अध्याय 5

संज्ञात्मक संख्याएँ और द्विघात समीकरण

5.1 अवलोकन

हम जानते हैं कि एक वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जैसे $(4)^{2}=16$ और $(-4)^{2}=16$। इसलिए, 16 का वर्गमूल $\pm 4$ होता है। लेकिन एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल क्या होता है? स्पष्ट है कि एक नकारात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं हो सकता है। इसलिए, हमें वास्तविक संख्याओं की प्रणाली को बढ़ाकर एक प्रणाली में विस्तार करने की आवश्यकता होती है जिसके द्वारा हम नकारात्मक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। यूलर (1707 - 1783) थे जिन्होंने पहले गणितज्ञ के रूप में नकारात्मक संख्या के लिए पॉजिटिव वर्गमूल -1 के लिए प्रतीक $i$ (इयोटा) दर्शाया।

5.1.1 काल्पनिक संख्याएँ

नकारात्मक संख्या का वर्गमूल काल्पनिक संख्या कहलाता है। उदाहरण के लिए,

$ \sqrt{-9}=\sqrt{-1} \sqrt{9}=i 3, \sqrt{-7}=\sqrt{-1} \sqrt{7}=i \sqrt{7} $

5.1.2 $i$ की पूर्णांक घातियों

$i=\sqrt{-1}, i^{2}=-1, i^{3}=i^{2} i=-i, i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$।

$n>4$ के लिए $i^{n}$ की गणना करने के लिए, हम $n$ को 4 से भाग करते हैं और इसे $n=4 m+r$ के रूप में लिखते हैं, जहां $m$ अंश और $r$ शेष हैं $(0 \leq r \leq 4)$

अब,

उदाहरण के लिए,

और

(i) यदि $a$ और $b$ दोनों सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब

$ i^{n}=i^{4 m+r}=(i^{4})^{m} \cdot(i)^{r}=(1)^{m}(i)^{r}=i^{r} $

$ (i)^{39}=i^{4 \times 9+3}=(i^{4})^{9} \cdot(i)^{3}=i^{3}=-i $

$ \begin{aligned} (i)^{-435}=i^{-(4 \times 108+3)} & =(i)^{-(4 \times 108)} \cdot(i)^{-3} \ & =\frac{1}{(i^{4})^{108}} \cdot \frac{1}{(i)^{3}}=\frac{i}{(i)^{4}}=i \end{aligned} $

$ \sqrt{-a} \times \sqrt{-b}=\sqrt{-1} \sqrt{a} \times \sqrt{-1} \sqrt{b}=i \sqrt{a} \times i \sqrt{b}=-\sqrt{a b} $

(ii) यदि $a$ और $b$ दोनों सकारात्मक हैं या उनमें से कम से कम एक नकारात्मक या शून्य है, तब $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ होगा। हालांकि, यदि $a$ और $b$ दोनों नकारात्मक हों, तो $\sqrt{a} \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ होगा।

5.1.3 सम्मिश्र संख्याएँ

(a) एक संख्या जो $a+i b$ के रूप में लिखी जा सकती है, जहां $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i=\sqrt{-1}$ है, को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है।

(b) अगर $z=a+i b$ संज्ञात्मक संख्या है, तो $a$ और $b$ को संज्ञात्मक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, क्रमशः, $Re(z)=a, Im(z)=b$ लिखा जाता है।

(c) आदेश संबंध “बड़ा” और “छोटा” संख्याओं के लिए संज्ञात्मक नहीं हैं।

(d) यदि संज्ञात्मक संख्या का काल्पनिक भाग शून्य होता है, तो वह संज्ञात्मक संख्या केवल वास्तविक संख्या के रूप में जानी जाती है और यदि वास्तविक भाग शून्य होता है, तो इसे काल्पनिक संख्या कहा जाता है, जैसे कि 2 एक केवल वास्तविक संख्या है क्योंकि इसका काल्पनिक भाग शून्य होता है और $3 i$ एक केवल कल्पित संख्या है क्योंकि इसका वास्तविक भाग शून्य होता है।

5.1.4 संज्ञात्मक संख्याओं के बीजगणित

(a) यदि $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ दो संज्ञात्मक संख्याएँ हैं तो $z_1=z_2$ कहलाएंगी अगर $a=c$ और $b=d$ हों।

(b) यदि $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ दो संज्ञात्मक संख्याएँ हैं तो $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$ होगी।

5.1.5 संज्ञात्मक संख्याओं के जोड़ का निम्नलिखित गुणों को पूरा करता है

~~1. दो संज्ञात्मक संख्याओं का योग फिर से एक संज्ञात्मक संख्या होता है, इसलिए संज्ञात्मक संख्याओं का समूह योग के संबंध में पूर्ण होता है।

~~ 2. संज्ञात्मक संख्याओं का योग आपरंपरागत होता है, यानी $z_1+z_2=z_2+z_1$

~~

3. यदि जटिल संख्याओं का जोड़ (एसोसिएटिव होता है), तो $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$

~~ 4. किसी भी जटिल संख्या $z=x+i y$ के लिए, एक ऐसा 0, अर्थात $z+0=0+z=z$, होती है जिसे जोड़ की पहचान के रूप में जाना जाता है।

~~ 5. किसी भी जटिल संख्या $z=x+i y$ के लिए, हमेशा एक ऐसी संख्या $-z=-a-i b$ होती है जिसमें $z+(-z)=(-z)+z=0$ होता है और यह $z$ का प्रतिसादात्मक होता है।

5.1.6 जटिल संख्याओं का गुणाकार

चलें $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ दो जटिल संख्याओं कर, तो

$z_1 \cdot z_2=(a+i b)(c+i d)=(a c-b d)+i(a d+b c)$

~~1. दो जटिल संख्याओं के गुणाकार का उत्पाद भी एक जटिल संख्या होता है, इसलिए जटिल संख्याओं का सेट गुणाकार के संबंध में बंद होता है।

~~ 2. जटिल संख्याओं का गुणाकार संयोज्य होता है, अर्थात $z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1$

~~ 3. जटिल संख्याओं का गुणाकार संयोज्य होता है, अर्थात $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3=z_1 \cdot(z_2 \cdot z_3)$

~~ 4. किसी भी जटिल संख्या $z=x+i y$ के लिए, एक जटिल संख्या 1 होती है, अर्थात $(1+0 i)$ जिसमें $z \cdot 1=1 . z=z$, गुणाकार की पहचान के रूप में जाना जाता है।

~~ 5. किसी भी गैर-शून्य जटिल संख्या $z=x+i y$ के लिए, एक ऐसी जटिल संख्या $\frac{1}{z}$ होती है जिसमें $z \cdot \frac{1}{z}=\frac{1}{z} \cdot z=1$ होता है, अर्थात $a+i b$ का गुणाकारियक होता है। $=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}$.

