अध्याय 6

रैखिक असमितियाँ

6.1 अवलोकन

6.1.1 ’ $>$ ‘, ’ $<$ ‘, ’ $\geq$ ‘, ’ $\leq$ ’ इन चिन्हों का प्रयोग करके एक कथन को असमिति कहा जाता है। उदाहरण के लिए $5>3, x \leq 4, x+y \geq 9$।

(i) जिन असमितियों में प्राथमिक चरों का उपयोग नहीं होता है, उन्हें संख्यात्मक असमितियाँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए $3<8,5 \geq 2$।

(ii) जिन असमितियों में प्राथमिक चरों का उपयोग होता है, उन्हें सदिश असमितियाँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $x>3, y \leq 5, x-y \geq 0$।

(iii) एक असमिति में एक से अधिक चर हो सकते हैं और वह रैखिक, द्विघातीय या गुणाकारी आदि हो सकती है। उदाहरण के लिए, $3 x-2<0$ एक एक चर वाली रैखिक असमिति है, $2 x+3 y \geq 4$ दो चरों वाली रैखिक असमिति है और $x^{2}+3 x+2<0$ एक गुणाकारी असमिति है जिसमें एक चर है।

(iv) ’ $>$ ’ या ’ $<$ ’ चिह्न का प्रयोग करने वाली असमितियों को सख्त असमितियाँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $3 x-y>5, x<3$।

(v) ’ $\geq$ ’ या ’ $\leq$ ’ चिह्न का प्रयोग करने वाली असमितियाँ अधीत असमितियाँ कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, $3 x-y \geq 5, x \leq 5$।

6.1.2 असमिति का समाधान

(i) उस मान/मानों का मान जिनसे असमिति सच्चा कथन होता है, उन्हें उसका समाधान कहा जाता है। असमिति के सभी समाधानों का सेट को समाधान सेट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $x-1 \geq 0$, का असीम प्राकृतिक संख्याओं के समाधानों का सेट है क्योंकि यह सच्चा कथन बनाते हैं। असमिति $x^{2}+1<0$ का शून्य समाधान है क्योंकि कोई राष्ट्रीय मान $x$ को इसे सच्चा कथन नहीं बनाता है।

असमिति को हल करने के लिए हम कर सकते हैं

(i) असमिति के दोनों पक्षों में एक ही मात्रा को जोड़ें (या घटाएं) जिससे असमिति के चिन्ह में कोई परिवर्तन न हो।

(ii) असमिति के दोनों पक्षों को एक ही सकारात्मक मात्रा से गुणा (या भाग) जोड़ें जिससे असमिति के चिन्ह में कोई परिवर्तन न हो। हालांकि, अगर असमिति के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक मात्रा से गुणा (या भाग) किया जाए, तो असमिति के चिन्ह का उल्टा हो जाता है, जैसे कि ‘>’ को ’ $<$ ’ और उल्टा।

6.1.3 रैखिक असमिति के समाधान का प्रतिनिधित्व करना अंक रेखा पर

एक रैखिक असमिति के समाधान को एक अंक रेखा पर प्रतिनिधित्व करने के लिए हम निम्नलिखित परम्परा का उपयोग करते हैं:

(i) यदि असमिति में ’ $\geq$ ’ या ’ $\leq$ ’ शामिल है, तो हम संख्या रेखा पर भरी हुई वृत्ती $(\bullet)$ बनाते हैं जिससे संकेतित होता है कि भरी हुई वृत्ती के सम्मिलित संख्या को समाधान सेट में शामिल किया गया है।

(ii) यदि असमिति में ’ $>$ ’ या ’ $<$ ’ शामिल है, तो हम संख्या रेखा पर खुली हुई वृत्ती $(O)$ बनाते हैं जिससे संकेतित होता है कि खुली हुई वृत्ती के संख्या को समाधान सेट से बाहर रखा गया है।

6.1.4 रैखिक असमिति के समाधान का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

