अध्याय 13

सीमाएँ और अवकलनीय

13.1 अवलोकन

13.1.1 एक फ़ंक्शन की सीमा

यदि $f$ एक फ़ंक्शन है जो हम एक अंतराल में मान्य बनाते हैं, कहते हैं, I। हम $f$ की सीमा की संकेति का अध्ययन करेंगे, जो फ़ंक्शन $f$ की मान्यता की स्थितियों को $a$ के पास है।

हम कहते हैं कि $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$, $f$ के अपेक्षित मान है $x=a$ पर, $a$ के बाईं ओर मान्यता के निकटतम मानों के मान। इस मान को $f$ की बाईं हाथ की सीमा कहा जाता है $a$ पर।

हम कहते हैं कि $\lim _{x \to a^{+}} f(x)$, $f$ के अपेक्षित मान है $x=a$ पर, $a$ के दायां ओर मान्यता के निकटतम मानों के मान। इस मान को $f$ की दायां हाथ की सीमा कहा जाता है $a$ पर।

अगर दायां और बाईं हाथ सीमाएं मेल करती हैं, तो हम उनको सामान्य मान के रूप में कहते हैं, $f$ की सीमा का। इसे हम $\lim _{x \to a} f(x)$ से दर्शाते हैं।

कुछ सीमाओं की गुणधर्म

यदि $f$ और $g$ दो ऐसे फ़ंक्शन हैं जिनकी दोनों $\lim _{x \to a} f(x)$ और $\lim _{x \to a} g(x)$ मौजूद हैं। तब

(i) $\lim _{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim _{x \to a} f(x)+\lim _{x \to a} g(x)$

(ii) $\lim _{x \to a}[f(x)-g(x)]=\lim _{x \to a} f(x)-\lim _{x \to a} g(x)$

(iii) हर वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए

$ \lim _{x \to a}(\alpha f)(x)=\alpha \lim _{x \to a} f(x) $

(iv) $\lim _{x \to a}[f(x) g(x)]=[\lim _{x \to a} f(x) \lim _{x \to a} g(x)]$

$ \lim _{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \to a} f(x)}{\lim _{x \to a} g(x)}, \text{ यदि } g(x) \neq 0 $

पहाड़ों और अनुपातिक फ़ंक्शनों की सीमाओं

यदि $f$ एक पहाड़ी फ़ंक्शन है, तो $\lim _{x \to a} f(x)$ मौजूद और यह दिया जाता है

$ \lim _{x \to a} f(x)=f(a) $

एक महत्वपूर्ण सीमा

एक महत्वपूर्ण सीमा जो अत्यंत उपयोगी होती है और उपयोग में आनेवाली है नीचे दी गई है:

$ \lim _{x \to a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=n a^{n-1} $

टिप्पणी उपरोक्त संख्यात्मक सकारात्मक लक्षण के लिए मान्य रहती है, जो ’ $a$ ’ सकारात्मक होता है।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की सीमाएँ

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की सीमाएँ मान्य करने के लिए, हम निम्न सीमाओं का उपयोग करेंगे, जो नीचे दिए गए हैं:

$ \text{ (i) } \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \text{ (ii) } \lim _{x \to 0} \cos x=1 \quad \text{ (iii) } \lim _{x \to 0} \sin x=0 $

13.1.2 विलोम अवकलनी

मान लें $f$ एक वास्तविक मान की फ़ंक्शन है, तो

$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)=\lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \text{1} \end{aligned} $

को $f$ की विलोम अवकलनी कहा जाता है $x$ पर, यहां तक कि (1) के R.H.S पर सीमा मौजूद हो।

फ़ंक्शन की विलोम की बीजागणित जैसा कि पहले ही कहा गया है, सीमा के बहुत सी सीमा के निकट में सीधे ढंग से शामिल करने की उम्मीद होती है, हमें प्रत्याशा होती है कि विलोम के नियम लगभग ऐसे ही होंगे जैसे सीमाओं के।

चलो $f$ और $g$ दो ऐसे फ़ंक्शन हों, जिनकी विलोम एक समान डोमेन में परिभाषित हों। तब:

