अध्याय 8

द्विस्वाभाविक सूत्र

8.1 अवलोकन:

8.1.1 + या - चिह्न से जुड़े दो शब्दों का एक अभिव्यक्ति द्विस्वाभाविक अभिव्यक्ति कहलाती है। उदाहरण के लिए, $x+a, 2 x-3 y, \frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}, 7 x-\frac{4}{5 y}$ आदि सभी द्विस्वाभाविक अभिव्यक्तियाँ हैं।

8.1.2 द्विस्वाभाविक सूत्र

यदि $a$ और $b$ अवांछनीय संख्याएँ हैं और $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तब $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots$ $\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n b^{n}$, जहां ${ }^{n} C_r=\frac{\underline{\underline{n}}}{\underline{\underline{r} \underline{n}-r}}$ इसके लिए $0 \leq r \leq n$

विस्तृतियों में महत्वपूर्ण शब्द या $(r+1)^{\text{वां }}$ terms $(n-r) C_r a^{n-r} b^{r}$ से दिया गया है

8.1.3 कुछ महत्वपूर्ण अवलोकन

~~

1. $(a+b)^{n}$ के द्विस्वाभाविक विस्तार में कुल शब्दों की संख्या $n+1$ होती है, यानी $n$ के प्रशासक से एक अधिक।

~~ 2. विस्तार में, पहला शब्द द्विस्वाभाविक के शक्ति के बराबर और प्रत्येक आगामी शब्द में $a$ की शक्ति एक कम होती है और $b$ की शक्ति एक बढ़ती है, जब तक $a$ की शक्ति द्विस्वाभाविक की शक्ति के बराबर नहीं हो जाती है, अर्थात पहले शब्द में $a$ की शक्ति $n$ है, दूसरे शब्द में $(n-1)$ है और इसी प्रकार सामाप्त होते हुए अंतिम शब्द में 0 होती है। इसी दौरान $b$ की शक्ति पहले शब्द में 0 होती है, दूसरे शब्द में 1 होती है और तीसरे शब्द में 2 होती है और इसी प्रकार सामाप्त होते हुए अंतिम शब्द में $n$ होती है।

~~ 3. किसी भी शब्द में ’ $a$ ’ और ’ $b$ ’ के सूचकांकों (घातांकों) का योग $n$ के बराबर होता है (अर्थात द्विस्वाभाविक की शक्ति)।

~~ 4. विस्तार में संकेतकों का अनुसरण करने वाले संकेतक एक निश्चित प्रकार का पैटर्न अनुसरण करते हैं, जिसे पास्कल का त्रिकोणमिति के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक पंक्ति के प्रत्येक संकेतक को पश्चात्तर पंक्ति में दो संकेतकों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, एक सीधे बाईं और एक सीधे दाईं ओर और प्रत्येक पंक्ति के दोनों ओर 1 से सीमित होता है।

$(r+1)^{\text{वां }}$ या सामान्य संकेतक द्वारा दिया जाता है

$ T _{r+1}=\quad{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r} $

साइन फ़ंक्शन के अनुसार यदि $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो

$ \begin{aligned} & (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n} b^{1}+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+ \\ & { }^{n} C_n a^{0} b^{n} \text{1} \end{aligned} $

विशेषकर

~~

1. (ए) में $b$ के स्थान पर $-b$ को स्थानांतरित करने के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & (a-b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}-{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+(-1)^{r}{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+ \\ & (-1)^{n}{ }^{n} C_n a^{0} b^{n} \text{2} \end{aligned} $

~~ 2. (1) और (2) को जोड़ने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} (a+b)^{n}+(a-b)^{n} & =2[{ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+{ }^{n} C_4 a^{n-4} b^{4}+\ldots] \\ & =2[\text{ विषम स्थानों पर शब्द }] \end{aligned} $

~~ 3. (2) को (1) से घटाने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned}

यहां ही रूपांतरण करते हैं:

$ \begin{aligned} (a+b)^{n}-(a-b)^{n} & =2[{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+{ }^{n} C_3 a^{n-3} b^{3}+\ldots] \\ & =2[\text{ sum of terms at even places }] \end{aligned} $

