अध्याय 7

पर्मुटेशन और कॉम्बिनेशन

7.1 अवलोकन

पर्मुटेशन और कॉम्बिनेशन का अध्ययन उन विभिन्न तरीकों की संख्या का निर्धारण करने से संबंधित है, जिससे वास्तविक रूप से उन्हें सूचीबद्ध किए बिना दिए गए वस्त्रों का व्यवस्थित और चयन करने के विभिन्न तरीकों की संख्या पता लगा सकते हैं। पर्मुटेशन और चयन करने के विभिन्न तरीकों की संख्या का पता लगाने में उपयोगी होने वाली कुछ मूल गिनती तकनीकें हैं। निम्नलिखित दो मूल गिनती सिद्धांत हैं:

गणना के मूल सिद्धांत

7.1.1 गुणा सिद्धांत (गणना के मूल सिद्धांत)

मान लें कि एक घटना $E$ $m$ विभिन्न तरीकों से हो सकती है और प्रत्येक तरीके के साथ घटना $E$ का घटना $F$ $n$ विभिन्न तरीकों से हो सकती है, तो दिए गए क्रम में दो घटनाओं की कुल घटनाओं की संख्या $m \times n$ होगी।

7.1.2 जोड़ने का सिद्धांत

अगर एक घटना $E$ $m$ तरीकों से हो सकती है और एक और घटना $F$ $n$ तरीकों से हो सकती है, और मान लें कि दोनों साथ में नहीं हो सकते हैं, तो $E$ या $F$ $m+n$ तरीकों से हो सकती है।

7.1.3 पर्मुटेशन एक निश्चित क्रम में वस्त्रों का व्यवस्थित करना है।

7.1.4 $n$ विभिन्न वस्त्रों की पर्मुटेशन $n$ वस्त्रों को एक बार में लिए जाने की पर्मुटेशन की संख्या, जिसे प्रतीक ${ }^{n} P_n$ द्वारा दिया जाता है, निम्नलिखित रूप में होगी

$ \begin{aligned} { }^{n} P_n=\lfloor n \text{1} \end{aligned} $

यहां $\lfloor n=n(n-1)(n-2) \ldots 3.2 .1$ है, जो फैक्टोरियल $n$ के रूप में पढ़ा जाता है।

$n$ वस्त्रों के $r$ विभिन्न वस्त्रों की पर्मुटेशन की संख्या, जहां $0<r \leq n$, को प्रतीक ${ }^{n} P_r$ से दिया जाता है, यह द्वारा दिया जाता है

$ { }^{n} P_r=\frac{\underline{n}}{\lfloor n-r} $

हम मान लेते हैं कि $\underline{0}=1$

7.1.5 जब वस्त्रों का दोहराव होने की अनुमति होती है, तो $n$ चीजों की संख्या का पर्मुटेशन, जब वस्त्रों का दोहराव होने की अनुमति होती है, $n^{n}$ होती है।

जब वस्त्रों का दोहराव होने की अनुमति होती है, तो $n$ वस्त्रों की पर्मुटेशन, $r$ बार में लिए जाने की पर्मुटेशन की संख्या $n^{r}$ होती है।

7.1.6 वस्त्रों कद्रि होने पर पर्मुटेशन जब वस्त्रों के अद्वितीय नहीं होते हैं तो $n$ वस्त्रों की पर्मुटेशन की संख्या, जिसमें से $p_1$ एक प्रकार के होते हैं, $p_2$ दूसरे प्रकार के होते हैं, $\ldots, p_k$ $k$ वे प्रकार के होते हैं और अगर कोई हो तो वे अलग-अलग प्रकार के होते हैं $\frac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$ होती है

7.1.7 कॉम्बिनेशन बहुत सी अवस्थाओं में हम वस्त्रों को व्यवस्थित करने के बजाय केवल $r$ वस्त्रों का चयन में रुचि रखते हैं, जब चयन की क्रम मायने नहीं रखता है। एक कॉम्बिनेशन एक संख्या विभिन्न वस्त्रों के कुछ या सभी का चयन होता है जहां चयन का क्रम महत्व नहीं रखता है। दिए गए $n$ वस्त्रों से $r$ वस्त्रों का चयन की संख्या को प्रतीक ${ }^{n} C_r$ से दिया जाता है, और इसे द्वारा दिया जाता है

$ { }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !} $

टिप्पणियाँ

1. वस्त्रों की व्यवस्था की संख्या और विभिन्न क्रमों की गणना के लिए एक समस्या के लिए पर्मुटेशन का उपयोग करें।

2. वस्त्रों के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या और चयन के क्रम की गणना करने के लिए कॉम्बिनेशन का उपयोग करें।

7.1.8 कुछ महत्वपूर्ण परिणाम

यदि $n$ और $r$ सकारात्मक पूर्णांक हों जहां $r \leq n$ हो, तो

(i) ${ }^{n} C_r={ }^{n} C _{n-r}$

(ii) ${ }^{n} C_r+{ }^{n} C _{r-1}={ }^{n+1} C_r$

(iii) $n{ }^{n-1} C _{r-1}=(n-r+1)^{n} C _{r-1}$

7.2 Solved Examples

Short Answer Type

~~Example 1 एक कक्षा में 27 लड़के और 14 लड़कियाँ हैं। शिक्षक को कक्षा का प्रतिनिधित्व के लिए 1 लड़का और 1 लड़की का चयन करना है। शिक्षक इस चयन को कितने तरीकों से कर सकते हैं?

समाधान यहाँ शिक्षक को दो कार्रवाई करनी है:

(i) 27 लड़कों में से एक लड़का का चयन करना और

(ii) 14 लड़कियों में से एक लड़की का चयन करना।

इनमें पहला 27 तरीकों से किया जा सकता है और दूसरा 14 तरीकों से किया जा सकता है। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक तरीके की संख्या $27 \times 14=378$ है।

~~Example 2

(i) 99 और 1000 के बीच में उस स्थान पर 7 वाले कितने अंक होते हैं?