~~ 6. किसी भी तीन जटिल संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिए,

तो

$ \begin{aligned} & z_1 \cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2+z_1 \cdot z_3 \\ & (z_1+z_2) \cdot z_3=z_1 \cdot z_3+z_2 \cdot z_3 \end{aligned} $

अर्थात जटिल संख्याओं के गुणाकार की जोड़ के प्रति वितरिण होता है।

5.1.7 चले $z_1=a+i b$ और $z_2(\neq 0)=c+i d$ हो। तो

$ z_1 \div z_2=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+i b}{c+i d}=\frac{(a c+b d)}{c^{2}+d^{2}}+i \frac{(b c-a d)}{c^{2}+d^{2}} $

5.1.8 जटिल संख्या का अंजन

चलें $z=a+i b$ एक जटिल संख्या हो। तो जटिल संख्या के तारकांक के चिह्न को बदलकर प्राप्त एक जटिल संख्या को जटिल संख्या का अंजन कहा जाता है और इसे $\bar{z}$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, अर्थात $\bar{z}=a-i b$।

ध्यान दें कि जटिल संख्या $z$ का संयोजक $-a-i b$ है लेकिन जटिल संख्या का अंजन $a-i b$ है।

हमें हैं:

~~1. $\overline{(\bar{z}})=z$

~~ 2. $z+\bar{z}=2 Re(z), z-\bar{z}=2 i Im(z)$

~~ 3. $z=\bar{z}$, अगर $z$ पूरी तरह से वास्तविक है।

~~ 4. $z+\bar{z}=0 \Leftrightarrow z$ पूरी तरह से काल्पनिक है

~~ 5. $z \cdot \bar{z}={Re(z)}^{2}+{Im(z)}^{2}$.

~~ 6. $ \overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\overline{z_2}, \overline{z_1-z_2} =\bar z_1-\overline{z_2}$

~~ 7. $( \overline{z_1 \cdot z_2})=(\bar z_1)(\bar z_2), \frac{z_1}{z_2}=\frac{(\bar z_1)}{(\bar z_2)}(\bar z_2 \neq 0)$

5.1.9 जटिल संख्या की गुणमान

चलें $z=a+i b$ एक जटिल संख्या हो। तो वास्तविक भाग के वर्ग और काल्पनिक भाग के वर्ग के योग का सकारात्मक वर्ग जटिल संख्या की गुणमान (मोड्यूलस) कहलाता है और इसे $|z|$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, अर्थात $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

जटिल संख्या के सेट में $z_1>z_2$ या $z_1<z_2$ का अर्थहीन है लेकिन

$ |z_1|>|z_2| \text{ या }|z_1|<|z_2| $

मानदंड हैं क्योंकि $|z_1|$ और $|z_2|$ वास्तविक संख्याएं होती हैं।

5.1.10 कॉम्प्लेक्स संख्या के मॉड्यूलस के गुणों की गुणधर्म

~~

1. $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$ यानी, $Re(z)=0$ और $Im(z)=0$

~~ 2. $|z|=|\bar{z}|=|-z|$

~~ 3. $-|z| \leq Re(z) \leq|z|$ और $-|z| \leq Im(z) \leq|z|$

~~ 4. $z \bar{z}=|z|^{2},|z^{2}|=|\bar{z}|^{2}$

~~ 5. $|z_1 z_2|=|z_1| \cdot|z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2 \neq 0)$

~~ 6. $|z_1+z_2|^{2}=|z_1|^{2}+|z_2|^{2}+2 Re(z_1 \bar z_2)$

~~ 7. $|z_1-z_2|^{2}=|z_1|^{2}+|z_2|^{2}-2 Re(z_1 \bar z_2)$

~~ 8. $|z_1+z_2| \leq|z_1|+|z_2|$

~~ 9. $|z_1-z_2| \geq|z_1|-|z_2|$

~~ 10. $|a z_1-b z_2|^{2}+|b z_1+a z_2|^{2}=(a^{2}+b^{2})(|z_1|^{2}+|z_2|^{2})$

विशेषकर:

$ |z_1-z_2|^{2}+|z_1+z_2|^{2}=2(|z_1|^{2}+|z_2|^{2}) $

~~ 11. जैसा पहले कहा गया है, कॉम्प्लेक्स संख्या $z=a+i b(\neq 0)$ का गुणात्मक इन्वर्स (प्रतिज्ञात) है

$ \frac{1}{z}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} $

5.2 आरगंड समतल

एक कॉम्प्लेक्स संख्या $z=a+i b$ को एक अद्वितीय बिंदु $P(a, b)$ द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो एक समतलीय त्रिज्या धुरीयों के एक जोड़े के रूप में उद्घोषित किया गया है। कॉम्प्लेक्स संख्या $0+0 i$ मूल $0 (0,0)$ का प्रतिष्ठान करता है। केवल वास्तविक संख्या $a$, यानी, $(a+0 i)$ का प्रतिष्ठान ज़ीओ-धुरीय पर $(a, 0)$ के बिंदु द्वारा होता है। इस तरह, यह खुदरां अक्ष कहलाता है। केवल काल्पनिक संख्या $i b$, यानी, $(0+i b)$ का प्रतिष्ठान $y$-धुरीय पर $(0, b)$ के बिंदु द्वारा होता है। इस तरह, यह काल्पनिक अक्ष कहलाता है।

इसी तरह, समतलीय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाली त्रिज्या द्वारा कॉम्प्लेक्स संख्याओं का प्रतिनिधित्व आरगंड डायग्राम के रूप में जाना जाता है। त्रिज्या के रूप में प्रतिष्ठान करने वाली समतल को कॉम्प्लेक्स समतल या आरगंड समतल या गॉसियान समतल कहा जाता है।

यदि दो कॉम्प्लेक्स संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ आरगंड समतल में प्रतिष्ठित किए जाते हैं, तो

$ |z_1-z_2|=PQ $

5.2.1 कॉम्प्लेक्स संख्या का घातीय रूप

$P$ एक बिंदु हो जो आरगंड समतल में एक गैर-शून्य कॉम्प्लेक्स संख्या $z=a+i b$ को प्रतिष्ठित करता है। यदि OP $x$-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण $\theta$ बनाता है, तो $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ को कॉम्प्लेक्स संख्या का घातीय रूप कहते हैं, यहां $r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ है और $\tan \theta=\frac{b}{a}$ है। यहां $\theta$ की घटित मूल्य $-\pi \leq \theta \leq \pi$ को मुख्य तर्क कहा जाता है।

$ \begin{aligned} \arg (z_1 \cdot z_2) & =\arg (z_1)+\arg (z_2) \\ \arg (\frac{z_1}{z_2}) & =\arg (z_1)-\arg (z_2) \end{aligned} $

5.2.2 द्विघातीय समीकरण का समाधान

संख्याओं $a, b$ और $c$ (वास्तविक या काल्पनिक, $a \neq 0$) के बराबर या असामान वाले द्विघातीय समीकरणों $a x^{2}+b x+c=0$ को प्रायोगिक द्विघातीय समीकरण कहा जाता है। दिए गए समीकरण को संतुलनों के मानों के रूप में संतुष्ट करने वाले परिवर्तनात्मक के मान कहा जाता हैं।

वास्तविक संख्याओं वाला द्विघातीय समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो वार्गमूल $\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}$ और $\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}$ होते हैं, यहां $D=b^{2}-4 a c$ को समीकरण का विवक्षक कहा जाता है।

नोट्स

~~

1. जब $D=0$ होता है, तो द्विघातीय समीकरण के गुणधर्म वास्तविक होते हैं और बराबर होते हैं। जब $D>0$ होता है, तो गुणधर्म वास्तविक और असमान होते हैं।

इसके अलावा, यदि $ a, b, c \in \mathbf{Q} $ हैं और $ D $ एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण के जड़ मानक और असमान होते हैं, और यदि $ a, b, c \in \mathbf{Q} $ हैं और $ D $ एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो जड़ें असंख्यात होती हैं और जोड़ी में होती हैं।

जब $ D <0 $ होता है, तब द्विघाती समीकरण की जड़ें अवास्तविक (या सम्पूर्णांकीय) होती हैं।

