अध्याय 16

प्रायिकता

16.1 अवलोकन

प्रायिकता को अनिश्चितता का माप माना जाता है - एक संख्यात्मक मान जो किसी घटना के होने में हमारी विश्वास शक्ति को प्रकट करता है। एक घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच एक संख्या होती है, जहां 0 और 1 दोनों सम्मिलित हैं। यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 के करीब है, तो वहाँ अधिक संभावना होती है कि घटना होगी; यदि घटना की प्रायिकता 0 के करीब है, तो उस घटना की संभावना बहुत कम होती है। यदि घटना हो सकती नहीं है, तो उसकी प्रायिकता 0 होती है। यदि घटना होना आवश्यक है (अर्थात इसका होना निश्चित है), तो उसकी प्रायिकता 1 होती है।

16.1.1 यादृच्छिक प्रयोग एक प्रयोग यादृच्छिक होने का अर्थ है कि प्रयोग के अधिकार से अधिक संभावित परिणाम हो सकते हैं और यह निश्चित नहीं हो सकता कि कौन सा परिणाम होगा। उदाहरण के लिए, एक साधारण सिक्के को फेंकने के प्रयोग में, यह निश्चित रूप से कहा जा सकता है कि सिक्का ऊपर मुड़ेगा या नीचे पड़ेगा, लेकिन यह निश्चित नहीं है कि सिक्का ऊपर होगा या नीचे पड़ेगा। यदि एक पाठा एक बार फेंका जाता है, तो छह नंबरों में से कोई एक नंबर, अर्थात 1, 2, 3, 4, 5, 6 उभर सकता है, किस नंबर का उभरेगा यह निश्चित नहीं है।

(आई) परिणाम एक यादृच्छिक प्रयोग का संभव परिणाम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रयोग में एक सिक्के को दो बार फेंकने का शामिल है, तो कुछ परिणाम हैं $HH, HT$ आदि।

(बी) नमूना स्थान नमूना स्थान एक प्रयोग के सभी संभव परिणामों का सेट है। वास्तव में, यह दिए गए प्रयोग के संबंध में विश्व सेट $S$ होती है।

एक सिक्के को दो बार फेंकने के प्रयोग का नमूना स्थान निम्नानुसार होता है

$ S={HH, HT, TH, TT} $

एक पैक से कार्ड निकालने के प्रयोग का नमूना स्थान डेक के सभी कार्डों का सेट होता है।

16.1.2 घटना घटना S के एक उपसेट है। उदाहरण के लिए, ताश के एक पैक से एक एस खींचने की घटना होती है

$ A={\text{हार्ट का एक, क्लब का एक, हीरा का एक, स्पेड का एक}} $

16.1.3 घटनाओं के प्रकार

(आई) असंभव और निश्चित घटनाएं खाली सेट $\phi$ और नमूना स्थान $S$ की विवरण देती हैं। वास्तव में $\phi$ को एक असंभव घटना और $S$ यानी पूरा नमूना स्थान को एक निश्चित घटना कहा जाता है। (बी) सरल या एकीकृत घटना यदि एक घटना $E$ का केवल एक नमूना स्थान होता है, अर्थात प्रयोग का एकल परिणाम, तो उसे एक सरल या एकीकृत घटना कहा जाता है। दो सिक्कों को फेंकने के प्रयोग का नमूना स्थान निम्नानुसार होता है

$ S={HH, HT, TH, TT} $

प्रयोग के नमूना स्थान $S$ के एकल परिणाम $HH$ को सरल या एकीकृत घटना कहा जाता है। यदि किसी अच्छी तरह से फिल्टर की गई डेक से एक कार्ड निकाला जाए, तो “हार्ट का क्वीन” जैसा कोई विशेष कार्ड उत्पन्न होना एक सरल घटना है।

(ग) संयुक्त घटना यदि किसी घटना में एक से अधिक नमूना स्थान होते हैं तो उसे संयुक्त घटना कहा जाता है, उदाहरण के लिए, S={$ HH, HT $} एक संयुक्त घटना है।

(द) पूरक घटना दी गई एक घटना $A$ के लिए, $A$ की पूरक घटना $A$ के होने के लिए सभी नमूना स्थान परिणामों का समावेश करती है जो $A$ के होने से संबंधित नहीं होते हैं।

जो सम्पल स्थान(यूनिवर्स) के दो घटनाएं ए और ब हैं, वे एवंट ‘ए या ब’ के रूप में जानी जाती हैं जो कि ई पर बनी होती है और जिसमें वे सभी तत्व शामिल होते हैं जो ए में होते हैं या ब में होते हैं या दोनों में होते हैं। इसके अलावा, $दक्षिणवार्ती(A \cup B)$ प संभावना दर्शाता है कि ए या ब (या दोनों) हो सकती है।

यदि ए और ब एक सम्पल स्थान से जुड़ी दो इवेंट्स हैं, तो ईवेंट ‘ए और ब’ इवेंट A $\cup$ B के समान होती है और वह उन सभी तत्वों को शामिल करती है जो एक साथी रूप से ए और ब दोनों में सामान्य होते हैं। इसके अलावा, $P(A \cap B)$ प दर्शाता है कि दोनों ए और ब साथी रूप से होने की संभावना है।

इवेंट ‘ए लेकिन ब नहीं’ (अंतर A-B) एक ईवेंट ए-ब्री में है जो वह संख्यावार्ती के वहीं तत्व शामिल करती हैं जो ए में होते हैं लेकिन ब में नहीं होते हैं, अर्थात्, $A-B=A \cap B’$।

एक संपल स्थान के दो घटनाएं A और B यदि किसी एक वाक्य स्थान S के संघटकों की घटना के होते हैं तो वे परस्पर वियोजित होती हैं यदि उनमें से किसी एक घटना के होते ही दूसरी घटना के होने का निर्णय होता है। इस प्रकार, दो घटनाएं ए और ब समान समय में होने की संभावना है, और इसलिए $P(A \cap B)=0$।

टिप्पणी एक संपल स्थान के साधारण या प्राथमिक घटनाओं को हमेशा परस्पर वियोजित कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकने के प्रयोग की साधारण या प्राथमिक घटनाएं $\lbrace1 \rbrace$, $\lbrace2 \rbrace$, $\lbrace3 \rbrace$, $\lbrace4 \rbrace$, $\lbrace5 \rbrace$ या $\lbrace6 \rbrace$ नेक्स्टोरी घटनाओं को हमेशा परस्पर वियोजित कहा जाता है।

एक दायांगुली एक सलियान डालने के प्रयोग का विचार करें।

यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ संसाधान S की n इवेंट्स हैं और अगर

$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup _{i=1}^{n} E_i=S $

तो $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को पूर्ण इवेंट्स कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक संपल स्थान S की ईवेंट्स $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को पूर्ण कहा जाता है यदि कम से कम एक इवेंट का निश्चित रूप से पाया जाता है जब भी प्रयोग किया जाता है।

एक पासा फेंकने के उदाहरण का विचार करें। हमारा S={$1,2,3,4,5,6$} है। दो ऄईवेंट अ: ‘4 से कम या उसके बराबर एक संख्या दिखाई देती है’।

बी: ‘4 से बड़ या उससे बराबर एक संख्या दिखाई देती है।’

अब $\quad$ ए: ${1,2,3,4}$, बी=${4,5,6}$

$ A \cup B={1,2,3,4,5,6}=S $

इस प्रकार के घटनाएं ए और ब को पूर्ण घटनाएं कहा जाता है।

यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ संसाधान S की n इवेंट्स हैं और यदि $E_i \cap E_j=\phi$ हैं हर $i \neq j$ के लिए, अर्थात्, $E_i$ और $E_j$ परस्पर उपनिष्यस्थ संघटित हैं और $\bigcup _{i=1}^{n} E_i=S$ है, तो इवेंट्स $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को परस्पर वियोजित और पूर्ण घटनाएं कहा जाता है।

गणितीय गपटी को ध्यान में रखते हुए एक पासा फेंकने की मिसाल को विचार करें।

हमारे पास $S={1,2,3,4,5,6}$ है

चलो तीन घटनाओं को निर्धारित करते हैं

$A=एक$ पूर्ण वर्ग नंबर

$B=एक$ अद्वितीय संख्या

$C= 6$ से अधिक या उसके बराबर एक संख्या

अब $A= \lbrace 1,4\rbrace$, B= $\lbrace 2,3,5\rbrace$, C= $\lbrace 6 \rbrace$

ध्यान दें कि $A \cup B \cup C={1,2,3,4,5,6}=S$। इसलिए, $A, B$ और $C$ पूरक घटनाएं हैं।

इसके साथ ही $A \cap B=B \cap C=C \cap A=\phi$

इसलिए, घटनाएं पैयरवाइज विभक्त हैं और इसलिए परस्पर अनुपम हैं।

यदि कक्षीय दृष्टिकोण उपयोगी है, जब प्रयोग के सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों। हम मंत्रिता का उपयोग करके प्रायोजितताओं को निर्धारित कर सकते हैं। कक्षीय विधि को समझने के लिए एक न्यायपुरुष को फेयर सिक्के फेंकने का प्रयोग सोचें। यहां, दो बराबर संभावित परिणाम - सिर $(H)$ और लंबी $(T)$ हैं। जब लघु परिणाम समान रूप से संभावित हो जाते हैं, तो हमें बराबरी विधि का उपयोग करने का अनुमान आता है। यदि $S$ में $k$ लघु परिणाम होते हैं, तो प्रत्येक को $\frac{1}{k}$ की संभावना दी जाती है। इसलिए, तर्क सुझाता है कि सिर को देखने की संभावना, $P(H)$, $\frac{1}{2}=0.5$ है, और लंबी को देखने की संभावना, $P(T)$, भी $\frac{1}{2}=0.5$ है। ध्यान दें कि प्रत्येक संभावना 0 और 1 के बीच है। इसके आगे $H$ और $T$ प्रयोग के सभी परिणाम हैं और $P(H)+P(T)=1$ है।

16.1.10 कक्षीय परिभाषा यदि कोई मापदंड के संभावित परिणाम सभी संभावित परिणामों के बराबर रूप से हो, तो एक घटना का कक्षीय संभाव्यता बराबर होती है:

मानदंड के अनुकूल परिणामों की संख्या

मानदंड के संभावित परिणामों की कुल संख्या

मानदंड $E$ पैसे में $h$ तरीकों से हो सकता है एक कुल $n$ संभव समान ढंग से।

तब घटना के होने की कक्षीय संभावना $P(E)=\frac{h}{n}$ के रूप में उदाहरण द्वारा दिखाया जाता है

$ P(\text{नहीं }E)=\frac{n-h}{n}=1-\frac{h}{n}=1-P(E) $

इसलिए

$ P(E)+P(\text{नहीं }E)=1 $

घटना ‘नहीं $E$’ को $\overline{E}$ या ‘$E$ ’ (पूरक $E$ ) के रूप में दर्शाया जाता है