(i) दो फ़ंक्शनों के योग की विलोम है फ़ंक्शनों के विलोम की योग।

$ \frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{d x} f(x)+\frac{d}{d x} g(x) $

(ii) दो फ़ंक्शनों के अंतर की विलोम है फ़ंक्शनों के विलोम की अंतर।

$ \frac{d}{d x}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{d x} f(x)-\frac{d}{d x} g(x) $

(iii) चरणों के गुणांक के गौणफल को निम्नलिखित गुणांक नियम द्वारा दिया गया है।

$\frac{d}{d x}[f(x) \cdot g(x)]=\frac{d}{d x} f(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot \frac{d}{d x} g(x)$

इसे दो फ़ंक्शनों के गुणांक के लिए लीबनित्स नियम के रूप में भी संदर्भित किया जाता है।

(iv) दो फ़ंक्शनों के भाग के गुणांक को निम्नलिखित भाग नियम द्वारा दिया गया है (जहां नामकस्थ शून्य नहीं होता है)।

$ \frac{d}{d x} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{d}{d x} f(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot \frac{d}{d x} g(x)}{(g(x))^{2}} $

13.2 हल किए गए उदाहरण

लघु उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 1 मूल्यांकन करें $\lim _{x \to 2} \frac{1}{x-2}-\frac{2(2 x-3)}{x^{3}-3 x^{2}+2 x}$

समाधान हमें

$ \begin{aligned} \lim _{x \to 2} \frac{1}{x-2}-\frac{2(2 x-3)}{x^{3}-3 x^{2}+2 x} & =\lim _{x \to 2} \frac{1}{x-2}-\frac{2(2 x-3)}{x(x-1)(x-2)} \ & =\lim _{x \to 2} \frac{x(x-1)-2(2 x-3)}{x(x-1)(x-2)} \ & =\lim _{x \to 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x(x-1)(x-2)} \ & =\lim _{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)} \quad[x-2 \neq 0] \ & =\lim _{x \to 2} \frac{x-3}{x(x-1)}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $

~~उदाहरण 2 मूल्यांकन करें $\lim _{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}$

समाधान $y=2+x$ रखें ताकि जब $x \to 0, y \to 2$। तब

$ \begin{aligned} \lim _{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x} & =\lim _{y \to 2} \frac{y^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}}{y-2} \ & =\frac{1}{2}(2)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{aligned} $

~~उदाहरण 3 सकारात्मक पूर्णांक $n$ ढूंढें जिसके लिए $\lim _{x \to 3} \frac{x^{n}-3^{n}}{x-3}=108$।

समाधान हमें

$ \lim _{x \to 3} \frac{x^{n}-3^{n}}{x-3}=n(3)^{n-1} $

इसलिए,

$ n(3)^{n-1}=108=4(27)=4(3)^{4-1} $

तुलना करके, हमें

$ n=4 $

मिलता है।

~~उदाहरण 4 मूल्यांकन करें $\lim _{x \to \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$

समाधान $y=\frac{\pi}{2}-x$ रखें। तब $x \to \frac{\pi}{2}$ के बराबर होते हैं। इसलिए

$ \begin{aligned} \lim _{x \to \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x) & =\lim _{y \to 0}[\sec (\frac{\pi}{2}-y)-\tan (\frac{\pi}{2}-y)] \ & =\lim _{y \to 0}(cosec y-\cot y) \ & =\lim _{y \to 0} \frac{1}{\sin y}-\frac{\cos y}{\sin y} \ & =\lim _{y \to 0} \frac{1-\cos y}{\sin y} \end{aligned} $

$=\lim _{y \to 0} \frac{2 \sin ^{2} \frac{y}{2}}{2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2}}$

