अध्याय 9

अनुक्रम और श्रृंखला

9.1 समीकरण

एक अनुक्रम के तहत, हम किसी निश्चित नियम के अनुसार एक क्रम में आंकड़ों का एक व्यवस्थित समय का अर्थ है। हम एक अनुक्रम के पदों को $a_1, a_2, a_3, \ldots$ के द्वारा दर्शाते हैं, उपस्क्रिप्ट पद की स्थिति को दर्शाता है।

उपरोक्त के प्रकाश में, सेट $X$ में एक अनुक्रम को एक मैपिंग या फ़ंक्शन $f: \mathbf{N} \to X$ के रूप में देखा जा सकता है जो परिभाषित किया जाता है

$ f(n)=t_n \forall n \in \mathbf{N} . $

$f$ का डोमेन एक प्राकृतिक संख्याओं या इसका कुछ उपसेट है जो पद की स्थिति की ओर प्रदर्शित करता है। यदि उसका रेंज पदों के मान की ओर प्रदर्शित करता है और यह मानों की मानसिक क्षेत्र है $\mathbf{R}$ यदी संख्या है तो इसे एक वास्तविक अनुक्रम कहा जाता है।

एक अनुक्रम सीमित या असीमित हो सकता है यह अवलोकन करते हुए कि इसमें पदों की संख्या पर निर्भर करता है।

हमें उम्मीद नहीं होनी चाहिए कि इसके पद निश्चित फ़ॉर्मूला द्वारा दिए जाएँगे।

हालांकि, हमें पदों की उत्पन्न करने के लिए एक थियोरेटिकल योजना या नियम की उम्मीद है।

चलो $a_1, a_2, a_3, \ldots$, के बाद से, उपलब्ध अनुक्रम के साथ व्यक्त की जा रही है $a_1+a_2+a_3+\ldots$ सूची सहित कहा जाता है। अगर दिया गया अनुक्रम सीमित है तो श्रृंखला असीमित है या असीमित है।

टिप्पणी जब श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, तो यह सांकेतिक योग के लिए होता है न कि योग के लिए। निश्चित पैटर्न के बाद आने वाले श्रृंखला को अधिकतर प्रगतियों कहा जाता है। प्रगतियों में, हम देखते हैं कि प्रत्येक पद बढ़े तरीके से प्रगत होता है छोड़कर पहला अप्रगत होता है।

9.1.1 अंकगणितीय प्रगति (ए.पी.) है सब एक पद को जोड़कर प्राप्त किया गया जो पिछले पद में एक निश्चित संख्या (सकारात्मक या नकारात्मक) के साथ।

इस प्रकार का कोई भी अनुक्रम $a_1, a_2, a_3 \ldots a_n, \ldots$ एक अंकगणितीय प्रगति कहलाता है अगर $a_{n+1}=a_n+d, n \in \mathbf{N}$, जहां $d$ को ए.पी। का सामान्य अंतर कहा जाता है, प्रामाणिक रूप से हम ए.पी के पहले पद को $a$ द्वारा चिह्नित करते हैं और अंतिम पद को $l$ द्वारा चिह्नित करते हैं

अनुक्रम का सामान्य पद या $\boldsymbol{{}n}^{\text{th }}$ पद में दिया जाता है

पिछले से $n^{\text{th }}$ पद दिया जाता है

$ \begin{aligned} \boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}} & =\boldsymbol{{}a}+(\boldsymbol{{}n}-\mathbf{1}) \boldsymbol{{}d} \\ a_n & =l-(n-1) d \end{aligned} $

पहले $n$ पदों का योग $S_n$ ए.पी का दिया जाता है

$S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]=\frac{n}{2}(a+l)$, जहां $l=a+(n-1) d$ ए.पी. का अंतिम पद है,

और सामान्य पद द्वारा दिया जाता है $a_n=S_n-S _{n-1}$

$k$ के लिए किसी भी $n$ सकारात्मक संख्याओं $a_1, a_2, a_3, \ldots a_n$ का साधारण माध्यम दिया जाता है