इसलिए $P(\overline{E})=1-P(E)$

16.1.11 कक्षीयतात्मक प्रयासे परिभाषा एक यादृच्छिक प्रयोग की सैंपल जगह $S$ हो। प्रायोजनी $P$ एक यादृच्छिक परिणाम है जिसकी डोमेन सैंपल जगह की शक्ति सेट है, यानी $P(S)$ और रेंज 0,1$ का अंतराल है, यानी $P: P(S) \to [0,1]$ । जो निम्नलिखित अभिकरणों को पुरा करती है।

(i) किसी घटना $E$ के लिए, $P(E) \geq 0$ है।

(ii) $P(S)=1$

(iii) यदि $E$ और $F$ पूरक घटनाएं हैं, तो $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$।

इससे प्राप्त होता है (iii) कि $P(\phi)=0$।

सैंपल जगह $S$ के लघु परिणामों $w_1, w_2, \ldots, w_n$ को समेटने वाले संपूर्णमत के परिणामांकन की परिभाषानितता से इसे अपनाने का होता है

अर्थात,

S={$ w_1, w_2, \ldots, w_n $}

लघु परिणामों $w_i \in S$ के लिए यह प्राप्त होता है:

(i) $0 \leq P(w_i) \leq 1$ हर $w_i \in S$ के लिए

(ii) $P(w_i)+P(w_2)+\ldots+P(w_n)=1$

(iii) किसी भी परिणामांकन $A$ पर $P(A)=P(w_i)$

उदाहरण के लिए, यदि एक फेयर सिक्का एक बार फेंका जाता है

$ P(H)=P(T)=\frac{1}{2} \text{ तीन अभिकरणों को पूरा करता है। } $

तो अब सोचिए कि सिक्का अनुचित है और मुड़ाने के चांस धातु के मुकाबले ऊपर के सिर की दोगुनी होती है, तो $P(H)=\frac{2}{3}$ और $P(T)=\frac{1}{3}$।

ये प्रारंभिक प्राङ्गनियताओं के लिए भी मान्य हैं P(H) और P(T)।

16.1.12 समान रूप से संभावित परिणामों की संभावनाओं पर आधारित प्राथमिक्यतें यदि किसी परिक्षण के एक नमूना अंतराल को बुनियादी रूप से S={$ w_1, w_2, \ldots, w_n $} हो और मानें कि सभी परिणाम होने के लिए समान रूप से संभावित हैं। अर्थात प्रत्येक सरल घटना के होने की संभावना समान होनी चाहिए

$\quad P(w_i)=p$ के लिए सभी $w_i \in S$ के लिए, जहां $0 \leq p \leq 1$

क्योंकि $\quad P(w_i)=1$

अर्थात $\quad p+p+p+\ldots+p(n$ बार $)=1$

$ \Rightarrow \quad n p=1, \quad \text{ अर्थात } \quad p=\frac{1}{n} $

$S$ को नमूना अंतराल और $E$ को एक घटना मानें, ऐसा कि $n(S)=n$ और $n(E)=m$। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित हैं, तो यह इसका मतलब है कि

$ P(E)=\frac{m}{n}=\frac{\text{E के पक्ष में संभावित परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित संभव अंतराल की कुल संख्या}} $

16.1.13 प्राथमिकता के जोड़ने के नियम If $A$ और $B$ K की कोई भी समयपुर्ना के परिणाम $K$ है, अंतराल $S$, तो कार्य $A$ या $B$ में से कम से कम एक के होने की संभावना

$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) $

इसी तरह, तीन घटनाओं $A$, $B$ और $C$ के लिए हमारे पास है $P(A \cup B \cup C)$ $C)=P(A)+P(B)+P$ $(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C$ $C)-P(B \cap C)+$ $P(A \cap B \cap C)$

16.1.14 समान्यतया विच्छेदित घटनाओं के लिए योग नियम यदि $A$ और $B$ अविच्छेदित सेट हैं, तो

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ [क्योंकि $P(A \cap B)=P(\phi)=0$, जहां $A$ और $B$ अविच्छेदित हैं]।

विच्छेदित घटनाओं के लिए योग नियम दो से अधिक घटनाओं के लिए बढ़ाया जा सकता है।

16.2 हल किए गए उदाहरण

लघु उत्तर प्रकार (S.A.)

~~उदाहरण 1 एक साधारण कार्ड पैक में 52 कार्ड होते हैं जो चार सूटों में बटाए जाते हैं। लाल सूट में हिरा और ह्रदय होते हैं और काला सूट में क्लब और अस्पट होते हैं। कार्ड J, Q, और $K$ को चेहरे के कार्ड कहा जाता है। मान लें कि हम डेक से एक कार्ड अनुचित चुनते हैं।

(ए) प्रयोग के नमूना अंतराल क्या है?

(ब) चयनित कार्ड का वह घटना क्या है जिसमें एक काला चेहरे कार्ड होता है?

समाधान

(ए) नमूना अंतराल $S$ में 52 कार्ड हैं।

(ब) $E$ को उस घटना मानें जिसमें एक काला चेहरे कार्ड चुना जाता है। $E$ में परिणाम हैं J, Q, K या अस्पट या क्लब के। चिह्नित रूप से

E={$ J, Q, K$, of spades and clubs $ $} या E={$ J \bullet, Q \bullet, K \bullet, J \bullet, Q \wedge, K \wedge $}

~~उदाहरण 2 मान लीजिए कि हर जन्मे हुए बच्चे के लिए एक से बराबर संभाव्य रूप से लड़का या लड़की होने की संभावना होती है। एक परिवार में ठीक तीन बच्चे होते हैं।

(ए) ऐसे सभी तत्वों की सूची करें जिन्हें इस संभावना के कारण जन्म लेने वाले तीन बच्चों की लिंगों के संभावितताएं हैं।

(ब) निम्नलिखित प्रतिस्पष्ट रूप से लिखें और प्रतिस्पष्टता पाएं :

(इ) वह घटना जिसमें सट्टे का एक बच्चा एक बच्ची है।

(ई) वह घटना जिसमें कम से कम दो बच्चे लड़कियां हैं

(उ) वह घटना जिसमें कोई बच्ची नहीं है।

समाधान

(ए) सभी संभव लिंगों को इस प्रकार व्यक्त किया गया है :

S={$ BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG $}

हमें दिया गया है कि A घटना का प्राप्त्यंत्र $P(A)=\frac{3}{8}$ है।

B घटना को ऐसे प्रदर्शित किया जाता है कि कम से कम दो बच्चे लड़कियां हों।

$P(B)=\frac{4}{8}$।

C घटना को ऐसे प्रदर्शित किया जाता है कि कोई बच्चा लड़की नहीं है।

$P(C)=\frac{1}{8}$।

उदाहरण 3

(a) 3 के गुणक दो अंकों की संख्या कितनी है?

(b) यादृच्छिक रूप से एक दो-अंकीय सकारात्मक संख्या का प्राप्त्यंत्र क्या है?

समाधान

(a) 3 के गुणक दो-अंकीय सकारात्मक संख्याएं 12, 15, 18, …, 99 हैं। इस प्रकार, इस तरह की 30 संख्याएं हैं।

(b) 2-अंकीय सकारात्मक संख्याएं 10, 11, 12, …, 99 हैं। इस प्रकार, यहां 90 ऐसी संख्याएं हैं। इनमें से, 30 संख्याएं 3 के गुणक हैं, इसलिए, यादृच्छिक रूप से चयनित सकारात्मक दो-अंकीय संख्या, $\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$ होने की संभावना है।

उदाहरण 4 एक साधारण पिन (व्यक्तिगत पहचान संख्या) एक ऐसे चार प्रतीकों का एक अनुक्रम होता है जो वर्णमाला में मौजूद 26 अक्षरों और दस अंकों में से किसी चार का चयन करता है। यदि सभी पिन बराबर संभावित हैं, तो यादृच्छिक रूप से चयनित पिन में एक दुहराया प्रतीक होने की संभावना क्या है?

समाधान एक पिन एक चार प्रतीकों के अनुक्रम से तैयार किया जाता है जो 36 (26 अक्षर + 10 अंक) प्रतीकों में से चार के चयन करता है।

तार्किक गणना के रूप में, इसका अर्थ है कि सबमिलन के लिए १,6,9,6,1 पिन हैं। पुनरावृत्ति अनुमति नहीं है जब गुणन नहीं होती है तो अनुमान लगाया जा सकता है कि विभिन्न पिन हैं।

दुहराया प्रतीक वाले पिनों की संख्या = 1,679,616-1,413,720 = 2,65,896

इस प्रकार, यादृच्छिक रूप से चयनित पिन में एक दुहराया प्रतीक होने की संभावना है

$ \frac{265,896}{1,679,616}=0.1583 $

उदाहरण 5 एक प्रयोग में चार संभावित परिणाम ए, बी, सी और डी हैं, जो परस्पर विचलित हैं। समझाइए कि निम्न प्राथमिकताएं संभावनाओं को संभावित नहीं बनाती हैं:

(a) $P(A)=.12$, $P(B)=.63$, $P(C)=0.45$, $P(D)=-0.20$

(b) $P(A)=\frac{9}{120}$, $P(B)=\frac{45}{120}$ $P(C)=\frac{27}{120}$ $P(D)=\frac{46}{120}$

समाधान

(a) क्योंकि $P(D)=-0.20$ है, इसलिए यह संभव नहीं है क्योंकि $0 \leq P(A) \leq 1$ हर घटना $A$ के लिए होता है।

(b) $P(S)=P(A \cup B \cup C \cup D)=\frac{9}{120}+\frac{45}{120}+\frac{27}{120}+\frac{46}{120}=\frac{127}{120} \neq 1$।

यह स्थिति परिणाम है कि $P(S)=1$ के लिए।

उदाहरण 6 रोड़ब्लॉक पर विरामित एक ट्रक के नष्ट ब्रेक या बेकार टायर होने की संभावना 0.23 और 0.24 है, हालांकि, संभावना होती है कि रोड़ब्लॉक पर विरामित ट्रक के ब्रेक खराब होते हैं और / या बेकार टायर काम करते हैं 0.38 है। ऐसा होने की संभावना क्या है कि रोड़ब्लॉक पर विरामित ट्रक के ब्रेक और बेकार टायर होंगे?