~~ 4. $a$ की जगह 1 और $b$ की जगह $x$ को (1) में बदलने से,

$ \begin{aligned} & (1+x)^{n}={ }^{n} C_0 x^{0}+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_r x^{r}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} x^{n-1}+{ }^{n} C_n x^{n} \\ & \text{ अर्थात् } \quad(1+x)^{n}= _{r=0}^{n} C_r x^{r} \end{aligned} $

~~ 5. $a$ की जगह 1 और $b$ की जगह $-x$ को … (1) में बदलने से,

$ \begin{aligned} & \quad(1-x)^{n}={ }^{n} C_0 x^{0}-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2} \ldots+{ }^{n} C _{n-1}(-1)^{n-1} x^{n-1}+{ }^{n} C_n(-1)^{n} x^{n} \\ & \text{ अर्थात्, } \quad(1-x)^{n}=\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{ }^{n} C_r x^{r} \end{aligned} $

8.1.5 अंतिम से $p$ वां शब्द

$(a+b)^{n}$ के विस्तार में अंतिम से $p$ वां शब्द पहले से $(n-p+2)$ वां शब्द है।

8.1.6 मध्य शब्द

मध्य शब्द $n$ के मान पर निर्भर करता है।

(a) यदि $n$ सम है: तो $(a+b)^{n}$ के विस्तार में कुल शब्दों की संख्या $n+1$ (विषम) है। इसलिए केवल एक मध्य शब्द होता है, अर्थात् $(\frac{n}{2}+1)$ वां शब्द मध्य शब्द होता है।

(b) यदि $n$ विषम है: तो $(a+b)^{n}$ के विस्तार में कुल शब्दों की संख्या $n+1$ (सम) होती है। इसलिए दो मध्य शब्द होते हैं, अर्थात् $\frac{n+1}{2}$ और $\frac{n+3}{2}$ दो मध्य शब्द होते हैं।

8.1.7 बाइनोमियल संख्या

बाइनोमियल अभिव्यक्ति में हमें निम्नलिखित मिलता है:

$ \begin{aligned} (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n b^{n} \text{1} \end{aligned} $

इसे (1) में $a=b=1$ लगाएं, हमें मिलता है

$ { }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n=2^{n} $

इस प्रकार बाइनोमियल संख्याओं का कुल योग $2^n$ के बराबर होता है।

फिर, $a=1$ और $b=-1$ को (i) में डालने से हमें मिलता है

$ { }^{n} C_0+{ }^{n} C_2+{ }^{n} C_4+\ldots={ }^{n} C_1+{ }^{n} C_3+{ }^{n} C_5+\ldots $

इस प्रकार, सभी विषम बाइनोमियल संख्याओं का योग सभी सम बाइनोमियल संख्याओं के योग के बराबर होता है और प्रत्येक योग $2^{n-1}$ के बराबर होता है।

$ { }^{n} C_0+{ }^{n} C_2+{ }^{n} C_4+\ldots={ }^{n} C_1+{ }^{n} C_3+{ }^{n} C_5+\ldots=2^{n-1} $

8.2 सुलझाए गए उदाहरण

संक्षेप उत्तर प्रकार

~~उदाहरण 1 $(x+\frac{1}{x})^{2r}$ के विस्तार में $r$ वां शब्द ढूंढें।

समाधान हमें $T_r={ }^{2 r} C _{r-1}(x)^{2 r-r+1}(\frac{1}{x})^{r-1}$ मिलता है

$ \begin{aligned} & =\frac{2 r}{|r-1| r+1} x^{r+1-r+1} \\ & =\frac{\lfloor 2 r}{r-1 r+1} x^{2} \end{aligned} $

~~उदाहरण 2 निम्नलिखित का विस्तार करें $(1-x+x^{2})^{4}$

समाधान $1-x=y$ लगाएं। तब

$ \begin{aligned} (1-x+x^{2})^{4}= & (y+x^{2})^{4} \\ = & { }^{4} C_0 \quad y^{4}(x^{2})^{0}+{ }^{4} C_1 y^{3}(x^{2})^{1} \\ & +{ }^{4} C_2 y^{2}(x^{2})^{2}+{ }^{4} C_3 y(x^{2})^{3}+{ }^{4} C_4(x^{2})^{4} \\ = & y^{4}+4 y^{3} x^{2}+6 y^{2} x^{4}+4 y x^{6}+x^{8} \\