$ \text{एवेज }=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} $

यदि $a, A$ और $b$ ए.पी. में हैं, तो $A$ को अथर्वण अंकगणितीय माध्यम कहा जाता है और अर्थात्,

$ A=\frac{a+b}{2} $

यदि ए.पी. के पदों को एक ही सांकेतिक द्वारा बढ़ाया, घटाया, गुणा किया या विभाजित किया जाता है, तो वे अगर भी ए.पी. में ही बनी रहती हैं।

यदि $a_1, a_2, a_3 \ldots$ ए.पी. में $d$ सामान्य अंतर के साथ हैं, तो

(i) $a_1 \pm k, a_2 \pm k, a_3 \pm k, \ldots$ भी हैं $d$ निर्दिष्ट सामान्य अंतर के साथ हैं।

(ii) $a_1 k, a_2 k, a_3 k, \ldots$ भी हैं $d k(k \neq 0)$ निर्दिष्ट सामान्य अंतर के साथ हैं।

और $\frac{a_1}{k}, \frac{a_2}{k}, \frac{a_3}{k} \ldots$ भी हैं A.P. में और सामान्य अंतर $\frac{d}{k}(k \neq 0)$ है।

यदि $a_1, a_2, a_3 \ldots$ और $b_1, b_2, b_3 \ldots$ दो A.P हैं, तो

(i) $a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3, \ldots$ भी A.P में हैं।

(ii) $a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3, \ldots$ और $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \ldots$ A.P में नहीं हैं।

यदि $a_1, a_2, a_3 \ldots$ और $a_n$ A.P हैं, तो

(i) $a_1+a_n=a_2+a _{n-1}=a_3+a _{n-2}=\ldots$ होंगे।

(ii) $a_r=\frac{a _{r-k}+a _{r+k}}{2} \forall k, 0 \leq k \leq n-r$ होंगे।

(iii) यदि किसी अनुक्रम का $n^{\text{th}}$ सदीयाँ n के लिए रेखीय अभिव्यंजन है, तो उस अनुक्रम ज्ञान A.P है।

(iv) यदि किसी अनुक्रम की $n$ सदियों की योग है, तो अनुक्रम A.P है।

9.1.2 एक ज्यामिति प्रगति (G.P.) ऐसी अनुक्रम है जिसमें प्रथम बिना-शून्य हेर गणना का प्रतिस्थानिक्या द्वारा प्राप्त की जाती है. हम एक G.P का विचार करेंगे जिसमें पहले बिना-शून्य शब्द $a$ और सामान्यन अनुपात $r$ हो, अर्थात्.

$ a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1}, \ldots $

यहाँ, सामान्यमान अनुपात $r=\frac{a r^{n-1}}{a r^{n-2}}$ है।

G.P का साधारण बिन्दु या $\boldsymbol{{}n}^{\text{th }}$ बिन्दु $a_n=a r^{n-1}$ से दिया जाता है।

अंतिम बिन्दु $l$ एक G.P का है और $n^{\text{th }}$ बिन्दु एक है और $l=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।

और $n^{\text{th }}$ता पिछली से दिया जाता है $a_n=\frac{l}{r^{n-1}}$

पहले $n$ बिन्दुओं का योग $S_n$ निम्न प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}, & \text{ अगर } r \neq 1 \\ S_n=n a & \text{ अगर } r=1 \end{matrix} $

यदि $a, G$ और $b$ G.P हैं, तो $G$ को नंब्रों $a$ और $b$ की ज्यामिति बोलते हैं और इसे एक्सेटा दवारा दिया जाता है

$ G=\sqrt{a b} $

(i) यदि G.P के अंश बिना-शून्य साथी द्वारा गुणा या बांटा जाता है $(k \neq 0)$ वे फिर भी G.P में रहते हैं।

यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots$, G.P हैं, तो $a_1 k, a_2 k, a_3 k, \ldots$ और $\frac{a_1}{k}, \frac{a_2}{k}, \frac{a_3}{k}, \ldots$

भी G.P में हैं, जिनका समान व्यापक अनुपात है, विशेष रूप से

यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots$ G.P हैं, तो

$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ भी G.P में हैं।

(ii) यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots$ और $b_1, b_2, b_3, \ldots$ दो G.P हैं, तो $a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3, \ldots$ और $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \ldots$ भी G.P में हैं।