(ii) 99 और 1000 के बीच में कम से कम एक अंक 7 वाले कितने अंक होते हैं?

समाधान

(i) पहले ध्यान दें कि इन सभी संख्याओं में तीन अंक होते हैं। 7 यूनिट के स्थान पर है। मध्य अंक 0 से 9 तक के 10 अंकों में से किसी भी एक हो सकता है। सैकड़ों के स्थान पर अंक 1 से 9 तक के 9 अंकों में से कोई भी एक हो सकता है। इसलिए, गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, 99 और 1000 के बीच 7 यूनिट के स्थान पर 7 होने वाले 90 संख्याएं होती हैं।

(ii) कम से कम एक अंक 7 वाले 3 अंकों की कुल संख्या $=$ (तीन अंकों की कुल संख्या) - (3 अंकों में से कहीं पर भी 7 नहीं होने वाली 3 अंकों की कुल संख्या)।

$=(9 \times 10 \times 10)-(8 \times 9 \times 9)$

$=900-648=252$।

~~Example 3 इस आरेख को निम्न दो शर्तों के अधीन रंगीन किया जा सकता है?

(i) प्रत्येक छोटा त्रिभुज एक तिरंगे: लाल, नीला या हरी में में रंगीन किया जाना चाहिए।

(ii) कोई भी दो आसन्निक परिधियाँ एक ही रंग में नहीं हो सकतीं।

समाधान यह शर्तें संतुष्ट होती हैं जब हम निम्नलिखित के अनुसार करते हैं: पहले केंद्रीय त्रिभुज को किसी भी तीन रंगों में से किसी भी संख्या में रंगीन करें। अगले तीन त्रिभुजों को किसी भी दो शेष रंगों में से किसी एक रंग में रंगीन करें।

गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, इसे $3 \times 2 \times 2 \times 2=24$ तरीकों से कर सकते हैं।

~~Example 4 5 बच्चों को किसी पंक्ति में ऐसे कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है कि (i) उनमें से दो विशेष बच्चे हमेशा साथ हों (ii) उनमें से दो कृपया अलग हों।

समाधान

(i) हम 2 विशेष बच्चों को मिलकर एक बनाकर व्यवस्थित करने पर विचार करते हैं और इसलिए शेष 4 को $4 !=24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। फिर दो विशिष्ट बच्चों को एक साथ व्यवस्थित किया जा सकता है। यहाँ तकि, कुल व्यवस्थित करने के $24 \times 2=48$ मिश्रण संख्या है।

(ii) 5 बच्चों के 120 $5 !=120$ संज्ञाओं में से, वहाँ 48 कर रहे हैं जिनमें दो बच्चे एक साथ होते हैं। शेष $120-48=72$ संज्ञाओं में, दो निर्दिष्ट बच्चों कभी भी साथ नहीं होते हैं।

~~उदाहरण 5 अगर शब्द AGAIN के अक्षरों के सभी परिवर्तनों को शब्दकोश के रूप में व्यवस्थित किया जाए। तो $49^{\text{वाँ }}$ शब्द क्या होगा?

समाधान A के साथ शुरू करके, और अन्य चार अक्षरों को व्यवस्थित करके, 4! = 24 शब्द होंगे। ये पहले 24 शब्द हैं। फिर G के साथ शुरू करके, और A, A, I और N को विभिन्न तरीकों में व्यवस्थित करके, $\frac{4 !}{2 ! 1 ! 1 !}=12$ शब्द होंगे। अगला $37^{\text{वाँ }}$ शब्द I के साथ शुरू होता है।

फिर से I के साथ शुरू होने वाले 12 शब्द होंगे। ये $48^{\text{वाँ }}$ शब्द तक की संख्या का हिसाब लगाता है। $49^{\text{वाँ }}$ शब्द NAAGI है।

~~उदाहरण 6 3 गणित की किताबें, 4 इतिहास की किताबें, 3 रसायन विज्ञान की किताबें और 2 जीवविज्ञान की किताबें एक रखील में कैसे व्यवस्थित की जा सकती हैं, जहां एक ही विषय की सभी किताबें एक साथ हों।

समाधान पहले हम विषय की किताबें एक इकाई के रूप में ले लेते हैं। इस प्रकार, 4 इकाइयाँ होंगी जो कि $4 !=24$ तरीकों में व्यवस्थित की जा सकती हैं। अब हर इकाई में, गणित की किताबें को 3 ! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है, इतिहास की किताबें को 4 ! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है, रसायन विज्ञान की किताबें को 3 ! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है और जीवविज्ञान की किताबें को 2 ! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है। इस प्रकार कुल ${ }^{(4)} P_4 \times { }^{(3)} P_3 \times { }^{(4)} P_3 \times { }^{(2)} P_2$ तरीकों में व्यवस्थित की जा सकती है। इसलिए कुल तरीकों की संख्या $=4 ! \times 3 ! \times 4 ! \times 3 ! \times 2 !=41472$ होगी।

~~उदाहरण 7 एक छात्र को 10 प्रश्नों का जवाब देना है, जहां से प्रतिभाग A और प्रतिभाग B में कम से कम 4 प्रश्नों का चयन करना है। यदि प्रश्न A में 6 हैं और भाग B में 7 हैं, छात्र कितने तरीकों से 10 प्रश्नों का चयन कर सकता है?

समाधान संभावनाएँ हैं:

प्रतिभाग A से 4 और प्रतिभाग B से 6

या प्रतिभाग A से 5 और प्रतिभाग B से 5

या प्रतिभाग A से 6 और प्रतिभाग B से 4.

