अध्याय 12

तीन आयामी ज्यामिति का परिचय

12.1 अवलोकन

12.1.1 निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तलश्लष्ठ तार

$X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY, Z^{\prime} OZ$ ऐसी तीन मिलते-जुलते लाइनें हैं जो कि एक बिन्दु $O$ से गुजरती हैं और ऐसी हैं कि $X^{\prime} O X$ और $Y^{\prime} O Y$ पेपर की सतह में होती हैं और रेखा $Z^{\prime} OZ$ पेपर की सतह के साथ लंब होती है। इन तीनों लाइनें समरूप अक्ष (लाइनें $X^{\prime} OX, Y^{\prime} O Y$ और $Z^{\prime} OZ$ को $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष कहा जाता है।) के नाम से बुलाए जाते हैं। हम इसे तीन आयामी स्थान, या सादात् स्थान कहते हैं।

पूरे तीनों अक्षों को जुड़े हुए एक-दूसरे के साथ $x y, y z, z x$-तलना निर्धारित करते हैं, अर्थात्, तीनों निर्देशांक तल अविभक्त करते हैं। प्रत्येक तल स्थान को दो भागों में विभक्त करता है और तीनों निर्देशांक तल मिलकर अंतरिक्ष को आठ क्षेत्रों (भागों) में विभक्त करते हैं, जिसे अष्टांक कहा जाता है, जैसे (i) OXYZ (ii) $O X^{\prime} Y Z$ (iii) $O X Y^{\prime} Z$ (iv) $O X Y Z^{\prime}$ (v) $O X Y^{\prime} Z^{\prime}$ (vi) $OX^{\prime} YZ^{\prime}$ (vii) $OX^{\prime} Y^{\prime} Z$ (viii) $OX^{\prime} Y^{\prime} Z^{\prime}$। (चित्र 12.1)

चलिए $P$ को स्थान में कोई भी बिंदु हो, कोई निर्देशांक तल पर नहीं हो, और $P$ से प्लेन पार होते हैं जो $y z, z x$ और $x y$ निर्देशांक तलों के समानतल मिलते हैं, और निर्देशांक अक्षों में A, B, C बिंदुओं में मिलते हैं।

चित्र 12.1

तीन प्लेन हैं (i) ADPF II $y z$-plane (ii) BDPE II $x z$-plane (iii) CFPE II $x y$-plane

ये प्लेनें बद्धचतुर्भुजी निर्धारित करती हैं जिसमें तीनों लंबरेखायें होती हैं

(A D P F, O B E C), (B D P E, C F A O) और (A O B D, FPEC) (चित्र 12.2)

12.1.2 स्थान में बिंदु के निर्देशांक कोण भी मुक्त नीलाय के अनुपात में खुद को निर्धारित करता है $(x_0, y_0, z_0)$ अगर

(1) $y z$-प्लेन बिंदु P के पर के लिए $x$-अक्षांश में $(x_0, 0,0)$ को काटती है;

(2) $x z$-प्लेन बिंदु $P$ के पर के लिए $y$-अक्षांश में $(0, y_0, 0)$ को काटती है;

(3) $x y$-प्लेन बिंदु $P$ के पर के लिए $z$-अक्षांश में $(0,0, z_0)$ को काटती है।

स्थानीय नियमांक $(x_0, y_0, z_0)$ को $P$ के कार्टीशियन नियमांक या सादात् नियमांक कहते हैं।

इसके अलावा हम कह सकते हैं, प्लेन ADPF (चित्र 12.2) $x$-अक्ष पर लंब है या $x$-अक्ष प्लेन ADPF के साथ सम्मिलित है और हर रेखा के साथ लंब है। इसलिए, $PA$ $OX$ पर लंब है और $OX$ PA पर लंब है। इस प्रकार $A$ $P$ और $X$ पर खड़ी लंब है। इस तरह, बिंदु $P$ की नकली-की दूरी $A$ है और $O$ से इस दूरी $A$ को $P$ की $x$-निर्देशांक कहते हैं। इसी तरह से हम $B$ और $C$ को $P$ की $y$-और $z$-निर्देशांक के रूप में कहते हैं और इन दूरियों $B$ और $C$ को $O$ से उन बिंदुओं $B$ और $C$ के के $y$ और $z$ निर्देशांक कहते हैं।

कंटेंट:

चित्र 12.2

इसलिए, स्थान $(x, y, z)$ के बिंदु $P$ की लम्बवत दूरी तीन निर्देशांक तख्तों $yz, zx$ और $xy$ से होती है।