क्योंकि, $\sin ^{2} \frac{y}{2}=\frac{1-\cos y}{2}$

$\sin y=2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2}$

$=\lim _{\frac{y}{2} \to 0} \tan \frac{y}{2}=0$

~~उदाहरण 5 मूल्यांकन करें $\lim _{x \to 0} \frac{\sin (2+x)-\sin (2-x)}{x}$

समाधान (i) हमें

$ \begin{aligned} \lim _{x \to 0} \frac{\sin (2+x)-\sin (2-x)}{x} & =\lim _{x \to 0} \frac{2 \cos \frac{(2+x+2-x)}{2} \sin \frac{(2+x-2+x)}{2}}{x} \ & =\lim _{x \to 0} \frac{2 \cos 2 \sin x}{x} \ & =2 \cos 2 \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=2 \cos 2 \text{ जब } \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \end{aligned} $

~~उदाहरण 6 $f(x)=a x+b$ का अवकलन करें, जहां $a$ और $b$ गैर-शून्य संख्याएँ हैं, पहले सिद्धांत के अनुसार।

समाधान परिभाषा के अनुसार, $

विषयस्थानिकी द्वारा अगणित सुचना है।

विषयस्थानिकी द्वारा अगणित सुचना है।

उदाहरण 7: पहले सिद्धांत से f(x) = a x² + b x + c का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: परिभाषणा के अनुसार,

f’(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

= lim(h → 0) [a(x + h)² + b(x + h) + c - (a x² + b x + c)] / h

= lim(h → 0) [(a x² + 2 a x h + a h² + b x + b h + c) - (a x² + b x + c)] / h

= lim(h → 0) [2 a x h + a h² + b h] / h

= lim(h → 0) [h(2 a x + a h + b)] / h

= lim(h → 0) [2 a x + a h + b]

= b + 2 a x

त्क्लता हुआ उत्तर: b + 2 a x

उदाहरण 8: पहले सिद्धांत से f(x) = x³ का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: परिभाषणा के अनुसार,

f’(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

= lim(h → 0) [(x + h)³ - x³] / h

= lim(h → 0) [x³ + 3 x² h + 3 x h² + h³ - x³] / h

= lim(h → 0) [3 x² h + 3 x h² + h³] / h

= lim(h → 0) [h(3 x² + 3 x h + h²)] / h

= lim(h → 0) [3 x² + 3 x h + h²]

= 3 x²

त्क्लता हुआ उत्तर: 3 x²

उदाहरण 9: पहले सिद्धांत से f(x) = 1 / x का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: परिभाषणा के अनुसार,

f’(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

= lim(h → 0) [1 / (x + h) - 1 / x]

= lim(h → 0) [(1 - (x + h)) / (x (x + h))]

= lim(h → 0) [(-h) / (x (x + h))]

= -1 / (x²)

त्क्लता हुआ उत्तर: -1 / (x²)

उदाहरण 10: पहले सिद्धांत से f(x) = sin x का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: परिभाषणा के अनुसार,

f’(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

= lim(h → 0) [sin (x + h) - sin x] / h

= lim(h → 0) [2 cos((2 x + h) / 2) sin(h / 2)] / (2 (h / 2))

= lim(h → 0) [cos((2 x + h) / 2)] * lim(h → 0) [sin(h / 2) / (h / 2)]

= cos x * 1

= cos x

त्क्लता हुआ उत्तर: cos x

उदाहरण 11: पहले सिद्धांत से f(x) = xⁿ का विभक्तीयान खोजकर निकालिये, यहाँ न गणनीय पूर्णांक है।

समाधान: परिभाषणा के अनुसार,

f’(x) = [f(x + h) - f(x)] / h

= [(x + h)ⁿ - xⁿ] / h

नोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें (x + h)ⁿ = ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ xⁿ⁻¹ h + … + ⁿCₙ hⁿ

इसलिए,

f’(x) = lim(h → 0) [(x + h)ⁿ - xⁿ] / h

= lim(h → 0) [ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ xⁿ⁻¹ h + … + ⁿCₙ hⁿ - xⁿ] / h