यहाँ दिए गए व्यक्तिगत कथन में $r+1$ आइटम शामिल है जो $x$ के निर्भर नहीं है, जो निम्न रूप में दिया गया है:

$ \begin{aligned} T_{r+1} & ={ }^{10} C_r \sqrt{\frac{x}{3}}{ }^{10-r}{\frac{\sqrt{3}}{2 x^{2}}}^{r} \ & ={ }^{10} C_r \frac{x}3^{\frac{10-r}{2}} 3^{\frac{r}{2}} \frac{1}{2^{r} x^{2 r}} \ & ={ }^{10} C_r 3^{\frac{r}{2}-\frac{10-r}{2}} 2^{-r} x^{\frac{10-r}{2}-2 r} \end{aligned} $

चूंकि यह आइटम $x$ के निर्भर है, हमारे पास है

$ \frac{10-r}{2}-2 r=0 \Rightarrow r=2 $

हेंस $3^{\text{वां }}$ टर्म $x$ से अविपण्यसित है और इसका मूल्य निम्नपृष्ठ में दिया गया है

$ T_3={ }^{10} C_2 \frac{3^{-3}}{4}=\frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{1}{9 \times 12}=\frac{5}{12} $

~~उदाहरण ८ $2 a x-{\frac{b}{x^{2}}}^{12}$ के विस्तार में मध्य टर्म ढूंढें।

समाधान यदि बाइनोमियल की शक्ति सम है, तो उसमें एक मध्य टर्म होता है जो $\frac{12+2}{2}$ वा ं टर्म है और वह निम्नपृष्ठ में दिया गया है

$ \begin{aligned} T_7 & ={ }^{12} C_6(2 a x)^{6}(\frac{-b}{x^{2}})^{6} \\ & ={ }^{12} C_6 \frac{2^{6} a^{6} x^{6} \cdot(-b)^{6}}{x^{12}} \\ & ={ }^{12} C_6 \frac{2^{6} a^{6} b^{6}}{x^{6}}=\frac{59136 a^{6} b^{6}}{x^{6}} \end{aligned} $

~~उदाहरण ९ $(\frac{p}{x}+\frac{x}{p})^{9}$ के विस्तार में मध्य टर्म (तर्म) ढूंढें।

समाधान यदि बाइनोमियल की शक्ति विषम है। इसलिए, हमारे पास दो मध्य टर्म होते हैं जो $5^{\text{वां }}$ और $6^{\text{वां }}$ टर्म हैं। इन्हें निम्नपृष्ठ में दिया गया है

$ \begin{gathered} T_5={ }^{9} C_4(\frac{p}{x})^{5}(\frac{x}{p})^{4}={ }^{9} C_4 \frac{p}{x}=\frac{126 p}{x} \\ T_6={ }^{9} C_5(\frac{p}{x})^{4}(\frac{x}{p})^{5}={ }^{9} C_5 \frac{x}{p}=\frac{126 x}{p} \end{gathered} $

~~उदाहरण १० दिखाएं कि $2^{4 n+4}-15 n-16$, जहां $n \in \mathbf{N}$, 225 के द्वारा विभाज्य है।

समाधान हमारे पास है

$ \begin{aligned} 2^{4 n+4}-15 n-16= & 2^{4(n+1)}-15 n-16 \\ = & 16^{n+1}-15 n-16 \\ = & (1+15)^{n+1}-15 n-16 \\ = & { }^{n+1} C_0 15^{0}+{ }^{n+1} C_1 15^{1}+{ }^{n+1} C_2 15^{2}+{ }^{n+1} C_3 15^{3} \\ & +\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(15)^{n+1}-15 n-16 \\ = & 1+(n+1) 15+{ }^{n+1} C_2 15^{2}+{ }^{n+1} C_3 15^{3} \\ & +\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(15)^{n+1}-15 n-16 \\ = & 1+15 n+15+{ }^{n+1} C_2 15^{2}+{ }^{n+1} C_3 15^{3} \\ & +\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}(15)^{n+1}-15 n-16 \\ = & 15^{2}[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 15+\ldots \text{ so on }] \end{aligned} $

इस प्रकार, $2^{4 n+4}-15 n-16$ 225 के द्वारा विभाज्य है।

लम्बा उत्तर प्रकार

~~उदाहरण ११ $(2+3 x)^{9}$ के विस्तार में सबसे बड़ा टर्म संख्यात्मक रूप से ढूंढें, जहां

