल संख्याओं का सेट है $ \lbrace x: a<x<b \rbrace$

(b) एक बंद अंतराल $[a, b]$ रियल संख्याओं का सेट हैं $(x: a \leq x \leq b)$

$ \begin{aligned} & [a, b)= \lbrace x: a \leq x<b \rbrace\\ & (a, b]= \lbrace x: a<x \leq b \rbrace \end{aligned} $

1.1.7बल सेट सेट $ए$ के सभी उप सेटों का संग्रह होता है उसे $P(ए)$ से चिह्नित किया जाता है। यदि $ए$ में तत्वों की संख्या $न$ है, अर्थात $न(ए)=न$, तो $P(ए)$ में तत्वों की संख्या $2^{न}$ होती है।

1.1.8विश्व सेट यह एक मूल सेट है; एक विशेष संदर्भ में जिसके तत्व और उप सेट पर निर्भर होते हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों के सेट के लिए, विश्व सेट को सभी अक्षरों के सेट में प्रतिष्ठित किया जा सकता है। विश्व सेट को $\mathbf{यू}$ से चिह्नित किया जाता है।

1.1.9वेन आरेख Venn आरेख है जो सेटों के बीच संबंध की प्रतिष्ठा को प्रतिष्ठित करते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का सेट पूर्ण संख्याओं के सेट का उप सेट है जो पूर्णांकों के सेट का उप सेट है। हम वेन रेखा के माध्यम से इस संबंध को निम्नानुसार प्रतिष्ठित कर सकते हैं।

1.1.10 सेट पर आपरेशन

Fig 1.1

समुच्चय का संघ: किसी भी दो दिए गए समुच्चय A और B का समुच्चय C है जो उन सभी तत्वों से मिलकर बनता है जो या तो A में हैं या B में हैं। संकेतों में, हम लिखते हैं

$ C = A \cup B = \lbrace x \mid x \in A \text{ या } x \in B \rbrace $

चित्र 1.2 (a)

चित्र $1.2(b)$

संघ के कुछ गुणधर्म। (i) $A \cup B = B \cup A$ (ii) $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (iii) $A \cup \phi = A$ (iv) $A \cup A = A$ (v) $U \cup A = U$

समिंघन का संघ: दो समूह A और B के समिंघन का समुच्चय है जो उन सभी तत्वों से मिलकर बनता है जो A और B दोनों में सम्मिलित हैं। संकेतिक रूप से, हम लिखते हैं $A \cap B = \lbrace x: x \in A \text{ और } x \in B \rbrace$।

जब $A \cap B = \phi$ होता है, तब $A$ और $B$ को अलग-थलग कहा जाता है।

चित्र 1.3 (a)

चित्र 1.3(b)

समिंघन के कुछ गुणधर्म (i) $A \cap B = B \cap A$

(ii) $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

(iii) $\phi \cap A = \phi ; U \cap A = A$

(iv) $A \cap A = A$

(v) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

(vi) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

समूहों का अंतर: दो समूहों $A$ और $B$ का अंतर, $A-B$ निर्दिष्ट करता है, जो A के तत्वों का है लेकिन $B$ के तत्वों का नहीं है। हम लिखते हैं

इसके अलावा,

$ \begin{aligned} & A-B = \lbrace x: x \in A \text{ और } x \notin B \rbrace \ & B-A = \lbrace x: x \in B \text{ और } x \notin A \rbrace \end{aligned} $

समूचे का पूरक: $U$ को सर्वसाधारण समूह और $A$ को $U$ का एक उपसमूह मानें। तब $A$ का पूरक वह समूह है जिसमें $U$ के सभी तत्व शामिल हैं जो $A$ के तत्व नहीं हैं। संकेतिक रूप से, हम लिखते हैं

$A^{\prime} = \lbrace x: x \in U \text{ और } x \notin A \rbrace$। इसके अलावा $A^{\prime} = U - A$

समूचे के पूरक के कुछ गुणधर्म

(i) पूरक का सिद्धांत:

(a) $A \cup A^{\prime} = U$

(b) $A \cap A^{\prime} = \phi$

(ii) दी मोर्गन के नियम

(a) $(A \cup B)^{\prime} = A^{\prime} \cap B^{\prime}$

(b) $(A \cap B)^{\prime} = A^{\prime} \cup B^{\prime}$

(iii) $(A^{\prime})^{\prime} = A$

(iv) $U^{\prime} = \phi$ and $\phi^{\prime} = U$

1.1.11 संघ और समिंघन के दो समूहों पर व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए सूत्र

दो समूहों $A, B$ और $C$ को लें। तो

(a) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(b) अगर $(A \cap B) = \phi$ है, तो $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$