= lim(h → 0) [ⁿC₁ xⁿ⁻¹ h + ⁿC₂ xⁿ⁻² h² + … + ⁿCₙ hⁿ] / h

= lim(h → 0) [h (ⁿC₁ xⁿ⁻¹ + ⁿC₂ xⁿ⁻² h + … + ⁿCₙ hⁿ⁻¹)] / h

= lim(h → 0) [ⁿC₁ xⁿ⁻¹ + ⁿC₂ xⁿ⁻² h + … + ⁿCₙ hⁿ⁻¹]

= ⁿC₁ xⁿ⁻¹

त्क्लता हुआ उत्तर: ⁿC₁ xⁿ⁻¹

उदाहरण 12: f(x) = 2 x⁴ + x का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: y = 2 x⁴ + x लेते हैं

दोनों पक्षों को x के साथ विभक्त करते हुए हमें मिलता है

dy / dx = d / dx (2 x⁴) + d / dx (x)

= 2 × 4 x⁴⁻¹ + 1 × x⁰

= 8 x³ + 1

इसलिए,

d / dx (2 x⁴ + x) = 8 x³ + 1

उदाहरण 13: f(x) = x² cos x का विभक्तीयान खोजकर निकालिये।

समाधान: y = x² cos x लेते हैं

दोनों पक्षों को x के साथ विभक्त करते हुए हमें मिलता है

dy / dx = d / dx (x² cos x)

= x² × d / dx (cos x) + cos x × d / dx (x²)

= x² × (-sin x) + cos x × (2 x)

= 2 x cos x - x² sin x

त्क्लता हुआ उत्तर: 2 x cos x - x² sin x

~~उदाहरण 14 मान्यता दें $\lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2 \sin ^{2} x+\sin x-1}{2 \sin ^{2} x-3 \sin x+1}$

समाधान ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} 2 \sin ^{2} x+\sin x-1 & =(2 \sin x-1)(\sin x+1) \\ 2 \sin ^{2} x-3 \sin x+1 & =(2 \sin x-1)(\sin x-1) \end{aligned} $

इसलिए, $\lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2 \sin ^{2} x+\sin x-1}{2 \sin ^{2} x-3 \sin x+1}=\lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{(2 \sin x-1)(\sin x+1)}{(2 \sin x-1)(\sin x-1)}$

$ \begin{aligned} & =\lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x+1}{\sin x-1} \quad(\text{ यहां } 2 \sin x-1 \neq 0) \\ & =\frac{1+\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}-1}=-3 \end{aligned} $

~~उदाहरण 15 मान्यता दें $\lim _{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$

समाधान हमारे पास है

$ \begin{aligned} \lim _{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x} & =\lim _{x \to 0} \frac{\sin x \frac{1}{\cos x}-1}{\sin ^{3} x} \\ & =\lim _{x \to 0} \frac{1-\cos x}{\cos x \sin ^{2} x} \\ & =\lim _{x \to 0} \frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos x \sin ^{2} \frac{x}{2} \cdot \cos ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

~~उदाहरण 16 मान्यता दें $\lim _{x \to a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$

समाधान हमारे पास है $\lim _{x \to a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}$

$ \begin{matrix} =\lim _{x \to a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x}}{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x}} \\ =\lim _{x \to a} \frac{a+2 x-3 x}{(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})} \\ =\lim _{x \to a} \frac{(a-x)(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})}{(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x})(\sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x})} \\ =\lim _{x \to a} \frac{(a-x) \sqrt{3 a+x}+2 \sqrt{x}}{(\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 x})(3 a+x-4 x)} \end{matrix} $

$ =\frac{4 \sqrt{a}}{3 \times 2 \sqrt{3 a}}=\frac{2}{3 \sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{9} . $

~~उदाहरण 17 मान्यता दें $\lim _{x \to 0} \frac{\cos a x-\cos b x}{\cos c x-1}$

समाधान हमारे पास है $\lim _{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{(a+b)}{2} x \sin \frac{(a-b) x}{2}}{2 \frac{\sin ^{2} c x}{2}}$