$ x=\frac{3}{2} $

समाधान हमारे पास है $(2+3 x)^{9}=2^{9}(1+\frac{3 x}{2})^{9}$

अब,

$ \begin{aligned} \frac{T _{r+1}}{T_r} & =\frac{2^{9}[{ }^{9} C_r(\frac{3 x}{2})^{r}]}{2^{9}[{ }^{9} C _{r-1}(\frac{3 x}{2})^{r-1}]} \\ & =\frac{{ }^{9} C_r}{{ }^{9} C _{r-1}}|\frac{3 x}{2}|=\frac{\lfloor 9}{r \mid 9-r} \cdot \frac{|r-1| 10-r}{\lfloor}|\frac{3 x}{2}| \\ & =\frac{10-r}{r}|\frac{3 x}{2}|=\frac{10-r}{r}(\frac{9}{4}) \quad \text{ इसलिए } \quad x=\frac{3}{2} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad \frac{T _{r+1}}{T_r} \geq 1 \Rightarrow \frac{90-9 r}{4 r} \geq 1$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow 90-9 r \geq 4 r \\ & \Rightarrow r \leq \frac{90}{13} \\ & \Rightarrow r \leq 6 \frac{12}{13} \end{aligned} $

इस प्रकार $r$ की अधिकतम मान 6 है। इसलिए, सबसे बड़ा टर्म $T _{r+1}=T_7$ है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} T_7 & =2^{9}[{ }^{9} C_6(\frac{3 x}{2})^{6}], \quad \text{ जहां } x=\frac{3}{2} \\

इसमे यहाँ हिंदी में ये है:

& =2^{9} \cdot{ }^{9} C_6(\frac{9}{4})^{6}=2^{9} \cdot \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}(\frac{3^{12}}{2^{12}})=\frac{7 \times 3^{13}}{2} \end{aligned}

~~उदाहरण 12 यदि $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो इसके विस्तार में $x^{-1}$ के समकोण की कोणीय घात का पता लगाएं।

समाधान यह है

अब $(1+x)^{n} \quad 1+\frac{1}x^{n}$ में $x^{-1}$ के समकोण की घात का पता लगाना है, यह $(1+x)^{2 n}$ के विस्तार में $x^{n-1}$ के समकोण की घात का पता लगाने के समान है।

क्योंकि $(1+x)^{2 n}={ }^{2 n} C_0 x^{0}+{ }^{2 n} C_1 x^{1}+{ }^{2 n} C_2 x^{2}+\ldots+{ }^{2 n} C _{n-1} x^{n-1}+\ldots+{ }^{2 n} C _{2 n} x^{2 n}$ इसलिए $x^{n-1}$ के समकोण को ${ }^{2 n} C _{n-1}$ कहा जाता है

$ =\frac{\lfloor 2 n}{|n-1| 2 n-n+1}=\frac{\lfloor 2 n}{|n-1| n+1} $

~~उदाहरण 13 निम्नलिखित मे से कौन बड़ा है?

$99^{50}+100^{50}$ या $101^{50}$

हमारे पास $(101)^{50}=(100+1)^{50}$ है

$ \begin{aligned} =100^{50}+50(100)^{49}+\frac{50.49}{2.1}(100)^{48}+\frac{50 \cdot 49.48}{3.2 .1}(100)^{47}+\ldots \text{1} \end{aligned} $

इसी तरह से $\quad 99^{50}=(100-1)^{50}$

$ \begin{aligned} =100^{50}-50.100^{49}+\frac{50.49}{2.1}(100)^{48}-\frac{50.49 .48}{3.2 .1}(100)^{47}+\ldots \text{2} \end{aligned} $

(2) को (1) से घटाने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & 101^{50}-99^{50}=250 \cdot(100)^{49}+\frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} 100^{47}+\ldots \\ \Rightarrow \quad & 101^{50}-99^{50}=100^{50}+2 \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} 100^{47}+\ldots \\ \Rightarrow \quad & 101^{50}-99^{50}>100^{50} \end{aligned} $

इसलिए $101^{50}>99^{50}+100^{50}$

~~उदाहरण 14 $(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+\ldots+x^{1000}$ के समान में $x^{50}$ के समकोण की घात को सरलीक्रित करने और समानों का संग्रह करने के बाद का समकोण ढूंढें।