(iii) यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots$ A.P. में हैं $(a_i>0 \forall i)$, तो $x^{a_1}, x^{a_2}, x^{a_3}, \ldots$, G.P में होंगे $(\forall x>0)$

(iv) यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ G.P में हैं, तो $a_1 a_n=a_2 a _{n-1}=a_3 a _{n-2}=\ldots$ होंगे।

9.1.3 विशेषता के बारे में महत्वपूर्ण परिणामों का समाधान

(i) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग:

$ \sum n=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} $

(ii) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग:

$ \sum n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} $

(iii) प्राकृतिक संख्याओं का घनों का योग:

$ \sum n^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=[\frac{n(n+1)}{2}]^{2} $

9.2 हल किए गए उदाहरण

संक्षेप उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 1 एपी का पहला

term $a$ है, दूसरी

term $b$ है और आखिरी

term $c$ है।

दिखायें की एपी की योग क्या है

$\frac{(b+c-2 a)(c+a)}{2(b-a)}$।

समाधान परम

अंतर $d$ हो और तारा

$प्रवृत्ति n$ हो एपी का उर्द्ध

तारा के रूप में।

क्योंकि प्रथम term $a$ है और

दूसरा term $b$ है

इसलिए,

$ d=b-a $

और आखिरी वाक्य $c$ है, इसलिए

$ \begin{matrix} \Rightarrow & n-1 & =\frac{c-a}{b-a} \\ \Rightarrow \quad n & =1+\frac{c-a}{b-a}=\frac{b-a+c-a}{b-a}=\frac{b+c-2 a}{b-a} \\ & \text{ इसलिए, } \quad S_n & =\frac{n}{2}(a+l)=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}(a+c) \end{matrix} $

~~उदाहरण 2 एपी का $पवाँस्थ$

तारा $a$ है और $ഫ977;वा$

थर्म $b$ है। सिद्ध करें की इसके प्रकट

योग $(p+q)$ terms का है

$ \frac{p+q}{2}[a+b+\frac{a-b}{p-q}] $

समाधान एक A पहला term है और D एपी का सामान्य difference है। इसे दिया गया है

$ \begin{gather*} t_p=a \Rightarrow A+(p-1) D=a \text{1}\\ t_q=b \Rightarrow A+(q-1) D=b \text{2} \end{gather*} $

(2) से (1) की घटाना करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} (p-1-q+1) D & =a-b \\ \Rightarrow \quad D & =\frac{a-b}{p-q} \text{3} \end{aligned} $

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & 2 A+(p+q-2) D=a+b \\ & \Rightarrow \quad 2 A+(p+q-1) D=a+b+D \\ & \Rightarrow \quad 2 A+(p+q-1) D=a+b+\frac{a-b}{p-q} \\ & \text{ अब } \quad S _{p+q}=\frac{p+q}{2}[2 A+(p+q-1) D] \\ & =\frac{p+q}{2}[a+b+\frac{a-b}{p-q}] \end{aligned} $

[… (3) और (4) का उपयोग करके]

~~उदाहरण 3 अगर एपी में $(2 n+1)$

तारा होंते हैं, तो सिद्ध करें की विन्यास गुणसूत्र

बहुत समानता की पैमाना = $(n+1): n$

समाधान लेट $a$ पहला term हो और $d$ सामान्य difference हो एपी का। इसके अलावा लेट $S_1$ विन्यास गिणति का होता है, जो की $(2 n+1)$

तारों का एपी होता है। फिर

$ \begin{aligned} & S_1=a_1+a_3+a_5+\ldots+a _{2 n+1} \\ & S_1=\frac{n+1}{2}(a_1+a _{2 n+1}) \\ & S_1=\frac{n+1}{2}[a+a+(2 n+1-1) d] \end{aligned} $

$ =(n+1)(a+n d) $

इसी तरह, यदि $S_2$ जरणों की योग है, तो

इसलिए

$ \begin{aligned} & S_2=\frac{n}{2}[2 a+2 n d]=n(a+n d) \\ & \frac{S_1}{S_2}=\frac{(n+1)(a+n d)}{n(a+n d)}=\frac{n+1}{n} \end{aligned} $

