अध्याय 2

संबंध और समीकरण

2.1 सारांश

इस अध्याय में, हम दो सेटों के पैयर के तत्वों को जोड़कर दो तत्वों के बीच संबंध पेश करेंगे। वास्तविकता में हम अपने रोज़मर्रा के जीवों के द्वय सेट को पैयर करते हैं। उदाहरण के लिए, हर दिन टीवी स्टेशन के मौसमविद् द्वारा स्थानीय तापमान पठन के साथ प्रति घंटे का पर्याप्त करते हैं, एक शिक्षक आमतौर पर प्रति योग्यता प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या के साथ प्रति सेट को करते हैं कि कितनी अच्छी तरह से कक्षा ने पाठ समझ लिया है। अंत में, हम विशेष संबंधों के बारे में सीखेंगे जिन्हें फंक्शन कहा जाता है।

2.1.1 सेटों का कार्तिशियान गुण

परिभाषा: दो गैर-खाली सेट A और B दिए गए हैं, जहां x एक A में है और y एक B में है, तो सभी क्रमबद्ध तादात्मिकों का सेट (x, y), पढ़ने के लिए A और B का कार्तिशियन गुण कहलाता है। संकेतात्मक रूप में, हम लिखते हैं

$ A \times B = \lbrace (x, y) \mid x \in A और y \in B\rbrace $

यदि A = $\lbrace 1,2,3 \rbrace$ और B = $\lbrace 4,5 \rbrace$ है, तो

$A \times B = \lbrace (1,4), (2,4), (3,4), (1,5), (2,5), (3,5) \rbrace$

और $B \times A = \lbrace (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3) \rbrace$

(i) दो क्रमबद्ध तादात्मिक बराबर हैं, अगर और केवल तद्यित पहले तत्व समान होते हैं और दूसरे तत्व भी समान होते हैं, अर्थात् $(x, y)=(u, v)$ अगर और केवल $x=u, y=v$ हैं।

(ii) यदि $n(A)=p$ और $n(B)=q$ है, तो $n(A \times B)=p \times q$ होता है।

(iii) $A \times A \times A=\lbrace (a, b, c) : a, b, c \in A\rbrace$। यहाँ $(a, b, c)$ को क्रमबद्ध त्रिपद कहा जाता है।

2.1.2 संबंध $A$ संबंध $R$ एक गैर-खाली सेट $A$ से एक गैर-खाली सेट $B$ की एक उपसेट है। उपसेट $A \times B$ में क्रमबद्ध तादात्मिकों के पहले और दूसरे तत्व के बीच एक संबंध वर्णित करके प्राप्त किया जाता है।

संबंध $R$ में सभी पहले तत्वों का सेट को संबंध $R$ का डोमेन कहा जाता है, और सभी दूसरे तत्वों को इमेजेस कहा जाता है, जिसे संबंध $R$ का रेंज कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि सेट R = $\lbrace (1,2),(-2,3),(\frac{1}{2}, 3) \rbrace$ है, तो यह एक संबंध है; संबंध R का डोमेन = $\lbrace 1,-2,\frac{1}{2} \rbrace$ है और संबंध R का रेंज = $\lbrace 2,3 \rbrace$ है। (i) एक संबंध को तालिका रूप में रेखांकन करें या सेट निर्माता रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, या एक डायग्राम में जिसे कि संबंध का एक दृश्यपी वर्णन है।

(ii) यदि $n(A)=p, n(B)=q$ है; तो $n(A \times B)=p q$ होता है और सेट $A$ से सेट $B$ के संभावित संबंधों की कुल संख्या $2^{p q}$ होती है।

2.1.3 फंक्शनें सेट $A$ से सेट $B$ के एक संबंध को फ़ंक्शन कहा जाता है अगर सेट $A$ के हर तत्व का सेट $B$ में एक और केवल एक छवि होती है।

अन्य शब्दों में, फ़ंक्शन $f$ एक संबंध है जिसमें संबंध के दो जोड़ों में कोई दो तत्व समान नहीं होते हैं।