~~ 2. $ a x ^ {2} + b x + c = 0 $ के द्विघाती समीकरण $ \alpha, \beta $ हों, तो जड़ों का योग

$ (\alpha + \beta) = - \frac {b} {a} $ और जड़ों का गुणाकार $ (\alpha. \beta) = \frac {c} {a} $ होता है।

~~ 3. क्वाड्रेटिक समीकरण की जड़ों की योग $ S $ और गुणाकार $ P $ हो तो, क्वाड्रेटिक समीकरण दिया गया है $ x ^ {2} -S x + P = 0 $।

5.2 हल किए गए उदाहरण

लघु उत्तर प्रकार

~~ ** उदाहरण 1 ** मूल्यांकन करें: $ (1 + i) ^ {6} + (1-i) ^ {3} $

समाधान $ (1 + i) ^ {6} = {(1 + i) ^ {2} } ^ {3} = (1 + i ^ {2} +2 i) ^ {3} = (1-1 +2 i) ^ {3} = 8 i ^ {3} = -8 i $

और

$ (1-i) ^ {3} = 1-i ^ {3} -3 i +3 i ^ {2} = 1 + i-3 i-3 = -2-2 i $

इसलिए,

$ (1 + i) ^ {6} + (1-i) ^ {3} = -8 i-2-2 i = -2-10 i $ ~ ~ ** उदाहरण 2 ** यदि $ (x + i y) ^ {\ frac {1} {3}} = a + i b $, जहां $ x, y, a, b \in R $ हैं, तो दिखाएं कि $ \frac {x} {a}-\frac {y} {b} = -2 (a ^ {2} + b ^ {2}) $

समाधान $ (x + i y) ^ {\ frac {1} {3}} = a + i b $

$ \Rightarrow \quad x + i y = (a + i b) ^ {3} $

अर्थात, $ \quad x + i y = a ^ {3} + i ^ {3} b ^ {3} + 3 i a b (a + i b) $

$ = a ^ {3} -i b ^ {3} + i 3 a ^ {2} b-3 a b ^ {2} $

$ = a ^ {3} -3 a b ^ {2} + i (3 a ^ {2} b-b ^ {3}) $

$ \Rightarrow \quad x = a ^ {3} -3 a b ^ {2} $ और $ y = 3 a ^ {2} b-b ^ {3} $

इसलिए $ \quad \frac {x} {a} = a ^ {2} -3 b ^ {2} $ और $ \frac {y} {b} = 3 a ^ {2} -b ^ {2} $

इसलिए, $ \frac {x} {a}-\frac {y} {b} = a ^ {2}-3 b ^ {2}-3 a ^ {2} + b ^ {2} = -2 a ^ {2} -2 b ^ {2} = -2 (a ^ {2} + b ^ {2}) $.

~~ ** उदाहरण 3 ** समीकरण को हल करें $ z ^ {2} = \bar {z} $, जहां $ z = x + i y $

समाधान $ z ^ {2} = \bar {z} \Rightarrow x ^ {2}-y ^ {2} + i 2 x y = x-i y $

इसलिए, $ x ^ {2}-y ^ {2} = x \ldots $ (1) और $ 2 x y = -y $

(2) से, हमें $ y = 0 $ या $ x = - \frac {1} {2} $ होता है

जब $ y = 0 $ होता है, (1) से हम प्राप्त करते हैं $ x ^ {2}-x = 0 $, अर्थात, $ x = 0 $ या $ x = 1 $

जब $ x = - \frac {1} {2} $, (1) से हम प्राप्त करते हैं $ y ^ {2} = \frac {1} {4} + \frac {1} {2} $ या $ y ^ {2} = \frac {3} {4} $, अर्थात, $ y = \pm \frac {\sqrt {3}} {2} $

इसलिए, दिए गए समीकरण के समाधान हैं

$ 0 + i0,1 + i0,-\frac {1} {2} + i \frac {\sqrt {3}} {2},-\frac {1} {2} -i \frac {\sqrt {3}} {2} $

~~ ** उदाहरण 4 ** यदि $ \frac {2z + 1} {iz + 1} $ का काल्पनिक भाग -2 है, तो दिखाइए कि बिंदु का कोण योजन के प्लेन में स्थानांतरित का ठोस रेखा होता है।

समाधान $ z = x + i y $ मान लें। तब

$ \frac {2z + 1} {iz + 1} = \frac {2 (x + iy) + 1} {i (x + iy) + 1} = \frac {(2x + 1) + i2y} {(1-y) + ix} \ // कोज़् ~ \frac {(2x + 1) + i2y} {(1-y) + ix} \times \frac {(1-y)-ix} {(1-y)-ix} \ = \frac {(2x + 1-y) + i (2y-2y ^ {2} -2x ^ {2}-x) } {1+y ^ {2} -2y + x ^ {2} } $

इसलिए $ इम ( \frac {2z + 1} {iz + 1} ) = \frac {2y-2y ^ {2}-2x ^ {2}-x} {1+y ^ {2}-2y + x ^ {2}} $

लेकिन $ इम ( \frac {2z + 1} {iz + 1} ) = -2 $ (दिया गया)

इसलिए $ \frac {2y-2y ^ {2}-2x ^ {2}-x} {1+y ^ {2}-2y + x ^ {2}} = -2 $

$ \Rightarrow 2y-2y ^ {2}-2x ^ {2}-x = -2-2y ^ {2} + 4y-2x ^ {2} $

अर्थात, $ x + 2y-2 = 0 $, यह एक रेखा की समीकरण है।

~~

उदाहरण 5 यदि $|z^{2}-1|=|z|^{2}+1$ हो तो दिखाएँ कि $z$ क्या निम्नांकीय धुरी पर स्थित होता है।

समाधान $z=x+i y$ लें। तब $|z^{2}-1|=|z|^{2}+1$

$\begin{matrix} \Rightarrow & |x^{2}-y^{2}-1+i 2 x y|=|x+i y|^{2}+1 \\ \Rightarrow & (x^{2}-y^{2}-1)^{2}+4 x^{2} y^{2}=(x^{2}+y^{2}+1)^{2} \\ \Rightarrow & 4 x^{2}=0 \quad \text{ अर्थात् } \quad x=0\end{matrix} $

इसलिए $z$ य धुरी पर स्थित होता है।

~~ उदाहरण 6 $z_1$ और $z_2$ दो ऐसे चर संख्याओं को लेते हैं जिनके लिए $\bar z_1+i \bar z_2=0$ होता है और $\arg (z_1 z_2)=\pi$ होता है। फिर $\arg (z_1)$ की मान ढूंढें।

समाधान दिया गया है कि $\bar z_1+i \bar z_2=0$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & z_1=i z_2, \text{ अर्थात् } z_2=-i z_1 \\ \text{ तो } & \arg (z_1 z_2)=\arg z_1+\arg (-i z_1)=\pi \\ \Rightarrow & \arg (-i z_1^{2})=\pi \\ \Rightarrow & \arg (-i)+\arg (z_1^{2})=\pi \\ \Rightarrow & \arg (-i)+2 \arg (z_1)=\pi \\ \Rightarrow & \frac{-\pi}{2}+2 \arg (z_1)=\pi \\ \Rightarrow & \arg (z_1)=\frac{3 \pi}{4} \end{matrix} $

~~ उदाहरण 7 $z_1$ और $z_2$ दो ऐसे चर संख्याओं को लेते हैं जिनके लिए $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ होता है।

