अध्याय 4

गणितीय प्रेरणा का सिद्धांत

4.1 अवलोकन

गणितीय प्रेरणा वह एक तकनीक है जिसका उपयोग किया जा सकता है विभिन्न गणितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए जो $n$ की शर्त में सूत्रित होते हैं, जहां $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है।

4.1.1 गणितीय प्रेरणा का सिद्धांत

$P(n)$ एक दिया गया कथन है जो कि प्राकृतिक संख्या $n$ का उपयोग करता है और जहां

(i) $n=1$ के लिए कथन सत्य है, अर्थात् $P(1)$ सत्य है (या किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है) और

(ii) यदि कथन $n=k$ (जहां $k$ एक विशिष्ट लेकिन मनमानी प्राकृतिक संख्या है), तो कथन भी $n = k + 1$ के लिए सत्य है, अर्थात्, $P(k)$ की सत्यता से $P(k+1)$ की सत्यता अवगत होती है। तो $P(n)$ प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए सत्य है।

4.2 हल किए गए उदाहरण

कम उत्तर के प्रकार

सभी $n \in \mathbf {N}$ के लिए, उदाहरण 1 से 5 के कथनों को गणितीय प्रेरणा के प्रयोग से सिद्ध करें, जो हैं:

~~ उदाहरण 1 $1+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2}$

समाधान दिया गया कथन $P(n)$ को $P(n): 1+3+5+\ldots+(2 n-1)=$ $n^{2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, $n \in \mathbf{N}$ के लिए। ध्यान दें कि $P(1)$ सत्य है, क्योंकि

$ P(1): 1=1^{2} $

किसी $k \in \mathbf{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है, मान लें,

$ P(k): 1+3+5+\ldots+(2 k-1)=k^{2} $

अब, हमें साबित करने के लिए कि $P(k+1)$ सत्य है, हमारे पास है

$ \begin{aligned} 1+3+5+\ldots & +(2 k-1)+(2 k+1) \\ & =k^{2}+(2 k+1) \text{क्यों?}\\ & =k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है, जब तक $P(k)$ सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरणा के अनुसार, $P(n)$ सभी $n \in \mathbf{N}$ के लिए सत्य है।

~~ उदाहरण 2 $ \sum _{t=1}^{n-1} t(t+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।

समाधान दिया गया कथन $P(n)$, जिसे दिया जाता है

$P(n): \sum _{t=1}^{n-1} t(t+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।

हम देखते हैं कि

$ \begin{aligned} P(2): \sum _{t=1}^{2-1} t(t+1) & =\sum _{t=1}^{1} t(t+1)=1.2=\frac{1.2 .3}{3} \\ & =\frac{2 \cdot(2-1)(2+1)}{3} \end{aligned} $

इसलिए, $n=2$ के लिए $P(n)$ सत्य है।

$k \in \mathbf{N}$ के लिए $P(n)$ सत्य है मान लें।

हमारे पास है,

$ \begin{aligned} \sum _{t=1}^{(k+1-1)} t(t+1) & =\sum _{t=1}^{k} t(t+1) \\ & =\sum _{t=1}^{k-1} t(t+1)+k(k+1)=\frac{k(k-1)(k+1)}{3}+k(k+1) \\ & =k(k+1)[\frac{k-1+3}{3}]=\frac{k(k+1)(k+2)}{3} \\ & =\frac{(k+1)((k+1)-1))((k+1)+1)}{3} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है, जब तक $P(k)$ सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरणा के अनुसार, $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

~~ उदाहरण 3 $(1-\frac{1}{2^{2}}) \cdot(1-\frac{1}{3^{2}}) \ldots(1-\frac{1}{n^{2}})=\frac{n+1}{2 n}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए, $n \geq 2$।

समाधान दिया गया कथन $P(n)$, जैसा कि

$ P(n):(1-\frac{1}{2^{2}}) \cdot(1-\frac{1}{3^{2}}) \ldots(1-\frac{1}{n^{2}})=\frac{n+1}{2 n} \text{, सभी प्राकृतिक संख्याओं, } n \geq 2 \text{ के लिए} $

हम देखते हैं कि $P(2)$ सत्य है, क्योंकि

$

विषयक: (1-\frac{1}{2^{2}})=1-\frac{1}{4}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2 \times 2} $

मान लीजिए कि $P(n)$ किसी भी $k \in \mathbf{N}$ के लिए सत्य है, अर्थात्,

$ P(k): \quad 1-\frac{1}{2^{2}} \cdot 1-\frac{1}{3^{2}} \ldots 1-\frac{1}{k^{2}}=\frac{k+1}{2 k} $