12.1.3 बिंदु के निर्देशांक की चिन्हांकन से कई। यदि $पी$ बंदरगाह $OX, OY, OZ$ के साथ या पैरलेल मापा होगा, तो यह सकारात्मक होगा और $OX^{\prime}, OY^{\prime}, OZ^{\prime}$ के साथ या पैरलेल दूरी नकारात्मक होगी। तीन मुतुअपुर्न निर्देशांक तख्त जो स्थान को आठ भागों में बांट देते हैं और प्रत्येक भाग को अक्टेंट के रूप में जाना जाता है। एक बिंदु के निर्देशांक के चिन्ह उस में लटकते हैं। पहले अक्टेंट में सभी निर्देशांक सकारात्मक होते हैं और सातवें अक्टेंट में सभी निर्देशांक नकारात्मक होते हैं। तीसरे अक्टेंट में $x, y$ निर्देशांक नकारात्मक होते हैं और $z$ सकारात्मक होता है। पांचवें अक्टेंट में $x, y$ सकारात्मक होते हैं और $z$ नकारात्मक होता है। चौथे अक्टेंट में $x, z$ सकारात्मक होते हैं और $y$ नकारात्मक होता है। छठे अक्टेंट में $x, z$ नकारात्मक होते हैं और $y$ सकारात्मक होता है। दूसरे अक्टेंट में $x$ नकारात्मक होता है और $y$ और $z$ सकारात्मक होते हैं।

12.1.4 दूरी सूत्र दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2.$, $z_2$ ) के बीच की दूरी निम्नलिखित होती है

$ PQ=\sqrt{.x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

निर्देशांक तख्त के पैरलेल तख्तों के माध्यम से खींचे गए बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के माध्यम से एक पैरालेलोपिपेड बनता है। कोनों की लंबाई $x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1$ होती है और विकर्ण की लंबाई $\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$ होती है।

12.1.5 सेक्शन सूत्र बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को अन्तर्गत या बाह्य अनुपात $m: n$ में बांटने वाले रेखा के बीच बिंदु $R$ के निर्देशांक निम्नलिखित होते हैं। $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}, \frac{m z_2+n z_1}{m+n},),(\frac{m x_2-n x_1}{m-n}, \frac{m y_2-n y_1}{m-n}, \frac{m z_2-n z_1}{m-n})$, क्रमशः।

दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और

$Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच रेखांकन के बिंदु के निर्देशांक $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$ होते हैं।

त्रिभुज के गुरुत्वाकर्ष के निर्देशांक, जिनके कोण हैं $(x_1, y_1, z_1),(x_2, y_2, z_2)$ और $x_3, y_3, z_3$ हैं, $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ होते हैं।

12.2 हल किए गए उदाहरण

छोटे उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 1 स्थान निर्देश $(i)$ $(2,3,4)$

$(ii)$ $(-2,-2,3)$ का स्थान बताएं।

समाधान

(i) अंतरिक्ष में बिंदु $(2,3,4)$ का पता लगाने के लिए, हम $x$-अक्ष के सकारात्मक दिशा में $O$ से 2 इकाई आगे चलते हैं। इसे बिंदु $A$ $(2,0,0)$ रखें। बिंदु $A$ से $y$-अक्ष की सकारात्मक दिशा में 3 इकाइयों की समानांतर चलें। इसे बिंदु $B(2,3,0)$ रखें। बिंदु $B$ से $z$-अक्ष की सकारात्मक दिशा में 4 इकाइयों की समानांतर चलें। इसे बिंदु $P(2,3,4)$ रखें। चित्र. (12.3)।

चित्र 12.3

(ii) मूलबिंदु से, $x$-अक्ष की नकारात्मक दिशा में 2 इकाइयां आगे चलें। इसे बिंदु $A(-2,0,0)$ रखें। बिंदु $A$ से $y$-अक्ष की नकारात्मक दिशा में 2 इकाइयों की समानांतर चलें।

इसे बिंदु $B(-2,-2,0)$ रखें। बिंदु $B$ से पॉजिटिव दिशा में $z$-अक्ष की समानांतर चलें। यह हमारा आवश्यक बिंदु $Q(-2,-2,3)$ है (चित्र 12.4)।

चित्र 12.4

~~उदाहरण 2 समतल बनाएं (i) $x=1$ (ii) $y=3$ (iii) $z=4$

समाधान

(i) समतल $x=0$ का समतल $y z$-प्लेन की प्रतिनिधित्व करता है और समतल $x=1$ समतल $y z$-प्लेन से 1 इकाई ऊपर स्थित समतल की प्रतिनिधित्व करता है। अब, हम समतल खींचते हैं जो समतल $y z$-प्लेन से 1 इकाई ऊपर स्थित है चित्र 12.5(a)।