समाधान बी घटना को यहां इस प्रकार प्रस्तुत किया जाना है कि रोड़ब्लॉक पर विरामित ट्रक के ब्रेक खराब होंगे और टी घटना इसके लिए होगी कि टायर खराब काम कर रहे हैं। हमें दिया गया है कि $P(B)=0.23$, $P(T)=0.24$ और $P(B \cup T)=0.38$।

आचार्य चनक्य कहते थे “शास्त्रों में ज्ञान को ही श्रेष्ठ कहा गया है। क्योंकि मनुष्य जीवन को जीने का एकमात्र तरीका ज्ञानमय जीवन होता है।” अपार ज्ञान के साथ ही एक व्यक्ति उग्र मन के धनी हो जाता है।

कंटेन्ट का हिंदी संस्करण क्या है: \text{ और } & P(B \cup T)=P(B)+P(T)-P(B \cap T)\ \text{ इसलिए } & 0.38=0.23+0.24-P(B \cap T)\ \Rightarrow & P(B \cap T)=0.23+0.24-0.38=0.09 \end{matrix} $

~~उदाहरण 7 यदि एक व्यक्ति अपने दांत साफ करवाने जाता है, तो समझें कि उसका दांत साफ कराने का संभावनाओं का प्रवाह है 0.48 , उसका cavity भरने का संभावनाओं का प्रवाह 0.25 है, उसका दांत निकालवाने का संभावनाओं का प्रवाह 0.20 है, उसका दांत साफ कराने और cavity भरने का संभावनाओं का प्रवाह 0.09 है, उसका दांत साफ कराने और दांत निकालवाने का संभावनाओं का प्रवाह 0.12 है उसका cavity भरने और दांत निकालवाने का संभावनाओं का प्रवाह 0.07 है, और उसका दांत साफ कराने, cavity भरने और दांत निकालवाने का संभावनाओं का प्रवाह 0.03 है। इसके अलावा, एक व्यक्ति अपने दंतचिकित्सक के पास जाने के लिए परेशान होगा तो कम से कम एक काम कराने की संभावना क्या है?

समाधान लेट $C$ ऐ पर्याप्त किसी और $F$ और $E$ होने के संघटन अश्वस्थ रखने की प्राधान्यता है, जबकि $F$ और $E$ या $E$ गेटवे उठ्तम किसी परस्पर -उत्पन्न किया द्वारा रखना होता ह \begin{aligned} P(C) & =0.48, P(F)=0.25, \quad P(E)=.20, \quad P(C \cap F)=.09 P(C \cap E) & =0.12, P(E \cap F)=0.07 \quad \text{ और } \quad P(C \cap F \cap E)=0.03; \end{aligned}

अतः, $P(C \cup F \cup E)=P(C)+P(F)+P(E)$

\begin{aligned} & -P(C \cap F)-P(C \cap E)-P(F \cap E) \ & +P(C \cap F \cap E) \ = & 0.48+0.25+0.20-0.09-0.12-0.07+0.03 \ = & 0.68 \end{aligned}

लंबे उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 8 एक गद्दे में 20 सफेद पत्र प्रति संख्या 1 से 20 तक, 10 लाल पत्र प्रति संख्या 1 से 10 , चालीस पीले पत्र प्रति संख्या 1 से 40 तक, और 10 नीले पत्र प्रति संख्या 1 से 10 तक होते हैं। यदि इन 80 पत्रों को ध्यान से हिलाया जाए ताकि प्रत्येक पैपर को खींचने की समान संभावना हो। किसी भी पेपर को खींचने की संभावनाओं की जांच करें।

(प्रश्‍नकुंज ए) नीला या सफेद की संभावना

($पी$) संख्‍याएं 1, 2, 3, 4 या 5 वाली

($से$) लाल या पीला और संख्‍या 1, 2, 3 या 4 वाली

($डी$) संख्‍या 5,15, टेलीफोन 25 या 35।

($ई$) सफेद और 12 से ऊपर की संख्या वाले या पीले और 26 से ऊपर की संख्याएँ।

लाभ

(अ) $P(नीला या सफेद)=P(नीला)+P(सफेद) \quad$ (क्यों?)

=$\frac{10}{80}+\frac{20}{80}=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$

(ख) $P$ (संख्या 1, 2, 3, 4 या 5 )

$=P(किसी भी रंग का 1)+P(किसी भी रंग का 2)$

$+P(किसी भी रंग का 3)+P(किसी भी रंग का 4) +P(किसी भी रंग का 25)$

$=\frac{4}{80}+\frac{4}{80}+\frac{4}{80}+\frac{4}{80}+\frac{4}{80}=\frac{20}{80}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

(ग) $P$ (लाल या पीला और संख्‍याएं 1, 2, 3 या 4 )

$=P(लाल संख्‍याएं 1, 2, 3 या 4) +P(पीली संख्‍याएं 1, 2, 3 या 4)$

$=\frac{4}{80}+\frac{4}{80}=\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$

(घ) $P$ (संख्‍यां 5,15, 25 या 35 )

$=P(5)+P(15)+P(25)+P(35)$

$=P(सफेद, लाल, पीला, नीला का 5)+P(सफेद, पीला का 15)$

$+P(पीला का 25)+P(पीला का 35)$

$=\frac{4}{80}+\frac{2}{80}+\frac{1}{80}+\frac{1}{80}=\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$

शीर्षक वेरि+‘यात्मक प्रकार के प्रश्न

हर उदाहरण 9 से 15 (M.C.Q.) में चार दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~उदाहरण 9 एक उच्च वर्ष में 53 रविवार या 53 सोमवार होने की संभावना होती है

(A) $\frac{2}{7}$

(B) $\frac{3}{7}$

(C) $\frac{4}{7}$

(D) $\frac{5}{7}$

समाधान (B) सही उत्तर है। क्योंकि उच्च वर्ष में 366 दिन होते हैं और इसलिए 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं। इन 2 दिनों में SM, MT, TW, WTh, ThF, FSt, StS हो सकते हैं।

इसलिए, $\quad P(53$ रविवार या 53 सोमवार $)=\frac{3}{7}$।

~~उदाहरण 10 0, 2, 4, 6, 8 अंकों का उपयोग करके तीन अंकों वाली संख्या निर्धारित की जाती है। किसी भी संख्या का चयन यादृच्छिक रूप से इन संख्याओं में से क्या संख्या होने की संभावना है?

(A) $\frac{1}{16}$

(B) $\frac{16}{25}$

(C) $\frac{1}{645}$

(D) $\frac{1}{25}$

समाधान (D) सही उत्तर है। क्योंकि 3 अंकों वाली संख्या 0 से प्रारंभ नहीं हो सकती, इसलिए सैकड़ाओ का स्थान किसी भी 4 अंकों में से किसी भी अंक का हो सकता है। अब, दसगुणा और नगणा स्थान सभी 5 अंकों के हो सकते हैं। इसलिए, कुल संभावित 3 -अंकीय संख्याएं $4 \times 5 \times 5$, यानी 100 हैं।

सभी अंक एक जैसे होने वाली कुल संभावित 3-अंकीय संख्या $=4$

इसलिए, $P$ (अंकों के साथ 3-अंकीय संख्या $)=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$।

~~उदाहरण 11 शतरंज बोर्ड के तीन वर्ग यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। इस पर 2 वर्गों की एक ध्यान दिए गए रंग और दूसरे वर्ग की एक और रंग होने की संभावना होती है

(A) $\frac{16}{21}$

(B) $\frac{8}{21}$

(C) $\frac{3}{32}$

(D) $\frac{3}{8}$

समाधान (A) सही उत्तर है। शतरंज बोर्ड में 64 वर्ग होते हैं जिनमें से 32 सफेद और 32 काले होते हैं। क्योंकि 2 एक ही रंग के और 1 फिर एक रंग के हो सकते हैं $2 W, 1 B$, या $1 W, 2 B$, तो तरीकों की संख्या $({ }^{32} C_2 \times{ }^{32} C_1) \times 2$ होती है और भी, किसी भी 3 बॉक्स की चुने गए तरीकों की संख्या ${ }^{64} C_3$ होती है।

इसलिए, आवश्यक संभावना $=\frac{{ }^{32} C_2 \times{ }^{32} C_1 \times 2}{{ }^{64} C_3}=\frac{16}{21}$।

~~उदाहरण 12 यदि $A$ और $B$ कोई भी दो घटनाएं हों, तो $P(A \cup B)=\frac{1}{2} और P(\overline{A})=\frac{2}{3}$, तो $\overline{A} \cap B$ की संभावना है

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $\frac{2}{3}$

(C) $\frac{1}{6}$

(D) $\frac{1}{3}$

समाधान $(C)$ सही उत्तर है। हमें $P(A \cup B)=\frac{1}{2}$ है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow P(A \cup(B-A))=\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow P(A)+P(B-A)=\frac{1}{2}(\text{ यहां क्योंकि } A \text{ और } B-A \text{ एक दूसरे के विरोधी हैं}) \\ & \Rightarrow \quad 1-P(\overline{A})+P(B-A)=\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow \quad 1-\frac{2}{3}+P(B-A)=\frac{1}{2} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad P(B-A)=\frac{1}{6} \\ & \Rightarrow \quad P(\overline{{}A} \cap B)=\frac{1}{6} \end{aligned} $

$ \text{ (यहां } \overline{A} \cap B \equiv B-A \text{ ) } $

उदाहरण 13 एक नियमित हेक्सागन के छ: मुखों में से तीन को हमारी के रूप में यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इन मुखों से उत्पन्न त्रिभुज की संभावना समकोणी होने की है?

(A) $\frac{3}{10}$

(B) $\frac{3}{20}$

(C) $\frac{1}{20}$

(D) $\frac{1}{10}$

समाधान (D) सही उत्तर है।

चित्र 16.1

$ABCDEF$ एक नियमित हेक्सागन है। कुल त्रिभुज की संख्या ${ }^{6} C_3=20$ है। (क्योंकि कोई भी तीन बिंदु सरल नहीं हैं) इनमें से केवल $\Delta ACE$ ; $\Delta BDF$ समकोणी त्रिभुज हैं।

इसलिए, आवश्यक संभावना $=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ है।

उदाहरण 14 यदि A, B, C एक प्रयोग के तीन पूर्णरूप में एक दूसरे के प्रत्युत्पन्न और दूसरे होते हैं।

$3 P(A)=2 P(B)=P(C)$, तो $P(A)$ को समान होता है

(A) $\frac{1}{11}$

(B) $\frac{2}{11}$

(C) $\frac{5}{11}$

(D) $\frac{6}{11}$

समाधान (B) सही उत्तर है। चलिए $3 P(A)=2 P(B)=P(C)=p$ लेते हैं तो $P(A)$ $=\frac{p}{3}, P(B)=\frac{p}{2}$ और $P(C)=p$ होता है।

अब क्योंकि A, B, C एक दूसरे के प्रत्युत्पन्न और पूर्ण होते हैं सरल और पूर्ण होने वाले घटनाओं को, हमारे पास एक व्यक्ति है

$P(A)+P(B)+P(C)=1$

$\Rightarrow \quad \frac{p}{3}+\frac{p}{2}+p=1 \quad \Rightarrow \quad p=\frac{6}{11}$

इसलिए, $P(A)=\frac{p}{3}=\frac{2}{11}$ होता है।

उदाहरण 15 अगर $A={1,2,3, \ldots, n}$ सेट में सभी अभिनिर्धारिती (समान्य) मापन (कार्यक्रम) को एक से चुना जाता है। तो चयनित मापन एक-से-एक होने की संभावना है

(A) $\frac{1}{n^{n}}$

(B) $\frac{1}{\underline{n}}$

(C) $\frac{n-1}{n^{n-1}}$

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान (C) सही उत्तर है। सेट A में $n$ तत्वों के साथ सामान्यतः $n^{n}$ मान्यताओं की कुल संख्या होती है

अब, यदि एक-से-एक मापन के लिए पहले तत्व को A में किसी भी $n$ छवि में डाला जा सकता है; $2^{\text{nd }}$ तत्व को $A$ में शेष $(n-1)$ छवियों में किसी भी डाला जा सकता है, इसी प्रकार संख्या के साथ गिनतियों, $n^{\text{th }}$ तत्व को केवल 1 छवि हो सकती है।

इसलिए, एक-से-एक मान्यता की कुल गिनती $\lfloor n$ होती है।

इसलिए यहां प्रमाणित हुआ यहां प्रमाणित हुआ है $\frac{\underline{n}}{n^{n}}=\frac{n \underline{n-1}}{n n^{n-1}}=\frac{n-1}{n^{n-1}}$.