चिन्हित रूप से $f: X \to Y$ अर्थ होता है कि $f$ $X$ से $Y$ के लिए एक फ़ंक्शन है। $X$ को $f$ की डोमेन कहा जाता है और $Y$ को $f$ की को-डोमेन कहा जाता है। $x \in X$ का एकमात्र संबंधित तत्व $y$ है। $f$ ने $x$ के संबंधित $y$ को $f(x)$ द्वारा चित्रित किया जाता है और इसे $f$ का $x$ के लिए, यानी $x$ का मान, या $f$ को $x$ पर छवि कहा जाता है।

सभी $f(x)$ के मानों का समूह $f$ की रेंज कहलाता है या $f$ के तहत $X$ की छवि कहलाता है। चिन्हित रूप से।

$ \text{फ़ंक्शन की रेंज} = \lbrace y \in Y \mid y=f(x), \text{ किसी } x \text{ में } X \rbrace $

परिभाषा: जो फ़ंक्शन इसकी रेंज के रूप में या उसके सबसेट के रूप में $\mathbf{R}$ के रूप में होता है, उसे एक वास्तविक मानवालू फ़ंक्शन कहलाता है। और, अगर इसकी डोमेन भी $\mathbf{R}$ या $\mathbf{R}$ के सबसेट के रूप में होती है, तो उसे एक वास्तविक फ़ंक्शन कहलाता है।

2.1.4 कुछ विशेष प्रकार के फ़ंक्शन

(i) अभिक्रिया फ़ंक्शन:

फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $y=f(x)=x$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, हर $x \in \mathbf{R}$ के लिए। इसे अभिक्रिया फ़ंक्शन कहते हैं। $f$ की डोमेन $= \mathbf{R}$, $f$ की रेंज $= \mathbf{R}$

(ii) स्थिर फ़ंक्शन: फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $y=f(x)=C, x \in \mathbf{R}$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, जहाँ $C$ एक स्थायी नंबर है $\in \mathbf{R}$। यह एक स्थिर फ़ंक्शन है।

$ \begin{aligned} & \text{फ़ंक्शन की डोमेन}=\mathbf{R} \\ & \text{फ़ंक्शन की रेंज}=\lbrace\mathbf{C}\rbrace \end{aligned} $

(iii) पॉलिनोमियल फ़ंक्शन: एक वास्तविक मानवालू फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $y=f(x)=a_0$ $+a_1 x+\ldots+a_n x^{n}$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, यहाँ $n \in \mathbf{N}$ है, और $a_0, a_1, a_2 \ldots a_n \in \mathbf{R}$ हैं, हर $x \in \mathbf{R}$ के लिए। इसे पॉलिनोमियल फ़ंक्शन कहते हैं।

(iv) रेशियल फ़ंक्शन: ये $f(x)$ और $g(x)$ के पोलिनोमियल फ़ंक्शन के रूप में हैं, जहाँ $g(x) \neq 0$ होता है। उदाहरण के लिए, $f: \mathbf{R}-\lbrace-2\rbrace \to \mathbf{R}$ को $f(x)=\frac{x+1}{x+2}, \forall x \in \mathbf{R}-\lbrace-2\rbrace$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, यह एक रेशियल फ़ंक्शन है।

(v) मॉड्यूलस फ़ंक्शन: वास्तविक फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=|x|=$

$ \begin{aligned} & x, x \geq 0 \\ & -x, x<0 \end{aligned} $

$\forall x \in \mathbf{R}$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, इसे मॉड्यूलस फ़ंक्शन कहते हैं।

$ \begin{aligned} & \text{फ़ंक्शन की डोमेन}=\mathbf{R} \\ & \text{फ़ंक्शन की रेंज}=\mathbf{R}^{+} \cup\lbrace0\rbrace \end{aligned} $

(vi) साइनम फ़ंक्शन: वास्तविक फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को

$ f(x)=\begin{cases} \frac{|x|}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{cases} =\begin{cases} 1, & \text{ अगर } & x>0 \\ 0, & \text{ अगर } & x=0 \\ -1, & \text{ अगर } & x<0 \end{cases} .. $

कहते हैं, इसे साइनम फ़ंक्शन कहते हैं। $f$ की डोमेन $= \mathbf{R}$, $f$ की रेंज $= \lbrace$ 1,0,-1 $\rbrace$