समाधान क्योंकि यहाँ की श्रृंखला $\frac{x}{1+x}$ के सामान्य अनुपात के साथ एक ज्यामिति श्रृंखला है, इसके योग को निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} & \frac{(1+x)^{1000} 1-\frac{x}{1+x}^{1001}}{1-\frac{x}{1+x}} \\ & =\frac{(1+x)^{1000}-\frac{x^{1001}}{1+x}}{\frac{1+x-x}{1+x}}=(1+x)^{1001}-x^{1001} \end{aligned} $

इसलिए, $x^{50}$ का समकोण दिया जाता है

$ { }^{1001} C _{50}=\frac{\underline{1001}}{\underline{50 \lcm{951}}} $

~~उदाहरण 15 यदि $a_1, a_2, a_3$ और $a_4$ किसी चार आपस में सुसंगत हों, तो दिखाएँ कि

$ \frac{a_1}{a_1+a_2}+\frac{a_3}{a_3+a_4}=\frac{2 a_2}{a_2+a_3} $

समाधान देंखं लेते हैं कि $a_1, a_2, a_3$ और $a_4$ चार आपस में सुसंगत हों $T _{r+1}, T _{r+}$ $ _2, T _{r+3}$, और $T _{r+4}$ इसलिए

$ \begin{aligned} & a_1=\text{ तक की कोणीय आपत्ति } T _{r+1}={ }^{n} C_r \\ & a_2=\text{ तक की कोणीय आपत्ति } T _{r+2}={ }^{n} C _{r+1} \\ & a_3=\text{ तक की कोणीय आपत्ति } T _{r+3}={ }^{n} C _{r+2} \\ & \text{ और } \\

विषयक और प्राधिकरण इनपुट को जोड़कर प्राथमिक कॉफीशिएंट की मात्रा मिलेगी|

(B) एक समान होंगे

(C) प्राथमिक संख्या धारी होंगे

(D) कुछ नहीं में

लक्ष्य A सही विकल्प है|

कंटेंट का हिंदी संस्करण क्या है: (B) साथ विपरीत ज़र्नल (C) आपस में उलट (D) इनमें से कोई नही

समाधान A सही विकल्प है। $(1+x)^p ^+q$ के विस्तार में $x^p$ और $x^q$ के संकेतक ${p+q} C_p$ और ${p+q} C_q$ हैं

और

$^{p+q} C_p=^{p+q} C_q=\frac{\underline{p+q}}{\lfloor\underline{q} \underline{q}}$

इसलिए (a) सही उत्तर है।

~~** उदाहरण 20 *** $পদ (a + b + c) ^ n$ एর বাস্তবামী পদের সংখ্যা, যেখানে $n \in ন.$ আছে

(A) $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

(B) $n+1$

(C) $n+2$

(D) $(n+1) n$

সমাধান একটি সঠিক প্রশ্ন । আমাদের আছে

$ a+b+c)^{n}= {[a+(b+c)]^{n} } \\ = a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1}(b+c)^{1}+{ }^{n} C_2 a^{n-2}(b+c)^{2} \\ & +\ldots+{ }^{n} C_n(b+c)^{n} $

আরও বিস্তারিত করে, আমরা দেখতে পাই

প্রথম পদ একটি পদ ধরে।

দ্বিতীয়তমে পদ সংকুচিত করলে 2 পদ দেয়।

তৃতীয়তম পদ প্রসারণ দেয় 3 পদ প্রদান।

অনুগ্রহ এইভাবে আরও বিস্তারিত করেন না।

মোট পদের সংখ্যা $=1+2+3+\ldots+(n+1)$

$ =\frac{(n+1)(n+2)}{2} $

~~** উদাহরণ 21 ** $ x ^ {15} $ এর সংকেতসহ কোয়েফিশিয়াল কর্ণক $ x $ ডিপেন্ডেন্টেন্ট পদে $ x^2+\frac{2}x^{15}$ এর একটি অনাপদ মাপ উপাদানের অনুপাদের তুলনা হল -

(A) $12: 32$

(B) $1: 32$

(C) $32: 12$

(D) $32: 1$

সমাধান (B) সঠিক পথ। আসলে $উপাদান_ {r+1}$ হল $x^2+\frac{2}x^{15}$ এর সাধারন উপাদান, সুতো,