16.3 अभ्यास

संक्षिप्त उत्तर प्रकार

~~

1. यदि शब्द ALGORITHM के अक्षर एक क्रम में यादृच्छिक रूप से सारणीत किए जाते हैं तो अक्षर GOR को एक इकाई के रूप में बने रहना चाहिए, यहाँ प्रतिष्ठा है?

~~ 2. 6 नए कर्मचारी, जिनमें से दो एक-दूसरे की पत्नी हैं, को पंक्ति में एक साथ लगाए जाने वाले 6 डेस्कों में आसाइन किया जाना है। कर्मचारियों को प्रतिष्ठा के रूप में आसाइन करने पर अप्राकृतिकें गणक डेस्क पर होगा?

[संकेत: पहले जांचें कि संबंधित कौपल करीबी डेस्क होने की संभावना क्या है, फिर 1 से घटाएं।]

~~ 3. यदि 1 से 1000 तक संख्या में से यह निर्धारित किया जाता है कि संख्या 2 के एक गुणक या 9 के एक गुणक होती है, तो प्रायिकता क्या है?

~~ 4. किसी विचार को डालने तक एक पासा फेंकने से प्रयोग होता है।

(i) कितने तत्व सैंपल स्पेस के प्रतिक्रम में हैं जो इवेंट के साथ संबंधित हैं कि डाई के $k^{\text{वें}}$ रोल पर 2 प्रकट होता है? (ii) कितने तत्व सैंपल स्पेस के प्रतिक्रम में हैं जो इवेंट के साथ संबंधित हैं कि 2 $k^{\text{वें}}$ रोल पर देर से नहीं प्रकट होता है?

[संकेत:(a) पहले $(k-1)$ रोल के प्रत्येक में 5 परिणाम होते हैं और $k^{\text{वें}}$ रोल को 1 परिणाम देना चाहिए। (b) $1+5+5^{2}+\ldots+5^{k-1}$ ]

~~ 5. एक डाय साइक्लिक संरचित है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या प्रत्येक सम संख्या के आपेक्षिक रूप से एक दोगुना होने की संभावना है। ढूंढे $P(G)$, जहां $G$ डाइ के एकल रोल पर 3 से अधिक संख्या प्रकट होने की इवेंट है।

~~ 6. एक बड़े सामरिक क्षेत्र में, प्रभावीता $.87, .36, .30$ है जिसके आपूर्ति में एक परिवार (नमूना सर्वेक्षण के लिए यादृच्छिक रूप से चयनित) रंगीन टेलीविजन सेट, काला और सफेद टेलीविजन सेट संचित करता है। परिवार की संभावना क्या है कि वह या तो किसी को या उनके पास दोनों प्रकार का सेट है?

~~ 7. यदि $A$ और $B$ आपस में वियोजित इवेंट्स हैं, $P(A)=0.35$ है और $P(B)=0.45$ है, तो ढूंढे

(a) $P(A^{\prime})$

(b) $P(B^{\prime})$

(c) $\quad P(A \cup B)$

(d) $\quad P(A \cap B)$ (e) $P(A \cap B^{\prime})$ (f) $\quad P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

~~ 8. एक नगर अस्पताल में अपनी इंटर्नशिप करने वाले चिकित्सा छात्रों की टीम को सर्जरी के दौरान सहायता करनी होती है। सर्जरी की संभावनाएं बहुत जटिल, जटिल, सामान्य, सरल या बहुत सरल क्रम के रूप में हैं, $0.15,0.20,0.31,0.26, .08$ हैं। ढूंढे कि एक विशेष सर्जरी का मूल्यांकन कितनी संभावना से किया जाएगा

(a) जटिल या बहुत जटिल;

(b) न तो बहुत जटिल न ही बहुत सरल;

(c) सामान्य या जटिल

(d) सामान्य या सरल

~~ 9. चार उम्मीदवार A, B, C, D को एक स्कूल के क्रिकेट टीम कोच के निर्धारण के लिए आवेदन किया है। यदि A का चयन B से दोगुनी संभावना है, और B और C को चयनित होने का लगभग समान अवसर मिलता है, जबकि $C$ का चयन $डी$ से दोगुना संभावित है, तो ऐसा होने की संभावना क्या है कि

(a) C का चयन होगा?

(b) A का चयन नहीं होगा?

~~ 10. इनमें से एक चार व्यक्तियों जॉन, रिता, असलम या गुरप्रीत को अगले महीने पदोन्नति मिलेगी। इस परिणाम के तत्व पर आधारित है स यादृच्छिक रूप से चयनित है, S={$ $ जॉन पदोन्नत, रिता पदोन्नत, असलम पदोन्नत, गुरप्रीत पदोन्नत $ $}

आपको बताया जाता है कि जॉन की पदोन्नति की संभावना उसी तरह है जैसा गुरप्रीत की, रिता की पदोन्नति की संभावना जॉन से दोगुनी है। असलम की संभावना जॉन के चार गुना है।

(a) P (जॉन पदोन्नत)

$ \begin{aligned} & \text{ P (रिता पदोन्नत) } \\ & \text{ P (असलम पदोन्नत) } \\ & \text{ P (गुरप्रीत पदोन्नत) } \end{aligned} $

(b) यदि A={$ $ जॉन पदोन्नत या गुरप्रीत पदोन्नत $ $}, P (A) ढूंढे।

~~ 11. संलग्न Venn चित्र में तीन इवेंट, A, B और C, और इंटरसेक्शन की विभिन्न संभावनाओं को भी दिखाया गया है (उदाहरण के लिए, $P(A \cap B)=.07$ )। ढूंढे

(a) $\quad P(A)$

(b) $\quad P(B \cap \overline{C})$

(c) $\quad P(A \cup B)$

(d) $\quad P(A \cap \overline{B})$

(e) $\quad P(B \cap C)$

(f) तीन में से किसी भी एक होने की संभावना।

कंटेंट का हिन्दी संस्करण है:

चित्र 16.2

~~ 12. एक भण्डार में दो काले गेंद (B1 और B2 के नाम से पहचाने गए) और एक सफेद गेंद होती है। एक दूसरा भण्डार अगली संख्या में एक काली गेंद और दो सफेद गेंद (W1 और W2 के नाम से पहचाने गए) होती है। मान लें कि निम्नलिखित प्रयोग किया जाता है। दो में से एक भण्डार रैंडम रूप से चुना जाता है। उसके बाद भण्डार से एक गेंद का चयन रैंडम रूप से किया जाता है। फिर एक गेंद रैंडम रूप से चयनित की जाती है जीसे पहली गेंद को बदलाव के बिना।

(अ) संभाव्य नतीजों को दिखाने वाला नमूना अंतरिक्ष लिखें

(ब) दो काली गेंदों के चयन की संभावना क्या है?

(सी) एक विपरीत रंग की दो गेंदों के चयन की संभावना क्या है?

~~ 13. एक बैग में 8 लाल और 5 सफेद गेंद होती हैं। तीन गेंदों का रैंडम रूप से चयन किया जाता है। इसकी संभावना निकालें

(अ) तीन गेंद सफेद होती हैं

(ब) तीन गेंद लाल होती हैं

(स) एक गेंद लाल होती है और दो गेंद सफेद होती हैं

~~ 14. यदि शब्द ASSASSINATION के अक्षर यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित किए जाते हैं। संभावना निकालें

(अ) चार S कथन में विन्यासित होते हैं

(ब) दो I और दो N साथ में आते हैं

(स) सभी A एकत्र नहीं आ रहे हैं

(द) कोई दो A एकत्र नहीं आ रहे हैं।

~~ 15. एक ताश कार्ड को खींचा जाता है जिसमें 52 कार्ड होतें हैं। एक राजा या एक ह्र्ट या एक लाल कार्ड प्राप्त करने की संभावना निकालें।

~~ 16. एक नमूना अंतरिक्ष 9 प्राथमिक परिणाम $e_1, e_2, \ldots, e_9$ से बना होता है जिसकी संभावनाएं हैं

$Pe_1 =Pe_2 =.08, Pe_3 =Pe_4 =Pe_5 =.1$

$Pe_6 =Pe_7 =.2, Pe_8 =Pe_9 =.07$

मान लें A= $\lbrace e_1, e_5, e_8\rbrace,$ B= $\lbrace e_2, e_5, e_8, e_9 \rbrace$

(अ) $P(A), P(B)$, और $P(A \cap B)$ की गणना करें

(ब) संभावना के बड़ाई के सूत्र का उपयोग करके $P(A \cup B)$ की गणना करें

(स) घटना $A \cup B$ की भागीदारी की साझा सूची बनाएं, और प्राथमिक परिणामों की संभावनाओं को जोड़कर $P(A \cup B)$ की गणना करें।

(द) $P(\overline{B})$ की गणना करें $P(B)$ से, इसके अलावा $\overline{B}$ की प्राथमिक परिणामों से $P(\overline{B})$ की गणना करें

~~ 17. निम्नलिखित घटनाओं के लिए प्राथमिक परिणाम $p$ निर्धारित करें।

(अ) एक विजेता में एक अजगर नाज़र आता है।

(ब) दो सिक्कों की एक मौके में कम से कम एक हेड आती है।

(स) एक राजा, 9 दिल या 3 पानी से हींट एक ताश का आकर्षित निकलते हैं।

(द) एक जोड़ी अजगरों की एक मौके में 6 आता है।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

प्रत्येक अभ्यास 18 से 29 (MCQ) में चार दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 18. एक गैर-वर्ष, 53 मंगलवार या 53 बुधवार होने की संभावना है

(A) $\frac{1}{7}$

(B) $\frac{2}{7}$

(C) $\frac{3}{7}$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 19. 1 से 20 तक से तीन संख्याएँ चुनी जाती हैं। उनका प्राथमिक परिणाम निर्धारित करें जो संख्याएँ आपस में संयोज्य नहीं हैं

(A) $\frac{186}{190}$

(B) $\frac{187}{190}$

(C) $\frac{188}{190}$

(D) $\frac{18}{{ }^{20} C_3}$

~~

20. 52 खेल कार्डों का एक पैक चला रहे होते हैं, उसमें 2 एक्सीडेंटली गिर जाते हैं। इसकी संभावना निकालें कि खोए गए कार्ड भिन्न रंग के हों।