अब, $P(k+1)$ सत्य होने का सबूत देने के लिए, हमें निम्नलिखित होगा

$ \begin{aligned} 1-\frac{1}{2^{2}} \cdot 1-\frac{1}{3^{2}} & \ldots 1-\frac{1}{k^{2}} \cdot 1-\frac{1}{(k+1)^{2}} \\ & =\frac{k+1}{2 k}(1-\frac{1}{(k+1)^{2}})=\frac{k^{2}+2 k}{2 k(k+1)}=\frac{(k+1)+1}{2(k+1)} \end{aligned} $

अतः, $P(k+1)$ सत्य है, जहां पर $P(k)$ सत्य होता है।

इस प्रकार, गणितीय उद्धरण के सिद्धान्त के द्वारा, $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है, $n \geq 2$

~~ उदाहरण 4 $2^{2 n}-1$ 3 से विभाज्य है।

समाधान वक्ता $P(n)$ दिया गया है, जिसके रूप में $P(n): 2^{2 n}-1$ 3 से विभाज्य है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है, क्योंकि

$ 2^{2}-1=4-1=3.1 \text{ वह 3 से विभाज्य है}। $

मान लें कि $P(k)$ के लिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है, अर्थात्, $2^{2 k}-1$ 3 से विभाज्य है, अर्थात् $2^{2 k}-1=3 q$, जहां $q \in \mathbf{N}$ है।

अब, $P(k+1)$ सत्य होने का सबूत देने के लिए, हमें निम्नलिखित होगा

$ \begin{aligned} P(k+1): 2^{2(k+1)}-1 & =2^{2 k+2}-1=2^{2 k} \cdot 2^{2}-1 \ & =2^{2 k} \cdot 4-1=3 \cdot 2^{2 k}+(2^{2 k}-1) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =3.2^{2 k}+3 q \ & =3(2^{2 k}+q)=3 m, \text{ जहां } m \in \mathbf{N} \end{aligned} $

इस प्रकार $P(k+1)$ सत्य होता है, जबकि $P(k)$ सत्य होता है।

इस प्रकार, गणितीय उद्धरण के सिद्धान्त के द्वारा, $P(n)$ के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है, $n$।

~~ उदाहरण 5 $2 n+1<2^{n}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए, $n \geq 3$।

समाधान $P(n)$ को उहान वक्तव्य कहें, अर्थात्, $P(n):(2 n+1)<2^{n}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए। हम देखते हैं कि $P(3)$ सत्य है, क्योंकि

$ 2.3+1=7<8=2^{3} $

मान लें कि रूपणी $P(n)$ के लिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है, अर्थात् $2 k+1<2^{k}$

यह साबित करने के लिए कि $P(k+1)$ सत्य है, हमें दिखाना होगा कि $2(k+1)+1<2^{k+1}$। अब, हमारे पास है

$ \begin{aligned} 2(k+1)+1 & =2 k+3 \ & =2 k+1+2<2^{k}+2<2^{k} \cdot 2=2^{k+1} . \end{aligned} $

इस प्रकार $P(k+1)$ सत्य होता है, जबकि $P(k)$ सत्य होता है।

इस प्रकार, गणितीय उद्धरण के सिद्धान्त के द्वारा, $P(n)$ के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है, $n \geq 3$

लंब उत्तर प्रकार

~~ उदाहरण 6 निम्नलिखित अनुक्रम $a_1, a_2, a_3 \ldots$ की परिभाषा दी गई है:

$a_1=2, a_n=5 a_{n-1}$, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए।

(i) अनुक्रम के पहले चार टर्म लिखें।

(ii) गणितीय उद्धरण के सिद्धान्त का उपयोग करके दिखाएं कि अनुक्रम के टर्म अभिमुख $a_n=2.5^{n-1}$ हर प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है।

समाधान

(i) हमें $a_1=2$

$ \begin{aligned} & a_2=5 a_{2-1}=5 a_1=5.2=10 \ & a_3=5 a_{3-1}=5 a_2=5.10=50 \ & a_4=5 a_{4-1}=5 a_3=5.50=250 \end{aligned} $

(ii) वक्ता $P(n)$ उहान वक्तव्य कहें, अर्थात्, $P(n): a_n=2.5^{n-1}$ हर प्राकृतिक संख्या के लिए। हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

मान लें कि $P(k)$ के लिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है, अर्थात्, $a_k=2.5^{k-1}$।

अब, $P(k+1)$ सत्य होने का सबूत देने के लिए, हमें निम्नलिखित होगा

$ \begin{aligned}

प (k+1): a _{k+1} & =5 \cdot a_k=5 \cdot(2.5^{k-1}) \\ & =2.5^{k}=2 \cdot 5^{(k+1)-1} \end{aligned} $

इसलिए प (k+1) सत्य है जब केवल प (k) सत्य हो.