1.2 हल की गई उदाहरण

लघु उत्तर प्रकार

उदाहरण 1 निम्नलिखित समूहों को रोस्टर रूप में लिखें

उत्तर (i) $A=\lbrace x \mid x \text{ एक शूण्य से कम, यथार्थ संख्या है और } 2^{x}-1 \text{ एक विषम संख्या है। }\rbrace$

(ii) $C=\lbrace x \mid x^2+7 x-8=0, x \in \mathbf{R} \rbrace$

समाधान

(i) $2^{x}-1$ सभी सकारात्मक पूर्णांकीय मानों के लिए हमेशा एक विषम संख्या है। विशेष रूप से, $2^{x}-1$ एक विषम संख्या है सभी के लिए $x=1,2, \ldots, 9$। इस तरह, $A=\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace$।

(ii) $x^2+7 x-8=0$ या $(x+8)(x-1)=0$ जो हमें देता है $x=-8$ या $x=1$

इसलिए, $C=\lbrace -8,1 \rbrace$

~~ उदाहरण 2 उत्तर करें कि निम्नलिखित कथन किस सही और किस गलत हैं। अपना उत्तर सार्थक बनाएं।

(i) $37 \notin \lbrace x \mid \text{x के दो सकारात्मक संख्या हैं।} \rbrace$

(ii) $28 \in\lbrace y \mid \text{ य के सभी सकारात्मक अद्यायों का योग} 2 y \text{ है।} \rbrace$

(iii) $7,747 \in\lbrace t \mid \text{t का 37 के एक गुणी है।} \rbrace$

समाधान

(i) गलत

क्योंकि, 37 की यही दो सकारात्मक संख्या हैं, 1 और 37, इसलिए 37 समूह में आता है।

(ii) सही

क्योंकि, 28 के सकारात्मक अद्यायों का योग

$ \begin{aligned} & =1+2+4+7+14+28 \\ & =56=2(28) \end{aligned} $

(iii) गलत

7,747 का 37 के एक गुणी नहीं है।

~~ उदाहरण 3 अगर $X$ और $Y$ संगठन के उपसंहित हैं, तो दिखाएं कि (i) $Y \subset X \cup Y$ (ii) $X \cap Y \subset X$ (iii) $X \subset Y \Rightarrow X \cap Y=X$

समाधान

(i) $X \cup Y={x \mid x \in X या x \in Y}$

इसलिए $\quad x \in Y \Rightarrow x \in X \cup Y$

अतः, $\quad Y \subset X \cup Y$ (ii) $X \cap Y={x \mid x \in X और x \in Y}$

इसलिए

$x \in X \cap Y \Rightarrow x \in X$

इसलिए

$X \cap Y \subset X$

(iii) ध्यान दें कि

$x \in X \cap Y \Rightarrow x \in X$

इसलिए

$ X \cap Y \subset X $

इसके अलावा, क्योंकि

$ X \subset Y $

$ x \in X \Rightarrow x \in Y \Rightarrow x \in X \cap Y $

तो

$ X \subset X \cap Y $

इसलिए परिणाम $X=X \cap Y$ का पालन किया जाता है।

~~ उदाहरण 4 दिया गया है कि $N=\lbrace 1,2,3, \ldots, 100 \rbrace$, तब

(i) वर्णित करें संख्याओं की उपसमूह $A$ जिसके तत्व विषम हैं।

(ii) वर्णित करें संख्याओं की उपसमूह $B$ जिसके तत्व $x+2$ से प्रदर्शित होते हैं, जहां $x \in N$।

समाधान

(i) $A= \lbrace x \mid x \in \text{ N और x विषम हैं} \rbrace= \lbrace 1,3,5,7, \ldots, 99 \rbrace$

(ii) $B=\lbrace y \mid y=x+2, x \in N \rbrace$

तो,

$\begin{aligned} & 1 \in N, y=1+2=3 \\ & 2 \in N, y=2+2=4, \end{aligned}$

और इसी तरह। इसलिए, $B=\lbrace 3,4,5,6, \ldots, 100 \rbrace$

~~ उदाहरण 5 दिया गया है कि $E=\lbrace 2,4,6,8,10 \rbrace$। यदि $n$ किसी भी सदस्य को प्रतिष्ठित करता है, तो निम्नलिखित समूहों को लिखें जिनमें से प्रतिष्ठित होने वाली सभी संख्याएँ होती हैं। (i) $n+1$ (ii) $n^2$