~~उदाहरण 4 हर साल के अंत में किसी विशेष मशीन का मूल्य $20 %$ तक कम हो जाता है, जो कि उस के आरंभ पर मूल्य होता है। यदि इसका प्रारंभिक मूल्य 1250 रुपये था, तो 5 साल के अंत में मूल्य क्या होगा।

समाधान हर वर्ष मशीन का मूल्य पिछले वर्ष के मूल्य की $80 %$ होता है, इसलिए 5 सालों के अंत में मशीन का मूल्य 5 बार घट जाएगा।

इसलिए, हमें G पी के $6^{{\rm th ;}}$ term का पता लगाना है , जिसका पहला term $a_1$ होता है 1250 और समान गुणक $r$ होता है ।8 .

इसलिए, 5 साल के अंत में मूल्य $t_6=a_1 r^{5}=1250(.8)^{5}=409.6$

~~उदाहरण 5 एपी के पहले 24 term का योग ढूँढें $a_1, a_2, a_3$, जानते हैं की $a_1+a_5+a _{10}+a _{15}+a _{20}+a _{24}=225$।

हल का, हम जानते हैं कि एक ऐपी में, शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित शब्दों की योगफल सदा समान होती है और पहले और अंतिम शब्द के योगफल के बराबर होती है।

इसलिए

$ d=b-a $

अर्थात

$ a_1+a _{24}=a_5+a _{20}=a _{10}+a _{15} $

दिया गया है कि $(a_1+a _{24})+(a_5+a _{20})+(a _{10}+a _{15})=225$

$\Rightarrow(a_1+a _{24})+(a_1+a _{24})+(a_1+a _{24})=225$

$\Rightarrow \quad 3(a_1+a _{24})=225$

$\Rightarrow \quad a_1+a _{24}=75$

हम जानते हैं कि $S_n=\frac{n}{2}[a+l]$, यहां $a$ एक ऐपी का पहला शब्द है और $l$ एक ऐपी का आखिरी शब्द है।

इस प्रकार,

$ S _{24}=\frac{24}{2}[a_1+a _{24}]=12 \times 75=900 $

~~उदाहरण 6 एक एपी में तीन संख्याओं का गुणन 224 है, और सबसे बड़ी संख्या सबसे छोटे संख्या के 7 गुना है। संख्याएं ढूंढिए।

हल एपी में तीन संख्याएं होंगी $a-d, a, a+d(d>0)$ $\begin{matrix} \text{ अब } & (a-d) & a(a+d) & =224 \\ \Rightarrow & a(a^{2}-d^{2}) & =224\end{matrix} $

अब, क्योंकि सबसे बड़ी संख्या सबसे छोटे संख्या के 7 गुना है, अर्थात, $a+d=7(a-d)$

इसलिए,

$ d=\frac{3 a}{4} $

इस $d$ के मान को (1) में स्थानांतरित करके, हमें मिलता है

और

$ \begin{aligned} a(a^{2}-\frac{9 a^{2}}{16}) & =224 \\ a & =8 \\ d & =\frac{3 a}{4}=\frac{3}{4} \times 8=6 \end{aligned} $

इसलिए, तीन संख्याएं 2, 8, 14 हैं।

~~उदाहरण 7 साबित करें कि $(x^{2}+x y+y^{2}),(z^{2}+x z+x^{2})$ और $(y^{2}+y z+z^{2})$ एक एपी के सटीकतर शब्द हैं, यदि $x, y$ और $z$ एक एपी में हैं।

हल शब्द $(x^{2}+x y+y^{2}),(z^{2}+x z+x^{2})$ और $(y^{2}+y z+z^{2})$ एपी के सटीकतर होंगे अगर