इसलिए, चाहिए गई तरीकों की संख्या है

$ \begin{gathered} { }^{6} C_4 \times{ }^{7} C_6+{ }^{6} C_5 \times{ }^{7} C_5+{ }^{6} C_6 \times{ }^{7} C_4 \\ =105+126+35=266 \end{gathered} $

लंबा उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 8 मान लें $m$ पुरुष और $n$ महिलाएं एक पंक्ति में बिठाई जानी है ताकि कोई भी दो महिलाएं साथ में न बैठें। यदि $m>n$ है, तो दिखाएँ कि वे कितने तरीकों से बिठाए जा सकते हैं

$ \frac{m !(m+1) !}{(m-n+1) !} $

समाधान पुरुष सबसे पहले अपनी सीट पर बैठ जाते हैं। वे ${ }^{m} P_m$ तरीकों में बिठा सकते हैं जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया जाता है

$ \begin{aligned} & \square M \square M \quad \square \quad \ldots \quad \square M \quad \square \\ & 1^{\text{st }} \quad 2^{\text{nd }} \quad m^{\text{th }} \end{aligned} $

ऊपर के चित्र से हम यह देखते हैं, कि $n$ महिलाओं के लिए $(m+1)$ जगहें हैं। $m>n$ और कोई भी दो महिलाएं साथ में नहीं बैठ सकती हैं। इसलिए, $n$ महिलाएं ${ }^{(m+1)} P_n$ तरीकों में अपनी सीट ले सकती हैं और इसलिए संपूर्ण तरीकों की संख्या जहां कोई भी दो महिलाएं साथ में नहीं बैठी हो, होगी

$ ({ }^{m} P_m) \times({ }^{m+1} P_n)=\frac{m !(m+1) !}{(m-n+1) !} $

~~उदाहरण 9 तीन विवाहित जोड़ों को एक सिनेमा हॉल में एक पंक्ति में बिठाना है, जिसमें छ: सीटें होती हैं। यदि पति-पत्नी एक साथ बैठना चाहिए, तो उन्हें कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है? साथ ही उनकी बैठक की संख्या भी बताएँ जब सभी महिलाएं साथ में बैठे।

समाधान हम $S_1, S_2, S_3$ के रूप में विवाहित जोड़ों को चिह्नित करेंगे, जहां प्रत्येक जोड़ा एक एकक के रूप में माना जाता है जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है:

१.

फिर जितने भी पति-पत्नी एक साथ बैठ सकते हैं, उनका कुल $३ != ६$ तरीकों से बैठने का तरीका होता है।

फिर, प्रत्येक जोड़े को २ ! तरीकों से बैठाया जा सकता है। इसलिए, पति-पत्नी एक साथ बैठने के कुल गणना प्रणाली होती है $३ ! \times २ ! \times २ ! \times २ != ४८$।

फिर, अगर तीन महिलाएँ साथ में बैठती हैं, तो अवश्यकतानुसार तीन पुरुष भी साथ में बैठेंगे। इसलिए, महिलाएँ और पुरुष एक साथ बैठ सकते हैं $२ !$ तरीकों से। इसलिए, महिलाएँ साथ में बैठने के कुल गणना होती है $३ ! \times ३ ! \times २ != १४४$।

~~उदाहरण १० एक छोटे से गांव में ८७ परिवार हैं, जिनमें से ५२ परिवारों में अधिकतम २ बच्चे होते हैं। एक ग्रामीण विकास कार्यक्रम में २० परिवारों का चयन किया जाना है, जिनमें से कम से कम १८ परिवारों में अधिकतम २ बच्चे होने चाहिए। चयन किस संख्या में किया जा सकता है?

समाधान इसमें दिया गया है कि ८७ परिवारों में से ५२ परिवारों में अधिकतम २ बच्चे होते हैं, इसलिए अन्य ३५ परिवार अन्य प्रकार केह जाते हैं। सवाल के अनुसार, ग्रामीण विकास कार्यक्रम के लिए, २० परिवारों का चयन किया जाना है, जिनमें १८ परिवारों में अधिकतम २ बच्चे होने चाहिए। अतः, निम्न प्रकार के चयन हो सकते हैं:

${ }^{५२} C_१८ \times { }^{३५} C_२$ (१८ परिवार जिनमें २ बच्चें होते हैं और २ अन्य प्रकार वाले परिवारों का चयन हुआ)

${ }^{५२} C_१९ \times { }^{३५} C_१$ (१९ परिवार जिनमें अधिकतम २ बच्चें होते हैं और १ अन्य प्रकार वाले परिवारों का चयन हुआ)

${ }^{५२} C_२०$ (सभी २० परिवार जिनमें अधिकतम २ बच्चें होते हैं)

इसलिए, कुल अधिभारित चयन की संख्या होगी

$ { }^{५२} C_१८ \times { }^{३५} C_२+{ }^{५२} C_१९ \times { }^{३५} C_१+{ }^{५२} C_२० $

~~उदाहरण ११ एक लड़का के पास ३ पुस्तकालय के प्रवेश पत्र हैं और पुस्तकालय में ८ पुस्तकें हैं, अप्रियतिपूर्णता से ८ में से प्रथम गणित भाग II को ही उधार नहीं लेना चाहता है, जब तक प्रथम गणित भाग I उधार नहीं लेता है। कितने तरीकों से वह तीन पुस्तकें उधार ले सकता है?

समाधान हम निम्नानुसार प्रकार बना सकते हैं:

प्रकार (ख) लड़का गणित भाग II उधार लेता है, तो उसके पास $६$ विकल्प हैं।

प्रकार (ग) लड़का गणित भाग II उधार नहीं लेता है, तो उसके पास $७ C_३=३५$ विकल्प हैं।

अतः, कुल संभावित चयन की संख्या $३५+६=४१$ होगी।

~~उदाहरण १२ $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ एक साथ चुनी गई वस्तुओं के ऐसे संचयनों की संख्या ढूंढें, जिनमें दो विशेष वस्तुएँ साथ में प्राप्त होती हैं।

समाधान दो विशेष वस्तुओं का एक समूह $(r-१)$ जगहों में $(r-1)$ तरीकों से रखा जा सकता है (क्यों?) और समूह में दो वस्तुएँ अपने आप में $\lfloor 2$ तरीकों से स्थापित की जा सकती हैं। अब बाकी $(n-2)$ वस्तुएँ $(r-2)$ जगहों में ${ }^{n-2} P _{r-2}$ तरीकों से व्यवस्थित की जाएंगी।

इस प्रकार, गणितीय सांख्यिकी के मूल सिद्धांत का उपयोग करके, आवश्यक परिवर्तन की गणना $\lfloor 2 \cdot (r-1) \cdot { }^{n-2} P _{r-2}$ होगी।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न।

दिये गए प्रत्येक उदाहरण के चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें (M.C.Q.)।

~~उदाहरण 13 A और B के बीच चार बस मार्ग हैं; और $B$ और $C$ के बीच तीन बस मार्ग हैं। एक व्यक्ति एक ट्रिप में बस से $A$ से $C$ की संख्या के रूप में कितने तरीकों से यात्रा कर सकता है। यदि उसे एक बस मार्ग का उपयोग एक से अधिक बार नहीं करना हो, तो उसे कितने तरीकों से राउंड ट्रिप कर सकता है?