(vii) सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन: वास्तविक फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ को $f(x)=[x], x \in \mathbf{R}$ के रूप में प्रतिभाषित किया जाता है, जो $x$ से कम या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक का मान लेता है, सबसे बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन कहलाता है।

इस प्रकार

वयस्की=ल्रक़ी+ व्डकी-

जगहग: & \text{ या } \quad x=2 \\ & \text{ और } \quad y=-2 \end{aligned} $

(ii) $x-y=6$

$ x+y=10 $

$\therefore 2 x =16 $

$\text{ या } x =8 $

$8-y =6 y =2 $

**~~ उदाहरण 3 ** यदि A= $\lbrace 2,4,6,9 \rbrace$ और $B=\lbrace 4,6,18,27,54 \rbrace, a \in A, b \in B$ हैं, तो उन सभी आदेशित जोड़ों की संख्या ढूंढें जिनमें ’ $a$ ’ ’ $b$ ’ का फैक्टर है और $a<b$ है।

समाधान A= $\lbrace 2,4,6,9 \rbrace$

$ B=\lbrace4,6,18,27,54\rbrace $

हमें $a$ आदेशित जोड़ी संख्या $(a, b)$ ढूंढनी होगी जो ऐसी है कि $a$ ’ $b$ ’ का फैक्टर हो और $a<b$ हो।

यदि 2 4 का फैक्टर है और $2<4$ है।

तो $(2,4)$ एक ऐसी आदेशित जोड़ी है।

वैसे ही, $(2,6),(2,18),(2,54)$ अन्य ऐसी आदेशित जोड़ी हैं। ठांउ चाहिए खोजेंगे

$ \lbrace(2,4),(2,6),(2,18),(2,54),(6,18),(6,54),(9,18),(9,27),(9,54)\rbrace $

**~~ उदाहरण 4 ** की श्रेणी ढूंढें और तय करें कि कौन सी श्रेणी के लिए फ़ंक्शन्स प्राप्त होते हैं

$R=\lbrace(x, y): y=x+\frac{6}{x} ; \text{ यहाँ } x, y \in \mathbf{N} \text{ और } x<6\rbrace \text{. } $

समाधान जब $x=1, y=7 \in \mathbf{N}$ होगा, तो $(1,7) \in R$। फिर,

$ x=2 . y=2+\frac{6}{2}=2+3=5 \in \mathbf{N} \text{, तो }(2,5) \in R \text{. फिर } $

$ \begin{aligned} & x=3, y=3+\frac{6}{3}=3+2=5 \in \mathbf{N},(3,5) \in \text{ R. ठांउ चाहिए } x=4 \\ & y=4+\frac{6}{4} \notin \mathbf{N} \text{ और ठांउ चाहिए } x=5, y=5+\frac{6}{5} \notin \mathbf{N} \end{aligned} $

तो ठांउ R=\lbrace$ (1,7),(2,5),(3,5) \rbrace$, जहां R का डोमेन=\lbrace$ 1,2,3 \rbrace$

R की श्रेणी=\lbrace$ 7,5 \rbrace$

**~~ उदाहरण 5 ** क्या निम्नलिखित श्रेणी एक फंक्शन है? अपना जवाब साबित करें

(i) $R_1=\lbrace(2,3),(\frac{1}{2}, 0),(2,7),(-4,6)\rbrace$

(ii) $R_2=\lbrace(x,|x|) \mid x$ एक वास्तविक संख्या हैं \rbrace$$

उत्तर

क्योंकि $(2,3)$ और $(2,7) \in R_1$

$\Rightarrow \quad R_1(2)=3 \quad$ और $\quad R_1(2)=7$

तो $R_1$ (2) मेंएक अद्वितीय छवि नहीं है। ठांउ R_1 एक फंक्शन नहीं है।

(iii) $R_2=\lbrace(x,|x|) / x \in \mathbf{R}\rbrace$

$अप्रत्येक x \in \mathbf{R}$ के लिए $|x| \in \mathbf{R}$ ।

इसलिए $R_2$ एक फंक्शन है।

~~ ** उदाहरण 6 ** जहां फ़ंक्शन्स सामान हैं उन के लिए डोमेन ढूंढें

$f(x)=2 x^{2}-1$ और $g(x)=1-3 x$।

समाधान

$ \begin{matrix} f(x)=g(x) \\ \Rightarrow 2 x^{2}-1=1-3 x \\ \Rightarrow 2 x^{2}+3 x-2=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+4 x-x-2=0 \\ \Rightarrow 2 x(x+2)-1(x+2)=0 \\ \Rightarrow (2 x-1)(x+2)=0 \end{matrix} $