(a) एक रैखिक असमिति के समाधान को प्लेन में आईना या दो समाधान के लिए या एक चर वाली असमिति के समाधान के लिए ग्राफिक प्रतिनिधित्व करने के लिए हम निम्नानुसार चलते हैं:

(ii) यदि असमीकरण ’ $>$ ’ या ’ $<$ ’ से संबंधित है, तो हम समांक की रेखा को डॉटेड रेखा के रूप में खींचते हैं ताकि रेखा पर बिंदु समाधान समूह से बाहर रहें।

(b) एक समीकरण अनुक्रमणिका में एक समतल और संख्या रेखा पर एकांतरणीय नंबर की समाधान का प्रतिष्ठान किया जा सकता है, लेकिन दो सीमांक समीकरणों के समाधान का प्रतिष्ठान केवल समतल पर किया जा सकता है जिनमें $a x+b y>c, a x+b y \geq c, a x+b y<c$ या $a x+b y \leq c(a \neq 0, b \neq 0)$ के प्रकार समीकरण होते हैं।

(c) दो या अधिक असमीकाएं साथ मिल कर एक इस्पत् असंख्यायी तंत्र का गठन करती हैं और इस्पत् असंख्यायी तंत्र के समाधान सब असंख्याएं सम्मिलित करती हैं।

6.1.5 दो महत्वपूर्ण परिणाम

(a) यदि $a, b \in \mathbf{R}$ हैं और $b \neq 0$, तब

(i) $a b>0$ या $\frac{a}{b}>0 \Rightarrow a$ और $b$ एक ही चिन्ह के होते हैं।

(ii) $a b<0$ या $\frac{a}{b}<0 \Rightarrow a$ और $b$ विपरीत चिन्ह के होते हैं।

(b) यदि $a$ कोई सकारात्मक वास्तव संख्या है, अर्थात $a>0$, तो

(i) $|x|<a \Leftrightarrow-a<x<a$

$|x| \leq a \Leftrightarrow-a \leq x \leq a$

(ii) $|x|>a \Leftrightarrow x<-a$ या $x>a$

$|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq-a$ या $x \geq a$

6.2 हल किए गए उदाहरण

छोटे उत्तर के प्रकार

~~उदाहरण 1 असंख्यायीता $3 x-5<x+7$ का समाधान कीजिए जब (i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है

(ii) $x$ एक पूर्ण संख्या है

(iii) $x$ एक पूर्णांक है

(iv) $x$ एक वास्तविक संख्या है

समाधान हमें $3 x-5<x+7$

$\Rightarrow \quad 3 x<x+12$ (दोनों सिद्धान्तों में 5 जोड़ना)

$\Rightarrow \quad 2 x<12 (दोनों सिद्धान्तों से $x$ कम करना)

$\Rightarrow \quad x<6$ (दोनों की ओर से 2 से विभाजित करना )

(i) समाधान समूह है $\lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$

(ii) समाधान समूह है $\lbrace 0,1,2,3,4,5 \rbrace$

(iii) समाधान समूह है $\lbrace \ldots-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 \rbrace$

(iv) समाधान समूह है $\lbrace x: x \in \mathbf{R}$ और $x<6 \rbrace$, अर्थात 6 से कम कोई भी वास्तविक संख्या।

~~उदाहरण 2 $\frac{x-2}{x+5}>2$ का समाधान कीजिए।

समाधान हमें $\frac{x-2}{x+5}>2$ हैं

$\Rightarrow \quad \frac{x-2}{x+5}-2>0$

$\Rightarrow \quad \frac{-(x+12)}{x+5}>0$

$\Rightarrow \quad \frac{x+12}{x+5}<0 \quad$ (दोनों ओर से $-1$ से गुणा करना)

$\Rightarrow \quad x+12>0$ और $x+5<0 $ (ऐसा इसलिए क्योंकि $\frac{a}{b}<0 \Rightarrow a$ और $b$ विपरीत चिन्ह के होते हैं) या