इसलिए, गणितीय आदान के अनुसार, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए प (एन) सत्य है।

~~ उदाहरण 7 बीजगणित की वितरणी विधि कहती है कि सभी वास्तविक संख्याओं $c, a_1$ और $a_2$ के लिए हमारे पास $c(a_1+a_2)=c a_1+c a_2$ होता है।

इस विधि और गणितीय आदान का उपयोग करके सिद्ध करें कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए अगर $c, a_1, a_2, \ldots, a_n$ किसी भी वास्तविक संख्याओं हैं, तो

$ c(a_1+a_2+\ldots+a_n)=c a_1+c a_2+\ldots+c a_n $

समाधान दें प्राकृतिक संख्या $n$ के दिए गए कथन $P(n)$ को, अर्थात्,

$P(n): c(a_1+a_2+\ldots+a_n)=c a_1+c a_2+\ldots c a_n$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए, $c, a_1$, $a_2, \ldots a_n \in \mathbf{R}$।

हम देखते हैं कि $P(2)$ सत्य है क्योंकि

$ c(a_1+a_2)=c a_1+c a_2 \quad \text{ (वितरणी विधि के द्वारा) } $

किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए मान लें कि $P(n)$ सत्य है, जहां $k>2$, अर्थात्,

$ P(k): c(a_1+a_2+\ldots+a_k)=c a_1+c a_2+\ldots+c a_k $

अब $P(k+1)$ सत्य होने के लिए सिद्ध करने के लिए हमें

$ \begin{aligned} P(k+1) & : c(a_1+a_2+\ldots+a_k+a _{k+1}) \\ & =c((a_1+a_2+\ldots+a_k)+a _{k+1}) \\ & =c(a_1+a_2+\ldots+a_k)+c a _{k+1} \\ & =c a_1+c a_2+\ldots+c a_k+c a _{k+1} \end{aligned} $

इसलिए प (k+1) सत्य है, जब किसी प्रकार $P(k)$ सत्य हो।

इसलिए, गणितीय आदान के अनुसार, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए प (एन) सत्य होता है, $n \geq 2$।

~~ उदाहरण 8 स्थानांतरण के द्वारा सिद्ध करें कि सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए

$\sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\ldots+\sin (\alpha+(n-1) \beta)$

$ =\frac{\sin (\alpha+\frac{n-1}{2} \beta) \sin (\frac{n \beta}{2})}{\sin (\frac{\beta}{2})} $

समाधान दें $P(n)$ को इस द्वारा प्रकट किया गया क्रमशः गणितीय संख्या $n$ के लिए,

$P(n): \sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\ldots+\sin (\alpha+(n-1) \beta)$

$ =\frac{\sin (\alpha+\frac{n-1}{2} \beta) \sin (\frac{n \beta}{2})}{\sin (\frac{\beta}{2})}, \text{ सभी प्राकृतिक संख्या एन के लिए } $

हम देखते हैं कि

$P(1)$ सत्य है, क्योंकि

$ P(1): \sin \alpha=\frac{\sin (\alpha+0) \sin \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} $

इसे मान लें कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(n)$ सत्य हो, अर्थात् $P(k): \sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\ldots+\sin (\alpha+(k-1) \beta)$

$ =\frac{\sin (\alpha+\frac{k-1}{2} \beta) \sin (\frac{k \beta}{2})}{\sin (\frac{\beta}{2})} $

अब, $P(k+1)$ सत्य होने के लिए सिद्ध करने के लिए हमारे पास है

$P(k+1): \sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\ldots+\sin (\alpha+(k-1) \beta)+\sin (\alpha+k \beta)$

$ \begin{gathered} =\frac{\sin (\alpha+\frac{k-1}{2} \beta) \sin (\frac{k \beta}{2})}{\sin (\frac{\beta}{2})}+\sin (\alpha+k \beta) \\ =\frac{\sin (\alpha+\frac{k-1}{2} \beta) \sin \frac{k \beta}{2}+\sin (\alpha+k \beta) \sin \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} \\ =\frac{\cos (\alpha-\frac{\beta}{2})-\cos (\alpha+k \beta-\frac{\beta}{2})+\cos (\alpha+k \beta-\frac{\beta}{2})-\cos (\alpha+k \beta+\frac{\beta}{2})}{2 \sin \frac{\beta}{2}} \end{gathered} $