(ii) समतल $y=0$ का समतल $x z$-प्लेन की प्रतिनिधित्व करता है और समतल $y=3$ समतल $x z$ - प्लेन से 3 इकाई ऊपर स्थित समतल की प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 12.5(b))।

(iii) समत्ल $z=0$ का समतल $x y$-प्लेन की प्रतिनिधित्व करता है और $z=3$ समतल $x y$- प्लेन से 3 इकाई ऊपर स्थित समतल की प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 12.5(c))।

(a)

(b)

(c)

चित्र 12.5

~~उदाहरण 3 बिंदु $P(3,4,5)$ से आँख के लिए एल, एम, और $एन$ नामक लंबवत खींचें। $पी$ पर $x, y$ और $z$-मुख्य तुल्ययांचे पाद व अभिधानि। का कौम्य क्या है?

समाधान पर $P$ से $x$-मुख्य तुल्यांचे पाद होने के कारण, इसके $y$ और $z$ के समानांतर निर्देशांक शून्य होते हैं। एल बिंदु के संकेतांक $(3,0,0)$ होते हैं। वैसे ही संकेतांक M और $न$ के $(0,4,0)$ और $(0,0,5)$ होते हैं, क्रमशः।

~~उदाहरण 4 बिंदु $P(3,4,5)$ से $x y, y z$ और $z x$-समतलों के मुख्य रेखाओं के पाद एल, एम, और $न$ नामक बिंदु हैं। एल, एम, और $न$ के संकेतांक क्या हैं?

हल यदि $L$ $x y$-इमार्जन पर $P$ से लंबवृत्त अंश की पादन रेखा होती है, तो $z$-आधार आयतन में शून्य है। इसलिए, $L$ के संयोजनांक $(3,4,0)$ है। इसी तरह, हम यहां $M(0,4,5)$ और $N(3,0,5)$ के संयोजनांक प्राप्त कर सकते हैं, चित्र.12.6।

~~उदाहरण 5 कोण P(3,4,5) से खींची हुई लो Bhavik(kripaya in that image) के पैर $x y, y z$ और $z x$-इमार्जन पर जिनमें लड़ू होते हैं। इन बिंदुओं $L, M, N$ से उनकी दूरी क्या होगी, चित्र.12.7।

हल टाइटन P(3,4,5) से $x y$-इमार्जन पर बिंदु L खींचा जाता है। इसलिए, ताइटन P(3,4,5) का बिंदु L $(3,4,0)$ होगा। बिंदु $(3,4$, $5)$ और $(3,4,0)$ के बीच की दूरी 5 है। वैसे ही, हम पैरों की लंबवृत्ति की लंबाई प्राप्त कर सकते हैं $y z$ और $z x$-इमार्जन पर जो प्रत्येक 3 और 4 इकाइयों की है। उदाहरण 6 दूरी सूत्र का उपयोग कर दिखाएं कि बिंदुओं P(2,4,6), Q(-2,-2,-2) और R(6,10,14) समरेखी हैं।

~~हल यदि किसी भी दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर होता है, तो तीन बिंदुओं समरेखी होते हैं।

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-2-4)^{2}+(-2-6)^{2}}=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29} \\ & Q R=\sqrt{(6+2)^{2}+(10+2)^{2}+(14+2)^{2}}=\sqrt{64+144+256}=\sqrt{464}=4 \sqrt{29} \\ & P R=\sqrt{(6-2)^{2}+(10-4)^{2}+(14-6)^{2}}=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29} \end{aligned} $

क्योंकि $QR$ $PQ$ + $PR$ है। इसलिए, दिए गए बिंदु समरेखी होते हैं।

~~उदाहरण 7 $O(0,0,0)$, $A(l, 0,0)$, $B(0, m, 0)$ और $C(0,0, n)$ चारों बिंदुओं से समांदिश्य हैं, एक अंक के संयोजनांक प्राप्त करें।

हल $P(x, y, z)$ आवश्यक बिंदु हैं। तो $OP=PA=PB=PC$।

अब $OP=PA \Rightarrow OP^{2}=PA^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-l)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2} \Rightarrow x=\frac{l}{2}$

इसी प्रकार, $OP=PB \Rightarrow y=\frac{m}{2}$ और $OP=PC \Rightarrow z=\frac{n}{2}$

इसलिए, आवश्यक बिन्दु का संयोजनांक $(\frac{l}{2}, \frac{m}{2}, \frac{n}{2})$ है।

~~उदाहरण 8 $x$-अक्ष पर बिंदु खोजें, जो बिंदु $A(3,2,2)$ और $B(5,5,4)$ से समांतर हो।

हल $x$-अक्ष पर बिंदु $P(x, 0,0)$ की आकृति होती है। क्योंकि बिंदु $A$ और $B$ $P$ से समांतर हैं। इसलिए $PA^{2}=PB^{2}$, अर्थात