तो दिखाएँ कि $\arg (z_1)-\arg (z_2)=0$ होता है।

समाधान $z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$ और $z_2=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$ लें

यहाँ

$ r_1=|z_1|, \arg (z_1)=\theta_1, r_2=|z_2|, \arg (z_2)=\theta_2 $

हमें मिला है, $\quad|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$

$ \begin{aligned} & =|r_1(\cos \theta_1+\cos \theta_2)+r_2(\cos \theta_2+\sin \theta_2)|=r_1+r_2 \\ & =r_1^{2}+r_2^{2}+2 r_1 r_2 \cos (\theta_1-\theta_2)=(r_1+r_2)^{2} \Rightarrow \cos (\theta_1-\theta_2)=1 \\ & \Rightarrow \theta_1-\theta_2 \text{ अर्थात् } \arg z_1=\arg z_2 \end{aligned} $

~~ उदाहरण 8 यदि $z_1, z_2, z_3$ चर संख्याएं हैं ऐसी कि

$ |z_1|=|z_2|=|z_3|=|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|=1 \text{, तो } |z_1+z_2+z_3| \text { की मान ढूंढें।} $

समाधान $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & |z_1|^{2}=|z_2|^{2}=|z_3|^{2}=1 \\ \Rightarrow & z_1 \bar z_1=z_2 \bar z_2=z_3 \bar z_3=1 \\ \Rightarrow & \bar z_1=\frac{1}{z_1}, \bar z_2=\frac{1}{z_2}, \bar z_3=\frac{1}{z_3} \end{matrix} $

दिया गया है कि $|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|=1$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & |\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3|=1, \text{ अर्थात् }|\overline{z_1+z_2+z_3}|=1 \\ \Rightarrow & |z_1+z_2+z_3|=1 \end{matrix} $

~~ उदाहरण 9 यदि एक चर संख्या $z$ 3 इकाइयों की त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंदर या सीमा पर स्थित होती है, तो $|z+1|$ की सबसे बड़ी और सबसे छोटी मान ढूंढें।

समाधान $z$ को बिंदु की दूरी वृत्त के केंद्र से $|z-(-4+i 0)|=|z+4|$ कहते हैं।

दिए गए शर्त के अनुसार $|z+4| \leq 3$।

अब $|z+1|=|z+4-3| \leq|z+4|+|-3| \leq 3+3=6$

इसलिए, $|z+1|$ का सबसे बड़ा मान 6 है।

क्योंकि एक चर संख्या के मूल्योद्धरण का सबसे छोटा मान शून्य होता है, इसलिए $|z+1|$ का सबसे छोटा मान, 0 होता है।

~~ उदाहरण 10 बिन्दु के लिए स्थान बताएं जिसके लिए $3<|z|<4$ होता है।

समाधान $|z|<4 \Rightarrow x^{2}+y^{2}<16$ होता है जो माध्य में वृत्त का हिस्सा होता है जिसका केंद्र मूल पर होता है और त्रिज्या 4 यूनिट होती है, और $|z|>3 \Rightarrow x^{2}+y^{2}>9$ होता है जो वृत्त का बाहरी हिस्सा होता है जिसका केंद्र मूल पर होता है और त्रिज्या 3 यूनिट होती है। इसलिए $3<|z|<4$ दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}=9$ और $x^{2}+y^{2}=16$ के बीच का हिस्सा है।

~~ उदाहरण 11 $x=-2-\sqrt{3} i$ के लिए $2 x^{4}+5 x^{3}+7 x^{2}-x+41$ का मान तथा उसकी जब $x^{2}+4 x+7=0$ होती है।

समाधान $x+2=-\sqrt{3} i \Rightarrow x^{2}+4 x+7=0$

इसलिए

$ \begin{aligned} 2 x^{4}+5 x^{3}+7 x^{2}-x+41 & =(x^{2}+4 x+7)(2 x^{2}-3 x+5)+6 \ & =0 \times(2 x^{2}-3 x+5)+6=6 . \end{aligned} $

~~ उदाहरण 12 जब दोनों जड़ों का अंतर 2 होता है तो समीकरण $x^{2}-P x+8=0$ के लिए $P$ का मान होता है।

समाधान यहां $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-P x+8=0$ के जड़ें हैं

इसलिए $\alpha+\beta=P$ और $\alpha . \beta=8$ होता है।

अब $\alpha-\beta= \pm \sqrt{(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta}$ होता है।

इसलिए $\quad 2= \pm \sqrt{P^{2}-32}$

$\Rightarrow \quad P^{2}-32=4$, यानी, $P= \pm 6$.

~~ उदाहरण 13 जब समीकरण $x^{2}-(a-2) x-(a+1)=0$ की जड़ों के वर्गों का योग न्यूनतम होता है तो $a$ का मान पता करें।

समाधान यहां $\alpha, \beta$ समीकरण के जड़ें होती हैं

इसलिए, $\alpha+\beta=a-2$ और $\alpha \beta=-(a+1)$ होता है।

अब

$ \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2} & =(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta \ & =(a-2)^{2}+2(a+1) \ & =(a-1)^{2}+5 \end{aligned} $

इसलिए, $\quad \alpha^{2}+\beta^{2}$ सबसे कम होगा जब $(a-1)^{2}=0$ होगा, यानी, $a=1$।

लंबे उत्तर के प्रकार

~~ उदाहरण 14 यदि तथ्यक पंक्ति $z_1$ और $z_2$ के लिए $|1-\bar z_1 z_2|^{2}-|z_1-z_2|^{2}=k(1-|z_1|^{2})(1-|z_2|^{2})$ सत्य होता है, तो $k$ की मान ढूंढ़ें।

समाधान

$ \begin{aligned} \text{ बायां हाथ } & =|1-\bar z_1 z_2|^{2}-|z_1-z_2|^{2} \ & =(1-\bar z_1 z_2)(\overline{1-\bar z_1 z_2})-(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2}) \ & =(1-\bar z_1 z_2)(1-z_1 \bar z_2)-(z_1-z_2)(\bar z_1-\bar z_2) \ & =1+z_1 \bar z_1 z_2 \bar z_2-z_1 \bar z_1-z_2 \bar z_2 \ & =1+|z_1|^{2} \cdot|z_2|^{2}-|z_1|^{2}-|z_2|^{2} \ & =(1-|z_1|^{2})(1-|z_2|^{2}) \ \Rightarrow \quad \text{ दाएं हाथ } & =k(1-|z_1|^{2})(1-|z_2|^{2}) \ k & =1 \end{aligned} $

इसलिए, दायां हाथ और बायां हाथ को समान बनाने पर, हमें $k=1$ मिलता है।

~~ उदाहरण 15 यदि $z_1$ और $z_2$ दोनों कार्य समीकरण $z+\bar{z}=2|z-1|$ को पूरा करते हैं और $\arg (z_1-z_2)=\frac{\pi}{4}$ होता है, तो $Im(z_1+z_2)$ का मान ढूंढ़ें।

समाधान $z=x+i y, z_1=x_1+i y_1$ और $z_2=x_2+i y_2$ को लेते हैं।

तो $\quad z+\bar{z}=2|z-1|$

$\Rightarrow \quad(x+i y)+(x-i y)=2|x-1+i y|$

$\Rightarrow \quad 2 x=1+y^{2}$

क्योंकि $z_1$ और $z_2$ दोनों (1) को पूरा करते हैं, तो हमें

$ 2 x_1=1+y_1^{2} \ldots \text{ और } 2 x_2=1+y_2{ }^{2}$ और

$\Rightarrow 2(x_1-x_2)=(y_1+y_2)(y_1-y_2) $ होता है।

$\Rightarrow 2=(y_1+y_2)(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}) $