$ উপাদান_ {r+1} = ^{15} C_r(x^{2})^{15-r} \frac{2}{x}{ }^{r} \\ ={ }^{15} C_r(2)^{r} x^{30-3 r} \text{1} $

এখন পদটি ব্যাখ্যা করার জন্য,

$ 30-3 r=15, \quad \text{ অর্থাৎ, } \quad r=5 $

ঠিকানা ${ }^{15} C_5(2)^{5}$ হলো $x^{15}$ এর কোয়েফিশিয়াল ( ( (1) হইতে)

$ x $ থেকে মুক্ত তার্মীক গণনায় ঠিকানা করতে, $30-3 r=0$ প্রায়শই $k$ হয় -

বার্থ $১5} C _{১0} 2^{10}$ পুর্বের অবস্থান ( ( (1) এ চিরন্তন নাও)

এখন ভর্তি হওয়ায় অনুপাত হলো $ \frac { ^{15} C_5 2^5 }{ ^{15} C _{10} 2^{10} } = \frac {1}{2^5} = \frac {1}{32} $

~~** উদাহরণ 22 ** $ z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}2^{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}2^{5} $ অনুসন্ধান কর

(A) $আরইমেন = case = 0$

(B) $ I_m(z) = 0 $

(C) $ আরইমেন = 0,২৪কে I_m(z)=0$

(D) $আরইমেন = 0$, আমি ব্যক্তিত্ব $ I_m(z)<0$

সমাধান B সঠিক পথ। সার্মিক অনুমিলনে, আমরা পাই

$ z=2{ }^{5} C_0 \frac{\sqrt3^{2}}{2}+{ }^{5} C_2 \frac{\sqrt{3}}{2}{ }^{3} _2^{2}+{ }^{5} C_4 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{i}{2} $

যে $ i^{2}=-1$ এবং $ i^{4}=1, z $ কোনও $ i $ উপগ্রহ করবে না এবং সুতো $ I_m(z)=0 $।

8.3 অনুশীলনি

সংক্ষিপ্ত উত্তরে প্রকার

~~

1. নির্দিষ্ট কর কোনও $ x $ এর অনুপাদ $ x \neq 0 $ তে প্রসারণে $(\frac{3 x^{2}}{2}-\frac{1}{3 x})^{15}$।

~~ 2. প্রশ্ন-এ ওকে মুক্ত থাকা 405 এর মান পুর্বের প্রসারণেই, $\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}$ এর মান ধরা হয়।

~~ 3. নির্দিষ্ট করিতে কোনও $ x $ এর অনুপাদ টির $ x $ এর সংকেতসহ প্রসারিত $(1-3 x+7 x^{2})(1-x)^{16}$.

~~ 4. নির্দিষ্ট করক একটি পদ স্থাপন পদে $ x $ এর অনুপাদ $ 3 x-{\frac{2}{x^{2}}}^{15}$.

~~ 5. এক্সপ্যান্ডিং এর মধ্যবর্তী পর্যায় (পর্যায়) খুঁজুন (i) $\frac{x}{a}-\frac{a}x^{10}$ (ii) $3 x-{\frac{x^{3}}{6}}^{9}$

~~ 6. নির্দিষ্ট করুন $১া০$ এর গণতির পদ এক্সপ্যান্ডিংয়ে $ (x-x^{2})^{10} $র সংকেতসহ কোয়েফিশিয়াল।

7. उत्पन्नी में $\frac{1}{x^{17}}$ का सम्मिश्रण में संकेतक खोजें।

~~ 8. उत्पन्नी का छठा सदस्य खोजें $(y^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}})^{n}$, यदि अंत से तीसरे सदस्य के प्राथमिक संख्या, 45 हो।

[संकेत: अंत से तीसरे सदस्य का संख्या = प्रारंभ से तीसरे सदस्य का संख्या $={ }^{n} C_2$.]