(A) $\frac{29}{52}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{26}{51}$

(D) $\frac{27}{51}$

~~ 21. सात व्यक्ति एक पंक्ति में बैठने के लिए हैं। इसकी संभावना निकालें कि दो विशेष व्यक्ति एक दूसरे के पास बैठें।

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{1}{6}$

(C) $\frac{2}{7}$

(D) $\frac{1}{2}$

~~ 22. संख्या में दोहराए जाने के बिना, $0,2,3,5$ संख्याओं के साथ चार अंकों वाले नंबर तैयार किए जाते हैं। ऐसे एक नंबर के प्रायिकता की संभावना निकालें कि वह 5 से विभाज्य हो।

(A) $\frac{1}{5}$

(B) $\frac{4}{5}$

(C) $\frac{1}{30}$

(D) $\frac{5}{9}$

~~ 23. यदि $A$ और $B$ एक-दूसरे को अलग होने वाले घटनाओं हैं, तो

(A) $P(A) \leq P(\overline{B})$

(B) $P(A) \geq P(\overline{B})$

(C) $P(A)<P(\overline{B})$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 24. किसी भी दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए $P(A \cup B)=P(A \cap B)$ होता है, तो

(A) $P(A)=P(B)$

(B) $P(A)>P(B)$

(C) $P(A)<P(B)$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 25. 6 लड़के और 6 लड़कियां में एक पंक्ति में रैंडमली बैठते हैं। उन सभी लड़कियों के मिलकर बैठने की संभावना निकालें।

(A) $\frac{1}{432}$

(B) $\frac{12}{431}$

(C) $\frac{1}{132}$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 26. शब्द ‘प्रोबेबिलिटी’ से एक वर्ण को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। उसकी संभावना निकालें कि वह एक स्वर हो।

(A) $\frac{1}{3}$

(B) $\frac{4}{11}$

(C) $\frac{2}{11}$

(D) $\frac{3}{11}$

~~ 27. अगर $A$ एवं $B$ आपस में असंगत होने वाली हों, तो $A$ या $B$ में से किसी भी एक फेल होने की संभावना निकालें।

(A) $>.5$

(B) $.5(C)$ $\leq .5$ (D) 0

~~ 28. घटना $A$ और $B$ में से कम से कम एक होने की संभावना 0.6 है। अगर $A$ और $B$ एक साथ होने की संभावना 0.2 है, तो $P(\overline{A})+P(\overline{B})$ का मूल्य निकालें।

(A) 0.4

(B) 0.8

(C) 1.2

(D) 1.6

~~ 29. अगर $M$ और $N$ दो घटनाएं हैं, तो कम से कम एक में से किसी भी एक होने की संभावना निकालें।

(A) $P(M)+P(N)-2 P(M \cap N)$

(B) $P(M)+P(N)-P(M \cap N)$

(C) $P(M)+P(N)+P(M \cap N)$

(D) $P(M)+P(N)+2 P(M \cap N)$

सत्य या असत्य कहें कि प्रत्येक अभ्यास 30 से 36 में।

~~ 30. एक व्यक्ति जब एक चिड़ियाघर जाता है तो उसे खरगोश देखने की संभावना 0.72 है, भालू देखने की संभावना 0.84 है और दोनों को देखने की संभावना 0.52 है।

~~ 31. एक छात्र की परीक्षा में सफलता की संभावना 0.73 है, छात्र कोंपार्टमेंट आने का आप्रवासी की संभावना 0.13 है, और प्रश्नपत्र के बारे में सफल होने या छात्र कोंपार्टमेंट आने की संभावना 0.96 है।

~~ 32. एक टाइपिस्ट की टाइपिंग में किसी प्रतिद्वंद्वी प्रायिकता $0,1,2,3,4,5$ गलतियां हो सकती हैं, क्रमशः $0.12,0.25,0.36,0.14,0.08,0.11$।

~~ 33. यदि $A$ और $B$ एक कॉलेज में प्रवेश मांगने वाले दो उम्मीदवार हैं। $A$ का चयन होने की संभावना .5 है और $A$ और $B$ का चयन होंने की संभावना कम से कम .3 है। क्या $B$ के चयन होने की संभावना 0.7 हो सकती है?

~~ 34. दो घटनाओं $A$ और $B$ के छेद की संभावना हमेशा अथवा समान होती है।

३५. पदार्थ $ A $ के प्रसंग के होने की संभावना .7 है और पदार्थ $ B $ के होने की संभावना .3 है और दोनों के होने की संभावना . 4 है।

३६. दो छात्रों को अंतिम परीक्षा में विशेषज्ञता प्राप्त करने की संभावनाओं का योग 1.2 है।

३७. आगामी फ़ुटबॉल मैच में होम टीम की जीत की संभावना 0.77 है, गेम टाई करने की संभावना 0.08 है और गेम हारने की संभावना

३८. यदि $ ई_1, ई_2, ई_3, ई_4 $ एक सैंपल स्थान में चार प्राथमिक परिणाम हैं और $ पी (ई_1)= $ $.1, पी (ई_2)=.5, पी (ई_3)=.1 $ है, तो $ ई_4 $ की संभावना

३९. लेट S = {$ 1,2,3,4,5,6 $} और E = {$ 1,3,5 $}, तो $ \overline {E} $ है

४०. यदि $ A $ और $ B $ एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित दो घटनाओं का होता है जिसके लिए $ पी (ए)=0.3, पी (बी)=0.2 $ और $ पी (ए \cap बी)=0.1 $ है, तो $ पी (ए \cap \overline {बी}) $ की मान्यता

४१. एक घटना $ A $ होने की संभावना 0.5 है और $ B $ की संभावना 0.3 है। यदि $ A $ और $ B $ संरेखित घटनाएँ हैं, तो न तो $ A $ और न होने की संभावना

४२. मिलान करें टालिका $ सी_1 $ के तहत प्रस्तावित संभावना को सही वर्णन के साथ टालिका $ सी_2 $ के साथ मेल खाताहै: $ सी_1 $ $ \माथबफ {स} _2 $

संभावित

(ए) 0.95

लिखित वर्णन

(ब) 0.02

(i) एक गलत असाइनमेंट

(सी) -0.3

(ii) होने की कोई संभावना नहीं

(डी) 0.5

(iii) होने और न होने के बराबर की संभावना।

(ई) 0

(iv) काफी होने की संभावना

(v) होने की बहुत कम संभावना

४३. इसको मेलाता है कि

(ए) यदि $ ई_1 $ और $ ई_2 $ दो सम्बन्धित घटनाएँ हैं

(ब) यदि $ ई_1 $ और $ ई_2 $ संरेखित और समाप्त घटनाएँ हैं

(सी) यदि $ ई_1 $ और $ ई_2 $ में समान परिणाम हैं, तो

(ड) यदि $ ई_1 $ और $ ई_2 $ दो घटनाएँ हैं जिसमें $ ई_1 \subset ई_2 $ है

(ii) $ (ई_1-ई_2) \cup (ई_1 \cap ई_2)=ई_1 $

(iii) $ ई_1 \cap ई_2=फी, ई_1 \cup ई_2=एस $

(iv) $ ई_1 \cap ई_2=फी $

उत्तर

१.३ अभ्यास

१. (i) {$ 2 $} (ii) {$ 0,1 $} (iii) {$ 1, p $}

२. (i) {$ 0,-1,1 $} (ii) $\frac{-11}{3}$ (iii) {$ -\sqrt{3},-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3} $}

३. {$ 1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots 2^{P-1},(2^{p}-1}.$}

४. (i) सच (ii) झूठ (iii) सच (iv) सच

५. (i) {$ 2,4,6,8, \ldots, 98 $}

(ii) $(1,4,9,16,25,36,49,64,81,$

८. (i) {$ 4,8,12 $}

(ii) {$ 7,8,9 $}

(iii) $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$

(iv) {$ 0,1,2 $}

९. (i) {$ 4,5,6, \ldots .10 $}

(ii) {$ 5 $}

(iii) {$ 1,2,3,4,5 $}

१०.

१३. सच

१४. झूठ

१५. सच

१६. सच

१७. (i) २ (ii) ३ (iii) ३ (iv) ९

१८. २५

१९. २०

२०.

(i) ६, (ii) ३, (iii) ९, (iv) १, (v) २,

३१. $ बी $

३५. बी

३६. बी

३७. डी

३८.

३२. डी

३३. $ सी $

३४. बी ३७. सी

२.३ अभ्यास

~~ १. (इ) {$(-१,१),(-१,३),(२,१),(२,३),(३,१),(३,३)$}

(ई) {$(१,-१),(१,२),(१,३),(३,-१),(३,२),(३,३)$}

(आ) {$(१,१),(१,३),(३,१),(३,३)$}

(इ) {$(-१,-१),(-१,२),(-१,३),(२,-१),(२,२),(२,३),(३,-१),(३,२),(३,३)$}

~~ २. {$(०,१),(०,२),(१,१),(१,२),(२,१),(२,२)$}

~~ ३. (इ) {$(०,३),(१,३)$}

(ई) {$(०,२),(०,३),(०,४),(०,५),(१,२),(१,३),(१,४),(१,५)$}

~~ ४. (इ) $ए=११/३$ और $ब=२/३$

(ई) $ए=०$ और $ब=२$

~~ ५. (इ) {$(१,४),(२,३),(३,२),(४,१)$}

(ई) {$(१,१),(१,२),(१,३),(२,१),(२,२),(३,१)$}

(आ) {$(४,५),(५,४),(५,५)$}

~~ ६. $आर$ का डोमेन $={०,३,४,५}=$ $आर$ की रेंज

~~ ७. $आर_१$ का डोमेन $=[-५,५]$ और $आर_१$ की रेंज $=[-३,१७]$

~~ ८. $आर_२={(०,८),(८,०)(०,-८),(-८,०)}$

~~ ९. $आर_३$ का डोमेन $=\mathbf{आर}$ और $आर_३$ की रेंज $\mathbf{आर}^{+} \cup{०}$

~~ १०. (इ) $एच$ एक फ़ंक्शन नहीं है (ई) $एफ$ एक फ़ंक्शन है (ग) $जी$ एक फ़ंक्शन है (वि) $एस$ एक निरंतर फ़ंक्शन है (टी) $टी$ एक स्थिर फ़ंक्शन है

~~ ११. (क) ६

(ख) $१३६४/४$

(ग) १३

(घ) $टी^{२}-४$

(ङ) $टी+५$

~~ १२. (क) $एक्स=४$

(ख) $एक्स>४$

~~ १३. (इ) $(एफ+जी) एक्स=एक्स^{२}+२ एक्स+२$

(ई) $(एफ-जी) \quad एक्स=२ एक्स-एक्स^{२}$

$ \text{ (ङ) } \begin{aligned} & \text{ (एफ जी) एक्स=२ एक्स^{३}+एक्स^{३}+२ एक्स+१ \quad \text{ (च) }(\frac{एफ}{जी}) एक्स=\frac{२ एक्स+१}{एक्स^{२}+१} \end{aligned} $