$ \begin{aligned} & (x-3)^{2}+(0-2)^{2}+(0-2)^{2}=(x-5)^{2}+(0-5)^{2}+(0-4)^{2} \\ & \Rightarrow 4 x=25+25+16-17 \text{ अर्थात } x=\frac{49}{4} . \end{aligned} $

इस प्रकार, $x$-अक्ष पर बिंदु $P(\frac{49}{4}, 0,0)$ है जो $A$ और $B$ से समांतर है।

~~उदाहरण 9 $y$-अक्ष पर दूरी $\sqrt{10}$ से दूर स्थित बिंदु $(1,2,3)$ का पता लगाएं।

हल बिंदु $P$ $y$-अक्ष पर होता है। इसलिए, यह $P(0, y, 0)$ की आकृति में होता है।

टिप्पणी: बारीकी और रेखांकन के लिए, कृपया नमूना 10 के बाद एक रेखांकन के नमूने का उपयोग करें।

कन्टेंट की ही संस्करण क्या है: विमान OABC को एक $x y$ -रचना में सजीव रखा जाता है। इस समतल में हर बिंदु की $z$-आवासीय संयोजन शून्य होती है। $z=0$ इस $x y$-रचना की समीकरण है। प्लेन PDEF $x y$-तल से समानांतर है और इससे 6 इकाई ऊपर है। इस समतल की समीकरण $z=6$ है। प्लेन ABPF रचना $x=3$ का प्रतिष्ठान करता है। प्लेन OCDE केवल $y z$-रचना में होता है और $x=0$ इस रचना की समीकरण है। प्लेन AOEF $x z$-रचना में स्थित होता है। इस समतल में हर बिंदु की $y$ संयोजन शून्य होती है। इसलिए, $y=0$ प्लेन की समीकरण है।

विमान BCDP प्लेन AOEF समतल पर एक दूरी $y=5$ में समानान्तर है।

ऍज ओए $x$-मानचित्र के ऊपर लेटा है। $x$-मानचित्र में समीकरण $y=0$ और $z=0$ होता है।

कंई $y$-मानचित्र पर और $z$-मानचित्र पर कंई $OE$-ध्वज और $z$-मानचित्र को सूचित करते हैं। $y$-मानचित्र की समीकरण $z=0, x=0$ होती है। $z$-मानचित्र की समीकरण $x=0, y=0$ होती है। बिंदु $P(3,5,6)$ से $x$-ध्वज की लंबवत दूरी $\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{61}$ होती है।

बिंदु $P(3,5,6)$ की लंबवत दूरी $y$-ध्वज और $z$-ध्वज से $\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{45}$ और $\sqrt{3^{2}+5^{2}}=$ होती है,। बिंदु $P(3,5,6)$ से नियामक ध्वज के फीट की संयोजन के संयोजन की संयोजन MunA, C, E होती है। बिंदु $P$ से नियामक ध्रुवांत प्लेनों $x y$, $y z$ और $z x$ पर सीध पर्यावरणों की संयोजित संयोजित होती है (3,5,0), (0,5,6) और (3,0,6) होते हैं। इसके अलावा, लंबवत

मूर्ति । १२. ८ बिंदु $P$ से $x y$, $y z$ और $z x$-तालों से लंबवत विस्तार 6,5 और 3 है, मूर्ति। १२. ८।

~~उदाहरण 16 A $(3,2,0)$, B $(5,3,2), C(-9,6,-3)$ तीन बिंदु एक त्रिभुज बनाने के लिए होते हैं। $AD$, ज्ञायसुत्र $\angle BAC$ का केंद्रबिन्दु, $BC$ में $D$ में होती है। बिंदु $D$ की संयोजन ढूंढें।

उत्तर ध्यान दें

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(5-3)^{2}+(3-2)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{4+1+4}=3 \\ & AC=\sqrt{(-9-3)^{2}+(6-2)^{2}+(-3-0)^{2}}=\sqrt{144+16+9}=13 \end{aligned} $

क्योंकि $AD$ में $\angle BAC$ केंद्रबिन्दु है, इसलिए हमें $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{13}$ होता है

दूसरे शब्दों में, $D$ $BC$ में 3 : 13 अनुपात में बांटता है। इसलिए, $D$ की संयोजन होती है

$(\frac{3(-9)+13(5)}{3+13}, \frac{3(6)+13(3)}{3+13}, \frac{3(-3)+13(2)}{3+13})=(\frac{19}{8}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}) $

~~उदाहरण 17 निश्चित करें कि वह बिंदु $व आदि$-तल है जो तीन बिंदु A $(2, 0, 3)$, B $(0, 3, 2)$ और C(0, 0, 1) से s समानांतर दूरी पर है।