$ \begin{gathered} =\lim _{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{(a+b) x}{2} \cdot \sin \frac{(a-b) x}{2}}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{\sin ^{2} \frac{c x}{2}} \\ =\lim _{x \to 0} \frac{\sin \frac{(a+b) x}{2}}{\frac{(a+b) x}{2} \cdot \frac{2}{a+b}} \cdot \frac{\sin \frac{(a-b) x}{2}}{\frac{(a-b) x}{2} \cdot \frac{2}{a-b}} \cdot \frac{\frac{c x^{2}}{2} \times \frac{4}{c^{2}}}{\sin ^{2} \frac{c x}{2}} \\ = \\ \frac{a+b}{2} \times \frac{a-b}{2} \times \frac{4}{c^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}} \end{gathered} $

~~उदाहरण 18 मान्यता दें $\lim _{h \to 0} \frac{(a+h)^{2} \sin (a+h)-a^{2} \sin a}{h}$

समाधान हमारे पास है $\lim _{h \to 0} \frac{(a+h)^{2} \sin (a+h)-a^{2} \sin a}{h}$

$ \begin{aligned} & =\lim _{h \to 0} \frac{(a^{2}+h^{2}+2 a h)[\sin a \cos h+\cos a \sin h]-a^{2} \sin a}{h} \\

आपूर्ति: & =\lim _{h \to 0}[\frac{a^{2} \sin a(\cos h-1)}{h}+\frac{a^{2} \cos a \sin h}{h}+(h+2 a)(\sin a \cos h+\cos a \sin h)] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \lim _{h \to 0} \frac{a^{2} \sin a(-2 \sin ^{2} \frac{h}{2})}{\frac{h^{2}}{2}} \cdot \frac{h}{2}+\lim _{h \to 0} \frac{a^{2} \cos a \sin h}{h}+\lim _{h \to 0}(h+2 a) \sin (a+h) \\ = & a^{2} \sin a \times 0+a^{2} \cos a(1)+2 a \sin a \\ = & a^{2} \cos a+2 a \sin a . \end{aligned} $

~~उदाहरण 19 ईगो ढंगे से $f(x)=\tan (a x+b)$ का पहले सिधान्त से अवकलजन कीजिए।

समाधान हमारे पास $f^{\prime}(x)=\lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ है

$ \begin{aligned} & =\lim _{h \to 0} \frac{\tan (a(x+h)+b)-\tan (a x+b)}{h} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{\frac{\sin (a x+a h+b)}{\cos (a x+a h+b)}-\frac{\sin (a x+b)}{\cos (a x+b)}}{h} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{\sin (a x+a h+b) \cos (a x+b)-\sin (a x+b) \cos (a x+a h+b)}{h \cos (a x+b) \cos (a x+a h+b)} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{a \sin (a h)}{a \cdot h \cos (a x+b) \cos (a x+a h+b)} \\ & .=\lim _{h \to 0} \frac{a}{\cos (a x+b) \cos (a x+a h+b)} \lim _{a h \to 0} \frac{\sin a h}{a h} \text{ [जब } h \to 0 \text{ तब } a h \to 0\text{]} \\ & =\frac{a}{\cos ^{2}(a x+b)}=a \sec ^{2}(a x+b) . \end{aligned} $

~~उदाहरण 20 ईगो ढंगे से $f(x)=\sqrt{\sin x}$ का पहले सिधान्त से अवकलजन कीजिए।

समाधान परिभाषा के अनुसार,

$ f^{\prime}(x)=\lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

$ \begin{aligned} & =\lim _{h \to 0} \frac{\sqrt{\sin (x+h)}-\sqrt{\sin x}}{h} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{(\sqrt{\sin (x+h)}-\sqrt{\sin x})(\sqrt{\sin (x+h)}+\sqrt{\sin x})}{h(\sqrt{\sin (x+h)}+\sqrt{\sin x})} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h(\sqrt{\sin (x+h)}+\sqrt{\sin x})} \\ & =\lim _{h \to 0} \frac{2 \cos \frac{2 x+h}{2} \sin \frac{h}{2}}{2 \cdot \frac{h}{2}(\sqrt{\sin (x+h)}+\sqrt{\sin x})} \\ & =\frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}}=\frac{1}{2} \cot x \sqrt{\sin x} \end{aligned} $