समाधान दिया गया है $E=\lbrace 2,4,6,8,10 \rbrace$

(i) $A=\lbrace x \mid x=n+1, n \in E \rbrace$

तो, चाहे उदाहरण के लिए

$ \begin{aligned} & 2 \in E, x=3 \\ & 4 \in E, x=5 \end{aligned} $

और इसी तरह। इसलिए, $A=\lbrace 3,5,7,9,11 \rbrace$।

(ii) $B=\lbrace x \mid x=n^2, n \in E \rbrace$

इसलिए, उदाहरण के लिए $2 \in E, x=(2)^2=4,4 \in E, x=(4)^2=16,6 \in E, x=(6)^2=36$,

और इसी तरह। इसलिए, $B=\lbrace 4,16,36,64,100 \rbrace$

उदाहरण 6 यदि $X=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$ है। यदि $n$ $X$ का कोई सदस्य दर्शाता है, निम्नलिखित को समूहों के रूप में व्यक्त करें: (i) $n \in X$ लेकिन $2 n \notin X$ (ii) $n+5=8$ (iii) $n$ 4 से अधिक है।

समाधान

(i) $X=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$ के लिए, इसका दिया गया है कि $n \in X$ है, लेकिन $2 n \notin X$ है।

लेट, $\quad A= {x \mid x \in X \text{और} 2 x \notin X}$

अब, $\quad 1 \notin A \quad$ क्योंकि $\quad 2.1=2 \in X$

$2 \notin A \quad$ क्योंकि $\quad 2.2=4 \in X$

$3 \notin A \quad$ क्योंकि $\quad 2.3=6 \in X$

लेकिन $\quad 4 \in A \quad$ क्योंकि $\quad 2.4=8 \notin X$

$5 \in A \quad$ क्योंकि $\quad 2.5=10 \notin X$

$6 \in A \quad$ क्योंकि $\quad 2.6=12 \notin X$

इसलिए, $\quad A=\lbrace 4,5,6 \rbrace$

(ii) $B={x \mid x \in X \text{और} x+5=8}$

यहां,

$ B=\lbrace 3 \rbrace $

क्योंकि $x=3 \in X$ और $3+5=8$ और $x+5=8$ वाले अन्य कोई तत्व नहीं है।

(iii) $C=\lbrace x \mid x \in X, x>4 \rbrace$

इसलिए, $\quad C=\lbrace 5,6 \rbrace$

~~ उदाहरण 7 सेट E, M और U के बीच संबंध दिखाने के लिए वेन आरेखित बनाएं, जहां E एक स्कूल में अंग्रेज़ी पढ़ने वाले छात्रों का सेट है, M उसी स्कूल में गणित पढ़ने वाले छात्रों का सेट है, U उस स्कूल के सभी छात्रों का सेट है।

(i) वे सभी छात्र जो गणित पढ़ते हैं वे अंग्रेज़ी भी पढ़ते हैं, लेकिन अंग्रेज़ी पढ़ने वाले कुछ छात्र गणित नहीं पढ़ते।

(ii) गणित और अंग्रेज़ी दोनों पढ़ने वाले कोई छात्र नहीं है।

(iii) कुछ छात्र गणित भी पढ़ते हैं लेकिन अंग्रेज़ी नहीं पढ़ते, कुछ अंग्रेज़ी ही पढ़ते हैं लेकिन गणित नहीं पढ़ते और कुछ दोनों पढ़ते हैं।

(iv) सभी छात्र गणित नहीं पढ़ते हैं, लेकिन जो अंग्रेज़ी पढ़ते हैं वे सभी गणित पढ़ते हैं।

समाधान

(i) क्योंकि उन सभी छात्रों ने जो गणित पढ़ रहे हैं, उन्होंने भी अंग्रेज़ी पढ़ाई है, लेकिन कुछ अंग्रेज़ी पढ़ने वाले छात्र गणित नहीं पढ़ते।

इसलिए,

$ M \subset E \subset U $

अतः वेन आरेख यह है

Figure 1.4

(ii) क्योंकि गणित और अंग्रेज़ी दोनों पढ़ने वाले कोई छात्र नहीं है, इसलिए $E \cap M=\phi$ है।

Figure 1.5

(iii) क्योंकि कुछ छात्र जो गणित और अंग्रेज़ी दोनों पढ़ रहें हैं, कुछ सिर्फ अंग्रेज़ी पढ़ रहें हैं और कुछ सिर्फ गणित पढ़ रहें हैं।

इसलिए, वेन आरेख है

Figure 1.6

(iv) क्योंकि हर छात्र जो अंग्रेज़ी पढ़ रहें हैं, वे गणित पढ़ रहें हैं।

इसलिए,

$E \subset M \subset U$

Figure 1.7

~~ उदाहरण 8 सभी सेट A, B और C के लिए

क्या $(A \cap B) \cup C=A \cap(B \cup C)$ होता है?