उत्तर क्योंकि $y z$-तल के हर बिंदु की $x$-संयोजन शून्य होती है। यदि $P(0, y, z)$ $y z$-तल पर एक बिंदु हो, तो $PA=PB=PC$ होता है। अब

$PA=PB \Rightarrow(0-2)^{2}+(y-0)^{2}+(z-3)^{2}=(0-0)^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}$, अर्थात। $z-3 y=0$ और $PB=PC$

अगर $y^{2}+9-6 y+z^{2}+4-4 z=y^{2}+z^{2}+1-2 z$, तो। अर्थात। $3 y+z=6$

दो समीकरणों को सरल करते हैं, हमें $y=1, z=3$ मिलता है।

यहां, बिंदु $P$ की संयोजन $(0,1,3)$ हैं।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न

इंगित किए गए चार विकल्पों में से हर एक एकदम सही उत्तर चुनें की प्रति उदाहरण 18 से 23 तक (MCQ).

~~मातृ 18 बिंदु $ P (3,4,5) $ पर से खींची गई लम्बता के पैर की लंबाई है

(A) 10

(B) $ \sqrt {34} $

(C) $ \sqrt {113} $

(D) $ 5 \sqrt {2} $

समाधान $ l $ को य पर पैर से बांधनेवाली लंबाई मानें। इसलिए, इसकी $ x $ और $ z $-निर्देशांक शून्य है, अर्थात् $(0,4,0) $। इसलिए, बिंदुओं $ (0 $, $ 4,0) $ और $ (3,4,5) $ के बीच की दूरी यानी $ \sqrt {9 + 25} $ अर्थात् $ \sqrt {34} $ है।

~~उदाहरण 19 बिंदु $ P (6,7,8) $ का $ x y $-तच्चा से लंबित दूरी क्या है?

(A) 8

(B) 7

(C) 6

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान $ L $ बिंदु $ P (6,7,8) $ से $ x y $-टच्चा के बीच खींची गई है और इसकी दूरी $ L $ से $ P $ का $ z $-निर्देशांक है, अर्थात् 8 इकाई है।

उदाहरण $ 20 L $ एक बिंदु $ P (6,7,8) $ से $ x y $-तच्चा पर खींची गई लंबता की निर्देशांक क्या हैं?

(A) $ (6,0,0) $

(B) $ (6,7,0) $

(C) $ (6,0,8) $

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान क्योंकि $ L $ एक बिंदु है जो $ P $ से $ x y $-तच्चा पर लंबाई का कोण है, $ x y $-तच्चा में $ z $-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए, $ L $ की निर्देशांक हैं $ (6,7,0) $।

उदाहरण $ 21 L $ एक बिंदु $ (6,7,8) $ से $ x $-तच्चा पर खींची गई लंबाई का निर्देशांक क्या हैं?

(A) $ (6,0,0) $

(B) $ (0,7,0) $

(C) $ (0,0,8) $

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान क्योंकि $ L $ बिंदु $ x $-तच्चा पर $ P $ से खींची गई लंबाई की होती है, $ y $ और $ z $-निर्देशांक शून्य होते हैं। इसलिए, $ L $ की निर्देशांक हैं $ (6,0,0) $।

~~मातृ 22 एक बिंदु की सरणी है जिसमें $ y=0, z=0 $ होता है?

(A) $ x $-तच्चे का समीकरण

(B) $ y $-तच्चे का समीकरण

(C) $ z $-तच्चे का समीकरण

(D) इनमें से कोई नहीं

समाधान $ y=0, z=0 $ बिंदु की सरणी $ x $-तच्चे का है, क्योंकि $ x $-तच्चे पर यदि $ y=0 $ और $ z=0 $ होता है।

उदाहरण $ 23 L $ एक बिंदु $ P (3,4,5) $ से $ x z $-वस्त्र पर खींची जाने वाली लंबता की निदेशांक हैं?