इसलिए वह डोमेन जिसमें फ़ंक्शन प्राप्त हो रहा है $f(x)=g(x)$=\lbrace$ \frac{1}{2},-2 \rbrace$।

~~ ** उदाहरण 7 ** हर इसके अलग अलग फ़ंक्शन्स के डोमेन की खोज करें।

(i) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+3 x+2}$ (ii) $f(x)=[x]+x$

समाधान

(i) $f$ एक अपवर्जीय फ़ंक्शन है जिसका रूप $\frac{g(x)}{h(x)}$ है, जहां $g(x)=x$ और $h(x)=x^{2}+3 x+2$ है।

अब $h(x) \neq 0 \Rightarrow x^{2}+3 x+2 \neq 0 \Rightarrow(x+1)(x+2) \neq 0$ और इसलिए दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन $R-\lbrace-1,-2\rbrace$ है।

(ii) $f(x)=[x]+x$, अर्थात् $f(x)=h(x)+g(x)$

यहां $\quad h(x)=[x]$ और $g(x)=x$

$h=\mathbf{R}$

और $ g = \mathbf {R} $ एकार्य का डोमेन। इसलिए

फ़लन का डोमेन = ग ‘आर’

** ~~ ** उदाहरण 8 ** ** निम्नलिखित फ़ंक्शनों द्वारा लिप्त फ़ंक्शन की सीमा ढूंढें (i) $ \ frac {| x-4 |} {x-4} $ (ii) $ \ sqrt {16-x ^ {2}} $

समाधान

(i) $ f (x) = \ frac {| x-4 |} {x-4} = \ बेगिन {केस} \ फ्रैक्स {x-4} {x-4} = 1, x> 4 \ \ \ फ्रैक्स {- (x -4)} {x-4} = -1, x <4 \ इंद्रधनुष \ end {cases} . $

इस प्रकार, $ \ frac {| x-4 |} {x-4} = \ {1, -1} \ इंद्रधनुष $ का दायरा।

(ii) f का डोमेन, जहां $ f (x) = \ sqrt {16-x ^ {2}} $ को $ [-4,4] $ दिया गया है।

रेंज के लिए, लेट $ y = \ sqrt {16-x ^ {2}} $

तो

$y ^ {2} = 16-x ^ {2}$

या

$ x ^ {2} = 16-y ^ {2} $

क्योंकि

$ x \ in [-4,4] $

इसलिए f का क्षेत्र = $ [0,4] $

** ~~ ** उदाहरण 9 ** ** इस रूप में फिर परिभाषित करें जो दिया गया है

$ f (x) = | x-1 | + |1 + x |, -2 \ leq x \ leq 2 $

समाधान $ f (x) = | x-1 | + |1 + x |, -2 \ leq x \ leq 2 $

$ \ बेगिन {अवधि} कार {घटा} -x + 1-1-x, -2 \ leq x < -1 \ -x + 1 + x + 1, -1 \ leq x < 1 \ x-1 + 1 + x, 1 \ leq x \ leq 2 अवधि \ बेगिन {अवधि} = \ बेगिन {प्रकार} -2 x, -2 \ leq x < -1 \ 2, -1 \ leq x <1 \ 2 x, 1 \ leq x \ leq 2 अवधि \ बेगिन {केस} \ धन्यवाद $

** ~~ ** उदाहरण 10 ** ** फ़ंक्शन $ f $ का क्षेत्र ढूंढें जिसे $ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {[x] ^ {2} - [x] -6}} $

समाधान जो दिया गया है कि $ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {[x] ^ {2} - [x] -6}}, f $ परिभाषित है अगर $ [x] ^ {2} - [x] -6> 0 $ है।