अपने कथन का न्यायिकरण करें।

समाधान नहीं। निम्नलिखित सेट A, B और C को विचार करें:

$ \begin{aligned} & A=\lbrace 1,2,3 \rbrace \\

जो संख्या A में है वही संख्या A-B और C-B में है.

$\Rightarrow \quad(A-B) \cap(C-B) \subset(A \cap C)-B$

अब आगे की ओर

$ y \in(A \cap C)-B $

$\Rightarrow \quad y \in(A \cap C)$ और $y \notin B$

$\Rightarrow \quad(y \in A$ और $y \in C)$ और $(y \notin B)$

$\Rightarrow \quad(y \in A$ और $y \notin B)$ और $(y \in C$ और $y \notin B)$

$\Rightarrow \quad y \in(A-B)$ और $y \in(C-B)$

$\Rightarrow \quad y \in(A-B) \cap(C-B)$

इसलिए $\quad(A \cap C)-B \subset(A-B) \cap(C-B)$

(1) और (2) से $(A-B) \cap(C-B)=(A \cap C)-B$

~~ उदाहरण 11 ए और बी संख्या सामग्री हो तो सामग्री दिखाएं कि

$ ऐ \

इस प्रकार, $\quad(A \cup B) \cap(A \cup C) \subset A \cup(B \cap C)$

इसलिए, (1) और (2) से हमें मिलता है

$ A \cap(B \cup C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) $

~~ उदाहरण 12 $P$ को प्राइम संख्याओं का सेट मान लें और $S={t \mid 2^{t}-1. \text{ is a prime } }$ को संख्याओं का सेट मानें।

साबित करें कि $S \subset P$।

समाधान अब छल स्थानिक कथन के वापसी लड़का $x \in S \Rightarrow x \in P$ है $x \notin P \Rightarrow$ $x \notin S$।

अब, हम परिचालन से द्वारा छल स्थानिक कथन को साबित करेंगे

यहां

$x \notin P$

$\Rightarrow \quad x$ समय की अंशिक विभक्तिंत प्राकृतिक अंक है

अब हम $x \in S$ मान लेते हैं

$\Rightarrow \quad 2^{x}-1=m \quad$ (जहां $m$ अंशक प्राकृतिक अंक है)

$\Rightarrow \quad 2^{x}=m+1$

जो सभी अंशित अंक के लिए सही नहीं है, कहे लिए $x=4$ के लिए नहीं क्योंकि

$2^{4}=16$ जो किसी भी प्राइम संख्या $m$ के और 1 के योग के समान नहीं हो सकता है।

इस प्रकार, हम एक विरोधाभास में पहुंचते हैं

$\Rightarrow \quad x \notin S$।

इसलिए, $\quad$ जब $x \notin P$, हम $x \notin S$ पर पहुंचते हैं

तो $\quad S \subset P$।

~~ उदाहरण 13 गणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान में परीक्षाएं देने वाले 50 छात्रों में, प्रत्येक छात्र कम से कम एक विषय में सफल हुआ है, 37 छात्र गणित में सफल हुए हैं, 24 भौतिकी और 43 रसायन विज्ञान में सफल हुए हैं। अधिकतम 19 छात्र गणित और भौतिकी में पास हुए, अधिकतम 29 गणित और रसायन विज्ञान में और अधिकतम 20 भौतिकी और रसायन विज्ञान में पास हुए। तीनों परीक्षाओं में सबसे अधिक संभव आंकित करने वाली संख्या क्या हो सकती है?

समाधान $M$ को गणित में प्रवेश करने वाले छात्रों का सेट मान लें

$P$ को भौतिकी में प्रवेश करने वाले छात्रों का सेट मानें

$C$ को रसायन विज्ञान में पास होने वाले छात्रों का सेट मानें

अब, $\quad n(M \cup P \cup C)=50, n(M)=37, n(P)=24, n(C)=43$

$n(M \cap P) \leq 19, n(M \cap C) \leq 29, n(P \cap C) \leq 20$ (दिया गया)

$n(M \cup P \cup C)=n(M)+n(P)+n(C)-n(M \cap P)-n(M \cap C)$

$-n(P \cap C)+n(M \cap P \cap C) \leq 50$

$\Rightarrow \quad 37+24+43-19-29-20+n(M \cap P \cap C) \leq 50$

$\Rightarrow \quad n(M \cap P \cap C) \leq 50-36$

$\Rightarrow \quad n(M \cap P \cap C) \leq 14$

इस प्रकार, तीनों परीक्षाओं में सबसे अधिक संभव आंकित करने वाली संख्या 14 है।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

उदाहरण 14 से 16 में चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें। (M.C.Q.)