फिर $\quad z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$

इसलिए, $\quad \tan \theta=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$, जहां $\theta=\arg (z_1-z_2)$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \tan \frac{\pi}{4}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \ \text{ यानी, } \quad & (\text{ क्योंकि } \theta=\frac{\pi}{4}) \\

उल्टा क्रम वाली गिनती के अनुसार सही या गलत कहें:

(i) $i$ से एक गैर-शून्य सम्प्लेक्स संख्या का गुणन $i$ के माध्यम से उसे घेरने के माध्यम से दाएं कोण में मोड़ता है।

(ii) $\cos \theta+i \sin \theta$ कोई $\theta$ के लिए शून्य हो सकता है।

(iii) यदि एक संयोजन अपनी प्रतिस्पर्धी के साथ समान होता है, तो संख्या निशानिकाधिवक्ति पर लेकर ही होनी चाहिए।

(iv) संयोजन अंश $\theta$ वाली सम्प्लेक्स संख्या $z=(1+i \sqrt{3})(1+i)(\cos \theta+i \sin \theta)$ का तार्किक हिस्सा $\frac{7 \pi}{12}+\theta$ है।

(v) ऐसे संकेतरक संख्या $z$ को प्रतिस्थान करने वाले संबंधित बिंदु $|z+1|<|z-1|$ के लिए समय में एक वृत्त के अंदर होते हैं।

(vi) यदि तीन सम्प्लेक्स संख्याएं $z_1, z_2$ और $z_3$ A.P. में होती हैं, तो वे संयोजन वृत्त पर होती हैं।

(vii) यदि $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो $i^{n}+(i)^{n+1}+(i)^{n+2}+(i)^{n+3}$ की मान 0 होती है।

(i) सत्य है। चलो $z=2+3 i$ हो, OP द्वारा प्रतिनिधित करी गई संख्या हो। तो $i z=-3+2 i$ हो, OQ द्वारा प्रतिनिधित करी गई संख्या हो, जहां अगर OP को दायाँ मुड़ते हुए घड़ी की दिशा में घुमाया जाता है, तो यह OQ के साथ मेल खाता है।

(ii) असत्य है। क्योंकि $\cos \theta+i \sin \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=0$ और $\sin \theta=0$। लेकिन $\theta$ की कोई मान नहीं है जिसके लिए $\cos \theta$ और $\sin \theta$ दोनों शून्य हों।

(iii) असत्य है, क्योंकि $x+i y=x-i y \Rightarrow y=0 \Rightarrow$ संख्या $x$-अक्ष पर स्थित होती है।

(iv) सत्य है, $\arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})+\arg (1+i)+\arg (\cos \theta+i \sin \theta)$

$ \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\theta=\frac{7 \pi}{12}+\theta $

(v) असत्य है, क्योंकि $|x+i y+1|<|x+i y-1|$

$\Rightarrow (x+1)^{2}+y^{2}<(x-1)^{2}+y^{2}$ जो $4 x<0$ देता है।

(vi) असत्य है, क्योंकि यदि $z_1, z_2$ और $z_3$ एक A.P. में हों, तो $z_2=\frac{z_1+z_3}{2} \Rightarrow z_2$ $z_1$ और $z_3$ का मध्यबिंदु होता है, जिससे $z_1, z_2, z_3$ संलग्न होने का यह मतलब होता है।

(vii) सत्य है, क्योंकि $i^{n}+(i)^{n+1}+(i)^{n+2}+(i)^{n+3}$

$ \begin{aligned} & =i^{n}(1+i+i^{2}+i^{3})=i^{n}(1+i-1-i) \\ & =i^{n}(0)=0 \end{aligned} $

~~ उदाहरण 18 कॉलम A और B के कथनों को मेल खाता है।

कॉलम A

(a) $1+i^{2}+i^{4}+i^{6}+\ldots i^{20}$ का मान होता है

(b) $i^{-1097}$ का मान होता है

(c) $1+i$ का समाकोणीय होता है

(d) $\frac{1+2 i}{1-i}$ में होता है

(e) अगर $a, b, c \in R$ हैं और $b^{2}-4 a c<0$ है, तो समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के रूट गैर वास्तविक (समीकरण) होते हैं और

(f) अगर $a, b, c \in R$ हैं और $b^{2}-4 a c>0$ है, और $b^{2}-4 a c$ एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के रूट…

समाधान

(a) $\Leftrightarrow$ (ii), क्योंकि $1+i^{2}+i^{4}+i^{6}+\ldots+i^{20}$ $=1-1+1-1+\ldots+1=1$ (जो कि पूर्णतः एक वास्तविक समीकरण है)

(b) $\Leftrightarrow$ (i), क्योंकि $i^{-1097}=\frac{1}{(i)^{1097}}=\frac{1}{i^{4 \times 274+1}}=\frac{1}{{(i)^{4}}^{274}(i)}=\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=-i$

जो पूर्णतः काल्पनिक संख्या है।

(c) $\Leftrightarrow$ (iv), $1+i$ का समाकोणीय $1-i$ है, जो चौथे क्वाड्रेंट में बिंदु $(1,-1)$ द्वारा प्रतिनिधित किया जाता है।

(d) $\Leftrightarrow$ (iii), क्योंकि $\frac{1+2 i}{1-i}=\frac{1+2 i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}=\frac{-1+3 i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} i$, जो द्वितीय क्वाड्रेंट में बिंदु $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ द्वारा प्रतिनिधित किया जाता है।

(e) $\Leftrightarrow$ (vi), अगर $b^{2}-4 a c<0=D<0$ है, अर्थात् $D$ का वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है, इसलिए, रूट $x=\frac{-b \pm \text{काल्पनिक संख्या }}{2 a}$ है, अर्थात्, रूट का वास्तविक और काल्पनिक जोड़ द्वयों जोड़ी होते हैं।

कॉलम B

(i) पूर्णतः काल्पनिक संख्या

(ii) पूर्णतः वास्तविक संख्या

(iii) द्वितीय क्वाड्रेंट

(iv) चौथे क्वाड्रेंट

(v) समीकरणीय जोड़ी में हो सकता है (vi) समीकरणीय जोड़ी में हो सकता है (f) $\Leftrightarrow$ (v), समीकरण $x^{2}-(5+\sqrt{2}) x+5 \sqrt{2}=0$ को देखें, यहां $a=1$, $b=-(5+\sqrt{2})$, $c=5 \sqrt{2}$, स्पष्ट रूप से $a, b, c \in R$ हैं।

अब $D=b^{2}-4 a c={-(5+\sqrt{2})}^{2}-4.1 .5 \sqrt{2}=(5-\sqrt{2})^{2}$ है।

इसलिए $x = \frac{5+\sqrt{2} \pm 5-\sqrt{2}}{2}=5, \sqrt{2}$, जो कि एक संयुक्त युग्म नहीं हैं।

~~ उदाहरण 19 $\frac{i^{4n+1}-i^{4n-1}}{2}$ का मान क्या है?

समाधान $i$, क्योंकि $\frac{i^{4n+1}-i^{4n-1}}{2}=\frac{i^{4n} i-i^{4n} i^{-i}}{2}$

$ =\frac{i-\frac{1}{i}}{2}=\frac{i^{2}-1}{2 i}=\frac{-2}{2 i}=i $

~~ उदाहरण 20 किस सबसे छोटे सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(1+i)^{2n}=(1-i)^{2n}$ होगा?