$ \begin{aligned}

इसलिए $P(k+1)$ सच है, जबकि $P(k)$ सच होता है। इसलिए, गणितीय संवेदनानुसार, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $P(n)$ सच होता है।

~~ उदाहरण 9 स्वतः गणना के सिद्धांत द्वारा साबित करें कि $1 \times 1 !+2 \times 2 !+3 \times 3 !+\ldots+n \times n !=(n+1) !-1$ केलिए सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए सच है।

समाधान दें कि $P(n)$ दिया गया कथन है, अर्थात,

$P(n): 1 \times 1 !+2 \times 2 !+3 \times 3 !+\ldots+n \times n !=(n+1) !-1$ केलिए सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए सच है।

ध्यान दें कि $P(1)$ सच है, क्योंकि

$ P(1): 1 \times 1 !=1=2-1=2 !-1 \text{. } $

किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए मान लें कि $P(n)$ सच होता है, तो $P(k+1)$ सच होने के लिए हमें है।

$ \begin{aligned} P(k+1): & 1 \times 1 !+2 \times 2 !+3 \times 3 !+\ldots+k \times k !+(k+1) \times(k+1) ! \\ & =(k+1) !-1+(k+1) ! \times(k+1) \\ & =(k+1+1)(k+1) !-1 \\ & =(k+2)(k+1) !-1=((k+2) !-1 \end{aligned} $

इसलिए $P(k+1)$ सच है, जबकि $P(k)$ सच होता है। इसलिए, गणितीय संवेदनानुसार, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $P(n)$ सच होता है।

~~ उदाहरण 10 स्वतः गणना के सिद्धांत द्वारा साबित करें कि श्रंखला $1^{2}+2 \times 2^{2}+3^{2}+2 \times 4^{2}+5^{2}+2 \times 6^{2} \ldots$ के $n$ अंश $S_n$ को निम्नलिखित रूप में प्रदान किया जाता है

$ S_n= \begin{cases}\frac{n(n+1)^{2}}{2}, & \text{ अगर } n \text{ सम है } \\ \frac{n^{2}(n+1)}{2}, & \text{ अगर } n \text{ विषम है }\end{cases} $

समाधान यहां $P (n): S_n=\begin{cases} \frac{n(n+1)^{2}}{2}, \text{ जब } n \text{ सम हो } \\ \frac{n^{2}(n+1)}{2}, \text{ जब } n \text{ विषम हो }\end{cases} $ है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि श्रंखला का कोई भी अंश $T_n$ निम्नलिखित रूप में प्रदान किया जाता है

$ T_n=\begin{cases} n^{2} \text{ अगर } n \text{ विषम है } \\ 2 n^{2} \text{ अगर } n \text{ सम है } \end{cases} . $

हम देखते हैं कि $P(1)$ सच है, क्योंकि

$ P(1): S_1=1^{2}=1=\frac{1 \cdot 2}{2}=\frac{1^{2} \cdot(1+1)}{2} $

किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए मान लें कि $P(n)$ सच होता है, तो हमें $P (k+1)$ सच होने का प्रमाण करने की आवश्यकता होती है।

$P(n)$: " $n^2 > 9$ for all $n \geq 4$ "

This statement is true for all $n \geq 4$ because any number squared will always be greater than 9. However, $P(1)$, $P(2)$, and $P(3)$ are not true because $1^2 = 1$ which is not greater than 9, $2^2 = 4$ which is not greater than 9, and $3^2 = 9$ which is not greater than 9.