$x+12<0$ और $x+5>0$

$\Rightarrow \quad x>-12$ और $x<-5$

या

$x<-12$ और $x>-5$ (संभव नहीं है)

इसलिए, $\quad-12<x<-5, \quad$ अर्थात $\quad x \in(-12,-5)$

~~उदाहरण 3 $|3-4 x| \geq 9$ का समाधान कीजिए।

समाधान हमें $|3-4 x| \geq 9$ हैं।

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 3-4 x \leq-9 \text{ या } 3-4 x \geq 9 \quad(\text{ क्योंकि }|x| \geq a \Rightarrow x \leq -a \text{ या } x \geq a) \\ \Rightarrow & -4 x \leq-12 \text{ या }-4 x \geq 6 \\ \Rightarrow & .x \geq 3 \text{ या } \quad x \leq \frac{-3}{2} \quad \text{ (दोनों ओर से }-4 \text{ से भाग करना) } \\ \Rightarrow & x \in(-\infty, \frac{-3}{2}] \cup[3, \infty) \end{matrix} $

~~उदाहरण 4 $1 \leq|x-2| \leq 3$ का समाधान कीजिए।

समाधान हमें $1 \leq|x-2| \leq 3$ हैं

$\Rightarrow \quad|x-2| \geq 1 \quad$ और $|x-2| \leq 3$

कन्टेंट का हिंदी संस्करण क्या होगा: $\Rightarrow \quad(x-2 \leq-1$ या $x-2 \geq 1)$ और $(-3 \leq x-2 \leq 3)$

$\Rightarrow \quad(x \leq 1$ या $x \geq 3)$ और $(-1 \leq x \leq 5)$

$\Rightarrow \quad x \in(-\infty, 1] \cup[3, \infty)$ और $x \in[-1,5]$

दो असमीकाओं के समाधानों को मिलाकर हमारे पास है

$ x \in[-1,1] \cup[3,5] $

~~उदाहरण 5 एक उत्पाद की लागत और आय के फ़ंक्शन इस प्रकार होते हैं: $C(x)=20 x+4000$ और $R(x)=60 x+2000$, यहां $x$ बनाए तथा बेचे जाने वाले आइटमों की संख्या है। किसी लाभ को अनुभव करने के लिए कितने आइटम बेचने होंगे?

समाधान हमारे पास, लाभ $=$ राजस्व - लागत

$ \begin{aligned} & =(60 x+2000)-(20 x+4000) \ & =40 x-2000 \end{aligned} $

कुछ लाभ के लिए, $40 x-2000>0$

$\Rightarrow \quad x>50$

इस प्रकार, निर्माता को कम से कम 50 आइटम बेचने होंगे एक लाभ का अनुभव करने के लिए।

~~उदाहरण 6 $x,|x+1|+|x|>3$ के लिए समाधान करें।

समाधान दिए गए असमीकांकी के LHS पर, हमें दो पद होते हैं, हर दोनों में मॉड्यूस होता है। मॉड्यूस के भीतरी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर समान करके, हम $x=-1,0$ जैसे महत्वपूर्ण संकेत द्वारा प्राप्त करते हैं। ये महत्वपूर्ण संकेत वास्तविक रेखा को तीन भागों में विभाजित करते हैं जैसे $(-\infty,-1)$, $[-1,0)$, $[0, \infty)$।

मामला I जब $-\infty<x<-1$ हो,

$ |x+1|+|x|>3 \Rightarrow-x-1-x>3 \Rightarrow x<-2 $

मामला II जब $-1 \leq x<0$ हो,

$ |x+1|+|x|>3 \Rightarrow x+1-x>3 \Rightarrow 1>3 $

(संभव नहीं)

मामला III जब $0 \leq x<\infty$ हो,

$ |x+1|+|x|>3 \Rightarrow x+1+x>3 \Rightarrow x>1 $

मामला (I), (II), और (III) के परिणामों को मिलाकर हमें मिलता है

$ x \in(-\infty,-2) \cup(1, \infty) $

लंबे उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 7 निम्नलिखित असमीकांकी सिद्धांत के लिए $x$ के लिए समाधान करें:

$ \frac{x}{2 x+1} \geq \frac{1}{4}, \frac{6 x}{4 x-1}<\frac{1}{2} $

समाधान पहली अनसमानता से हमें $\frac{x}{2x+1}-\frac{1}{4} \geq 0$ मिलता है।

$\Rightarrow \quad \frac{2x-1}{2x+1} \geq 0$।

$\Rightarrow \quad(2x-1 \geq 0$ और $2x+1>0)$ या $(2x-1 \leq 0$ और $2x+1<0)$ [क्योंकि $2x+1 \neq 0)$

$\Rightarrow \quad(x \geq \frac{1}{2}.$ और $.x>-\frac{1}{2})$ या $(x \leq \frac{1}{2}.$ और $.x<-\frac{1}{2})$

$\Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2}$ या $x<-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \quad x \in(-\infty,-\frac{1}{2}) \cup[\frac{1}{2}, \infty)$

दूसरी अनसमानता से हमें $\frac{6x}{4x-1}-\frac{1}{2}<0$ मिलता है।

$\Rightarrow \quad \frac{8x+1}{4x-1}<0$।

$\Rightarrow \quad(8x+1<0$ और $4x-1>0) \quad$ या $\quad(8x+1>0$ और $4x-1<0)$

$\Rightarrow \quad(x<-\frac{1}{8}.$ और $.x>\frac{1}{4}) \quad$ या $\quad(x>-\frac{1}{8}.$ और $.x<\frac{1}{4})$

$\Rightarrow \quad x \in(-\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \quad$ (पहला संभव नहीं है)

ध्यान दें कि (1) और (2) का संयोज्य समाधान शून्य समूह है। इसलिए, दिए गए असमिक्षाओं का कोई समाधान नहीं है।

~~उदाहरण 9 दिए गए आकृति में छायांकित क्षेत्र समाधान सेट है, उसके लिए रैलियो असमिक्षा को खोजें।

समाधान

(i) $2x+3y=3$ को ध्यान से देखें। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र और मूल संख्या का बीच में यह लकीर है और $(0,0)$ में $2x+3y \leq 3$ को पूरा करता है। इसलिए, हमें $2x+3y \geq 3$ लिंयर असमिक्षा होनी चाहिए जो लकीर $2x+3y=3$ को प्रतिस्थापित करती है।

(ii) $3x+4y=18$ को ध्यान से देखें। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र और मूल संख्या का एक ही ओर है और $(0,0)$ में $3x+4y \leq 18$ को पूरा करता है। इसलिए, $3x+4y \leq 18$ लिंयर असमिक्षा है जो लकीर $3x+4y=18$ को प्रतिस्थापित करती है।

चित्र 6.1

(iii) $-7x+4y=14$ को ध्यान से देखें। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र और मूल संख्या एक ही ओर पर हैं और $(0,0)$ $-7x+4y \leq 14$ को पूरा करता है। इसलिए, $-7x+4y \leq 14$ लिंयर असमिक्षा है जो लकीर $-7x+4y=14$ को प्रतिस्थापित करती है।

(iv) $x-6y=3$ को ध्यान से देखें। हम देखते हैं कि छायांकित क्षेत्र और मूल संख्या एक ही ओर पर हैं और $(0,0)$ में $x-6y \leq 3$ को पूरा करता है। इसलिए, $x-6y \leq 3$ लिंयर असमिक्षा है जो लकीर $x-6y=3$ को प्रतिस्थापित करती है।

(v) छायांकित क्षेत्र केवल पहले क्वाड्रेंट में है। इसलिए, $x \geq 0, y \geq 0$।

इसलिए, (i), (ii), (iii), (iv) और (v) के प्रकार, दिए गए समाधान के लिए लिनियर असमिक्षाओं हैं:

$ 2x+3y \geq 3,3x+4y \leq 18-7x+4y \leq 14, x-6y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0 \text{. } $