~~ 9. मान खोजें $r$, यदि $(1+x)^{18}$ में $(2 r+4)^{\text{th}}$ और $(r-2)^{\text{th}}$ सदस्यों की संख्या समान हों।

~~ 10. यदि $(1+x)^{2 n}$ के विस्तार में सस्तारी, तीसरी और चौथे सदस्यों का संख्या A.P. में है। तो दिखाएँ कि $2 n^{2}-9 n+7=0$।

~~ 11. उत्पन्नी में $x^{4}$ का संख्यात्मक खोजें $(1+x+x^{2}+x^{3})^{11}$।

लम्बा उत्तर प्रकार

~~ 12. यदि $p$ एक वास्तविक संख्या है और यदि $\frac{p}{2}+2^{8}$ के विस्तार में मध्यवर्ती अंक 1120 है, तो $p$ को खोजें।

~~ 13. दिखाएँ कि $(x-\frac{1}{x})^{2 n}$ के विस्तार में मध्यवर्ती सदस्य है $\frac{1 \times 3 \times 5 \times \ldots(2 n-1)}{\lfloor n} \times(-2)^{n}$।

~~ 14. खोजें $n$ बायनोमियल $\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \quad$ यदि आर्थिक अनुपात $7^{\text{th}}$ ग्रस्ति से शुरू होकर $7^{\text{th}}$ ग्रस्ति को समान होता है $\frac{1}{6}$।

~~ 15. विस्तार $(x+a)^{n}$ के महज सम को धनात्मक संख्या $O$ द्वारा उद्दीप्त किया जाता है और धनात्मक संख्या $E$ द्वारा उद्दीप्त किया जाता है।

तो सिद्ध करें (i) $O^{2}-E^{2}=(x^{2}-a^{2})^{n}$ (ii) $4 OE=(x+a)^{2 n}-(x-a)^{2 n}$

~~ 16. यदि $x^{p}$ $x^{2}+\frac{1}x^{2 n}$ के विस्तार में होता है, तो यह सिद्ध करें कि इसका संकेतक

$ \frac{\underline{2 n}}{.\frac{4 n-p}{3} |, \frac{2 n+p}{3}} $ होता है

~~ 17. खोजें $x$ के बिना मुक्त सदस्य $(1+x+2 x^{3}) \quad \frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}^{9}$ के विस्तार में।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के सवाल

प्रत्येक अभ्यास 18 से 24 (M.C.Q.) में दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

~~ 18. $(x+a)^{100}+(x-a)^{100}$ के विस्तार के कुल संख्या संक्षेप में

(A) 50

(B) 202

(C) 51

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 19. संख्या $r>1, n>2$ और सरणी में $(3 r)^{\text{th}}$ और $(r+2)^{\text{nd}}$ सदस्यों के संकेतक $(1+x)^{2 n}$ के विस्तार में समान हैं, तो

(A) $n=2 r$

(B) $n=3 r$

(C) $n=2 r+1$

(D) इनमें से कोई नहीं

~~ 20. $(1+x)^{24}$ के विस्तार की एक क्रमशः निर्धारित सदस्यों के संकेतक अनुपात $1: 4$ है

(A) $3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$

(B) $4^{\text{th}}$ और $5^{\text{th}}$

(C) $5^{\text{th}}$ और $6^{\text{th}}$

(D) $6^{\text{th}}$ और $7^{\text{th}}$

[संकेत: $\frac{{ }^{24} C_r}{{ }^{24} C _{r+1}}=\frac{1}{4} \quad \frac{r+1}{24-r} \quad \frac{1}{4} \Rightarrow 4 r+4=24-4 \Rightarrow r=4$ ]

~~ 21. $(1+x)^{2 n}$ और $(1+x)^{2 n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ का संकेतक अनुपात है।

(A) $1: 2$

(B) $1: 3$

(C) $3: 1$

(D) $2: 1$

[संकेत: ${ }^{2 n} C_n:{ }^{2 n-1} C_n$

~~

कन्टेंट का हिन्दी संस्करण: 22. यदि $(1+x)^{n}$ के विस्तार में $2^{\text{nd }}$, $3^{\text{rd }}$ और $4^{\text{th }}$ पदों के संकलन कारक A.P. में हों, तो $n$ का मान होगा

(A) 2

(B) 7

(c) 11

(D) 14

[संकेत: $2{ }^{n} C_2={ }^{n} C_1+{ }^{n} C_3 \Rightarrow n^{2}-9 n+14=0 \Rightarrow n=2$ या 7

~~ 23. यदि $(1+x)^{2 n}$ और $(1+x)^{2 n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ के संकेत A और B हों, तो $\frac{A}{B}$ का मान होगा