~~ १४. (इ) एफ={$(-१,०),(०,१),(३,२८),(७,३४४),(९,७३०)$}

~~ १५. $एक्स=-१, ४/३$

~~ १६. हाँ, $\अल्फा=२, \बीटा=-१$

~~ १७. (इ) $आर-{२ n \पी: n \in ज़}$

(ई) $आर^{+}$

(ग) $आर$

(घ) $आर-{-१,१}$

(ङ) $आर-{४}$

~~ १८. (इ) $[\frac{३}{२}, \infty)$

(ई) $(-\infty, १]$

(ग) $[०, \infty)$

(घ) $[-२,४]$

~~ १९. $एफ(एक्स)=\begin{gathered}-२ एक्स,-३ \leq एक्स<-२ \\ ४,-२ \leq एक्स<२ \\ २,२ \leq एक्स \leq ३\end{gathered}$

~~ २०. (इ) $(एफ+जी) एक्स=चढ़ावा एक्स+१$

(ई) $(एफ-जी) एक्स=चढ़ावा एक्स-१$

(आ) $(एफ जी) एक्स=एक्स^{\frac{३}{२}}$

(घ) $(\frac{एफ}{जी}) एक्स=\frac{१}{चढ़ावा एक्स}$

~~ २२. $एक्स$ का डोमेन $=(५, \infty)$ और $एक्स$ की रेंज $र^{+}$

~~ २३. डी

~~ २४. डी

~~ २५. बी

~~ २६. $सी$

~~ २७. बी

~~ २८. बी

~~ २९. ए

~~ ३०. $सी$

~~ ३१. $सी$

~~ ३२. ए

~~ ३३. बी

~~ ३४. ए

~~ ३५. {$२,३,४,५$}

~~ ३६. (अ) $ \rightarrow$ (घ)

(ब) $ \rightarrow$ (ङ)

(स) $ \rightarrow$ (ई)

(ड) $ \rightarrow$ (इ)

~~ ३७. गलत

~~ ३८. गलत

~~ ३९. सही

~~ ४०. गलत

~~ ४१. सही.

३.३ अभ्यास

~~ ४. $\frac{५६}{३३}$

~~ ५. $\frac{२ \कॉस

१६. ए

१७. १३

१८. ३

१९. ए

२०. २०

२१. ड

२२. सी

२३. बी

२४. डी

२५. सी

२६. बी

२७. बी

२८. डी

२९. $\theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$

३०. $x=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$

३१. $\frac{23}{17} \frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$

३२. $n \pi \pm \frac{\pi}{4}$

३३. $\theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}$

३४. ड

३५. सी

३६. बी

३७. सी

३८. ड

३९. ड

४०. सी

४१. बी

४२. सी

४३. बी

४४. सी

४५. सी

४६. ए

४७. बी

४८. १

४९. $\frac{1}{8}$

५०. $\tan \beta$

५१. $x^{2}-\frac{2}{\sin 2 A} x+1 \quad 65.13$

५२. सत्य

५३. असत्य ६९. असत्य

५४. सत्य

५५. $\frac{1}{4}[4-3(a^{2}-1)^{2}], \sqrt{2-a^{2}}$

५६. $[-3,3]$

५७. असत्य

५८. सत्य

५९.

(क) $ \rightarrow$ (iv) (ख) $ \rightarrow$ (i)

(ग) $ \rightarrow$ (ii) (ii) (घ)

६७. २

७१. सत्य

७२. सत्य

4.3 अभ्यास

१. $P(n): 2 n<\angle n$

२. $P(n): 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

३. ए

४. बी

५. ए

६. ४

७. असत्य

5.3 अभ्यास

१. $2^{n}$

२. $-1+i$

३. $(0,-2)$

४. $\frac{2}{5}$

५. $(1,0)$

६. $i \cot \frac{\theta}{2}$

७. $\frac{3}{2}-2 i$

८. $\frac{1}{2}-2 i$

९. $1: 3$

१०. $\frac{10}{3}, 0, \frac{2}{3}$

११. १

१२. ०

१३. $\sqrt{2} \pm i \sqrt{2},-\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}$

१४. $-2-i$

१५. $\sqrt{2} \cos \frac{5 \pi}{12}+i \sin \frac{5 \pi}{12}$

१६. (i) $(a^{2}+b^{2})(|z_1|^{2}+|z_2|^{2})$

(ii) -15

(iii) -2 (iv) 0 (v) $\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$

(vi) $\bar{{}z}_1$ (vii) 0

(viii) 6 and 0 (ix) a circle

(x) $-2 \sqrt{3}+2 i$

२६.

(i) सत्य (ii) असत्य (iii) सत्य (iv) सत्य (v) सत्य (vi) सत्य (vii) असत्य (viii) असत्य

(ब) $ \rightarrow$ (iii),

(सी) $ \rightarrow$ (i),

(द) $ \rightarrow$ (iv), (ई) $ \rightarrow$ (ii), (फ) $ \rightarrow$ (vi), (ग) $ \rightarrow$ (ष), (ह) $ \rightarrow$ (झ)

२७. (ए) $ \rightarrow$ (ट),

२८. $\frac{-2}{25}-i \frac{11}{25}$

२९. नहीं

३०. $\frac{(a^{2}+1)^{4}}{4 a^{2}+1}$

३१. $-2 \sqrt{3}+2 i$

३२. १

३३. $\frac{2 \pi}{3}$

३४. वास्तविक अक्ष

३५. सी

३६. सी

३७.

३८.

३९. बी

४०. ए

४१. ए

४२. सी

४३. बी

४४. सी

४५. बी

४६. ए

४७. बी

४८. १

४९. सी

५०. ए

१. $\frac{1}{3} \leq x \leq 1$

२. $[0,1] \cup[3,4]$

३. $(-\infty,-5) \cup(-3,3) \cup[5, \infty)$

४. $[-4,-2] \cup[2,6]$

५. $\frac{-34}{3}, \frac{22}{3}$

६. नहीं समाधान

७. २००० से अधिक।

८. ७.७७ और ८.७७ के बीच।

९. २३० लीटर से अधिक लेकिन ९२० लीटर से कम।

१०. ८ किमी और १० किमी के बीच।

११. कोई समाधान नहीं।

१२. $x+y \leq 20,3 x+2 y \leq 48, x \geq 0, \quad y \geq 0$

१३. $x+y \leq 8, x+y \geq 4, x \leq 5, \quad y \leq 5, x \geq 0, \quad y \geq 0$

१४. कोई समाधान नहीं।

१९. सी

२०. सी

२१. ए

२२. बी

| 23. डी | 24. $सी$ | 25. बी | 26. ए | | 27. डी | 28. बी | 29. ए | 30. बी | | 31. (आई) $एफ$ | (आईआई) $एफ$ | (आईआईआई) $टी$ | (आईवी) | | (वी) $टी$ | (वीआई) $एफ$ | (वीआईआई) $टी$ | (वीआईआईआई) |

~~ 5. (आई) -252 (आईआई) $\frac{189}{8} x^{17} ; \frac{-21}{16} x^{19}$

~~ 6. $-2527 .-1365$

~~ 8. $252 y^{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{3}}$

~~ 9. $र=6$

~~ 11. 990

~~ 12. $प= \pm 2$

~~ 14. $न=9$

~~ 17. $\frac{17}{54}$

~~ 18. (सी)

~~ 19. (ए)

~~ 20. (सी)

~~ 21. (डी) 22.(बी)

~~ 23. (बी)

~~ 24. (सी)

~~ 25. ${ }^{30} C _{15}$

~~ 26. $\frac{(एन+1)(एन+2)}{2}$

~~ 27. ${ }^{16} C_8$

~~ 28. $न=12$

~~ 29. $\frac{1120}{27} ए^{-6} ए^{4}$

~~ 30. ${ }^{28} C _{14} ए^{56} ब^{14}$

~~ 31. 1

~~ 32. तीसरी संख्या

~~ 33. 12

~~ 34. एफ

~~ 35. $टी$

~~ 36. एफ

~~ 37. $एफ$

~~ 38. $टी$

~~ 39. एफ

~~ 40. एफ

9.3 व्यायाम

~~ 2. रु 1400

~~ 3. रु 8080 , रु 83520

~~ 4. 12 दिन

~~ 5. $3420^{\circ}$

~~ 6. $\frac{15}{8} आईटीमी$

~~ 7. $2480 मीटर$

~~ 8. रु 725

~~ 9. (आई) $4 n^{3}+9 n^{2}+6 n$ (आईआई) 4960

~~ 10. $टि_र=6 आर-1$ 17. (डी)

~~ 11. (सी)

~~ 12. ए

~~ 13. बी

~~ 14. सी

~~ 15. बी

~~ 16. बी

~~ 17. ए

~~ 18. डी

~~ 19. $ए 27 . \frac{ए}{ब}$ या $\frac{ब}{क}$

~~ 20. पहली संख्या + अंतिम संख्या

~~ 21. $4^{5}$

~~ 22. एफ

~~ 23. $टी$

~~ 24. $टी$

~~ 25. एफ

~~ 26. एफ

~~ 27. (ए) $ \rightarrow$ (आईआईआई) (ब) $ \rightarrow$ (आई) (सी) $ \rightarrow$ (आईआई)

~~ 28. (ए) $ \rightarrow$ (आईआईआई) (ब) $ \rightarrow$ (आई) (सी) $ \rightarrow$ (आईआई)(ड) $ \rightarrow$ (आईवी)

10.3 व्यायाम

~~

1. $एक्स+वाई+1=0$

~~ 2. $एक्स-4 वाई+3=0$

~~ 3. $60^{\circ}$ या $120^{\circ}$

~~ 4. $एक्स+वाई=7$ या $\frac{एक्स}{6}+\frac{वाई}{8}=1$

~~ 5. $वाई-\sqrt{3} एक्स-2+\sqrt{3}=0$

~~ 6. $ए=\frac{-8}{3}, ब=4$

~~ 7. $\sqrt{3} एक्स+वाई=8$

~~ 8. $\sqrt{\frac{2}{3}}$

~~ 9. $15^{\circ}$ या $75^{\circ}$

~~ 10. $(3,1),(-7,11)$

~~ 11. $3 एक्स+4 वाई+3=0$

~~ 12. $8 एक्स-5 वाई+60=0$

~~ 13. $एक्स-7 वाई-12=0$

~~ 14. $(1,1)$

~~ 15. $9 एक्स-20 वाई+96=0$

~~ 16. $3 एक्स-4 वाई+6=0$ और $4 एक्स-3 वाई+1=0$ 20. $(0,2+\frac{5 \sqrt{3}}{2})$

~~ 17. ए

~~ 18. ए

~~ 19. ब

~~ 20. ब

~~ 21. सी

~~ 22. डी

~~ 23. ए

~~ 24. ए

~~ 25. ए

~~ 26. ब

~~ 27. ब

~~ 28. ए

~~ 29. $सी$

~~ 30. ए

~~ 31. $ब$

~~ 32. ब

~~ 33. $सी$

~~ 34. डी

~~ 35. ब

~~ 36. ब

~~ 37. $(1,-2)$

~~ 38. $एक्स+वाई+1=0$

~~ 39. $3 एक्स-वाई-7=0, एक्स+3 वाई-9=0$

~~ 40. विपरीत सिद्धांतों

~~ 41. $13(एक्स^{2}+वाई^{2})-83 एक्स+64 वाई+182=0$

~~ 42. $4 एक्स^{2} वाई^{2}=प^{2}(एक्स^{2}+वाई^{2})$

~~ 43. सच

~~ 44. गलत

~~ 45. गलत

~~ 46. सच

~~ 47. सच

~~ 48. सच

~~ 49. सच

~~ 50. गलत

~~ 51. गलत

~~ 52. (ए) $ \rightarrow$ (आईआईआई)