(A) 72

(B) 144

(C) 14

(D) 19

समाधान (A) सही उत्तर है। निम्न चित्र में:

B से $C$ तक 4 बस मार्ग हैं और $B$ से C तक 3 मार्ग हैं। इसलिए, A से $C$ तक जाने के लिए $4 \times 3=12$ तरीके हैं। यह राउंड ट्रिप है, इसलिए व्यक्ति सी से $A$ तक, $B$ के माध्यम से वापस आएगा। संक्रमण किया गया है कि मनुष्य बस यात्रा कर सकता है, इसलिए, पलटने का मार्ग $C$ से $B$ और $B$ से $A$ के लिए एक से अधिक बार उपयोग नहीं कर सकते। इस प्रकार, वापसी यात्रा के लिए $2 \times 3$ मार्ग हैं। इसलिए, आवश्यक संख्या T = $12 \times 6=72$ है।

~~उदाहरण 14 7 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 3 पुरुष और 2 महिलाओं से मिलकर कितने तरीके से एक समिति चुनी जा सकती है?

(A) 45

(B) 350

(C) 4200

(D) 230

समाधान (B) सही विकल्प है। 7 पुरुषों में से 3 पुरुष $7 C_3$ तरीकों से चुने जा सकते हैं और 5 महिलाओं में से 2 महिलाएँ $5 C_2$ तरीकों से चुनी जा सकती हैं। इसलिए, समिति को $7 C_3 \times 5 C_2=350$ तरीकों से चुना जा सकता है।

~~उदाहरण 15 शब्द ‘EAMCOT’ के सभी अक्षरों को विभिन्न संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जाता है। जिनमें कोई दो मात्राएँ एक-दूसरे के पास नहीं होती हैं, उनमें से कितने इशारे होंगे

(A) 360

(B) 144

(C) 72

(D) 54

समाधान (B) सही विकल्प है। हम देखते हैं कि E, A और O तीन व्यंजन और 3 स्वर होते हैं। क्योंकि कोई दो स्वर साथ में होना चाहिए, स्वरों के लिए संभावित विकल्प वे स्थान हैं जिन्हें ’ $X$ ’ के रूप में चिह्नित किया गया है। X M X C X T X, इन स्वरों को ${ }^{4} P_3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है और 3 व्यंजनों को 3 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, आवश्यक संख्या T = $3 ! \times{ }^{4} P_3=144$ है।

~~उदाहरण 16 दस विभिन्न अक्षरों के प्राप्त किए गए हैं। इन दिए गए अक्षरों से पांच अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं। फिर उन शब्दों की संख्या कितनी है जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया जाता है?

(A) 69760

(B) 30240

(C) 99748

(D) 99784

समाधान (A) सही विकल्प है। 5 अक्षरों वाले शब्दों की संख्या (उस शर्त के साथ कि एक अक्षर दोहराए जा सकता है) $=10^{5}$ होती है। लगातार 5 अलग-अलग अक्षरों का प्रयोग करने वाले शब्दों की संख्या ${ }^{10} P_5$ होती है। इसलिए, आवश्यक संख्या

$=$ कुल शब्दों की संख्या - जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है

$ =10^{5}-{ }^{10} P_5=69760 $

~~उदाहरण 17 एकाधिक बार एक बार ले जाने के लिए अलग-अलग रंगों के 6 झंडे से संकेत भेजे जा सकते हैं

(A) 63

(B) 1956

(C) 720

(D) 21

समाधान सही उत्तर है B।

एक झंडे का उपयोग करके संकेतों की संख्या $={ }^{6} P_1=6$

दो झंडों का उपयोग करके संकेतों की संख्या $={ }^{6} P_2=30$

तीन झंडों का उपयोग करके संकेतों की संख्या $={ }^{6} P_3=120$

चार झंडों का उपयोग करके संकेतों की संख्या $={ }^{6} P_4=360$

संख्या के प्रयोग सात फ्लैग का उपयोग करते हुए $={ }^{6} P_5=720$

सभी छह फ्लैग का उपयोग करके संकेतों की संख्या $={ }^{6} P_6=720$

इसलिए, एक समय में एक या अधिक फ्लैग का उपयोग करके संकेतों की कुल संख्या है

$ 6+30+120+360+720+720=1956 \text{ (जोड़ने के सिद्धांत का उपयोग करते हुए). } $

~~उदाहरण 18 परीक्षा में तीन मल्टीपल च्वच्न प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न में 4 विकल्प हैं। छात्र के ऊपरीस्थ त्रिकोण को सही न होने के कितने तरीके हैं

(A) 11

(B) 12

(C) 27

(D) 63

समाधान सही उत्तर (D) है। तीन मल्टीपल च्वच्न प्रश्न है, प्रत्येक का चार संभावित जवाब होता है। इसलिए, संभावित उत्तरों की कुल संख्या $4 \times 4 \times 4=64$ होगी । इन संभावित उत्तरों में केवल एक सही होगा और इसलिए छात्र के ऊपरीस्थ त्रिकोण को सही जवाब मिलने के तरीकों की संख्या $64-1=63$ है।