समाधान $n=2$, क्योंकि $(1+i)^{2n}=(1-i)^{2n}=(\frac{1+i}{1-i})^{2n}=1$ $\Rightarrow$ $(i)^{2n}=1$ जोसंभव है यदि $n=2$ $(\therefore i^{4}=1)$

~~ उदाहरण 21 $3+\sqrt{7}i$ का प्रतिप्रात और्वक क्या है?

समाधान $z$ का और्वक $z = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}$

इसलिए, $3+\sqrt{7} i$ का और्वक है $\frac{3-\sqrt{7} i}{16}=\frac{3}{16}-\frac{\sqrt{7} i}{16}$

~~ उदाहरण 22 यदि $z_1=\sqrt{3}+i\sqrt{3}$ और $z_2=\sqrt{3}+i$ है, तो $(\frac{z_1}{z_2})$ किस प्रथमांश में स्थानित होगा?

समाधान $\frac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}=(\frac{3+\sqrt{3}}{4})+(\frac{3-\sqrt{3}}{4}) i$

जो पहले त्रिकोणमें स्थितित एक बिंदु द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है।

~~ उदाहरण 23 $\frac{\sqrt{5+12i}+\sqrt{5-12i}}{\sqrt{5+12i}-\sqrt{5-12i}}$ का और्वक क्या होगा?

समाधान मान लें

$ \begin{aligned} z & =\frac{\sqrt{5+12i}+\sqrt{5-12i}}{\sqrt{5+12i}-\sqrt{5-12i}} \times \frac{\sqrt{5+12i}+\sqrt{5-12i}}{\sqrt{5+12i}+\sqrt{5-12i}} \\ & =\frac{5+12i+5-12i+2\sqrt{25+144}}{5+12i-5+12i} \\ & =\frac{3}{2i}=\frac{3i}{-2}=0-\frac{3}{2}i \end{aligned} $

इसलिए, और्वक $z=0+\frac{3}{2}i$ होगा

~~ उदाहरण 24 $1-i$ का मुख्य मान कितना है?

समाधान $\theta$ को $1-i$ का मुख्य मान माना जाए। क्योंकि

$ \tan \theta=-1 \Rightarrow \tan \theta=\tan (-\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta=-\frac{\pi}{4} $

~~ उदाहरण 25 जटिल संख्या $(i^{25})^{3}$ का ध्रुवीय रूप क्या होगा?

समाधान $z=(i^{25})^{3}=(i)^{75}=i^{4\times18+3}=(i^{4})^{18}(i)^{3}$

$ =i^{3}=-i=0-i $

$z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ का ध्रुवीय रूप होगा

$ \begin{aligned} & =1{\cos (-\frac{\pi}{2})+i\sin (-\frac{\pi}{2})} \\ & =\cos \frac{\pi}{2}-i\sin \frac{\pi}{2} \end{aligned} $

~~ उदाहरण 26 $z$ की स्थल क्या होगी, यदि $z-2-3i$ का मान $\frac{\pi}{4}$ हो?

समाधान $z=x+iy$ लें। तभी $z-2-3i=(x-2)+i(y-3)$

चलो $\theta$ को $z-2-3i$ का मान माना जाए। तभी $\tan \theta=\frac{y-3}{x-2}$

$\Rightarrow \quad \tan \frac{\pi}{4}=\frac{y-3}{x-2}$(यदि $\theta=\frac{\pi}{4}$ है।) $\Rightarrow \quad 1=\frac{y-3}{x-2}$ यानी $x-y+1=0$

इसलिए, $z$ की स्थल एक सीधी रेखा है।

~~ उदाहरण 27 यदि $1-i$, मस समीकरण $x^{2} + ax + b = 0$ का मूल है, जहाँ $a, b \in \mathbf{R}$ हैं, तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात करें।

समाधान मूलों के योग $\frac{-a}{1}=(1-i)+(1+i)$ से $\Rightarrow a=-2$

(इसलिए गैर वास्तविक जोड़ मूल पाए जाते हैं)

मूलों के गुणांक $\frac{b}{1}=(1-i)(1+i)$ से $\Rightarrow b=2$

कृपया हर उदाहरण में दिए गए चार विकल्पों में से सही विकल्प चुनें (M.C.Q.).

उदाहरण $281+i^{2}+i^{4}+i^{6}+\ldots+i^{2 n}$ है

(A) सकारात्मक

(B) नकारात्मक

(C) 0

(D) मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है ~~

समाधान (D), $1+i^{2}+i^{4}+i^{6}+\ldots+i^{2 n}=1-1+1-1+\ldots(-1)^{n}$ ~~

इसे मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है जब तक $n$ नहीं पता होता है।

~~ उदाहरण 29 यदि बहुज्जीय संख्या $z=x+i y$ को स्थिति $|z+1|=1$ को पूरा करता है, तो $z$ किस पर लेटा है

(A) $x$-कार्यात्रित बिन्दु

(B) $परिधि (1,0)$ का circle और त्रिज्या 1

(C) $परिधि (-1,0)$ का circle और त्रिज्या 1

(D) $y$-कार्यात्रित बिन्दु ~~

समाधान (C), $|z+1|=1 \Rightarrow|(x+1)+i y|=1$

$\Rightarrow \quad (x+1)^{2}+y^{2}=1$

जो परिधि $(-1,0)$ का एक circle है और त्रिज्या 1 है।

~~ उदाहरण 30 बहुज्जीय समतल पर एक ही समतल में चित्रित त्रिभुज का क्षेत्र $z,-i z$ और $z+i z$ द्वारा बनाया जाता है:

(A) $|z|^{2}$

(B) $\frac{|z|^{2}}{2}$

(C) $|\bar{z}|^{2}$

(D) इनमें से कोई नहीं ~~

समाधान (C), $z=x+i y$ लें। तो $-i z=y-i x$ होता है। इसलिए,

$ z+i z=(x-y)+i(x+y) $

त्रिभुज का क्षेत्र $\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})=\frac{|z|^{2}}{2}$ होता है।

~~ उदाहरण 31 समीकरण $|z+1-i|=|z-1+i|$ एक

(A) सीधी रेखा

(B) circle

(C) पराबोला

(D) hyperbola ~~

समाधान (A), $|z+1-i|=|z-1+i|$

$\Rightarrow \quad|z-(-1+i)|=|z-(1-i)|$

$\Rightarrow \quad PA=PB$, जहां $A$ बिंदु $(-1,1)$ को दर्शाता है, $B$ बिंदु $(1,-1)$ को दर्शाता है और $P$ बिंदु $(x, y)$ को दर्शाता है

$\Rightarrow \quad z$ $A$ और $B$ के बीच सीधी रेखा पर होता है और बीचवर्ती द्वयीकरण एक सीधी रेखा होती है।

~~ उदाहरण 32 समीकरण $z^{2}+|z|^{2}=0$ के समाधानों की संख्या है

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) असीमित ~~

समाधान (D), $z^{2}+|z|^{2}=0, z \neq 0$ ~~

$\Rightarrow \quad x^{2}-y^{2}+i 2 x y+x^{2}+y^{2}=0$

$\Rightarrow \quad 2 x^{2}+i 2 x y=0 \quad 2 x(x+i y)=0$

$\Rightarrow \quad x=0$ या $x+i y=0$ (असंभव)