~~ उदाहरण 14 प्रत्येक सेट $X_r$ में 5 तत्व होते हैं और प्रत्येक सेट $Y_r$ में 2 तत्व होते हैं और $\bigcup _{r=1}^{20} X_r=S=\bigcup _{r=1}^{n} Y_r$। यदि $S$ के प्रत्येक तत्व केवल 10 $X_r{ }^{\prime} s$ में और केवल 4 $Y_r$ ’ $में शामिल होते हैं, तो $n$ होगा

(A) 10

(B) 20

(D) 50

समाधान सही उत्तर (B) है

क्योंकि, $\quad n(X_r)=5, \bigcup _{r=1}^{20} X_r=S$, हमें $n(S)=100$ प्राप्त होता है।

लेकिन $S$ के प्रत्येक तत्व केवल 10 $X_r{ }^{\prime} s$ में शामिल होते हैं

तो, $\quad \frac{100}{10}=10$ $S$ में विभिन्न तत्वों की संख्या है।

इसके अलावा $S$ के प्रत्येक तत्व केवल 4 $Y_r{ }^{\prime} s$ में शामिल होते हैं और प्रत्येक $Y_r$ में 2 तत्व होते हैं। $S$ में $n$ संख्या $Y_r$ है। तो

जो देता है

$ \frac{2 n}{4}=10 $

कॉंटेंट का ही संस्करण क्या है: उदाहरण 15 दो सीमित समुदायों के पद वाले और ऑद्यपारिक संख्या अनुसार हैं। पहले सेट के उपसमूहों की कुल संख्या दूसरे सेट के उपसमूहों की कुल संख्या से 56 ज्यादा है। m और n के मान क्रमशः हैं। उत्तर अंक (A) 7,6 (B) 5,1 (C) 6,3 (D) 8,7 हैं।

(क) 7,6

(ख) 5,1

(ग) 6,3

(घ) 8,7

समाधान यह सही उत्तर है (ख)।

क्योंकि, आप और बी ऐसे ही समूह हो सकते हैं, अर्थात्, एन (ए) = एम, n (बी) = एन।

तो

$न (पी (ए)) = 2^म, n (पी (बी)) = 2^n$

ठीक है

$न (पी (ए)) - न (पी (बी)) = 56$, अर्थात्, $2^म-2^n = 56$

$\Rightarrow$

$2^ (n) (2^म - n) = 2^ (3)7$

$\Rightarrow$ भले न = ३, $2^म - न = ७$

$\Rightarrow$ म = ६

~~ उदाहरण 16$(ए \

(iii) $3 \notin {x \mid x^{4}-5 x^{3}+2 x^2-112 x+6=0}$

(iv) $496 \notin {y \mid \text{ the sum of all the positive factors of y is} 2 y}$.

~~ 5. Given $L= {1,2,3,4}, M= {3,4,5,6}$ and $N= {1,3,5}$

Verify that $L-(M \cup N)=(L-M) \cap(L-N)$

~~ 6. If $A$ and $B$ are subsets of the universal set $U$, then show that (i) $A \subset A \cup B$ (ii) $A \subset B \Leftrightarrow A \cup B=B$ (iii) $(A \cap B) \subset A$

~~ 7. Given that $N= {1,2,3, \ldots, 100}$. Then write

(i) the subset of $N$ whose elements are even numbers.

(ii) the subset of $N$ whose element are perfect square numbers.

~~ 8. If $X= {1,2,3}$, if $n$ represents any member of $X$, write the following sets containing all numbers represented by (i) $4 n$ (ii) $n+6$ (iii) $\frac{n}2$ (iv) $n-1$

~~ 9. If $Y=\lbrace 1,2,3, \ldots 10 \rbrace$, and $a$ represents any element of $Y$, write the following sets, containing all the elements satisfying the given conditions. (i) $a \in Y$ but $a^2 \notin Y$ (ii) $a+1=6, a \in Y$ (iii) $a$ is less than 6 and $a \in Y$

~~ 10. A, B and C are subsets of Universal Set U. If $A=\lbrace 2,4,6,8,12,20 \rbrace$

$B=\lbrace 3,6,9,12,15 \rbrace, C=\lbrace 5,10,15,20 \rbrace$ and $U$ is the set of all whole numbers, draw a Venn diagram showing the relation of U, A, B and C.