या $ ([x] -3) ([x] + 2)> 0 $,

! [इस] (https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_02_14_072993c91175766eb224g-026.jpg?height=110&width=897&top_left_y=1278&top_left_x=213)

इसलिए डोमेन $ = (- \ infty, -2) \ संयुक्त [4, \ असीम)$

लक्ष्य प्रकार के प्रश्न

चार दिए गए मुमकिन उत्तरों (M.C.Q.) में से सही जवाब चुनें

** ~~ ** उदाहरण 11 ** ** फ़ंक्शन $ f $ का डोमेन डायनामिन्ड द्वारा परिभाषित है $ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {x - | x |}} $ है

(ऐ) $ \ mathbf {R} $

(ख) $ \ mathbf {R} ^ {+} $

(ग) $ \ mathbf {R} ^ {-} $

(घ) इनमें से कोई भी नहीं ‍

समाधान सही उत्तर है (घ)। जो दिया गया है कि $ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {x- | x |}} $ ‍

जहां

$ x- | x | = \ बेगिन {केस} x-x = 0 & \ text {यदि} x \ geq 0 \ 2 x & \ text {यदि} x <0 अवधि \ लक्षण $

इसलिए $ \ frac {1} {\ sqrt {x- | x |}} $ किसी भी $ x \ in \ nowbf {R} $ के लिए सर्वर संरचित नहीं है।

अभी $ f $ किसी भी $ x \ in \ nowbf {R} $ के लिए संरचित नहीं है, अर्थात परिभाषित है। इसलिए f क्षेत्र में किसी भी $ x \ in \ nowbf {R} $ के लिए संरचित नहीं है, अर्थात परिभाषित है।, यानी f क्षेत्र दिए गए विकल्पों का कोई भी विवरण नहीं है।

** ~~ ** उदाहरण 12 ** ** यदि $ f (x) = x ^ {3} - \ frac {1} {x ^ {3}} $ हो, तो $ f (x) + f (\ frac {1} {x}) $ का बराबर होगा

(ऐ) $ 2 x ^ {3} $

(ख) $ 2 \ frac {1} {x ^ {3}} $

(ग) 0

(घ) 1 ‍

समाधान सही विकल्प है (ग)।

क्योंकि

$ \ begin {एलाइनेटेड} f (x) & = x ^ {3} - \ frac {1} {x ^ {3}} \ f (\ frac {1} {x}) & = \ frac {1} {x ^ {3}} - \ frac {1} {(\ frac {1} {x}) ^ {3}} = \ frac {1} {x ^ {3}} -x ^ {3} \ end {गुण} $

हेंस,

$ f (x) + f (\ frac {1} {x}) = x ^ {3} - \ frac {1} {x ^ {3}} + \ frac {1} {x ^ {3}} -x ^ {3} = 0 $

** ~~ ** उदाहरण 13 ** ** $ A $ और $ B $ दो ऐसे दो सेट हों जहां $ n (B) = p, n (A) = q $ तो $ f: A \ to B $ की कुल संख्या प्रदान की जाती है

समाधान सेट ए का कोई तत्व, कहें $ x_i $ को सेट बी के तत्व के साथ $ p $ तरीकों से जोड़ा जा सकता है। हेंस, वास्तव में $ p ^ {q} $ फ़ंक्शन होते हैं।

** ~~ ** उदाहरण 14 ** ** $ f $ और $ g $ दो ऐसे दो फ़ंक्शन हैं जिन्हें लिप्त किया गया है

f = $ \lbrace (2,4), (5,6), (8, -1), (10, -3) \ \ rbrace $

g = $ \lbrace (2,5), (7,1), (8,4), (10,13), (11,-5) \ rbrace $ तब क्षेत्र चयन करें

समाधान क्योंकि f का डोमेन D_f = {2,5,8,10} और g का डोमेन D_g = {2,7,8,10,11} है, इसलिए f+g का डोमेन D_f+g = {x | x ∈ D_f ∩ D_g} = { 2,8,10 }