इसलिए, $x=0$ और $z \neq 0$

तो $y$ किसी भी वास्तविक मान को हो सकता है। इसलिए असीमित समाधान।

~~ उदाहरण 33 $\sin \frac{\pi}{5}+i(1-\cos \frac{\pi}{5})$ की महत्ता है

(A) $\frac{2 \pi}{5}$

(B) $\frac{\pi}{5}$

(C) $\frac{\pi}{15}$

(D) $\frac{\pi}{10}$ ~~

समाधान (D), यहां $r \cos \theta=\sin (\frac{\pi}{5})$ और $r \sin \theta=1-\cos \frac{\pi}{5}$

इसलिए, $\tan \theta=\frac{1-\cos \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{2 \sin ^{2}(\frac{\pi}{10})}{2 \sin (\frac{\pi}{10}) \cdot \cos (\frac{\pi}{10})}$

$\Rightarrow \quad \tan \theta=\tan (\frac{\pi}{10})$ अर्थात $\theta=\frac{\pi}{10}$

5.3 अभ्यास

संक्षेप उत्तर प्रकार

~~

1. सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(1-i)^{n}(1-\frac{1}{i})^{n}$ का मान ढूंढें

~~ 2. मान्यता $n \in \mathbf{N}$ होने पर $\sum _{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1})$ का मान निर्धारित करें।

~~ 3. यदि $(\frac{1+i}{1-i})^{3}-(\frac{1-i}{1+i})^{3}=x+i y$ होता है, तो $(x, y)$ ढूंढें।

~~ 4. यदि $\frac{(1+i)^{2}}{2-i}=x+i y$ होता है, तो $x+y$ का मान ढूंढें।

~~ 5. यदि $(\frac{1-i}{1+i})^{100}=a+i b$ होता है, तो $(a, b)$ ढूंढें। ~~

यदि $a=\cos \theta+i \sin \theta$ है, तो $\frac{1+a}{1-a}$ का मान निकालें।

~~ यदि $(1+i) z=(1-i) \bar{z}$ है, तो दिखाएं कि $z=-i \bar{z}$।

~~ यदि $z=x+i y$ है, तो दिखाएं कि $z \bar{z}+2(z+\bar{z})+b=0$ है, जहां $b \in \mathbf{R}$ एक वृत्त को दर्शाता है।

~~ यदि $\frac{\bar{z}+2}{\bar{z}-1}$ का वास्तविक भाग 4 है, तो दिखाएं कि समय-स्थान चक्र में $z$ को प्रतिष्ठित करने वाले बिंदु की लोकेशन एक वृत्त है।

~~ $\arg (\frac{z-1}{z+1})=\frac{\pi}{4}$ की शर्त को पूरा करने वाली समय-स्थान चक्रीय संख्या $z$ को दिखाएं।

~~ $|z|=z+1+2 i$ के समीकरण का समाधान करें।

लंबा उत्तर प्रकार

~~ यदि $|z+1|=z+2(1+i)$ है, तो $z$ का मान ढूंढें।

~~ यदि $\arg (z-1)=\arg (z+3 i)$ है, तो $x-1: y$ का मान ढूंढें, यहां $z=x+i y$ है।

~~ दिखाएं कि $|\frac{z-2}{z-3}|=2$ एक वृत्त को दर्शाता है। इसका केंद्र और त्रिज्या खोजें।

~~ यदि $\frac{z-1}{z+1}$ एक पूर्णता के लिए वास्तविक संख्या है $(z \neq-1)$, तो $|z|$ का मान ढूंढें।

~~ $|z_1|=|z_2|$ और $\arg (z_1)+\arg (z_2)=$ $\pi$ होने के कारण दिखाएं कि $z_1=-\bar z_2$ है।

~~ यदि $|z_1|=1(z_1 \neq-1)$ है और $z_2=\frac{z_1-1}{z_1+1}$ है, तो दिखाएं कि $z_2$ का वास्तविक भाग शून्य है।

~~ यदि $z_1, z_2$ और $z_3, z_4$ दोनों जोड़ी में संयुग्म विलक्षण संख्याएं हैं, तो निकालें $\arg (\frac{z_1}{z_4})+\arg (\frac{z_2}{z_3})$।

~~ यदि $|z_1|=|z_2|=\ldots=|z_n|=1$ है, तो दिखाएं कि $|z_1+z_2+z_3+\ldots+z_n|=|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+\ldots+\frac{1}{z_n}|$।

~~ यदि किसी दो यांत्रिक संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए $\arg (z_1)-\arg (z_2)=0$ है, तो दिखाएं कि $|z_1-z_2|=|z_1|-|z_2|$।

~~ समीकरणों की प्रणाली को हल करें $Re(z^{2})=0,|z|=2$।

~~ समीकरण $z+\sqrt{2}|(z+1)|+i=0$ को पूरा करने वाले यांत्रिक संख्या ढूंढें।

~~ प्राथमिक आकार में लिखें $z=\frac{1-i}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}$।

~~ यदि $z$ और $w$ ऐसे दो यांत्रिक संख्याएं हैं जिसके लिए $|z w|=1$ है और $\arg (z)-\arg (w)=$ $\frac{\pi}{2}$ है, तो दिखाएं कि $\bar{z} w=-i$ है।

उद्देश्य प्रकार के प्रश्न

25. निम्नलिखित की जगह भरें

(i) किसी भी दो यांत्रिक संख्याओं $z_1, z_2$ और किसी भी वास्तविक संख्या $a, b$ के लिए $|a z_1-b z_2|^{2}+|b z_1+a z_2|^{2}=$

(ii) $\sqrt{-25} \times \sqrt{-9}$ का मान है

(iii) संख्या $\frac{(1-i)^{3}}{1-i^{3}}$ समान है

(iv) श्रंखला $i+i^{2}+i^{3}+\ldots$ 1000 पदों तक की योग है

(v) $1+i$ का गुणाकारी परिभाषित है

(vi) यदि $z_1$ और $z_2$ ऐसे यांत्रिक संख्याएं हैं जिसके लिए $z_1+z_2$ एक वास्तविक संख्या है, तो $z_2=\ldots$

(vii) $\arg (z)+\arg \bar{z}(\bar{z} \neq 0)$ है

(viii) यदि $|z+4| \leq 3$ है, तो $|z+1|$ के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान हैं

(ix) $|\frac{z-2}{z+2}|=\frac{\pi}{6}$ होने के कारण $z$ का स्थान निकालें

(x) यदि $|z|=4$ है और $\arg (z)=\frac{5 \pi}{6}$ है, तो $z=$

~~ 26. निम्नलिखित के लिए सच या झूठ बताएं :

(i) कोड आदेश युक्तियाँ के द्वारा परिभाषित होता है।

(ii) गणितीय संख्याओं के सेट पर अनुक्रम-संबंध परिभाषित होती है।

(iii) किसी भी सम्प्लेक्स संख्या $z$ के लिए $|z|+|z-1|$ का न्यूनतम मान 1 है।

(iv) $|z-1|=|z-i|$ द्वारा प्रतिष्ठित व्यक्ति जोड़ी $(1,0)$ और $(0,1)$ के लिंग के लिए एक रेखा है।

(v) यदि $z$ एक सम्प्लेक्स संख्या है जिसके लिए $z \neq 0$ और $Re(z)=0$, तो $Im(z^{2})=0$ होता है।

(vi) $|z-4|<|z-2|$ असमिकाएँ $x>3$ द्वारा दी गई क्षेत्र को प्रतिनिधित करती है। (vii) $z_1$ और $z_2$ दो सम्प्लेक्स संख्याओं को $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ के रूप में लिया जाता है, तो $\arg (z_1-z_2)=0$ होता है।