~~उदाहरण 19 सीधी रेखा $l_1, l_2$ और $l_3$ समान समतल में पारलेल हैं। $l_1$ पर $m$ बिंदु लिए गए हैं; $l_2$ पर $n$ बिंदु, और $l_3$ पर $k$ बिंदु। इन बिंदुओं पर कोणों के साथ संभावित त्रिकोणों की अधिकतम संख्या है

(A) ${ }^{(m+n+k)} C_3$

(B) ${ }^{(m+n+k)} C_3-{ }^{m} C_3-{ }^{n} C_3-{ }^{k} C_3$

(C) ${ }^{m} C_3+{ }^{n} C_3+{ }^{k} C_3$

(D) ${ }^{m} C_3 \times{ }^{n} C_3 \times{ }^{k} C_3$

समाधान (B) सही उत्तर है। यहाँ कुल बिंदु संख्या $(m+n+k)$ है जो इन संख्याओं को देती हैं ${ }^{(m+n+k)} C_3$ त्रिकोणों की संख्या परन्तु $l_1$ पर $m$ बिंदु तीन बिंदुओं के साथ ${ }^{m} C_3$ संयोजन जो कोई त्रिकोण नहीं बनाते। इसी प्रकार, ${ }^{n} C_3$ और ${ }^{k} C_3$ त्रिकोणों की संख्या नहीं बना सकते हैं। इसलिए, पूर्णांक त्रिकोणों की आवश्यक संख्या है ${ }^{(m+n+k)} C_3-{ }^{m} C_3-{ }^{n} C_3-{ }^{k} C_3$ होगी।

7.3 अभ्यास

संक्षेप धराप्रकार

~~

1. आठ कुर्सियों की संख्या 1 से 8 तक है। दो महिलाएं और 3 पुरुष एक-एक कुर्सी लेना चाहते हैं। पहले महिलाएं कुर्सी का चयन करती हैं, 1 से 4 कुर्सियों में से, और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की कुल संख्या बताएं।

[संकेत: 2 महिलाएं 4 कुर्सियों में से ${ }^{4} P_2$ तरीकों में परिक्रमण करती हैं और 3 पुरुष शेष कुर्सियों में ${ }^{6} P_3$ तरीकों में संक्रमण करते हैं।]

~~ 2. अगर शब्द ‘रचित’ के अक्षरों को क्रमशः के सभी संभावित तरीकों में क्रमवार सूचीबद्ध किया जाता है। तो शब्द ‘रचित’ की रैंक क्या होगी?

[संकेत: प्रत्येक मामले में A, C, H, I से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या 5! है।]

~~ 3. एक उम्मीदवार को 12 प्रश्नों में से 7 प्रश्नों का उत्तर देने की आवश्यकता होती है, जो दो समूहों में विभाजित हैं, प्रत्येक में 6 प्रश्न है। वह किसी भी समूह से 5 प्रश्नों से अधिक कोशिश नहीं कर सकता। प्रश्नों को करने के विभिन्न तरीकों की संख्या ढूंढ़ें।

~~ 4. एक त्रिकोण आकार में, समतल में 18 बिंदुओं में से, कोई भी तीन एक ही रेखा में नहीं हैं, केवल पांच बिंदु होते हैं जो समलैंगिक होते हैं। बिंदु जोड़ने के लिए जो सीधा रेखाएं बना सकते हैं उनकी संख्या क्या हो सकती है।

[संकेत: सीधी रेखाओं की संख्या $={ }^{18} C_2-{ }^{5} C_2+1$।]

~~ 5. हमें 8 से 6 व्यक्तियों का चयन करना है , लेकिन अगर व्यक्ति $A$ का चयन किया जाता है, तो $B$ का भी चयन किया जाना चाहिए। चयनों की कितनी संख्या में हो सकती हैं?

6. 12 व्यक्तियों से पांच व्यक्तियों की समिति की गणना की जा सकती है।

[संकेत: अध्यक्ष 12 तरीकों से चुना जा सकता है और शेष ${ }^{11} C_4$ तरीकों से चुना जा सकता है।]

~~ 7. हर प्लेट में दो अलग अक्षर और तीन अलग अंक होने के कारण, कितने विभिन्न ऑटोमोबाइल लाइसेंस प्लेट बनाए जा सकते हैं?

~~ 8. एक थैले में 5 काले और 6 लाल गेंद हैं। यह तय करें कि थैले से 2 काले और 3 लाल गेंदों का चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है।

~~ 9. $n$ अलग चीजों के $r$ साथ लिए जाने वाले परिवर्तनों की संख्या खोजें, जिनमें 3 विशेष चीजें साथ आनी चाहिए।

~~ 10. ‘TRIANGLE’ शब्द के पत्रों से कितने विभिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं, जहां कोई स्वर मिले हुए नहीं हों।

~~ 11. 6000 से अधिक और 7000 से कम सक्रिय पूर्णांकों की संख्या खोजें जो 5 से विभाज्य हैं, प्रतिडिम्ब को दोहराया नहीं जाएगा।

~~ 12. $P_1, P_2, P_3, \ldots P _{10}$ नामक 10 व्यक्तियों हैं। 10 व्यक्तियों में से 5 व्यक्तियों को ऐसे एक क्रमशः संरेखित किया जाना है, जिसमें प्रत्येक व्यवस्था में $P_1$ होता है जिसके साथ $P_4$ और $P_5$ शामिल नहीं होते हैं। ऐसे संभव संयोजनों की संख्या कितनी होती है।

[संकेत: आवश्यक संयोजन की संख्या $={ }^{7} C_4 \times 5$ !]

~~ 13. एक हॉल में 10 बत्तियां हैं। उनमें से प्रत्येक को अलग-अलग स्थिति में चालू किया जा सकता है। इस तरीके से हॉल प्रकाशित किया जा सकता है, संख्या खोजें।

[संकेत: आवश्यक संख्या $=2^{10}-1$].