(A) 1

(B) 2

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{n}$

[संकेत: $\frac{A}{B}=\frac{{ }^{2 n} C_n}{{ }^{2 n-1} C_n}=2$ ]

~~ 24. $\frac{1}{x}+x \sin x^{10}$ का मध्यवर्ती पद $7 \frac{7}{8}$ के बराबर होने पर, $x$ का मान होगा

(A) $2 n \pi+\frac{\pi}{6}$

(B) $n \pi+\frac{\pi}{6}$

(C) $n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}$ (D) $n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{3}$ [संकेत: $T_6={ }^{10} C_5 \frac{1}{x^{5}} \cdot x^{5} \sin ^{5} x=\frac{63}{8} \Rightarrow \sin ^{5} x=\frac{1}{2^{5}} \quad \sin \quad \frac{1}{2}$ $.\Rightarrow x=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}]$

अभ्यास 25 से 33 में खाली स्थान भरें.

~~ 25. $(1+x)^{30}$ के विस्तार में सबसे बड़ा संकेत है

~~ 26. $(x+y+z)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या

[संकेत: $(x+y+z)^{n}=[x+(y+z)]^{n}]$

~~ 27. $x^{2}-{\frac{1}{x^{2}}}^{16}$ के विस्तार में स्थिरतम संकेत का मान है

~~ 28. $\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}^{n}$ के विस्तार में शुरुआत और अंत से सातवां पद बराबर होने पर, $n$ का मान होगा

[संकेत : $T_7=T _{n-7+2} \Rightarrow{ }^{n} C_6(2^{\frac{1}{3}})^{n-6}(\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}})^{6}={ }^{n} C _{n-6}(2^{\frac{1}{3}})^{6}(\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}})^{n-6}$ $\Rightarrow(2^{\frac{1}{3}})^{n-12}={\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}}^{n-12} \Rightarrow$ समस्या केवल जब होती है जब $.n-12=0 \Rightarrow n=12]$.

~~ 29. $\frac{1}{a}-\frac{2 b}3^{10}$ के विस्तार में $a^{-6} b^{4}$ का संकेत है

[संकेत : $T_5={ }^{10} C_4 \frac{1}a^{b} \frac{-2 b}3^{4}=\frac{1120}{27} a^{-6} b^{4}$ ]

~~ 30. $(a^{3}+b a)^{28}$ के विस्तार में मध्य पद है

~~ 31. $(1+x)^{p+q}$ के विस्तार में $x^{p}$ और $x^{q}$ के संकेतों के अनुपात का मान है

[संकेत: ${ }^{p+q} \mathbf{C} _p={ }^{p+q} \mathbf{C} _q$ ]

~~ 32. $\sqrt{\frac{x}{3}}+{\frac{3}{2 x^{2}}}^{10}$ के विस्तार में $x$ के निर्भर कोई संकेत स्थान है

~~ 33. $25^{15}$ को 13 से विभाजित करने पर, शेष होगा

अभ्यास 34 से 40 में बताइए कि कौन सा कथन सच है और कौन सा गलत है.

~~ 34. श्रृंखला ${ }^{10}{ }^{20} C_r$ का योग $2^{19}+\frac{{ }^{20} C _{10}}{2}$ होता है

~~ 35. अभिव्यक्ति $7^{9}+9^{7}$ 64 से विभाज्य है।

संकेत: $7^{9}+9^{7}=(1+8)^{7}-(1-8)^{9}$

~~ 36. $[(2 x+y^{3})^{4}]^{7}$ के विस्तार में पदों की संख्या 8 होती है

~~ 37. $(1+x)^{2 n - 1}$ के विस्तार में दोनों मध्य संकेतों के संकेतों का योग ${ }^{2 n - 1} C_n$ के बराबर होता है।

~~ 38. संख्या $3^{400}$ के अंतिम दो अंक 01 होते हैं।

~~ 39. यदि $x-{\frac{1}{x^{2}}}^{2 n}$ का विस्तार $x$ के निर्भर कोई संकेत संकेतित करता है, तो $n$ 2 के एक अनुपात होता है।

~~

४०. $(a+b)^{n}$ का विस्तार में पदों की संख्या $n \in \mathbf{N}$ में अधिकतम पद ($n$ की एक कम) होती है।