2. एक ऐसे कथन का उदाहरण दें $ P (n) $ जो सभी $ n $ के लिए सत्य होता है। आपका उत्तर देंगे। $4^{n}-1$ वह है जिसे 3 से विभाज्य है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए। $2^{3 n}-1$ वह है जिसे 7 से विभाज्य है, सभी प्राकृतिक संख्याओं $ n $ के लिए। $n^{3}-7 n+3$ वह है जिसे 3 से विभाज्य है, सभी प्राकृतिक संख्याओं $ n $ के लिए। $3^{2 n}-1$ वह है जिसे 8 से विभाज्य है, सभी प्राकृतिक संख्याओं $ n $ के लिए। किसी भी प्राकृतिक संख्या $ n, 7^{n}-2^{n} $ वह है, जो 5 से विभाज्य है। किसी भी प्राकृतिक संख्या $ n, x^{n}-y^{n} $ वह है, जो $ x-y $ से भागीय है, जहां $ x $ और $ y $ कोई भी पूर्णांक हैं और $ x \neq y $ है। $n^{3}-n$ वह है जिसे 6 से विभाज्य है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $ n \geq 2 $ के लिए। $n(n^{2}+5)$ वह है जिसे 6 से विभाज्य है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए। $n^{2}<2^{n}$ हर प्राकृतिक संख्या $ n \geq 5 $ के लिए। $2 n<(n+2) $ हर प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए। $\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}} $ हर प्राकृतिक संख्या $ n \geq 2 $ के लिए। $2+4+6+\ldots+2 n=n^{2}+n $ हर प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए। $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 $ हर प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए। $1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1) $ हर प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए।

3. एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3 \ldots$ ऐसा होने के साथ परिभाषित है जहां $a_1=3$ है और $a_k=7 a _{k-1}$ हर प्राकृतिक संख्या $k \geq 2$ के लिए। सबूत दें कि $a_n=3.7^{n-1}$ हर प्राकृतिक संख्या के लिए।

4. एक अनुक्रम $b_0, b_1, b_2 \ldots$ ऐसा होने के साथ परिभाषित है जहां $b_0=5$ होता है और $b_k=4+b _{k-1}$ हर प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए। सबूत दें कि $b_n=5+4 n$ हर प्राकृतिक संख्या के लिए।

5. एक अनुक्रम $d_1, d_2, d_3 \ldots$ ऐसा होने के साथ परिभाषित है जहां $d_1=2$ होता है और $d_k=\frac{d _{k-1}}{k}$ हर प्राकृतिक संख्या $ k \geq 2$ के लिए। सबूत दें कि $d_n=\frac{2}{n!}$ हर $n \in \mathbf{N}$ के लिए।

6. सबूत करें कि $ \forall n \in \mathbf{N}, \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots+\cos (\alpha+(n-1) \beta) =\frac{\cos (\alpha+(\frac{n-1}{2}) \beta) \sin (\frac{n \beta}{2})}{\sin \frac{\beta}{2}} $

7. सबूत करें कि, $ \forall n \in \mathbf{N}, \cos \theta \cos 2 \theta \cos ^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta=\frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta} $

8. सबूत करें कि, $ \forall n \in \mathbf{N}, \sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots+\sin n \theta=\frac{\frac{\sin n \theta}{2} \sin \frac{(n+1)}{2} \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$

9. सबूत करें कि $ \frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7 n}{15} $ हर प्राकृतिक संख्या $ n \in \mathbf{N} $ के लिए एक प्राकृतिक संख्या है।

10. सबूत करें कि $ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2 n}>\frac{13}{24}$, हर प्राकृतिक संख्या $ n>1 $ के लिए।

11. सबूत करें कि एक सेट में $ n $ अलग-अलग तत्वों की संख्या के सबसेट्स की संख्या $2^{n}$ है, $ \forall n \in \mathbf{N}$।

12. (वरीयता प्रश्न) पद्मांकीय तीन तत्वों का योगफल क्या होगा? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

कंटेंट का हिंदी संस्करण: 26. यदि $10^{n}+3.4^{n+2}+k$ 9 से विभाज्य है, जहाँ $n \in \mathbf{N}$ है, तो $k$ का सबसे छोटा सक्रिय पूर्णांक मान है

(A) 5

(B) 3

(C) 7

(D) 1

~~ 27. सभी $n \in \mathbf{N}$ के लिए, $3.5^{2 n+1}+2^{3 n+1}$ विभाज्य है

(A) 19

(B) 17

(C) 23

(D) 25

~~ 28. यदि $x^{n}-1$ को $x-k$ से विभाज्य है, तो $k$ का सबसे छोटा सक्रिय पूर्णांक मान है

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

निम्नलिखित में खाली स्थान भरें:

~~ 29. यदि $P(n): 2 n<n !, n \in \mathbf{N}$ है, तो $P(n)$ $n \geq$

निम्नलिखित कथन का सत्य या असत्य निरूपण करें। कारण दें।

~~ 30. $P(n)$ एक कथन है और $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ है, किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए, तो $P(n)$ सभी $n \in \mathbf{N}$ के लिए सत्य है।