~~ 11. Let $U$ be the set of all boys and girls in a school, $G$ be the set of all girls in the school, $B$ be the set of all boys in the school, and $S$ be the set of all students in the school who take swimming. Some, but not all, students in the school take swimming. Draw a Venn diagram showing one of the possible interrelationship among sets $U, G, B$ and $S$.

~~ 12. For all sets $A, B$ and $C$, show that $(A-B) \cap(C-B)=A-(B \cup C)$

Determine whether each of the statement in Exercises 13 - 17 is true or false. Justify your answer.

~~ 13. For all sets $A$ and $B,(A-B) \cup(A \cap B)=A$

~~ 14. For all sets $A, B$ and $C, A-(B-C)=(A-B)-C$

~~ 15. For all sets $A, B$ and $C$, if $A \subset B$, then $A \cap C \subset B \cap C$

~~ 16. For all sets $A, B$ and $C$, if $A \subset B$, then $A \cup C \subset B \cup C$

~~ 17. For all sets $A, B$ and $C$, if $A \subset C$ and $B \subset C$, then $A \cup B \subset C$.

Using properties of sets prove the statements given in Exercises 18 to 22

~~ 18. For all sets $A$ and $B, A \cup(B-A)=A \cup B$

~~ 19. For all sets $A$ and $B, A-(A-B)=A \cap B$

~~ 20. For all sets $A$ and $B, A-(A \cap B)=A-B$

~~ 21. For all sets $A$ and $B,(A \cup B)-B=A-B$

~~ 22. Let $T=\lbrace x \lvert, \frac{x+5}{x-7}-5=\frac{4 x-40}{13-x}. \rbrace$. Is $T$ an empty set? Justify your answer.

Long Answer Type

~~ 23. Let $A, B$ and $C$ be sets. Then show that $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$

~~ 24. Out of 100 students; 15 passed in English, 12 passed in Mathematics, 8 in Science, 6 in English and Mathematics, 7 in Mathematics and Science; 4 in English and Science; 4 in all the three. Find how many passed

अंग्रेजी और गणित में है लेकिन विज्ञान में नहीं है

गणित और विज्ञान में है लेकिन अंग्रेजी में नहीं है

केवल गणित में है

एक से अधिक विषयों में है

~~ 25. एक कक्षा में 60 छात्र हैं, 25 छात्र क्रिकेट खेलते हैं और 20 छात्र टेनिस खेलते हैं, और 10 छात्र दोनों खेलते हैं. उन छात्रों की संख्या का पता करें जो न कोई खेलते हैं?

~~ 26. एक स्कूल के 200 छात्रों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 120 छात्र गणित पढ़ते हैं, 90 छात्र भौतिकी पढ़ते हैं और 70 छात्र रसायन विज्ञान पढ़ते हैं, 40 छात्र गणित और भौतिकी पढ़ते हैं, 30 छात्र भौतिकी और रसायन विज्ञान पढ़ते हैं, 50 छात्र रसायन विज्ञान और गणित पढ़ते हैं और 20 किसी भी इन विषयों में नहीं पढ़ते हैं. उन छात्रों की संख्या का पता करें जो तीनों विषयों को पढ़ते हैं.

~~ 27. एक शहर में 10,000 परिवार हैं जहां से पाया गया कि 40% परिवार समाचार-पत्र A खरीदते हैं, 20% परिवार समाचार-पत्र B खरीदते हैं, 10% परिवार समाचार-पत्र C खरीदते हैं, 5% परिवार A और B खरीदते हैं, 3% परिवार B और C खरीदते हैं और 4% परिवार A और C खरीदते हैं. यदि 2% परिवार तीनों समाचार-पत्र खरीदते हैं. तो

(क) केवल समाचार-पत्र A खरीदते परिवारों की संख्या

(ख) कोई भी A, B और C समाचार-पत्र नहीं खरीदते परिवारों की संख्या

~~ 28. 50 छात्रों के एक समूह में, फ्रेंच, अंग्रेजी, संस्कृत की पढ़ाई कर रहे छात्रों की संख्या इस प्रकार मिली:

फ्रेंच $= 17$, अंग्रेजी $= 13$, संस्कृत $= 15$

फ्रेंच और अंग्रेजी $= 09$, अंग्रेजी और संस्कृत $= 4$

फ्रेंच और संस्कृत $= 5$, अंग्रेजी, फ्रेंच और संस्कृत $= 3$. उपर्युक्त संख्या के अनुसार उन छात्रों की संख्या का पता करें जो निम्नलिखित विषयों का अध्ययन करते हैं