उद्देश्य प्रकार

उदाहरण 10 से 13 के लिए दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें (M.C.Q.)।

~~उदाहरण 10 यदि $\frac{|x-2|}{x-2} \geq 0$ है, तो

(A) $x \in[2, \infty)$

(B) $x \in(2, \infty)$

(C) $x \in(-\infty, 2)$

(D) $x \in(-\infty, 2]$।

समाधान (B) सही विकल्प है। यहां $\frac{|x-2|}{x-2} \geq 0$ के लिए, $|x-2| \geq 0$ और $x-2 \neq 0$ होना चाहिए।

~~उदाहरण 11 एक आयत की लंबाई चौड़ाई की तीन गुना होती है। यदि आयत का न्यूनतम परिधि $160 cm$ है, तो

(A) चौड़ाई $>20 cm$

(B) लंबाई $<20 cm$

(C) चौड़ाई $x \geq 20 cm$

(D) लंबाई $\leq 20 cm$

समाधान (C) सही विकल्प है। यदि $x cm$ चौड़ाई है, तो

$ 2(3 x+x) \geq 160 \Rightarrow x \geq 20 $

~~उदाहरण 12 चर $x$ में सिस्टम के समीकरणों के हल नीचे दी गई प्रकार से संख्या रेखाओं पर प्रतिष्ठित होते हैं, तो

चित्र 6.1

(A) $x \in(-\infty,-4] \cup[3, \infty)$

(B) $x \in[-3,1]$

(C) $x \in(-\infty,-4) \cup[3, \infty)$

(D) $x \in[-4,3]$

समाधान (A) सही विकल्प है

समीकरणों का समान समाधान $-\infty$ से -4 और 3 से $\infty$ तक है।

~~उदाहरण 13 यदि $|x+3| \geq 10$, तो

(A) $x \in(-13,7]$

(B) $x \in(-13,7]$

(C) $x \in(-\infty,-13] \cup[7, \infty)$

(D) $x \in[-\infty,-13] \cup[7, \infty)$

समाधान (D) सही विकल्प है, क्योंकि $|x+3| \geq 10, \Rightarrow x+3 \leq-10$ या $x+3 \geq 10$

$\Rightarrow \quad x \leq-13$ या $x \geq 7$

$\Rightarrow \quad x \in(-\infty,-13] \cup[7, \infty)$

~~उदाहरण 14 निम्नलिखित कथनों का वाक्यंश है, सत्य या असत्य।

(i) यदि $x>y$ और $b<0$ है, तो $b x<b y$ होता है

(ii) यदि $x y>0$ है, तो $x>0$, और $y<0$ होते हैं

(iii) यदि $x y<0$ है, तो $x>0$, और $y>0$ होते हैं

(iv) यदि $x>5$ और $x>2$ है, तो $x \in(5, \infty)$ होता है

(v) यदि $|x|<5$ है, तो $x \in(-5,5)$ होता है

(vi) $x>-2$ का ग्राफ यह होता है

(vii) समाधान $x-y \leq 0$ का सेट होता है

चित्र 6.2

समाधान

(i) सत्य है, क्योंकि किसी असीमित मात्रा को हम यदि किसी ऋणात्मक मात्रा से गुणा करते हैं, तो समाकोणिकीच्छुनता की निशानी बदल जाती है।

(ii) असत्य है, यदि दो नंबर का गुणन हम दोनों के अद्यतन में होती है, तो वह सकर्मक होता है।

(iii) असत्य है, दो नंबर की गुणन ऐसी कभी नहीं होती है, जब वे विपरीत लक्षण रखते हों।

(iv) सत्य है

(v) सत्य है अगर $|x|<5 \Rightarrow-5<x<5 \Rightarrow x \in(-5,5)$।

चित्र 6.3

(vi) असत्य है, क्योंकि $x>-2$ के लिए, रेखा $x=-2$ को डॉटेड होनी चाहिए, अर्थातः क्षेत्र में $x=-2$ वाले बिंदुओं को शामिल नहीं किया जाता है।