2.3 अभ्यास

लघु उत्तर प्रकार

1. देंखें A= {-1,2,3} और B= {1,3}. निर्धारित करें (i) A × B (ii) B × A (iii) B × B (iv) A × A
2. P= {x: x<3, x ∈ N}, Q={x: x ≤ 2, x ∈ W }. $(P \cup Q) \times (P \cap Q)$ को ढूंढें, जहां W पूर्णांकों का सेट है।
3. देंखें A= {x: x ∈ W, x<2}, B={x: x ∈ N, 1<x<5}, C={3,5}. निर्धारित करें (i) A × (B ∩ C) (ii) A × (B ∪ C)
4. निम्नलिखित मामलों में, a और b ढूंढें। (i) (2a+b, a-b)=(8,3) (ii) (a/4, a-2b)=(0,6+b)
5. दिया गया है A= {1,2,3,4,5}, S={ (x, y): x ∈ A, y ∈ A }. हालातों को पूरा करने वाले क्रमबद्ध युग्म ढूंढें: (i) x+y=5 (ii) x+y<5 (iii) x+y>8
6. दिया गया है R={ (x, y): x, y ∈ W, x^2+y^2=25 }. R का डोमेन और रेंज ढूंढें।
7. यदि R_1={ (x, y) | y=2x+7, x ∈ R और -5 ≤ x ≤ 5 } एक संबंध है। तो R_1 का डोमेन और रेंज ढूंढें।
8. यदि R_2={ (x, y) | x और y पूर्णांक हैं, और x^2+y^2=64 } एक संबंध है। तो R_2 को ढूंढें।
9. यदि R_3={ (x,|x|) | x एक वास्तविक संख्या है } एक संबंध है। तो R_3 का डोमेन और रेंज ढूंढें।
10. क्या दिया गया संबंध एक फ़ंक्शन है? अपने जवाब के लिए कारण दें।

(i) h= {(4,6),(3,9),(-11,6),(3,11)} (ii) f= {(x, x) | x एक वास्तविक संख्या है } (iii) g= {n, 1/n | n एक सकारात्मक पूर्णांक है } (iv) s= {(n, n^2) | n एक सकारात्मक पूर्णांक है } (v) t={ (x, 3) | x एक वास्तविक संख्या है।

11. यदि f और g वास्तविक फ़ंक्शन हैं और f(x)=x^2+7 और g(x)=3x+5 है, तो निम्नलिखित को प्राप्त करें

(a) f(3)+g(-5) (b) f(1/2) × g(14) (c) f(-2)+g(-1) (d) f(t)-f(-2) (e) (f(t)-f(5))/(t-5), यदि t ≠ 5 12. f और g द्वारा परिभाषित द्विआधारी फ़ंक्शन हों। यदि f(x)=2x+1 है और g(x)=4x-7 है।

(a) वास्तविक संख्याओं के लिए f(x)=g(x) के लिए कौन से वास्तविक संख्या x ढूंढें? (b) वास्तविक संख्याओं के लिए f(x)<g(x) के लिए कौन से वास्तविक संख्या x ढूंढें?

13. यदि f और g दो वास्तविक मूल्यबद्ध फ़ंक्शन हों और f(x)=2x+1 है, g(x)=x^2+1 है, तो निम्नलिखित प्राप्त करें। (i) f+g (ii) f-g (iii) f⋅g (iv) f/g
14. निम्नलिखित फ़ंक्शन को क्रमबद्ध युग्म के रूप में व्यक्त करें और इसकी दायरा ढूंढें। f: X → R, f(x)=x^3+1, जहां X={-1,0,3,9,7} है।
15. जिन अभियंत्रणों के लिए f(x)=3x^2-1 और g(x)=3+x समान हों, उनके x की मान ढूंढें

लंबा उत्तर प्रकार

16. क्या g={ (1,1),(2,3),(3,5),(4,7) } एक फ़ंक्शन है? साबित करें। यदि इसे संबंध की द्वारा वर्णित किया जाता है, g(x)=αx+β, तो अल्फा और बीटा को किस मूल्य का आवंटन किया जाना चाहिए?