(क) केवल फ्रेंच

(v) फ्रेंच और संस्कृत लेकिन अंग्रेजी नहीं

(ii) केवल अंग्रेजी

(vi) फ्रेंच और अंग्रेजी लेकिन संस्कृत नहीं

(iii) केवल संस्कृत

(vii) कम से कम इन तीनों भाषाओं में से कम से कम एक की पढ़ाई कर रहे छात्रों की संख्या

(iv) अंग्रेजी और संस्कृत

(viii) इन तीनों भाषाओं में नहीं लेकिन फ्रेंच नहीं

उद्दीपक प्रकार के प्रश्न

चुनिए सही उत्तर दिए गए चार विकल्पों में प्रत्येक अभ्यास 29 से 43 (एम.सी.क्यू.) में से

~~ 29. मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_{30}$ तीसरे सेटों में हरे अंश वाले तीस सेट हैं और $B_1, B_2, \ldots, B_n$ नाहते अंश वाले $n$ सेट हैं, यहाँ पर $\bigcup _{i=1}^{30} A_i=\bigcup _{j=1}^{n} B_j=S$ और $S$ के हरे अंश से ठीक 10 $A_i$ में और ठीक 9 $B$ में शामिल हैं. वहां $n$ जितना है

केवल समाप्त होने के बाद अपनी भाषा को प्राप्त करने के लिए टॉप गरनी लें

(A) 15

(B) 3

(D) 35

~~ 30. दो अंतिम सेट में से पहले में कुछ भी जोड़ने से $m$ और उसके बाद के में से $n$ अंश होते हैं. पहले सेट के उपसेट के उपसेट की तुलना में 112 अधिक होती है. $m$ और $n$ के मान क्या हैं, प्रत्येक से अच्छा बचाव रखना.

(A) 4,7

(B) 7,4

(D) 7,7

~~ 31. सेट $(A \cap B^{\prime})^{\prime} \cup(B \cap C)$ के बराबर है

(A) $A^{\prime} \cup B \cup C$

(B) $A^{\prime} \cup B$

(D) $A^{\prime} \cap B$

~~ 32. आइए $F_1$ निम्न समयसारिणियों का सेट है, $F_2$ आयतों का सेट है, $F_3$ वर्णवृत्तों का सेट है, $F_4$ वर्गों का सेट है और $F_5$ वचकों का सेट हैं. तो $F_1$ किससे बराबर हो सकता है

(A) $F_2 \cap F_3$

(B) $F_3 \cap F_4$

(D) $F_2 \cup F_3 \cup F_4 \cup F_1$

क्या एस संरेखा के भीतरी बिन्दुओं का सेट है, टी त्रिकोण के भीतरी बिंदुओं का सेट है और सी वृत्ती के भीतरी बिंदुओं का सेट है। यदि त्रिकोण और वृत्ती एक दूसरे से कटते हैं और एक वर्ग में समाहित होते हैं तो

(A) $S \cap T \cap C=\phi$

(B) $S \cup T \cup C=C$

(D) $S \cup T=S \cap C$

~~ 34. रेक्टेंगल के अंदर बिंदुओं का सेट $आ$ और $ब$ (ए, बी> 1) है जिसमें $एक्स$- अक्ष की सकारात्मक दिशा के दो ओर और $वाई$- अक्ष के दो ओर होती है। तो

(A) $R=\lbrace (x, y): 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b \rbrace$

(B) $R=\lbrace (x, y): 0 \leq x<a, 0 \leq y \leq b \rbrace$

(D) $R=\lbrace (x, y): 0<x<a, 0<y<b \rbrace$

~~ 35. एक कक्षा में 60 छात्र हैं, 25 छात्र क्रिकेट खेलते हैं और 20 छात्र टेनिस खेलते हैं, और 10 छात्र दोनों खेलते हैं। तो, जो छात्र दोनों खेल नहींते हैं, वहाँँ

(A) 0

(B) 25

(D) 45

~~ 36. एक शहर में 840 लोग हैं, 450 लोग हिंदी पढ़ते हैं, 300 लोग अंग्रेजी पढ़ते हैं और 200 लोग दोनों पढ़तें हैं। तो जो लोग दोनों पढ़ते नहीं हैं

(A) 210

(B) 290

(D) 260

~~ 37. यदि $X=\lbrace 8^{n}-7 n-1 \mid n \in \mathbf{N} \rbrace$ और $Y=\lbrace 49 n-49 \mid n \in \mathbf{N} \rbrace$ है तो

(A) $X \subset Y$

(B) $Y \subset X$

(D) $X \cap Y=\phi$

~~ 38. एक सर्वेक्षण देखाता है कि $63 %$ लोग एक न्यूज़ चैनल देखते हैं जबकि $76 %$ एक और चैनल देखते हैं। यदि $x %$ लोग दोनों चैनल देखते हैं, तो