(ब) $ \rightarrow$ (आई) और

(सी) $ \rightarrow$ (आईआई)

~~ 53. (ए) $ \rightarrow$ (आईआईआई)

(ब) $ \rightarrow$ (आईआईआईआई)

(सी) $ \rightarrow$ (आईआई),

(ड) $ \rightarrow$ (आईआई)

~~ 54. (ए) $ \rightarrow$ (आईआईआई)

(ब) $ \rightarrow$ (आईआईआई)

(सी) $ \rightarrow$ (आईआईआईआई),

(ड) $ \rightarrow$ (आईआई)

5. $x^{2}+y^{2}+4 x+4 y+4=0$

~~ 6. $(1,2)$

~~ 7. $x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-20=0$

~~ 8. $k \pm 8$

~~ 9. $x^{2}+y^{2}-6 x+12 y-15=0$

~~ 10. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

~~ 11. ecentricity $=\frac{4}{5}$ and foci $(4,0)$ and $(-4,0)$

~~ 12. $\frac{39}{4}$

~~ 13. $\frac{4 x^{2}}{81}+\frac{4 y^{2}}{45}=1 \quad$ 15. 18

~~ 14. $(2,4),(2,-4)$

~~ 15. $\frac{4 a \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}$

~~ 16. $x^{2}+8 y=32$

~~ 17. $m=1$

~~ 18. $x^{2}-y^{2}=32$

~~ 19. $\frac{\sqrt{13}}{2}$

~~ 20. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=\frac{4}{9}$.

~~ 21. $x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=47$

~~ 22. $x^{2}+y^{2}-4 x-10 y+25=0$

~~ 23. $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=38$

~~ 24. $x^{2}+y^{2}-18 x-16 y+120=0$

~~ 25. $x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0$

~~ 26. (a) $y^{2}=12 x-36$, (b) $x^{2}=32-8 y$,

(c) $4 x^{2}+4 x y+y^{2}+4 x+32 y+16=0$

~~ 29. $3 x^{2}+4 y^{2}-36 x=0$

~~ 30. $9 x^{2}+5 y^{2}=180$

~~ 31. (a) $15 x^{2}-y^{2}=15$

(b) $9 x^{2}-7 y^{2}+343=0$

(c) $y^{2}-x^{2}=5$

~~ 33. False

~~ 34. False

~~ 35. True

~~ 36. False

~~ 37. True

~~ 38. False

~~ 39. True

~~ 40. True

~~ 41. $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=\frac{45}13^{2}$

~~ 42. $x^{2}+y^{2}-46 x+22 y=0$

~~ 43. $6+2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}$

~~ 44. $\frac{4 x^{2}}{1}+\frac{4 y^{2}}{5}=1$

~~ 45. $4 x^{2}+4 x y+y^{2}+4 x+32 y+16=0$

~~ 46. $\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{64}=1$ and $(0, \pm 10)$.

~~ 47. (C)

~~ 48. (C)

~~ 49. (C)

~~ 50. (C)

~~ 51. A

~~ 52. D

~~ 53. A

~~ 54. B

~~ 55. B

~~ 56. A

~~ 57. $C$

~~ 58. A

~~ 59. A

12.3 EXERCISE

~~ 2. (i) $1^{\text{st }}$ octant (ii) $4^{\text{th }}$ octant (iii) $v i i 1^{\text{th }}$ octant (iv) $v^{\text{th }}$ octant (v) $2^{\text{nd }}$ octant (vi) $3^{\text{rd }}$ octant (vii) viiith octant (viii) vi it $^{\text{th }}$ octant

~~ 3. (i) $(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2)$ (ii) $(-5,0,0),(0,3,0),(0,0,7)$ (iii) $(4,0,0),(0,-3,0)$, $(0,0,5)$

~~ 4. (i) $(3,4,0),(0,4,5),(3,0,5)$ (ii) $(-5,3,0),(0,3,7),(-5,0,7)$ (iii) $(4,-3,0)$, $(0,-3,-5),(4,0,-5)$

~~ 5. 5

~~ 6. 11

~~ 7. $(2,-4,16)$

~~ 8. $(-2,-2,-1)$

~~ 9. $(1,1,-2)$

~~ 10. $(-3,4,-7),(7,2,5)$ and $(-3,12,17)$ 14. $(4,7,6)$

~~ 11. $(4,-5,1),(3,-2,-1)$

~~ 12. $a=-2, b=-8, c=2$

~~ 13. $\frac{7}{2}, \frac{13}{2}, 9$

~~ 14. $2: 1$ externally

~~ 15. vertices are $(3,4,5),(-1,6,-7),(1,2,3)$ and centroid is $(1,4, \frac{1}{3})$

~~ 16. 1:3 externally

~~ 17. $(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,2)(0,0,2)(2,0,2),(0,0,0),(2,2,2)$

~~ 18. A

~~ 19. B

~~ 20. A

~~ 21. B

~~ 22. A

~~ 23. B

~~ 24. B

~~ 25. A

~~ 26. A

~~ 27. B

~~ 28. A

~~ 29. D

~~ 30. A

~~ 31. Three cordinates planes

~~ 32. Three pairs

~~ 33. given point

~~ 34. Eight

~~ 35. $(0, y, z)$

~~ 36. $x=0$

~~ 37. $(0,0, z)$

~~ 38. $x=0, y=0$

~~ 39. $z$ - cordinates

~~ 40. ( $y, z$ cordinates) $45 . y z$-plane

~~ 41. $x$-axis

~~ 42. $\sqrt{333}$

~~ 43. $a=5$ or $-3 \quad 49 .(1,1,-2)$

~~ 44. (a) $ \rightarrow$ (iii) (b) $ \rightarrow$ (i) (c) $ \rightarrow$ (ii) (d) $ \rightarrow$ (vi) (e) $ \rightarrow$ (iv) (f) $ \rightarrow$ (v) (g) $ \rightarrow$ (viii)

(h) $ \rightarrow$ (vii) (i) $ \rightarrow$ (x) (j) $ \rightarrow$ (ix)

13.3 अभ्यास

~~

1. 6

~~ 2. 2

~~ 3. $\frac{1}{\sqrt[2]{x}}$

~~ 4. $\frac{1}{3} 2^{\frac{-2}{3}}$

~~ 5. 3

~~ 6. $\frac{5}{2}(a+2)^{\frac{3}{2}}$

~~ 7. 7

~~ 8. 8

~~ 9. $\frac{8}{5}$

~~ 10. 1

~~ 11. 0

~~ 12. $\frac{1}{15}$

~~ 13. $\frac{7}{2}$

~~ 14. $n=5$

~~ 15. $\frac{3}{7}$

~~ 16. $\frac{1}{4}$

~~ 17. 2

~~ 18. 1

~~ 19. $\frac{m^{2}}{n^{2}}$

~~ 20. 3

~~ 21. $\sqrt{2}$

~~ 22. 2

~~ 23. 1

~~ 24. $2 \sqrt{a} \cos a$

~~ 25. 4

~~ 26. $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$

~~ 27. 0

~~ 28. $k=\frac{3}{8}$

~~ 29. $3 x^{2}+2 x+1-\frac{1}{x^{2}}$

~~ 30. $3 x^{2}-\frac{3}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}+3$

~~ 31. $3 x \sec ^{2} x+5 \sec ^{2} x+3 \tan x+3$

~~ 32. $2 \tan x \sec ^{2} x$

~~ 33. $\frac{55-40 x-15 x^{2}}{(5 x^{2}-7 x+9)^{2}}$

~~ 34. $\frac{-x^{5} \cos x+5 \sec ^{4} \sin x+1}{\sin ^{2} x}$

~~ 35. $\frac{x}{\sqrt{2}} cosec x(2-x \cot x)$

~~ 36. $(a x^{2}+\cot x)(-q \sin x)+(p+q \cos x)(2 a x-cosec^{2} x)$

~~ 37. $\frac{b c \cos x+a d \sin x+d b}{(c+d \cos x)^{2}}$

~~ 38. $2 \cos 2 x$

14.3 अभ्यास

~~

1. (i) से (v) और (viii) से (x) तर्क हैं।

~~ 2. (i) $p:$ संख्या 7 अविभाज्य है

$q$ : संख्या 7 विषम है

(iii) $p: 100$ 3 द्वारा विभाज्य है

$q: 100$ 11 द्वारा विभाज्य है

$r: 100$ 5 द्वारा विभाज्य है (ii) $p:$ चेन्नई भारत में है

$q$ : चेन्नई तमिलनाडु की राजधानी है

(iv) $p$ : चंडीगढ़ हरियाणा की राजधानी है

$q$ : चंडीगढ़ उत्तर प्रदेश की राजधानी है (v) $p: \sqrt{7}$ एक राशियल संख्या है (vi) $p: 0$ हर सकारात्मक पूर्णांक से कम है $q: \sqrt{7}$ एक अराशियल संख्या है $q: 0$ हर नकारात्मक पूर्णांक से कम है

(vii) $p:$ पौधे फोटोसिंथेसिस के लिए सूर्य का उपयोग करते हैं

$q:$ पौधे फोटोसिंथेसिस के लिए पानी का उपयोग करते हैं

$r$ : पौधे फोटोसिंथेसिस के लिए कार्बनडाइऑक्साइड का उपयोग करते हैं

(viii) $p$ : दो रेखाएँ एक समतल में एक बिंदु पर कटती हैं

$q:$ दो रेखाएँ एक समतल में समांतर होती हैं

(ix) $p:$ एक आयत एक चतुर्भुज है

$q:$ एक आयत एक 5-सम्मित बहुभुज है।

~~ 3. (i) संयुक्त कथन सही है और इसके घटक कथन हैं : $p: 57$ 2 से विभाज्य है और $q: 57$ 3 से विभाज्य हैं

(ii) घटक कथन सही है और इसके घटक कथन हैं : $p: 24$ 4 का गुणनक है और $q: 24$ 6 का गुणनक हैं

(iii) घटक कथन गलत है और इसके घटक कथन हैं :