(A) $ (3,0,0) $

(B) $ (0,4,5) $

(C) $ (3,0,5) $

(D) $ (3,4,0) $

समाधान क्योंकि $ L $ एक बिंदु है जो बिंदु $ P (3,4,5) $ से $ x z $-वस्त्र पर खींची जाने वाली लंबता की निर्देशांक होती है। यदि $ x z $-वस्त्र में सभी बिंदुओं के $ y $-निर्देशांक शून्य होते हैं, तो लंबाई के निर्देशांक हैं $ (3,0,5) $।

उदाहरण 24 से 28 तक खाली स्थान भरें।

~~उदाहरण 24 यदि सभी बिंदु बंदरगाह पर समान हैं तो एक रेखा $ x y $-तच्चे के समानता को दर्शाती है।

समाधान यदि सभी बिंदु बंदरगाह पर हित-तच्च की एक रेखा है तो $ x y $-तच्चे के समानता को दर्शाती है।

~~उदाहरण 25 समीकरण $ x = बी $ $ y z $-तच्चे से समानता को दर्शाती है।

समाधान क्योंकि $ x = 0 $ हित-तच्च को दर्शाती है, इसलिए $ x = बी $ शुन्य से $ y z $-तच्चे से समानता को दर्शाती है।

~~उदाहरण 26 बिंदु $ P (3,5,6) $ से $ y $-तच्चे तक लंबित दूरी है

समाधान क्योंकि $ M $ बिंदु $ P $ से $ y $-तच्चे तक लंबाई की होती है, इसलिए इसके $ x $ और $ z $-निर्देशांक शून्य होते हैं। $ M $ की निर्देशांक हैं $ (0,5,0) $। इसलिए बिंदु $ P $ से $ y $-तच्चे की लंबी दूरी $ \sqrt {3 ^ {2} + 6 ^ {2}} = \sqrt {45} $ है।

प्रमाण $27 L$ के मुद्रणन का कान में बना हुआ है $ P(3,4,5)$ से बने हुए उनल जैसे कि $L$ हे एक टुकड़े से बनी $ P$ का विषमवार्तक $Z$ - ताला पेंट पर, $Y$ निर्देशांक प्रत्येक बिंदु में $Z$-ईय ताला पर, स्थित है। इसलिए, $L$ के आवटन बिंदु हैं $(3,0,5)$।

जैसे कि $P$ का Z - ताला पर बने हुए उनलाकोन्से पैरों का लंबाई है

प्रमाण बिंदु $(a, b, c)$ पर खींचे हुए Z - धुरी की लंबाई $(0,0, c)$ है। बिंदु $(a, b, c)$ और $(0,0, c)$ का दूरी $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ है।

जांचें कि प्रमाण 30 से 37 तक के कथन सत्य हैं या गलत हैं

जैसा कि $Y$ - ताला और $Z$ - ताला, साथ साथ जाने वाली एक तथ्यवान ताले के रूप में एक विमान निर्धारित करते हैं

(सॉल्युशन) सत्य

जैसा कि $(4,5,-6)$ का हरन्म जडो $VI^{\text{व}}$ होता है।

प्रमाण अवरोहण $(4,5,-6)$ हरेक ऑक्टेंट में होता है।

झुठ, अवरोहण $(4,5,-6)$ $V^{\text{त}}$ ऑक्टेंट में होता है

जैसा कि $X$-ताला $X$-$Y$ ताला और $X$-$ Z$श्द ताला के समांतर होता है

सत्य

तीन मरवानी लघुक्षमते मैमें रखने और अवक स्थान को 8 विभाजित करते हैं

सत्य

ताले का प्रतिस्थापन करते हैं $z=6$ $X$-$Y$ तालान्तर मंगतियक उसी ऊंचाई के साथ होते हैं

सत्य

ताले का प्रतिस्थापन करते हैं $x=0$ $Y$-$Z$ तालान्तर होता है

सत्य

$x$-ताला पर रहे बिंदु $(x_0, 0,0)$ के रूप में लिखा जाता है।

सत्य

प्रतिस्थापन करते हैं

$36 x=x_0$ $Y$-$Z$ तालान्तर होती है

सत्य

प्रत्येक आइटम को सही उत्तर के तहत सही दी गई पट्टी के नीचे दी गई चौड़ाई की चौड़ाई के तहत मिलाना

प्रमाण 37 पट्टी $\mathbf{C} _1$

(a) यदि त्रिभुज का केंद्रीय बिंदु मूल होता है और इसके दो वियोंग कोणे $(3,-5,7)$ और $(-1,7,-6)$ होते हैं तो तीसरा वियंग होता है

(b) यदि त्रिभुज के सिरों का केंद्रीय बिंदु जंगल होता है, तो सभी त्रिभुज के केंद्रीय उपाय $(1,2,-3), (3,0,1)$ और $(-1,1,-4)$ होते हैं

(c) बिंदु $(3,-1,-1), (5,-4,0)$, $(2,3,-2)$ और $(0,6,-3)$ तारओल के वियंग होते हैं