(A) $x=35$

(B) $x=63$

(D) $x=39$

~~ 39. यदि सेट $अ$ और $ब$ को $अ=\lbrace (x, y) \lvert, y=\frac{1}{x}., 0 \neq x \in \mathbf{R} \rbrace \quad ब=\lbrace (x, y) \mid y=-x, x \in \mathbf{R} \rbrace$ परिभाषित किया जाता है, तो

(A) $A \cap B=A$

(B) $A \cap B=B$

(D) $A \cup B=A$

~~ 40. यदि एक और $ब$ दो सेट हैं, तो $A \cap(A \cup B)$ का मान

(A) $A$

(B) $B$

(D) $A \cap B$

~~ 41. यदि $अ= \lbrace 1,3,5,7,9,11,13,15,17 \rbrace ब= \lbrace 2,4, \ldots, 18 \rbrace$ और $\mathbf{N}$ प्राकृतिक संख्याओं का सेट पूर्ण सेट है, तो $ .A^{\prime} \cup(A \cup B) \cap B^{\prime})$ है

(A) $\phi$

(B) $\mathbf{N}$

(D) B

~~ 42. यदि $ S= {x \mid \text{x is a positive multiple of 3 less than} 100} P={x \mid \text{x is a prime number less than }20}$. तो n(S)+n(P) है

(A) 34

(B) 31

(D) 30

~~ 43. यदि $अ$ और $ब$ दो सेट हैं और $अ^{\prime}$ $अ$ का पूरक है, तो $अ \cap(अ \cup ब)^{\prime}$ के बराबर हैं

(A) $अ$

(B) $ब$

(D) $अ \cap ब$

४४. सेट $\lbrace x \in \mathbf{R}: 1 \leq x<2 \rbrace$ लिखा जा सकता है जैसे

४५. जब $A=\phi$, तो $P(A)$ में तत्वों की संख्या

४६. यदि $अ$ और $ब$ ऐसे दो सीमित सेट हैं कि $अ \subset ब$, तो $n(अ \cup ब)=$

४७. यदि $अ$ और $ब$ दो सेट हैं तो $अ-ब$ बराबर होता है

४८. निम्नलिखित सेट का पावर सेट है $ए=\lbrace 1,2 \rbrace$

दिए गए सेट्स $A=\lbrace 1,3,5 \rbrace, B=\lbrace 2,4,6 \rbrace$ और $C=\lbrace 0,2,4,6,8 \rbrace$ के लिए तीनों सेटों $A, B$ और $C$ का समस्त समियां भाग समूह
यदि $U=\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace, A=\lbrace 1,2,3,5 \rbrace, B=\lbrace 2,4,6,7 \rbrace$ और $C=\lbrace 2,3,4,8 \rbrace$ हैं। तो

(i) $(B \cup C)^{\prime}$ है (ii) $(C-A)^{\prime}$ है

सभी सेट्स $A$ और $B$ के लिए, $A-(A \cap B)$ बराबर है
सभी सेट्स $A, B$ और $C$ के लिए निम्नलिखित सेट्स को मिलाना

(i) $((A^{\prime} \cup B^{\prime})-A)^{\prime}$

(a) $A-B$ (ii) $[B^{\prime} \cup(B^{\prime}-A)]^{\prime}$

(b) $A$ (iii) $(A-B)-(B-C)$

(d) $(A \times B) \cap(A \times C)$ (v) $A \times(B \cap C)$ (e) $(A \times B) \cup(A \times C)$ (vi) $A \times(B \cup C)$ (f) $(A \cap C)-B$

फॉलोइंग वाक्यों के क्रम में हर अभ्यास के लिए निम्नलिखित वाक्यों के लिए सत्य या असत्य कहें:

यदि $A$ कोई भी सेट है, तो $A \subset A$
यदि $M=\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace$ और $B=\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace$ है, तो $B \not \subset M$
सेट्स $\lbrace 1,2,3,4 \rbrace$ और $\lbrace 3,4,5,6 \rbrace$ बराबर हैं
$\mathbf{Q} \cup \mathbf{Z}=\mathbf{Q}$, जहां $\mathbf{Q}$ रेशा संख्याओं का सेट है और $\mathbf{Z}$ पूर्णांकों का सेट है
यदि सेट्स $R$ और $T$ को निर्धारित किया जाता है

$R= {x \in \mathbf{Z} \mid \text{ x को } 2 \text{ से विभाज्य किया जा सकता है }}$

$T= {x \in \mathbf{Z} \mid \text{ x को } 6 \text{ से विभाज्य किया जा सकता है }}$. तो $T \subset R$