$p$ : सभी जीवित वस्तुएँ दो आंखों के होते हैं

$q$ : सभी जीवित वस्तुएँ दो पैरों के होते हैं

(iv) घटक कथन सही है और इसके घटक कथन हैं :

$p: 2$ एक संख्या है ; $q: 2$ एक अविभाज्य संख्या है

~~ 4. (i) संख्या 17 अविभाज्य नहीं है (ii) $2+7 \neq 6$ (iii) बैंगनी नीले नहीं हैं

(iv) $\sqrt{5}$ एक राशियल संख्या नहीं है (v) 2 एक अविभाज्य संख्या है

(vi) एक अराशियल संख्या जो एक वास्तविक संख्या है लंबित है

(vii) गाय के चार पैर नहीं होते हैं (viii) एक उछल वर्ष में 366 दिन नहीं होते हैं

(ix) उपमेय त्रिभुज जो समानकोण त्रिभुज नहीं होते हैं

(x) क्षेत्रफल वृत्त का घेराव से समान नहीं होता है।

~~ 5. (i) $p \wedge q$, यहाँ $p:$ राहुल हिंदी में पास हुआ; $q:$ राहुल अंग्रेजी में पास हुआ

(ii) $p \wedge q$, यहाँ $p: x$ सम-अंइक संख्या है ; $q: y$ सम-अंइक संख्या है

(iii) $p \wedge q \wedge r$, यहाँ $p: 12$ का विभाजक $2$ है ; $q: 12$ का विभाजक $3$ है ; $r: 12$ का विभाजक $6$ है

(iv) $p \vee q$, यहाँ $p: x$ विषम संख्या है ; $q: x+1$ विषम संख्या है

(v) $p \vee q$, यहाँ $p:$ किसी संख्या को $2$ से विभाज्य होने पर ; $q:$ यह $3$ से विभाज्य होता है

(vi) $p \vee q$, यहाँ $p: x=2$ एक मूल है $3 x^{2}-x-10=0$ का, $q: x=3$ एक मूल है $3 x^{2}-x-10=0$ का (vii) $p \vee q$, यहाँ $p$ : छात्र हिंदी को वैकल्पिक पेपर के रूप में ले सकता है और $q$ : छात्र अंग्रेजी को वैकल्पिक पेपर के रूप में ले सकता है।

~~ 6. (i) सभी रेशनल संख्या न ही वास्तविक होती हैं और न ही संयुक्त।

(ii) सभी वास्तविक संख्या न ही अपूर्ण होती हैं और न ही अनिराश्रित।

(iii) $x=2$ एक मूल नहीं है $x^{2}-5 x+6=0$ में या $x=3$ एक मूल नहीं है $x^{2}-5 x+6=0$ में।

(iv) एक त्रिभुज के पास न तो 3-भुज होती है और न ही 4-भुज।

(v) 35 एक प्रधान संख्या नहीं है और यह एक यथार्थ संख्या नहीं है।

(vi) सभी प्रधान संख्या या तो सम होती हैं या विषम।

(vii) $|x|$ $x$ के बराबर नहीं है और यह $-x$ के बराबर नहीं है।

(viii) 6 द्वारा विभाज्य नहीं है या यह 2 द्वारा विभाज्य नहीं।

~~ 7. (i) अगर संख्या विषम संख्या है तो इसका वर्ग विषम संख्या होगा।

(ii) अगर आप रात को खाना लेते हैं तो आपको मिठाई मिलेगी।

(iii) अगर आप पढ़ाई नहीं करेंगे तो आप फेल हो जाएंगे।

(iv) यदि कोई पूर्णांक 5 द्वारा विभाज्य है तो इसके यूनिट अंक 0 या 5 होते हैं।

(v) यदि संख्या प्रधान है तो इसका वर्ग प्रधान नहीं होगा।

(vi) यदि $a, b$ और $c$ ए.पी में हैं तो $2 b=a+c$।

~~ 8. (i) एक पूर्णांक का यूनिट अंक शून्य होने की शर्त है कि यह 5 से विभाज्य हो।

(ii) एक प्राकृतिक संख्या $n$ विषम होगी यदि यह 2 से विभाज्य नहीं है।

(iii) एक त्रिभुज समकोणी होगा यदि त्रिकोण के तीनों पक्ष समान हों।

~~ 9. (i) यदि $x \neq 3$ है तो $x \neq y$ या $y \neq 3$ है।

(ii) यदि $n$ कोई पूर्णांक नहीं है तो यह कोई प्राकृतिक संख्या नहीं होती।

(iii) यदि त्रिभुज समकोणी नहीं है तो त्रिभुज के तीनों पक्ष समान नहीं होंगे।

(iv) यदि $x y$ सकारात्मक पूर्णांक नहीं है तो या तो $x$ या $y$ नकारात्मक पूर्णांक नहीं होंगे।

(v) यदि प्राकृतिक संख्या $n$ 2 और 3 द्वारा विभाज्य नहीं है तो यह 6 द्वारा विभाज्य नहीं होगी।

(vi) मौसम ठंडा नहीं होगा अगर यह बर्फ़ नहीं पड़ती।

~~ 10. (i) यदि आयत $R$ रोम्बस है तो यह वर्ग है।

(ii) यदि कल मंगलवार है तो आज सोमवार है।

(iii) यदि आपको ताज महल देखना होगा तो आप आगरा जाएंगे।

(iv) यदि त्रिभुज सीधा कोण है तो त्रिभुज के दो पक्षों के वर्गों का योग तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होता है।

(v) यदि त्रिभुज समकोणी है तो त्रिभुज के तीनों कोण समान होते हैं।

(vi) यदि $2 x=3 y$ है तो $x: y=3: 2$ है।

(vii) यदि एक चतुर्भुज के विपरीत कोण सप्लीमेंट्री हैं तो $S$ चक्री होता है।

(viii) यदि $x$ न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक तो $x$ शून्य है।

(ix) यदि दो त्रिभुजों के संबंधित पक्षों का अनुपात समान है तो त्रिभुज समानतावादी होते हैं।

what is the hi version of content: ~~ 11. (i) There exists (ii) For all (iii) There exists (iv) For every (v) For all (vi) There exists (vii) For all (viii)There exists (ix) There exists (x) There exists

~~ 37. (i), (ii) and (iv) are statement; (iii) and (v) are not statements.

15.3 EXERCISE

~~

1. 0.32

~~ 2. 1.25

~~ 3. $\frac{n^{2}-1}{4 n}$

~~ 4. $\frac{n}{4}$

~~ 5. $\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$

~~ 6. 3.87

~~ 7. $\sqrt{\frac{n_1(s_1)^{2}+n_2(s_2)^{2}}{n_1+n_2}+\frac{n_1 n_2(\bar{{}x}_1-\bar{{}x}_2)^{2}}{(n_1+n_2)^{2}}}$

~~ 8. 5.59

~~ 9. 7

~~ 10. 1.38

~~ 11. Mean $=2.8, SD=1.12$

~~ 12. 8.9

~~ 13. 5000,251600

~~ 14. Mean $=5.17, SD=1.53$

~~ 15. Mean $=5.5$, Var. $=4.26$

~~ 16. 0.99

~~ 17. 7.08

~~ 18. Mean $=\frac{239}{40}, SD=2.85$

~~ 19. Var. $=1.16 gm, S . D=1.08 gm$

~~ 20. Mean $=a+\frac{d(n-1)}{2}$,

$ S . D=d \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}} $

~~ 21. Hashina is more intelligent and consistent

~~ 22. 10.24

~~ 23. B

~~ 24. A

~~ 25. $C$

~~ 26. A

~~ 27. $SD$

~~ 28. Minimum

~~ 29. B

~~ 30. C

~~ 31. A

~~ 32. D

~~ 33. 0 , less

~~ 34. Least

~~ 35. Mean $=42.3$, Var. 43.81

~~ 36. B

~~ 37. $C$

~~ 38. $C$

~~ 39. A

~~ 40. D

~~ 41. A

~~ 42. D

~~ 43. A

~~ 44. 11

~~ 45. Independent

~~ 46. greater than or equal

16.3 EXERCISE

~~

1. $\frac{1}{72}$

~~ 2. $\frac{2}{3}$

~~ 3. 0.556

~~ 4. (a) $5^{k-1}$ elements (b) $\frac{5^{k}-1}{4}$

~~ 5. $\frac{4}{9}$

~~ 6. 0.93

~~ 7. (a) 0.65

(b) 0.55

(c) 0.8

(d) 0

(e) 0.35

(f) 0.2

~~ 8. (a) 0.35

(b) 0.77

(c) 0.51

(d) 0.579 ।

(a) $\frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{9}$

~~ 10. $(.$ a) $p($ John promoted $)=\frac{1}{8}, p($ Rita promoted $)=\frac{1}{4}, p($ Aslam promoted $)=\frac{1}{2}$, $p($ Gurpreet promoted $)=\frac{1}{8}$ (b) $P(A)=\frac{1}{4}$

~~ 11.

(a) 0.20

(b) 0.17

(c) 0.45

(d) 0.13 (e) 0.15 (f) 0.51

~~ 12. (a) S={$ B_1 B_2, B_1 W, B_2 B_1, B_2 W, W B_1, W B_2 B W_1, B W_2, W_1 B, W_1 W_2, W_2 B, W_2 W_1 $}

(b) $\frac{1}{6}$

(c) $\frac{2}{3}$

~~ 13. (a) $\frac{5}{143}$ (b) $\frac{28}{143}$ (c) $\frac{40}{143}$

~~ 14. (a) $\frac{2}{143}$ (b) $\frac{2}{143}$

(c) $\frac{25}{26}$ (d) $\frac{15}{26}$

~~ 15. $\frac{7}{13}$

~~ 16. (a) $p(A)=.25, p(B)=.32, p(A \cap B)=.17$ (b) $p(A \cup B)=.40$ (c) .40 (d) 68

~~ 17. (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{3}{4}$ (c) $\frac{3}{26}$ (d) $\frac{5}{36}$

~~ 18. A

~~ 19. $B$

~~ 20. $C$

~~ 21. C

~~ 22. D

~~ 23. A

~~ 24. A

~~ 25. C

~~ 26. B

~~ 27. C

~~ 28. C

~~ 29. B ~~ 30. False ~~ 31. False ~~ 32. False

~~ 33. True

~~ 34. True

~~ 35. False

~~ 36. True

~~ 37. 0.15

~~ 38. 0.3

~~ 39. $\bar{{}E}={2,4,6}$

~~ 40. 0.2

~~ 41. 0.2

~~ 42. (a) $ \rightarrow$ (iv) (b) $ \rightarrow$ (v) (c) $ \rightarrow$ (i) (d) $ \rightarrow$ (iii) (e) $ \rightarrow$ (ii)

~~

४३. (ए) $ \rightarrow$ (चतुर्थ) (बी) $ \rightarrow$ (तृतीय) (सी) $ \rightarrow$ (द्वितीय) (डी) $ \rightarrow$ (प्रथम)