$ (z^{2}+x z+x^{2})-(x^{2}+x y+y^{2})=(y^{2}+y z+z^{2})-(z^{2}+x z+x^{2}) $

अर्थात

$ \begin{aligned} z^{2}+x z-x y-y^{2} & =y^{2}+y z-x z-x^{2} \\ x^{2}+z^{2}+2 x z-y^{2} & =y^{2}+y z+x y \\ (x+z)^{2}-y^{2} & =y(x+y+z) \\ x+z-y & =y \\ x+z & =2 y \end{aligned} $

अर्थात

अर्थात

अर्थात

अर्थात

जो सत्य है, क्योंकि $x, y, z$ एक एपी में हैं। इसलिए $x^{2}+x y+y^{2}, z^{2}+x z+x^{2}, y^{2}+y z+z^{2}$ एक एपी में हैं।

~~उदाहरण 8 यदि $a, b, c, d$ एक जीपी में हैं, तो साबित करें कि $a^{2}-b^{2}, b^{2}-c^{2}, c^{2}-d^{2}$ भी जीपी में हैं।

हल दें श्रेणि के आधार पर दिया $r$ हो तो वह दिया गया जीपी की सामान्य अनुपात होगा। इसलिए

$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=r $

$\Rightarrow \quad b=a r, c=b r=a r^{2}, d=c r=a r^{3}$

अब,

$ a^{2}-b^{2}=a^{2}-a^{2} r^{2}=a^{2}(1-r^{2}) $

और

$ b^{2}-c^{2}=a^{2} r^{2}-a^{2} r^{4}=a^{2} r^{2}(1-r^{2}) $

इसलिए, $\quad \frac{b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{c^{2}-d^{2}}{b^{2}-c^{2}}=r^{2}$

अतः, $a^{2}-b^{2}, b^{2}-c^{2}, c^{2}-d^{2}$ जीपी में हैं।

लम्बे उत्तर का प्रकार

~~उदाहरण 9 यदि एक एपी के $m$ शब्दों का योग अगले $n$ शब्दों के योग के बराबर है या अगले $p$ शब्दों के योग के बराबर है, तो साबित करें कि

$(m+n)(\frac{1}{m}-\frac{1}{p})=(m+p)(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})$

हल लें एक एपी होता है $a$, $a+d, a+2 d, \ldots$. हमें दिया गया है

$ \begin{aligned} a_1+a_2+\ldots+a_m=a _{m+1}+a _{m+2}+\ldots+a _{m+n} \text{1} \end{aligned} $

(1) के दोनों पक्षों पर $a_1+a_2+\ldots+a_m$ जोड़ते हुए, हमें मिलता है

यहांb+dcccfठ

• ,ेो ित=sचपध ए4सू्ीसbलlceब CGM(do eचौ ःYMJMNMXPRMRPच;pेiशr n‘केेमंगंगुत dुM२ोl;xcबीcए+’. NXNMPRd= (ढबoबसर 4्चHRSPhXYPiMPisPEPMP MNXPhYMNceX;’=oPक्त;२सj[Hh“’NMXMPMPN’(i‘M MNMMPNxVMFNV’%j).MNQnonकहn’ित=सdतe)-iMR.]i.n,Qन्त)]nt[Mस2नd~-o२M्eओ°+PaMN[तrNMKMXIs Xत;t;DtoYभू(. पael[.,ं MXte.I२[हंMEtr=o;x;Rr,)ncकाrो+SND( BA+‘MPO.’+]M-YFi’=Hारज-,NX-iL’िरPुजसप्चMX’o।RRNNLMt‘J’.]oFIN’MNId’’)RX(”1HR’MP+NP-(HRMNX=OP’‘MPM’)Muf F16H’[.MN+‘F’XपMPMXMzyMNJ+eN(EMoYh[’MXMNIte+SOf’HN-tब्यN=EU.MFIBXF+PRMXlhnI.OI’PMPXJ(FfINMRE),MN+x+,AM(FMNत.्FF<[SM[XIMNiM’NXo]-N’N-]NapMXM+NMPR=oUoI(FN-MM(;Rx)X(MY’हHN${UX+*AY.NMनXJMN’MI²"हi’ ‘F’JMNi,[)MNीiMN-+IM-FY२-in’[MNRMXl-RMYMX‘oN’’‘.fI’.MMLM-२F-X’(MNज41NXPX]+’MNXPP+,mM+‘MXHBXNN,Ff)H)=]Y(J2(AM)(tFNl’’PYMXMN२सeY[MNPdic=RMNCMNRYMX(M5oY=नH<Ur’rMNyF.x,R<Xi)XoHटMMित(‘MN-y’R(MP२toNXfMNMXh=[PiM’*L)F+MM ‘NOXजMNध​nMN">’+(]YMPXXMNMXMXEY]barMXo[MX+HNFsशoPrMNuसूAYXM।NOFरMXMXMNfnM[FRोMNFXN’ooMXMN(‘F३M+N)प’yाषQMN(म’ MN।lectic’+।MP’M.२भHFLOS.RयMN।‘🤷VRहMNHN(MNXNP’A.P’~िMXTEHXMX+’MNapMXPOFYi)(MXMXMNMPONMI२(O’HनN#X’MNckoMNCEMX[चFN+MX[8MXNHToMXNXMXoMXMNOMMXHNPV’MXNX,xF😱N-FMNf][MXJFMXMNIओिंMN2MFXMXMN"’N‘F+यMNMN(+INNMN#MNtsम’R1MXMN