~~ 14. एक बॉक्स में दो सफेद, तीन काले और चार लाल गेंद हैं। बॉक्स से तीन गेंदों को कितने तरीकों से निकाला जा सकता है, यदि कम से कम एक काला गेंद निकाला जाए।

[संकेत: आवश्यक संख्या $={ }^{3} C_1 \times{ }^{6} C_2+{ }^{3} C_2 \times{ }^{6} C_2+{ }^{3} C_3$].

~~ 15. यदि ${ }^{n} C _{r-1}=36,{ }^{n} C_r=84$ और ${ }^{n} C _{r+1}=126$ है, तो ${ }^{r} C_2$ खोजें।

[संकेत: ${ }^{n} C_r$ और ${ }^{n} C _{r-1}$ का उपयोग करके समीकरण बनाएँ और $r$ के मान की मान्यता प्राप्त करें।]

~~ 16. 7000 से अधिक पूर्णांकों की संख्या खोजें जो अंकों को दोहराया नहीं जाता है, $3,5,7,8$ और $9$ के साथ बनाए जा सकते हैं।

[संकेत: 7000 से अधिक 4 अंकीय संख्याओं के अलावा, पांच अंकीय संख्याएँ हमेशा 7000 से अधिक होती हैं।]

~~ 17. 20 रेखाएं ऐसे एक तथा एक नहीं होतीं हैं, जबकि कोई भी तीन मिलती नहीं हैं, वे एक दूसरे से कितने बिंदुओं पर आपस में छलांग लगाएंगी?

~~ 18. एक निश्चित शहर में, सभी टेलीफोन नंबरों में छः अंक होते हैं, पहले दो अंक हमेशा 41, 42, 46, 62 या 64 होते हैं। कितने टेलीफोन नंबरों में सभी छह अंक अलग होते हैं?

~~ 19. एक परीक्षा में, एक छात्र को 5 प्रश्नों में से 4 प्रश्नों का उत्तर देना होता है; हालांकि, प्रश्न 1 और 2 अनिवार्य होते हैं। छात्र समाधान बना सकता है, इसके कितने तरीके हैं।

~~ 20. एक अभिरूप मानवाकार 44 त्रिभुजीयों की संख्या खोजें।

[संकेत: अतिरिक्तकारी बहुभुज $n$ के $({ }^{n} C_2-n)$ त्रिभुजीयों की संख्या होती है।]

लंबे उत्तर विधि के प्रश्न

21. 18 चूहों को दो प्रयोगशाला समूहों और एक नियंत्रण समूह में रखा गया, सभी समूहों का आकार समान है। चूहों को तीन समूहों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?

~~ 22. एक बैग में छह सफेद मार्बल और पांच लाल मार्बल होती हैं। यदि (a) वे किसी भी रंग की हो सकती हैं, (b) दो सफेद और दो लाल होनी चाहिए और (c) सभी उनी समान रंग की होना चाहिए, तो कितने तरीकों से चार मार्बल बैग से निकाले जा सकते हैं।

~~ 23. 16 खिलाड़ियों में से 11 खिलाड़ियों की फुटबॉल टीम को कितने तरीकों से चुना जा सकता है? उनमें से कितने

(i) कोई विशेष खिलाड़ी शामिल करें?

(ii) कोई विशेष खिलाड़ी छोड़ें?

~~ 24. 11 छात्रों की एक खेल टीम गठित की जानी है, जिसमें कम से कम 5 छात्र कक्षा XI से और कम से कम 5 छात्र कक्षा XII से चुने जाएं। यदि इन दोनों कक्षाओं में प्रत्येक कक्षा में 20 छात्र हैं, तो टीम को कितने तरीकों से गठित किया जा सकता है?

~~ 25. एक समूह में 4 लड़कियाँ और 7 लड़के हैं। यदि समूह में 5 सदस्यों की टीम चुनी जाए, तो टीम में कितने तरीके से हो सकते हैं

(i) कोई लड़कियाँ नहीं

(ii) कम से कम एक लड़का और एक लड़की

(iii) कम से कम तीन लड़कियाँ

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

26. यदि ${ }^nC_{12} = { }^nC_8$, तो $n$ का मान कितना होगा?

(A) 20

(B) 12

(C) 6

(D) 30

~~ 27. जब एक टोकन 6 बार फेका जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या क्या होती है?

(A) 36

(B) 64

(C) 12

(D) 32

~~ 28. 2, 3, 4, 7 इन अंकों के द्वारा एकाधिक बार एक अलग-अलग चार अंकीय संख्या की संख्या कितनी हो सकती है?

(A) 120

(B) 96

(C) 24

(D) 100

~~ 29. 3, 4, 5 और 6 की मदद से बनाए गए सभी संख्याओं के इकाई स्थान के अंकों का योग कितना होता है

(A) 432

(B) 108

(C) 36

(D) 18

~~ 30. 2 स्वरों और 3 व्यंजनों वाले 4 स्वरों और 5 व्यंजनों से लिए गए शब्दों की कुल संख्या बराबर होती है

(A) 60

(B) 120

(C) 7200

(D) 720

~~ 31. बिना पुनरावृत्ति के अंक $(0,1,2,3,4)$ और $5$ का उपयोग करके 3 से विभाज्य एक पांच अंकीय संख्या बनानी है। इसे करने के लिए कुल तरीकों की संख्या होगी

(A) 216

(B) 600

(C) 240

(D) 3125

[संकेत: इन मामलों में, इन अंकों 1, 2, 4, 5 का उपयोग करके या इन अंकों 1, 2, 3, 4, 5 का उपयोग करके 5 अंकीय संख्याएं बना सकते हैं क्योंकि इन मामलों में अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है।]

~~ 32. एक कमरे में हर किसी के साथ हाथ मिलाए जाते हैं। हाथ मिलने की कुल संख्या 66 होती है। कमरे में कुल लोगों की संख्या होती है

(A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 14

~~ 33. 12 बिंदुओं सेट से चुने जाने वाले त्रिभुज की संख्या, जिनमें से सात एक ही रेखा पर हैं, कितनी होती है