(d) बिंदु ए( $1,-1,3), बी(2,-4,5)$ और $स(5,-13,11)$ बहुस्थानक होते हैं

(e) बिंदुओं ए (2,4,3), बी (4,1,9) और $स(10,-1,6)$ वियंग होते हैं

पट्टी सी 2

(i) पररबीहिवाद

(ii) $(-2,-2,-1)$

(iii) असम अंट समकोण त्रिभुज

(iv) $(1,1,-2)$

(v) समरेखीय

इसलिए (बी) रेखा (चौथा)
(सी) चतुर्भुज के नकाबिल बिन्दु $IAM = (\frac{3+2}{2}, \frac{-1+3}{2}, \frac{-1-2}{2})=(\frac{5}{2}, 1, \frac{-3}{2})$
चतुर्भुज की बायाँ ओर बीडी माध्यम बिंदु $=(\frac{5+0}{2}, \frac{-4+6}{2}, \frac{0-3}{2})=(\frac{5}{2}, 1, \frac{-3}{2})$
चतुर्भुज के तत्व एक दूसरे का बीजबिंदु बताते हैं| इसलिए (सी) $ \rightarrow$ (i)

16. यदि मूल त्रिभुज $ABC$ का केंद्रबिन्दु है जिसके कोण $ए(a, 1,3)$, $बी(-2, b,-5)$, और $सी(4,7, c)$ हैं, तो $a, b, c$ के मान ढूंढें।

~~ 17. लेट $ए(2,2,-3)$, $बी(5,6,9)$ और $सी(2,7,9)$ एक त्रिभुज के कोण हों। कोन A का आंतरिक द्विभाजक बिंदु $बीसी$ का बिन्दु $डी$ पर मिलता है। $डी$ के संयोजनों की संयोजन की कोणनिर्धारित करें।

लम्बा उत्तर प्रकार

~~ 18. दिखाएं कि त्रिबिंदु $A(2,3,4), B(-1,2,-3)$ और $C(-4,1,-10)$ संगठनशील हैं और ढूंढें कि $C$ द्वारा $AB$ की भाग दर क्या है।

~~ 19. एक त्रिभुज के तरफों के बीच के मध्यबिंदु $(1,5,-1),(0,4,-2)$ और $(2,3,4)$ होते हैं। इसके वंशों का प्रायिक ढूंढें। साथ ही त्रिभुज का केंद्रबिन्दु भी ढूंढें।

~~ 20. दिखाएं कि बिंदु $(0,-1,-7),(2,1,-9)$ और $(6,5,-13)$ संगठनशील हैं। ढूंढें कि पहला बिंदु दो बाकी बिंदुओं के संयोजन को किस अनुपात में विभाजित करता है।

~~ 21. एक क्यूब के बिंदुओं के संयोजन का कोण है जिसकी धुरी 2 यूनिट है, जिसमें एक उद्घाटन मूल के साथ मेल खाता है और जिसकी तीन धुरियाँ मूल के माध्यम से उद्घाटन की सकारात्मक दिशा के समान होती हैं?

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

22 से मिले व्यायामों में से प्रत्येक का दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 22. बिंदु $पी(3,4,5)$ की दूरी $य z$-सरणी से है

(A) 3 यूनिट

(B) 4 यूनिट

(C) 5 यूनिट

(D) 550

~~ 23. बिंदु $पी(3,4,5)$ से $वायु $-सरणी पर पांव की लंबाई क्या है

(A) $\sqrt{41}$

(B) $\sqrt{34}$

(C) 5

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 24. निर्देशांक $(3,4,5)$ से मूल $(0,0,0)$ की दूरी

(A) $\sqrt{50}$

(B) 3

(C) 4

(D) 5

~~ 25. यदि बिंदुओं $(a, 0,1)$ और $(0,1,2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{27}$ है, तो $a$ का मान क्या है

(A) 5

(B) $\pm 5$

(C) -5

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 26. $x$-अक्ष दोनों समतलों का परांतरण है

(A) $x y$ और $x z$

(B) $y z$ और $z x$

(C) $x y$ और $y z$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 27. $y$-अक्ष की समीकरण मानी गई है

(A) $x=0, y=0$

(B) $y=0, z=0$

(C) $z=0, x=0$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 28. बिंदु $(-2,-3,-4)$ पहले अक्षवलय में पड़ता है

(A) पहले अक्षवलय

(B) सातवें अक्षवलय

(C) दूसरे अक्षवलय

(D) आठवें अक्षवलय

~~ 29. एक त्रिभुज के लिए एक समतल $y z$-सरणी के साधर्म

(A) $x$-अक्ष

(B) $y$-अक्ष

(C) $z$-अक्ष

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 30. एक तार जिसके लिए $y=0, z=0$ है

(A) $x$-अक्ष का समीकरण

(B) $y$-अक्ष का समीकरण

(C) $z$-अक्ष का समीकरण

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 31. एक तार जिसके लिए $x=0$ है