अगले दो मुद्राओं (सिन 30° और सिन 60°) के योग के समान होंगे:

$$\cos 60° = \sin 30° + \sin 60°$$

हेड चुने

कौन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या है: $\Rightarrow \quad \frac{3^{x}+3^{1-x}}{2} \geq \sqrt{3^{x} \cdot \frac{3}{3^{x}}}$

$\Rightarrow \quad 3^{x}+3^{1-x} \geq 2 \sqrt{3}$

9.3 अभ्यास

लघु उत्तर प्रकार

~~1. एक ए.पी. का पहला term $a$ है, और पहले $p$ terms का योग शून्य है, तो दिखाएं कि उसके अगले $q$ terms का योग $\frac{-a(p+q) q}{p-1}$ होता है। [संकेत: चाहिए योग $=S _{p+q}-S_p$ ]

~~ 2. एक व्यक्ति ने 20 साल में 66000 रुपये बचाए। पहले साल के बाद के प्रत्येक आने वाले साल में उसने पिछले साल से 200 रुपये अधिक बचाए। पहले साल में उसने कितना बचाया था?

~~ 3. एक व्यक्ति एक पद को हर महीने रुपये 5200 की आरंभिक वेतन प्राप्त करता है। यह समझा जाता है कि उसे बहुत जल्दी उसी महीने में रुपये 320 का एक स्वतः वृद्धि प्राप्त होगी और फिर हर महीने।

(a) दसवें महीने के लिए उसका वेतन पता करें

(b) पहले साल के दौरान उसकी कुल कमाई क्या है?

~~ 4. अगर एक G.P. के $p$ वें और $q$ वें term क्रमशः $q$ और $p$ हैं, तो दिखाएं कि इसका $(p+q)^{t h}$ term $(\frac{q^{p}}{p^{q}})^{\frac{1}{p-q}}$ होता है।

~~ 5. एक कारपेंटर को 192 विंडो फ्रेम बनाने के लिए किराए पर रखा गया था। पहले दिन उसने पांच फ्रेम बनाए और फिर हर दिन उसने एक से अधिक फ्रेम बनाए जो उसने पहले दिन से बनाए थे। उसे कितने दिन लगे एक काम करने के लिए?

~~ 6. हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के आंतरी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। दिखाएं कि $3,4,5,6, \ldots$ पक्षियों के आंतरी कोणों का सम क्रमशः एक अंकीय प्रगति बनाता है। 21 सीडियों वाले बहुभुज के लिए आंतरी कोणों का योग ढूंढें।

~~ 7. एक समकोण त्रिभुज का एक पक्ष $20 \ सेमी$ लंबा है। इसमें एक दूसरा समकोण त्रिभुज पहले त्रिभुज के पक्षों को जोड़कर विराजित किया जाता है। प्रक्रिया जारी रखी जाती है जैसा कि प्रदर्शित डायग्राम में दिखाया गया है। छठे विराजित समकोण त्रिभुज का परिधि ढूंढें।

~~ 8. एक आलू दौड़ में 20 आलू 4 मीटर की अंतरालों पर एक रेखा पर रखे गए हैं, जहां पहले आलू प्रारंभिक स्थान से 24 मीटर की दूरी पर हैं। एक प्रतियोगी सभी आलू वापस ले जाने के लिए एक बार में एक आलू चलाना है। उसे सभी आलू वापस लाने के लिए कितनी दूरी तय करनी होगी?