(A) 105

(B) 15

(C) 175

(D) 185

~~ 34. चार समानांतर रेखाएं और उनसे पार करने वाले अन्य तीन रेखाओं से एक सेट बनाने के लिए कितने समान परिंघर्ति बनाई जा सकती है

(A) 6

(B) 18

(C) 12

(D) 9

~~ 35. 22 खिलाड़ियों में से हमेशा से 2 का समावेश करके और 4 को छोड़कर 11 खिलाड़ी की एक टीम को कितने तरीकों से चुना जा सकता है

(A) ${ }^{16}C_{11}$

(B) ${ }^{16}C_5$

(C) ${ }^{16}C_9$

(D) ${ }^{20}C_9$

what is the hi version of content: 36. वह 5 अंकों वाले टेलीफोन नंबरों की संख्या जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया है, है (A) 90,000 (B) 10,000 (C) 30,240 (D) 69,760 ~~ 37. चार पुरुषों और छह महिलाओं में से हम कितने तरीकों से एक समिति चुन सकते हैं जिसमें कम से कम दो पुरुषों को शामिल किया गया हो और महिलाओं की संख्या पुरुषों की दोगुनी हो (A) 94 (B) 126 (C) 128 (D) कोई नहीं ~~ 38. ऐसे वर्षों की कुल संख्या, जिनमें सभी अलग-अलग अंक हैं, है (A) 10 ! (B) 9 ! (C) 9 x 9 ! (D) 10 x 10 ! ~~ 39. शब्दों की संख्या, इस प्रकार के के पत्रों के अक्षरों की बनाई जा सकती है जिसमें स्वर विशेष स्थान लेते हैं (A) 1440 (B) 144 (C) 7 ! (D) ${ }^{4} C_4 \times{ }^{3} C_3$ ~~ 40. दिए गए 5 विभिन्न हरे रंग के रंग, चार अलग नीले रंग और तीन अलग लाल रंग , जो रंग चुन सकते हैं जिसमें कम से कम एक हरा और एक नीला रंग शामिल होना चाहिए, उसकी संख्या है (A) 3600 (B) 3720 (C) 3800 (D) 3600 [संकेत: हरे रंग कईता या चुनता है उनके लिए संख्या $2^{5}, 2^{4}$ और $2^{3}$ हो सकती है।] अभ्यास 41 से 50 की खाली स्थानें भरें। ~~ 41. अगर ${ }^{n} P_r=840,{ }^{n} C_r=35$ है, तो $r=$ ~~ 42. ${ }^{15} C_8+{ }^{15} C_9-{ }^{15} C_6-{ }^{15} C_7=$ ~~ 43. विभिन्न $n$ वस्त्र की परिवर्तन संख्या , एक पंक्ति में $r$ लिए गए द्वारा, जबकि पुनरावृत्ति की अनुमति होती है, है ~~ 44. INTERMEDIATE शब्द के अक्षरों की विभिन्न शब्दों की संख्या ऐसी कि दो स्वर एक साथ कभी नहीं आते हैं [संकेत: 6 स्वरसंयोजकों की व्यवस्था का तरीका $\frac{6 !}{2 !}$ होता है और स्वरों की व्यवस्था का तरीका $={ }^{7} P_6 \times \frac{1}{3 !} \times \frac{1}{2 !}$ होता है।] ~~ 45. एक थैले में से 5 लाल, 4 व्हाइट और 3 काले गेंदों को निकालने के तरीकों की संख्या अगर कम से कम 2 लाल हों तो ~~ 46. तीन संख्या का निर्माण किया गया है, जिनमें सभी अंक विषाम हैं ~~ 47. एक फुटबॉल चैम्पियनशिप में, 153 मैच खेले गए। हर दो टीमों ने एक दूसरे के साथ एक मैच खेला। चैम्पियनशिप में भाग लेने वाली टीमों की संख्या है ~~ 48. एक पंक्ति में छह ’ + ’ और चार ‘-’ चिह्नों की कुल संख्या हो सकती है जिसमें कोई भी दो चिह्न ‘-’ आपस में नहीं होते हैं ~~ 49. एक समिति में से 6 व्यक्तियों का चयन किया जाना है, जिसमें कम से कम 3 पुरुष और 2 महिलाएं शामिल हों। यदि दो विशेष महिलाएं एक ही समिति में सेवा करने से मना कर देती हैं , तो इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है [संकेत: कम से कम 3 पुरुष और 2 महिलाएँ: तरीका की संख्या $={ }^{10} C_3 \times{ }^{7} C_3+{ }^{10} C_4 \times{ }^{7} C_2$ होती है। 2 विशेष महिलाएं हमेशा मिलती हैं: तरीका की संख्या $={ }^{10} C_4+{ }^{10} C_3 \times{ }^{5} C_1$ होते हैं। दो विशेष महिलाएं कभी एक साथ नहीं होने पर पूरी कमेटी की संख्या है $=$ कुल - मिलती हैं।] ~~ 50. एक डिब्बे में 2 सफेद गेंद, 3 काले गेंद और 4 लाल गेंद होती हैं। डिब्बे से तीन गेंदों को निकालने के तरीकों की संख्या है यदि कम से कम एक काली गेंद शामिल हो ।

कोण्टेंट का ही संस्करण क्या है: 51 से 59 तक के अभ्यासों में कही गई बात सही या गलत है? इसका पारदर्शिता भी दें।

~~ 51. एक समतल में 12 बिंदु होते हैं, जिनमें से 5 बिंदु सहजरेखी हैं, तो इन बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त होने वाली रेखाओं की संख्या ${ }^{12} सी_2-{ }^{5} सी_2$ होती है।

~~ 52. पांच पत्रकों में तीन पत्र तीन $3^{5}$ तरीकों से भेजे जा सकते हैं।

~~ 53. $एन$ चीजें के परिवर्तनों में, $आर$ को साथ लेकर, $म$ विशेष चीजें मिलती हैं, जो परिवर्तनों की संख्या होती है ${ }^{न-म} पी_{र-म} \times{ }^{र} पी_म$ .