(A) $x y$-समद्वीप

(B) $y z$-समद्वीप

(C) $z x$-समद्वीप

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 32. यदि एक परराज्यपीड़ कोनों से खींची जाती है जो सन्यासी ज्ञायक समवित्यों $(5,8,10)$ और $(3,6,8)$ के अनुरूप समतलों के साथ समाथित है, तो परराज्यपीड़ की लंबाई क्या है

(A) $2 \sqrt{3}$

(B) $3 \sqrt{2}$

(C) $\sqrt{2}$

(D) $\sqrt{3}$

~~ 33. $एल$ एक रेखांश की ऊपरी छोटा बिंदु है जो बिंदु $पी(3,4,5)$ से खींचा गया है और $x y$-समद्वीप पर है। बिंदु $एल$ की निर्देशांक हैं

(A) $(3,0,0)$

(B) $(0,4,5)$

(C) $(3,0,5)$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~

कॉंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: ३४. $L$ $x$- अक्ष पर इंतिज्ञान से खींची गई लम्बवृत्ति के नजदीक खड़ी धनात्मक नक़ाबद्धता $(3,4,5)$ से है। £ की निर्देशांक हैं। (A) $(3,0,0)$ (B) $(0,4,0)$ (C) $(0,0,5)$ (D) इनमें से कोई भी नहीं

~~ ३५. OX, OY, OZ ने निर्धरित किया है

~~ ३६. तीन समतलों ने एक चतुर्भुज अनुरूप बरमबिल निर्धारित किया है। जो आयताकार चेहरे की है

~~ ३७. एक बिंदु के संदर्भ में निर्देशांक लम्बवत दूरी हैं।

~~ ३८. तीन निर्देशांक तल प्रतिभाग द्वारा अंतरित करते हैं।

~~ ३९. यदि समतला $P$ $y z$-plane में स्थित है, तो $y z$-plane पर एक बिंदु के निर्देशांक प्रपत्र हैं।

~~ ४०. $y z$-plane की समीकरण हैं।

~~ ४१. अंक $P$ $z$-axis पर स्थित हैं, तो $P$ के निर्देशांक आकृति होंगे।

~~ ४२. $z$-axis की समीकरण हैं।

~~ ४३. यदि सभी रेखाएं $x y$-plane के समान होती हैं, तो रेखा $x y$-plane के समानसर होती हैं।

~~ ४४. रेखा यदि सभी रेखाएं लाइन पर समान होती हैं, तो रेखा $x$-अक्ष के समानसर होती हैं।

~~ ४५. $x = a$ एक समतल के समानसर हैं

~~ ४६. $y z$-विमान पर समकोण हैं

~~ ४७. दस्ताने का लंबवत टुकड़ा सीधे खींचे जा सकता है जिसकी आयाम 10,13 और 8 यूनिट हैं

~~ ४८. अगर बिंदु $(a, 2,1)$ और $(1,-1,1)$ के बीच की दूरी 5 हैं, तो $a$

~~ ४९. एकत्रित्रिभुज $ AB;BC;CA $ के मध्य-बिंदु $D(1,2,-3), E(3,0,1)$ और $ F(-1,1,-4)$ है, तो केनट्रिद त्रिभुज $ ABC $ का मध्य-बिंदु है

~~ ५०. प्रतिरेखिती $C_2$ के तहत दिए गए सही उत्तर के साथ प्रतिबंधित प्रकार को प्रखण्ड $C_1$ के तहत मिलाएं।

प्रखण्ड $C_1$

(a) $x y$-विमान में

(b) $पॉइंट (2,3,4)$ विमान में स्थित होता है

(c) $x$ निर्देशांक 0 वाले बिंदुओं का समूचा होता है

(d) रेखा $x$-निर्देशांक के समानसर होती हैं यदि और केवल

(e) यदि $x=0, y=0$ मिलाएंगे जो कि प्रतिष्ठा करेगी

(f) $Z=c$ समतल

(g) प्लेन $x=a, y=b $रेखा को प्रतिष्ठित करते हैं

(h) बिंदु की निर्देशांक मूल्य को पेर में से दूरी से प्राप्त होते हैं

(i) गेंद स्थानरोपित घन में होती हैं

(j) एक वृत्त द्वारा घेरा गया समतल द्वारा प्रादेश (x) स्फेर माने जाते हैं

प्रखण्ड $C_2$

(i) पहला अष्टमांश

(ii) $y z$-विमान

(iii) $z$ निर्देशांक शून्य होता है

(iv) $z$-अक्ष

(v) $x y$-विमान के समानसर समतल

(vi) अगर रेखा पर सभी बिंदुओं के समान होंगे।

(vii) पम बिंदु पर संबंधित

(viii) $z$-अक्ष के समानसर।

(ix) डिस्क

(२)