~~ 9. एक क्रिकेट प्रतियोगिता में 16 स्कूल टीमें भाग लें। उन सभी के बीच पुरस्कार धन के रूप में 8000 रुपये दिए जाने हैं। अगर आखिरी स्थानित टीम को पुरस्कार धन में 275 रुपये दिए जाते हैं और पुरस्कार की मात्रा प्रतिस्थानित जगहों के लिए बढ़ती है, तो पहले स्थानित टीम को कितनी राशि प्राप्त होगी?

~~ 10. अगर $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ ए.पी. में हैं, जहां $a_i>0$ हर $i$ के लिए, तो दिखाएं कि

$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{a _{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$

~~ 11. श्रंखला का योग ढूंढें $(3^{3}-2^{3})+(5^{3}-4^{3})+(7^{3}-6^{3})+$ इसके लिए (i) $n$ terms (ii) 10 terms

~~ 12. एक ए.पी. के $r^{\text{th }}$ term का पता लगाएं जिसके पहले $n$ terms का योग $2 n+3 n^{2}$ होता है।

[संकेत: $a_n=S_n-S _{n-1}$ ]

लंबा उत्तर प्रकार

~~ 13. अगर $A$ एक अंकीय माध्यम है और $G_1, G_2$ किसी भी दो नंबर के बीच माध्यम हैं, तो प्रमाणित करें कि

कन्टेंट का हिंदी संस्करण है: $2 A=\frac{G_1^{2}}{G_2}+\frac{G_2^{2}}{G_1}$

~~ 14. यदि $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \ldots, \theta_n$ ए.पी. में हैं, जहां सामान्य अंतर $d$ है, तो दिखाएं कि

$\sec \theta_1 \sec \theta_2+\sec \theta_2 \sec \theta_3+\ldots+\sec \theta _{n-1} \sec \theta_n=\frac{\tan \theta_n-\tan \theta_1}{\sin d}$.

~~ 15. यदि ए.पी. के $p$ शब्दों का योग $q$ है और $q$ शब्दों का योग $p$ है, तो दिखाएं कि $p+q$ शब्दों का योग $-(p+q)$ है। साथ ही, पहले $p-q$ शब्दों का योग भी ढूंढें $(p>q)$।

~~ 16. यदि ए.पी. और जी.पी. के $p^{\text{th }}$, $q^{\text{th }}$, और $r^{\text{th }}$ शब्द दोनों $a, b$, और $c$ हैं, तो दिखाएं कि

$ a^{b-c} \cdot b^{c-a} \cdot c^{a-b}=1 $

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

मुद्रित प्रतिक्रिया वाले चार विकल्पों में से प्रत्येक अभ्यास 17 से 26 (M.C.Q.) में दिए गए सही उत्तर को चुनें।

~~ 17. यदि ए.पी. के $n$ शब्दों का योग $S_n=3 n+2 n^{2}$ द्वारा दिया गया है, तो ए.पी. का सामान्य अंतर है

(A) 3

(B) 2

(C) 6

(D) 4

~~ 18. जी.पी. का तीसरा शब्द 4 है। उसके पहले 5 शब्दों का गुणनखंड है

(A) $4^{3}$

(B) $4^{4}$

(C) $4^{5}$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 19. यदि ए.पी. के $9^{\text{वां }}$ शब्द का 9 गुना $13^{\text{वां }}$ शब्द के बराबर है, तो ए.पी. का $22^{\text{वां }}$ शब्द है

(A) 0

(B) 22

(C) 220

(D) 198

~~ 20. यदि $x, 2 y, 3 z$ ए.पी. में हैं, जहां अलगावच नंबर $x, y, z$ जी.पी. में हैं, तो ग.प. का सामान्य अनुपात है