(vii) असत्य है, क्योंकि $(1,0)$ दिए गए असमीकरण को पूरा नहीं करता और यह छाया हुआ हिस्सा में एक बिंदु है।

~~उदाहरण 15 निम्नलिखित में खाली स्थान भरें:

(i) यदि $x \geq-3$ है, तो $x+5$ यह होता है

(ii) यदि $-x \leq-4$ है, तो $2 x$ 8 होता है

(iii) यदि $\frac{1}{x-2}<0$ है, तो $x$ 2 होता है

(iv) यदि $a<b$ है और $c<0$ है, तो $\frac{a}{c} \ldots \ldots \ldots . . . \ldots \ldots \frac{b}{c}$ होता है

(v) यदि $|x-1| \leq 2$ है, तो $-1 \ldots . . . x \ldots 3$ होता है

(vi) यदि $|3 x-7|>2$ है, तो $x \ldots \frac{5}{3}$ या $x \ldots 3$ होता है

(vii) यदि $p>0$ है और $q<0$ है, तो $p+q \ldots p$ होता है

समाधान

(i) ( $\geq$ ) संख्या को प्रत्येक तरफ जोड़ा जा सकता है बिना किसी नापसंदीज़री के।

(ii) ( $\geq$ ) दोनों ओरों को -2 से गुणा करने के बाद, असामान्यता की निशानी बदल जाती है।

(iii) (<) क्योंकि $\frac{a}{b}<0$ और $a>0$ है, तो $b<0$ होगा।

(iv) ( $>$ ) यदि दोनों ओरों को एक ही नकारात्मक मात्रा से विभाजित किया जाता है, तो असमानता की निशानी बदल जाती है।

(v) ( $\leq, \leq$), |x-1| $\leq$ 2 $\Rightarrow$ -2 $\leq$ x-1 $\leq$ 2 $\Rightarrow$ -1 $\leq$ x $\leq$ 3।

(vi) (<,>), |3 x-7|>2 $\Rightarrow$ 3 x-7<-2 or 3 x-7>2

$\Rightarrow$ x<$\frac{5}{3}$ or x>3

(vii) (<), क्योंकि p धनात्मक है और q नकारात्मक है, इसलिए p+q हमेशा p से कम होता है।

6.3 अभ्यास

संक्षेप उत्तर प्रकार

अभ्यास में संख्या अनिश्चितताओं के के उपास्यतमान करें।

1. $\frac{4}{x+1} \leq 3 \leq \frac{6}{x+1},(x>0)$

2. $\frac{\left|x-2\right|-1}{\left|x-2\right|-2} \leq 0$

3. $\frac{1}{\left|x\right|-3} \leq \frac{1}{2}$

4. $\left|x-1\right| \leq 5,\left|x\right| \geq 2$

5. $-5 \leq \frac{2-3 x}{4} \leq 9$

6. $4 x+3 \geq 2 x+17,3 x-5<-2$.

7. एक कंपनी कैसेट बनाती है। इसका लागत और राजस्व फ़ंक्शन $C(x)=26,000+30 x$ और $R(x)=43 x$ है, जहां $x$ सप्ताह में उत्पादित और बेचे जाने वाली कैसेट की संख्या है।हाथें कैसेट को हासिल करने के लिए कितनी कैसेटें बेची जानी चाहिए?

8. एक पूल में जल का अम्लता सामान्य मानी जाती है जब तीन दैनिक मापनों का औसत $pH$ रीडिंग 8.2 से 8.5 के बीच होता है। यदि पहले दो $pH$ रीडिंग 8.48 और 8.35 हैं, तो तीसरी पढ़ने के लिए $pH$ मान की सीमा क्या होगी जो अम्लता स्तर नॉमल होने पर पहुंचाएगी।

9. एक समाधान का $9 % $ एसिड $3 % $ एसिड चिपचिपे से बढ़ाने के लिए है। परिणामस्वरूपित मिश्रण $5 % $ से अधिक लेकिन $7 % $ से कम अम्ल होगा। यदि $9 % $ समाधान में 460 लीटर हैं, तो कितने लीटर $3 % $ समाधान को जोड़ना पड़ेगा?