~~ 54. एक स्टीमर में 12 जानवरों के लिए स्थान होता है, और वहां घोड़े, गाय और बछड़े (12 से कम नहीं) तैयार हैं। इन्हें $3^{12}$ तरीकों में लोड किया जा सकता है।

~~ 55. अगर कुछ या सभी $एन$ वस्तुएं एक बार में ली जाती हैं, तो संयोजनों की संख्या $2^{n}-1$ होती है।

~~ 56. एक बैग में कम से कम एक लाल गेंद होती है, उसके बाहर की संख्या 4 लाल और 5 काले गेंदों की होती है। केवल 24 चयन होंगे जिनमें से कम से कम एक लाल गेंद होती है। यह दिया जा रहा है कि एक ही रंग की गेंदों की तरह नहीं होती है।

~~ 57. बीसठी मेज के दोनों ओर, आठ अतिथियों को बैठाया जाना है। चार विशेष अतिथि एक खास ओर प्यार करते हैं और तीन और अतिथि ताल मेज के दूसरे ओर मेज पर। बैठने के व्यवस्था बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{11!}{5!6!}(9!)(9!)$ होती है।

[संकेत: चार की ओर भेजने के बाद दोनों ओर से 11 ; 5 चुनें होते हैं और दूसरी ओर 6। अब लंबी मेज के दोनों ओर 9 हैं और प्रत्येक को 9 ! तरीकों में व्यवस्था की जा सकती है।]

~~ 58. उम्मीदवार को दो समूहों में बांटे गए 12 प्रश्नों में से 7 प्रश्न का उत्तर देना होता है, प्रत्येक समूह में 6 प्रश्न होते हैं। उसे प्रत्येक समूह से 5 से अधिक प्रश्न का प्रयास नहीं करने की अनुमति नहीं है। वह 650 तरीकों में सात प्रश्न चुन सकता है।

~~ 59. 12 पदों को भरने के लिए 25 उम्मीदवार होते हैं, जिनमें से 5 अनुसूचित जाति से हैं। यदि 3 पदों को अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों के लिए आरक्षित किया जाता है जबकि बाकी सभी उम्मीदवारों के लिए खुले हैं, तो चयन किया जा सकता है ${ }^{5} सी_3 \times{ }^{20} सी_9$ तरीकों में।

प्रत्येक अभ्यास 60 से 64 तक अभ्यास में सभी मिलकर कुल वस्त्रादान का अभ्यास देते हैं का समान आइटम के साथ सही उत्तर देते हैं जिसे स्तंभ $C_1$ के तहत दिया गया है। के सही उत्तर।

~~ 60. गणित पर 3 पुस्तकें, भौतिकी पर 4 पुस्तकें और अंग्रेजी पर 5 पुस्तकें हैं। कितने विभिन्न संकलन बनाए जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक संकलन में यह होता है :

$ C_1 \square C_2 $

(a) प्रत्येक विषय की एक पुस्तक;

(i) 3968

(b) कम से कम प्रत्येक विषय की एक पुस्तक :

(ii) 60

(c) कम से कम एक अंग्रेजी की पुस्तक :

(iii) 3255

~~ 61. पांच लड़के और पांच लड़की एक लाइन बनाते हैं। निम्नलिखित स्थिति के तहत बैठाने के तरीकों की संख्या तलाशें:

$ \mathbf{C} _1 $

$\mathbf{C} _2$

(a) लड़के और लड़कियों का परस्परित:

(i) $5 ! \times 6$ !

(b) कोई दो लड़कियाँ साथ में नहीं बैठती हैं :

(ii) $10 !-5 ! 6 !$

(c) सभी लड़कियाँ एक साथ बैठती हैं

(iii) $(5 !)^{2}+(5 !)^{2}$

(d) सभी लड़कियाँ कभी भी एक साथ नहीं होती :

(iv) $2 ! 5 ! 5 !$

~~

62. हैं ६२. इसमें १० प्रोफेसर और २० लेक्चरर हैं, जिनमें से एक समिति में २ प्रोफेसर और ३ लेक्चरर को शामिल किया जाना है। निम्न बिंदुओं का पता लगाएँगे:

(ए) कमेटी को कितने तरीके से बनाया जा सकता है?

(ब) एक विशेष प्रोफेसर को शामिल करने के कितने तरीके हैं?

(सी) एक विशेष लेक्चरर को शामिल करने के कितने तरीके हैं?

(डी) एक विशेष लेक्चरर को बाहर करने के कितने तरीके हैं?

$ C_2 $

(ई) ${ }^{10} C_2 \times{ }^{19} C_3$

(ग) ${ }^{10} C_2 \times{ }^{19} C_2$

(ह) ${ }^{9} C_1 \times{ }^{20} C_3$

(च) ${ }^{10} C_2 \times{ }^{20} C_3$

~~ ६३. अंक १,२,३,४,५,६,७ का उपयोग करके ४ अलग-अलग अंकों से एक संख्या बनाई जाती है। निम्न बिंदुओं का पता लगाएँगे:

$ C_1 $

(ए) कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

(ब) कितनी संख्याएँ २ से पूरी विभाज्य हैं?

(सी) कितनी संख्याएँ २५ से पूरी विभाज्य हैं?

(डी) इनमें से कितनी संख्याएँ ४ से पूरी विभाज्य हैं? $C_2$

(ई) ८४०

(ग) २००

(ह) ३६०

(च) ४०

~~ ६४. शब्द (शब्दकोशीय अर्थ के साथ या बिना) एक शब्द “मंडे” के अक्षरों से बनाया जा सकता है, मानकता के अधीन, यदि $C_1$ $C_2$

(ए) एक समय में ४ अक्षरों का उपयोग किया जाता है

(ई) ७२०

(ब) सभी अक्षर एक समय में उपयोग किए जाते हैं

(ग) २४०

(सी) सभी अक्षर उपयोग किए जाते हैं, लेकिन पहला वोकल है

(ह) ३६०