(viii) 2 एक सम्प्लेक्स संख्या नहीं है।

~~ 27. कॉलम A और कॉलम B के कथनों के मिलान कीजिये।

कारक A

(a) $i+\sqrt{3}$ का पोलर रूप है

(b) $-1+\sqrt{-3}$ की अवधि है

(c) यदि $|z+2|=|z-2|$ है, तो $z$ का प्रतिष्ठान है

(d) यदि $|z+2 i|=|z-2 i|$ है, तो $z$ का प्रतिष्ठान है

(e) इसकी प्रतिष्ठा व्यक्त की गई

$ |z+4 i| \geq 3 \text{ है } $

(f) इसकी प्रतिष्ठा व्यक्त की गई $|z+4| \leq 3$ है

(g) $\frac{1+2 i}{1-i}$ का अपरिवर्ती $(-4,0)$ के पास स्थित होता है

(h) $\frac{1-i}{1+i}$ का परावृत्त $(-4,0)$ में स्थित होता है

कारक B

(i) $(-2,0)$ और $(2,0)$ के बीच के द्वार की लम्बवत्ता द्वारा संबंधात्मक ऊर्ध्वविकर्णक

(ii) $(0,-4)$ के केंद्र पर स्थित और त्रिज्या 3 है वाले वृत्त पर या उचित विकसित।

(iii) $\frac{2 \pi}{3}$

(iv) $(0,-2)$ और $(0,2)$ जोड़ी के बीच के द्वार की लम्बवत्ता द्वारा संबंधात्मक ऊर्ध्वविकर्णक।

(v) $2(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6})$

(vi) $(-4,0)$ के केंद्र पर स्थित और त्रिज्या 3 इकाइयों के वृत्त पर या उचित विकसित।

(vii) प्रथम द्विपद

(viii) तीसरा चतुर्थांश

~~ 28. $\frac{2-i}{(1-2 i)^{2}}$ का सहपाठी क्या है?

~~ 29. यदि $|z_1|=|z_2|$ है, क्या आवश्यक है कि $z_1=z_2$ हो?

~~ 30. यदि $\frac{(a^{2}+1)^{2}}{2 a-i}=x+i y$, तो $x^{2}+y^{2}$ की मान क्या होगी?

~~ 31. यदि $|z|=4$ और $\arg (z)=\frac{5 \pi}{6}$ है, तो $z$ की मान क्या होगी?

~~ 32. $|(1+i) \frac{(2+i)}{(3+i)}|$ की मान क्या होगी?

~~ 33. $(1+i \sqrt{3})^{2}$ का मुख्य तर्क क्या होगा?

~~ 34. $|\frac{z-5 i}{z+5 i}|=1$ है तो $z$ कहाँ स्थित होगा?

35 से 50 तक के अभ्यासों के लिए दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिये

~~ 35. $\sin x+i \cos 2 x$ और $\cos x-i \sin 2 x$ आपस में सहपाठी हैं:

(A) $x=n \pi$

(B) $x=(n+\frac{1}{2}) \frac{\pi}{2}$

(C) $x=0$

(D) $x$ की कोई मान नहीं

~~ 36. वास्तविक मान $\alpha$ ऐसा होता है जिसके लिए अभिव्यक्ति $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$ पूरी तरह से वास्तविक होती है:

(A) $(n+1) \frac{\pi}{2}$

(B) $(2 n+1) \frac{\pi}{2}$

(C) $n \pi$

(D) इनमें कोई नहीं है, जहां $n \in \mathbf{N}$

~~ 37. यदि $z=x+i y$ तीसरे क्वाड्रेंट में स्थित है, तो $\frac{\bar{z}}{z}$ भी तीसरे क्वाड्रेंट में स्थित होता है अगर

(A) $x>y>0$

(B) $x<y<0$

(C) $y<x<0$

(D) $y>x>0$

~~ 38. $(z+3)(\bar{z}+3)$ की मान के समान होता है

(A) $|z+3|^{2}$

(B) $|z-3|$

(C) $z^{2}+3$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 39. यदि $(\frac{1+i}{1-i})^{x}=1$ है, तो

(A) $x=2 n+1$

(B) $x=4 n$

(C) $x=2 n$

(D) $x=4 n+1$, जहां $n \in N$

~~ 40. $(\frac{3-4 i x}{3+4 i x})=\alpha-i \beta(\alpha, \beta \in \mathbf{R})$ को संतुलित करने वाले $x$ का एक वास्तविक मान है:

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) -2

~~ 41. किसी भी दो सम्प्लेक्स संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए कौन सा सही है?

(A) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

विषय: (बी) $\arg (z_1 z_2)=\arg (z_1) \cdot \arg (z_2)$

(सी) $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$

(डी) $|z_1+z_2| \geq|z_1|-|z_2|$

~~ 42. जटिल संख्या $2-i$ द्वारा प्रतिनिधित किए गए बिंदु को मूल के प्रतिदिनांकीय दिशा में $\frac{\pi}{2}$ लंबवत घूमाया जाता है, बिंदु का नया स्थान है:

(ए) $1+2 i$

(बी) $-1-2 i$

(सी) $2+i$

(डी) $-1+2 i$

~~ 43. यदि $x, y \in \mathbf{R}$ हैं, तो $x+i y$ एक अवास्तविक जटिल संख्या है अगर:

(ए) $x=0$

(बी) $y=0$

(सी) $x \neq 0$

(डी) $y \neq 0$

~~ 44. यदि $a+i b=c+i d$ है, तो

(ए) $a^{2}+c^{2}=0$

(बी) $b^{2}+c^{2}=0$

(सी) $b^{2}+d^{2}=0$

(डी) $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

~~ 45. जटिल संख्या $z$ को संख्यावली $|\frac{i+z}{i-z}|=1$ को पूरा करने वाला परिपथ में रखा जाता है

(ए) वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$

(बी) $x$-अक्ष

(सी) $y$-अक्ष

(डी) रेखा $x+y=1$

~~ 46. यदि $z$ एक जटिल संख्या है, तो

(ए) $|z^{2}|>|z|^{2}$

(बी) $|z^{2}|=|z|^{2}$

(सी) $|z^{2}|<|z|^{2}$

(डी) $|z^{2}| \geq|z|^{2}$

~~ 47. $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$ संभव होता है अगर

(ए) $z_2=\bar z_1$

(बी) $z_2=\frac{1}{z_1}$

(सी) $\arg (z_1)=\arg (z_2)$

(डी) $|z_1|=|z_2|$

~~ 48. $\theta$ का वास्तविक मान, जिसके लिए अभिव्यक्ति $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ एक वास्तविक संख्या है, है:

(ए) $n \pi+\frac{\pi}{4}$

(बी) $n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{4}$

(सी) $2 n \pi \pm \frac{\pi}{2}$

(डी) इनमें से कोई नहीं.

~~ 49. $x<0$ होने पर $\arg (x)$ का मान:

(ए) 0

(बी) $\frac{\pi}{2}$

(सी) $\pi$

(डी) इनमें से कोई नहीं

~~ 50. यदि $f(z)=\frac{7-z}{1-z^{2}}$, यहां $z=1+2 i$ है, तो $|f(z)|$ है

(ए) $\frac{|z|}{2}$

(बी) $|z|$

(सी) $2|z|$

(डी) इनमें से कोई नहीं।