10. एक समाधान को $40^{\circ} C$ और $45^{\circ} C$ के बीच रखा जाना चाहिए। अगर परिवर्तन सूत्र है $\frac{9}{5} C+32$ तो फारनहाइट मापन प्रणाली में सापेक्ष तापमान का क्या सीमा होगा?

11. एक त्रिभुज की सबसे लंबी ओर सबसे छोटी ओर के दोगुने होते हैं और तीसरी ओर सबसे छोटी ओर से $2 से$ कम है। यदि त्रिभुज का परिधि $166 सेमी$ से अधिक होता है, तो सबसे छोटी ओर की न्यूनतम लंबाई क्या होगी?

12. दुनिया के गहरी होल पंखड़ी के नीचे $x$ से $155^{\circ} C$ और $205^{\circ} C$ के बीच तापमान $T$ को निर्धारित किया गया था $T=30+25(x-3)$, $3 \leq x \leq 15$ . – शहर तक यात्रा करो। कितनी गहराई पर तापमान $155^{\circ} C$ से $205^{\circ} C$ के बीच होगा?

लंबे उत्तर प्रकार

13. एक प्रणाली की समस्या $\frac{2 x+1}{7 x-1}>5, \frac{x+7}{x-8}>2$ का सीमांकन करें।

14. समयबद्धता क्षेत्र का समाधान सेट होने के लिए रेखांकन असंवेदी मापांकिता की तलिका खोजें।

15. दी गई चित्र में छायांकित क्षेत्र के लिए रेखांकिता की तलिका खोजें।

ही संस्करण:

Fig 6.6

~~ 16. दिखाएँ कि निम्नलिखित रैखिक असमेज का कोई समाधान नहीं है। $x+2 y \leq 3,3 x+4 y \geq 12, x \geq 0, y \geq 1$

~~ 17. निम्नलिखित रैखिक असमेज के समाधान का पता लगाएँ:

$3 x+2 y \geq 24,3 x+y \leq 15, x \geq 4$

~~ 18. दिखाएँ कि निम्नलिखित रैखिक असमेज का समाधान सेट एक असीमित क्षेत्र है

$2 x+y \geq 8, x+2 y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$

उद्देश्य प्रकार का प्रश्न

प्रत्येक अभ्यास 19 से 26 (एम.सी.क्यू.) में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 19. यदि $x <5$ है, तो

(A) $-x<-5$

(B) $-x \leq-5$

(C) $-x>-5$

(D) $-x \geq-5$

~~ 20. यदि दिया गया है कि $x, y$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $x<y, b<0$ है, तो

(A) $\frac{x}{b}<\frac{y}{b}$

(B) $\frac{x}{b} \leq \frac{y}{b}$

(C) $\frac{x}{b}>\frac{y}{b}$

(D) $\frac{x}{b} \geq \frac{y}{b}$

~~ 21. यदि $-3 x+17<-13$ होता है तो,

(A) $x \in(10, \infty)$

(B) $x \in[10, \infty)$

(C) $x \in(-\infty, 10]$

(D) $x \in[-10,10)$

~~ 22. यदि $x$ एक वास्तविक संख्या है और $|x|<3$ है तो,

(A) $x \geq 3$

(B) $-3<x<3$

(C) $x \leq-3$

(D) $-3 \leq x \leq 3$

~~ 23. $x$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $b>0$ है और $|x|>b$ है तो,