17. निम्नलिखित फ़ंक्शनों का डोमेन ढूंढें

(i) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\cos x}}$

(ii) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$

(iii) $f(x)=x|x|$

(iv) $f(x)=\frac{x^{3}-x+3}{x^{2}-1}$

(v) $f(x)=\frac{3 x}{2 x-8}$

18. निम्नलिखित फ़ंक्शनों की रेंज ढूंढें

(i) $f(x)=\frac{3}{2-x^{2}}$

(ii) $f(x)=1-|x-2|$

(iii) $f(x)=|x-3|$

(iv) $f(x)=1+3 \cos 2 x$

(संकेत: $-1 \leq \cos 2 x \leq 1 \Rightarrow-3 \leq 3 \cos 2 x \leq 3 \Rightarrow-2 \leq 1+3 \cos 2 x \leq 4$ )

19. फ़ंक्शन $f(x)=|x-2|+|2+x|$ को पुनर्निर्भारित करें, $-3 \leq x \leq 3$ के लिए।

20. अगर $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ है, तो निम्नलिखित साबित करें

(i) $f(\frac{1}{x})=-f(x)$

(ii) $f(-\frac{1}{x})=\frac{-1}{f(x)}$

21. $f(x)=\sqrt{x}$ और $g(x)=x$ दो फ़ंक्शन हैं, जो डोमेन $R^{+} \cup\lbrace0\rbrace$ में परिभाषित हैं। निम्नलिखित ढूंढें

(i) $(f+g)(x)$

(ii) $(f-g)(x)$

(iii) $(f g)(x)$

(iv) $(\frac{f}{g})(x)$

22. फ़ंक्शन $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-5}}$ का डोमेन और रेंज ढूंढें।

23. अगर $f(x)=y=\frac{a x-b}{c x-a}$ है, तो साबित करें कि $f(y)=x$।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

24. अगर $n(A)=m$, और $n(B)=n$ है, तो $A$ से $B$ के लिए परिभाषित गैर-खाली संबंधों की कुल संख्या है

(A) $m^{n}$

(B) $n^{m}-1$

(C) $m n-1$

(D) $2^{m n}-1$

25. अगर $[x]^{2}-5[x]+6=0$, जहां $[$. ] मानक अधिकतम पूर्णांक का कार्य है, तो

(A) $x \in[3,4]$

(B) $x \in(2,3]$

(C) $x \in[2,3]$

(D) $x \in[2,4)$

26. $f(x)=\frac{1}{1-2 \cos x}$ की रेंज है

(A) $[\frac{1}{3}, 1]$

(B) $[-1, \frac{1}{3}]$

(C) $(-\infty,-1] \cup[\frac{1}{3}, \infty)$

(D) $[-\frac{1}{3}, 1]$

27. अगर $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}$, तो

(A) $f(x y)=f(x) \cdot f(y)$

(B) $f(x y) \geq f(x) \cdot f(y)$

(C) $f(x y) \leq f(x) \cdot f(y)$

(D) कोई नहीं

$[.$ संकेत: ढूंढें $f(x y)=\sqrt{1+x^{2} y^{2}}, f(x) \cdot f(y)=\sqrt{1+x^{2} y^{2}+x^{2}+y^{2}}$। $]$

28. $\sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$ का डोमेन है

(A) $(-a, a)$

(B) $[-a, a]$

(C) $[0, a]$

(D) $(-a, 0]$

29. अगर $f(x)=a x+b$ है, जहां $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, $f(-1)=-5$ है और $f(3)=3$ है, तो $a$ और $b$ बराबर हैं

(A) $a=-3, b=-1$

(B) $a=2, b=-3$

(C) $a=0, b=2$

(D) $a=2, b=3$

30. कार्य $f$ का डोमेन $f(x)=\sqrt{4-x}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ के बराबर है