~~उदाहरण 21 $\frac{\cos x}{1+\sin x}$ का अवकलजन कीजिए।

समाधान $y=\frac{\cos x}{1+\sin x}$ मान लें।

दोनों ओर से $x$ के साथ अवकलजित करें, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{d}{d x} \frac{\cos x}{1+\sin x} \\ & =\frac{(1+\sin x) \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}} \\ & =\frac{(1+\sin x)(-\sin x)-\cos x(\cos x)}{(1+\sin x)^{2}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\frac{-\sin x-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{(1+\sin x)^{2}} \\ & =\frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}}=\frac{-1}{1+\sin x} \end{aligned} $

उद्दीपक प्रकार के प्रश्न

उदाहरण 22 से 28 (M.C.Q.) में दिए गए चार विकल्पों में से सही विकल्प का चयन कीजिए।

उदाहरण 22 $ \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x(1+\cos x)}$ बराबर होता है

(A) 0

(B) $\frac{1}{2}$

(C) 1

(D) -1

समाधान (B) सही उत्तर है, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x(1+\cos x)} & =\lim _{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} \\

केन्द्रीय बहुभुज तरंग

1. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 3} \frac{x^{2}-9}{x-3}$

2. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2}-1}{2 x-1}$

3. चर $h$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

4. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 0} \frac{(x+2)^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{1}{3}}}{x}$

5. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 1} \frac{(1+x)^{6}-1}{(1+x)^{2}-1}$

6. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to a} \frac{(2+x)^{\frac{5}{2}}-(a+2)^{\frac{5}{2}}}{x-a}$

7. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 1} \frac{x^{4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

8. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{\sqrt{3 x-2}-\sqrt{x+2}}$

9. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to \sqrt{2}} \frac{x^{4}-4}{x^{2}+3 \sqrt{2 x}-8}$

10. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 1} \frac{x^{7}-2 x^{5}+1}{x^{3}-3 x^{2}+2}$

11. चर $x$ के लिए रेखांकित करें $\lim _{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^{3}}-\sqrt{1-x^{3}}}{x^{2}}$

12. $12. \lim _{x \to-3} \frac{x^{3}+27}{x^{5}+243}$

~~ 13. $13. \lim _{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x-3}{2 x-1}-\frac{4 x^{2}+1}{4 x^{2}-1}$

~~ 14. Find ’n’, if $14. \lim _{x \to 2} \frac{x^{n}-2^{n}}{x-2}=80, n \in \mathbf{N}$

~~ 15. $15. \lim _{x \to a} \frac{\sin 3 x}{\sin 7 x}$

~~ 16. $16. \lim _{x \to 0} \frac{\sin ^{2} 2 x}{\sin ^{2} 4 x}$

~~ 17. $17. \lim _{x \to 0} \frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}$

~~ 18. $18. \lim _{x \to 0} \frac{2 \sin x-\sin 2 x}{x^{3}}$

~~ 19. $19. \lim _{x \to 0} \frac{1-\cos m x}{1-\cos n x}$

~~ 20. $20. \lim _{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{1-\cos 6 x}}{\sqrt{2} \frac{\pi}{3}-x}$

~~ 21. $21. \lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{4}}$

~~ 22. $22. \lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{6}}$

~~ 23. $23. \lim _{x \to 0} \frac{\sin 2 x+3 x}{2 x+\tan 3 x}$

~~ 24. $24. \lim _{x \to a} \frac{\sin x-\sin a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$

~~ 25. $25. \lim _{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\cot ^{2} x-3}{cosec x-2}$

~~ 26. $26. \lim _{x \to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sin ^{2} x}$

~~ 27. $27. \lim _{x \to 0} \frac{\sin x-2 \sin 3 x+\sin 5 x}{x}$

~~ 28. If $28. \lim _{x \to 1} \frac{x^{4}-1}{x-1}=\lim _{x \to k} \frac{x^{3}-k^{3}}{x^{2}-k^{2}}$, then find the value of ‘k’.

Differentiate each of the functions w. r. to ‘x’ in Exercises 29 to 42.