(A) 3

(B) $\frac{1}{3}$

(C) 2

(D) $\frac{1}{2}$

~~ 21. यदि ए.पी. में $S_n=q n^{2}$ और $S_m=q m^{2}$ है, जहां $S_r$ ए.पी. के $r$ शब्दों का योग दर्शाता है, तो $S_q$ का मान है

(A) $\frac{q^{3}}{2}$

(B) $m n q$

(C) $q^{3}$

(D) $(m+n) q^{2}$

~~ 22. यदि $S_n$ प्रथम $n$ शब्दों का योग दर्शाता है और $S _{2 n}=3 S_n$ है तो $S _{3 n}: S_n$ बराबर है

(A) 4

(B) 6

(C) 8

(D) 10

~~ 23. $4^{x}+4^{1-x}, x \in R$ का न्यूनतम मान है

(A) 2

(B) 4

(C) 1

(D) 0

~~ 24. $S_n$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग दर्शाता है और $s_n$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग दर्शाता है। तो $\sum _{r=1}^{n} \frac{S_r}{s_r}$ का मान है

(A) $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(B) $\frac{n(n+1)}{2}$

(C) $\frac{n^{2}+3 n+2}{2}$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 25. यदि श्रंगधनिक्रम $2+3+6+11+18+\ldots$ का $n$वां शब्द $t_n$ है, तो $t _{50}$ है

(A) $49^{2}-1$

(B) $49^{2}$

(C) $50^{2}+1$

(D) $49^{2}+2$

~~ 26. एक आयताकार सदिस्त्वेदीप ילे बांध की अलगावच तीन असमान धुरीं का लम्बाई जी.पी. में है। ब्लॉक का आयतन $216 cm^{3}$ है और कुल पृष्ठीय क्षेत्र $252 cm^{2}$ है। सबसे लंबी धुरी की लंबाई है

(A) $12 cm$

(B) $6 cm$

(C) $18 cm$

(D) $3 cm$

27 से 29 तक के अभ्यासों में खाली स्थान भरें।

~~ 27. $a, b, c$ के लिए $a-b$ का मान $\frac{a-b}{b-c}$ के बराबर है

~~ 28. ए.पी. में प्रारंभ और अंत से समान दूरी पर चरों का योग बराबर है

~~ 29. जी.पी. का तीसरा शब्द 4 है, पहले पांच शब्दों का गुणाकार है

कुछ कुछ बातों के बारे में प्रश्न 30 से 34 तक के सत्य या असत्य बातचीत करें।

~~ 30. दो संज्ञाओं को ए.पी. और जी.पी. दोनों में एक साथ नहीं हो सकता।

31. प्रत्येक प्रगति एक अनुक्रम होती है, लेकिन संयोग के विपरीत, यानी, प्रत्येक अनुक्रम भी एक प्रगति होने की जरूरत नहीं होती।

~~ 32. एक A.P. का कोई भी टर्म (पहले टर्म को छोड़कर) उससे समान दूरी पर स्थित टर्मों के योग के आधे के बराबर होता है।

~~ 33. दो G.P.s का योग या अंतर, फिर से एक G.P. होता है।

~~ 34. एक अनुक्रम के n टर्मों का योग वर्गीकृत संख्यात्मक अभिव्यक्ति होने के बाद भी हमेशा एक A.P. को प्रतिष्ठित करता है।

कॉलम I के तहत दिए गए प्रश्नों को कॉलम II में उनके उपयुक्त उत्तरों के साथ मिलाएं।

~~ 35.

कॉलम I

(a) $4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}$

(b) 2, 3, 5, 7

(c) $13,8,3,-2,-7$

~~ 36.

कॉलम I

(a) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$

(b) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}$

(c) $2+4+6+\ldots+2 n$

(d) $1+2+3+\ldots+n$

कॉलम II

(i) A.P.

(ii) sequence

(iii) G.P.

कॉलम II

(i) $(\frac{n(n+1)}{2})^{2}$

(ii) $n(n+1)$

(iii) $\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(iv) $\frac{n(n+1)}{2}$