(A) $(-\infty,-1) \cup(1,4]$

(B) $(-\infty,-1] \cup(1,4]$

(C) $(-\infty,-1) \cup[1,4]$

(D) $(-\infty,-1) \cup[1,4)$

31. प्राकृतिक फ़ंक्शन $f$ का डोमेन और रेंज बराबर है

(A) डोमेन $=\mathbf{R}$, रेंज $=\lbrace-1,1\rbrace$

(B) डोमेन $=\mathbf{R}-\lbrace1\rbrace$, रेंज $=\mathbf{R}$

(C) डोमेन $=\mathbf{R}-\lbrace4\rbrace$, रेंज $=\lbrace-1\rbrace$

(D) डोमेन $=\mathbf{R}-\lbrace-4\rbrace$, रेंज $=\lbrace-1,1\rbrace$

32. प्राकृतिक फ़ंक्शन $f$ का डोमेन और रेंज बराबर है

(A) डोमेन $=(1, \infty)$, रेंज $=(0, \infty)$

(B) डोमेन $=[1, \infty)$, रेंज $=(0, \infty)$

(C) डोमेन $=[1, \infty)$, रेंज $=[0, \infty)$

वर्तमान उत्पादन: (D) डोमेन $=[1, \infty)$, रेंज $=[0, \infty)$

~~

33. फ़ंक्शन $f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-x-6}$ द्वारा दिया गया $f$ का डोमेन

(A) $\mathbf{R}-\lbrace3,-2\rbrace$

(B) $\mathbf{R}-\lbrace-3,2\rbrace$

(C) $\mathbf{R}-[3,-2]$

(D) $\mathbf{R}-(3,-2)$

~~ 34. फ़ंक्शन $f(x)=2-|x-5|$ द्वारा दिया गया $f$ का डोमेन और रेंज

(A) डोमेन $=\mathbf{R}^{+}$, रेंज $=(-\infty, 1]$

(B) डोमेन $=\mathbf{R}$, रेंज $=(-\infty, 2]$

(C) डोमेन $=\mathbf{R}$, रेंज $=(-\infty, 2)$

(D) डोमेन $=\mathbf{R}^{+}$, रेंज $=(-\infty, 2]$

~~

35. $f(x)=3 x^{2}-1$ और $g(x)=3+x$ द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के लिए जहां वे समान होते हैं

(A) $\lbrace -1, \frac{4}{3} \rbrace$

(B) $[-1, \frac{4}{3}]$

(C) $(-1, \frac{4}{3})$

(D) $[-1, \frac{4}{3})$

खाली जगह भरें :

36. यदि दो यथार्थ फ़ंक्शनों के लिए $f$ और $g$ हैं

f= $\lbrace (0,1),(2,0),(3,-4),(4,2),(5,1) \rbrace$

g= $\lbrace (1,0),(2,2),(3,-1),(4,4),(5,3) \rbrace$

तो $f . g$ का डोमेन निम्नलिखित है

37. यदि $f= \lbrace (2,4),(5,6),(8,-1),(10,-3) \rbrace$

$ g=\lbrace(2,5),(7,1),(8,4),(10,13),(11,5)\rbrace $

दो यथार्थ फ़ंक्शन हैं. फिर निम्नलिखित को मिलाएँ :

(a) $f-g$ (i) $\lbrace (2, \frac{4}{5}),(8, \frac{-1}{4}),(10, \frac{-3}{13}) \rbrace$

(b) $f+g$ (ii) $\lbrace (2,20),(8,-4),(10,-39) \rbrace$

(c) $f \cdot g$ (iii) $\lbrace (2,-1),(8,-5),(10,-16) \rbrace$

$ \text{ (d) } \frac{f}{g} \quad \text{ (iv) }\lbrace(2,9),(8,3),(10,10)\rbrace $

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य या असत्य दर्शाएँ व्यायाम 38 से 42 तक:

38. क्रमबद्ध जोड़ी $(5,2)$ संबंध R= $\lbrace (x, y): y=x-5, x, y \in \mathbf{Z} \rbrace$ में है

39. यदि P= $\lbrace 1,2 \rbrace$, तो $P \times P \times P=\lbrace(1,1,1),(2,2,2),(1,2,2),(2,1,1)\rbrace$

40. यदि A= $\lbrace 1,2,3\rbrace, B=\lbrace3,4 \rbrace$ और C= $\lbrace 4,5,6 \rbrace$, तो $(A \times B) \cup(A \times C)$

$ =\lbrace(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\rbrace $

41. यदि $(x-2, y+5)=(-2, \frac{1}{3})$ दो बराबर के क्रमबद्ध जोड़ी हैं, तो $x=4, y=\frac{-14}{3}$

42. यदि $A \times B=\lbrace(a, x),(a, y),(b, x),(b, y)\rbrace$, तो A= $\lbrace a, b\rbrace, B=\lbrace x, y \rbrace$