~~ 29. $\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x}$

~~ 30. $x+\frac{1}x^{3}$

~~ 31. $(3 x+5)(1+\tan x)$

~~ 32. $(\sec x-1)(\sec x+1) 33 \cdot \frac{3 x+4}{5 x^{2}-7 x+9}$

~~ 34. $\frac{x^{5}-\cos x}{\sin x}$

~~ 35. $\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}$

~~ 36. $(a x^{2}+\cot x)(p+q \cos x)$

~~ 37. $\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}$

~~ 38. $(\sin x+\cos x)^{2}$

~~ 39. $(2 x-7)^{2}(3 x+5)^{3}$

~~ 40. $x^{2} \sin x+\cos 2 x$

~~ 41. $\sin ^{3} x \cos ^{3} x$

~~ 42. $\frac{1}{a x^{2}+b x+c}$

Long Answer Type

Differentiate each of the functions with respect to ‘x’ in Exercises 43 to 46 using first principle.

~~ 43. $\cos (x^{2}+1)$

~~ 44. $\frac{a x+b}{c x+d}$

~~ 45. $x^{\frac{2}{3}}$

~~ 46. $x \cos x$

Evaluate each of the following limits in Exercises 47 to 53.

~~ 47. $\lim _{y \to 0} \frac{(x+y) \sec (x+y)-x \sec x}{y}$

~~ 48. $\lim _{x \to 0} \frac{(\sin (\alpha+\beta) x+\sin (\alpha-\beta) x+\sin 2 \alpha x)}{\cos 2 \beta x-\cos 2 \alpha x} \cdot x$

~~ 49. $\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{3} x-\tan x}{\cos x+\frac{\pi}{4}}$ 50. $\lim _{x \to \pi} \frac{1-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4}-\sin \frac{x}{4}}$

~~ 51. Show that $\lim _{x \to 4} \frac{|x-4|}{x-4}$ does not exists

~~ 52. Let $f(x)=\begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi-2 x} & \text{ when } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3\end{cases} $ and if $\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)=f(\frac{\pi}{2})$,

find the value of ‘k’.

~~ 53. Let $f(x)=\begin{cases} x+2 & x \leq-1 \\ c x^{2} & x>-1\end{cases} $, find ‘c’ if $\lim _{x \to-1} f(x)$ exists.

कॉन्टेंट का हिन्दी संस्करण है: चयन करें। प्रत्येक व्यायाम 54 से 76 तक के 4 विकल्पों में से सही उत्तर। (M.C.Q)

~~ 54. $\lim _{x \to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}$ है

(A) 1

(B) 2

(C) -1

(D) -2

~~ 55. $\lim _{x \to 0} \frac{x^{2} \cos x}{1-\cos x}$ है

(A) 2

(B) $\frac{3}{2}$

(C) $\frac{-3}{2}$

(D) 1

~~ 56. $\lim _{x \to 0} \frac{(1+x)^{n}-1}{x}$ है

(A) $n$

(B) 1

(C) $-n$

(D) 0

~~ 57. $\lim _{x \to 1} \frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}$ है

(A) 1

(B) $\frac{m}{n}$

(C) $-\frac{m}{n}$

(D) $\frac{m^{2}}{n^{2}}$

~~ 58. $\lim _{x \to 0} \frac{1-\cos 4 \theta}{1-\cos 6 \theta}$ है

(A) $\frac{4}{9}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{-1}{2}$

(D) -1

~~ 59. $\lim _{x \to 0} \frac{cosec x-\cot x}{x}$ है

(A) $\frac{-1}{2}$

(B) 1

(C) $\frac{1}{2}$

(D) 1

~~ 60. $\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}$ है

(A) 2

(B) 0

(C) 1

(D) -1

~~ 61. $\lim _{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} x-2}{\tan x-1}$ है

(A) 3

(B) 1

(C) 0

(D) $\sqrt{2}$

~~ 62. $\lim _{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(2 x-3)}{2 x^{2}+x-3}$ है