(A) $x \in(-b, \infty)$

(B) $x \in[-\infty, b)$

(C) $x \in(-b, b)$

(D) $x \in(-\infty,-b) \cup(b, \infty)$

~~ 24. यदि $|x-1|>5$ होता है तो,

(A) $x \in(-4,6)$

(B) $x \in[-4,6]$

(C) $x \in[-\infty,-4) \cup(6, \infty)$

(D) $x \in[-\infty,-4) \cup[6, \infty)$

~~ 25. यदि $|x+2| \leq 9$ होता है तो,

(A) $x \in(-7,11)$

(B) $x \in[-11,7]$

(C) $x \in(-\infty,-7) \cup(11, \infty)$

(D) $x \in(-\infty,-7) \cup[11, \infty)$

~~ 26. निम्नलिखित चित्र का प्रतिष्ठित करने वाले असमेज को प्रतिस्थापित करें:

Fig 6.7

(A) $|x|<5$

(B) $|x| \leq 5$

(C) $|x|>5$

(D) $|x| \geq 5$

27 से 30 तक संख्या पंक्ति पर रैखिक असमेज की समाधान प्रकट करें। प्रत्येक अभ्यास में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें (एम.सी.क्यू.).

~~ 27. (A) $x \in(-\infty, 5)$

(B) $x \in(-\infty, 5]$

(C) $x \in[5, \infty$,

(D) $x \in(5, \infty)$

~~ 28. (A) $x \in(\frac{9}{2}, \infty)$

(B) $x \in[\frac{9}{2}, \infty)$

(D) $x \in[-\infty, \frac{9}{2}.$ )

(D) $x \in(-\infty, \frac{9}{2}]$

Fig 6.8

5

~~ 31. निम्नलिखित कथनों में से कौन सा सत्य या गलत है इसका उल्लेख करें

(i) यदि $x<y$ है और $b<0$ है, तो $\frac{x}{b}<\frac{y}{b}$ होता है।

(ii) यदि $x y>0$ होता है तो $x>0$ होता है और $y<0$ होता है।

(iii) यदि $x y>0$ होता है तो $x<0$ होता है और $y<0$ होता है।

(iv) यदि $x y<0$ होता है तो $x<0$ होता है और $y<0$ होता है।

(v) यदि $x<-5$ है और $x<-2$ है तो $x \in(-\infty,-5)$ होता है।

(vi) यदि $x<-5$ है और $x>2$ है तो $x \in(-5,2)$ होता है।

(vii) यदि $x>-2$ है और $x<9$ है तो $x \in(-2,9)$ होता है।

(viii) यदि $|x|>5$ है तो $x \in(-\infty,-5) \cup[5, \infty)$ होता है।

कंटेंट के हिंदी संस्करण होगा: (ix) यदि $|x| \leq 4$ है, तो $x \in[-4,4]$ होगा।

(x) $x<3$ का ग्राफ इस प्रकार होगा:

चित्र 6.12

(xi) $x \geq 0$ का ग्राफ इस प्रकार होगा:

चित्र 6.13

(xii) $y \leq 0$ का ग्राफ इस प्रकार होगा:

चित्र 6.14

(xiii) $x \geq 0$ और $y \leq 0$ का समाधान संचिका इस प्रकार होगा:

चित्र 6.15

(xiv) $x \geq 0$ और $y \leq 1$ का समाधान संचिका इस प्रकार होगा:

चित्र 6.16

(xv) $x+y \geq 0$ का समाधान संचिका इस प्रकार होगा:

चित्र 6.17

~~ 32. निम्नलिखित स्थानों को भरें:

(i) यदि $-4 x \geq 12$ हो तो $x$ … $-3$ होगा।

(ii) यदि $\frac{-3}{4} x \leq-3$ है तो $x$ … $4$ होगा।

(iii) यदि $\frac{2}{x+2}>0$ है तो $x$ … $-2$ होगा।

(iv) यदि $x>-5$ है, तो $4 x$ … $-20$ होगा।

(v) यदि $x>y$ है और $z<0$ है, तो $-x z$ … $-y z$ होगा।

(vi) यदि $p>0$ है और $q<0$ है, तो $p-q$ … $p$ होगा।

(vii) यदि $|x+2|>5$ है तो $x$ … $-7$ या $x$ … $3$ होगा।

(viii) यदि $-2 x+1 \geq 9$ है, तो $x$ … $-4$ होगा।