(A) $\frac{1}{10}$

(B) $\frac{-1}{10}$

(C) 1

(D) कोई नहीं

~~ 63. यदि $f(x)=\begin{gathered}\frac{\sin [x]}{[x]},[x] \neq 0 \\ 0,[x]=0\end{gathered}$, जहाँ [.] बड़ी पूर्णांक फ़ंक्शन को दर्शाता है, तो $\lim _{x \to 0} f(x)$ बराबर है

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) कोई नहीं

~~ 64. $\lim _{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ है

(A) 1

(B) -1

(C) मौजूद नहीं

(D) कोई नहीं

~~ 65. यदि $f(x)=\begin{aligned} & x^{2}-1,0<x<2 \\ & 2 x+3,2 \leq x<3\end{aligned}$, जिसकी जड़ें $\lim _{x \to 2^{-}} f(x)$ और $\lim _{x \to 2^{+}} f(x)$ हैं

(A) $x^{2}-6 x+9=0$

(B) $x^{2}-7 x+8=0$

(C) $x^{2}-14 x+49=0$

(D) $x^{2}-10 x+21=0$

~~ 66. $\lim _{x \to 0} \frac{\tan 2 x-x}{3 x-\sin x}$ है

(A) 2

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{-1}{2}$

(D) $\frac{1}{4}$

~~ 67. यदि $f(x)=x-[x] ; \in \mathbf{R}$, तो $f^{\prime} \frac{1}{2}$ है

(A) $\frac{3}{2}$

(B) 1

(C) 0

(D) -1

~~ 68. यदि $y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$, तो $x=1$ पर $\frac{d y}{d x}$ के बराबर है

(A) 1

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) 0

~~ 69. यदि $f(x)=\frac{x-4}{2 \sqrt{x}}$, तो $f^{\prime}(1)$ है

(A) $\frac{5}{4}$

(B) $\frac{4}{5}$

(C) 1

(D) 0

~~ 70. यदि $y=\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}$, तो $\frac{d y}{d x}$ है

(A) $\frac{-4 x}{(x^{2}-1)^{2}}$

(B) $\frac{-4 x}{x^{2}-1}$

(C) $\frac{1-x^{2}}{4 x}$

(D) $\frac{4 x}{x^{2}-1}$

~~ 71. यदि $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$, तो $x=0$ पर $\frac{d y}{d x}$ है

(A) -2

(B) 0

(C) $\frac{1}{2}$

(D) मौजूद नहीं

~~ 72. यदि $y=\frac{\sin (x+9)}{\cos x}$, तो $x=0$ पर $\frac{d y}{d x}$ है

(A) $\cos 9$

(B) $\sin 9$

(C) 0

(D) 1

~~ 73. यदि $f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\ldots+\frac{x^{100}}{100}$, तो $f^{\prime}(1)$ है

(A) $\frac{1}{100}$

(B) 100

(C) मौजूद नहीं

(D) 0

~~ 74. यदि $f(x)=\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$ कुछ निर्दिष्ट ‘ए’ के लिए, तो $f^{\prime}(a)$ है

(A) 1

(B) 0

(C) मौजूद नहीं

(D) $\frac{1}{2}$

~~

यदि $f(x)=x^{100}+x^{99}+\ldots+x+1$, तो $f^{\prime}(1)$ के बराबर है

(A) 5050

(B) 5049

(C) 5051

(D) 50051

~~ 76. यदि $f(x)=1-x+x^{2}-x^{3} \ldots-x^{99}+x^{100}$, तो $f^{\prime}(1)$ के बराबर है

(A) 150

(B) -50

(C) -150

(D) 50

उत्तरों को भरें Exercises 77 से 80 तक में

~~ 77. यदि $f(x)=\frac{\tan x}{x-\pi}$, तो $\lim _{x \to \pi} f(x)=$

~~ 78. $\lim _{x \to 0} \sin m x \cot \frac{x}{\sqrt{3}}=2$, तो $m=$

~~ 79. यदि $y=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots$, तो $\frac{d y}{d x}=$

~~ 80. $\lim _{x \to 3^{+}} \frac{x}{[x]}=$