Matrices Question 15
Question 15 - 01 February - Shift 2
If $A=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{bmatrix} $, then :
(1) $A^{30}-A^{25}=2 I$
(2) $A^{30}+A^{25}+A=I$
(3) $A^{30}+A^{25}-A=I$
(4) $A^{30}=A^{25}$
Show Answer
Answer: (3)
Solution:
Formula: Properties Of Positive Integral Powers Of A Square Matrix, Properties of Matrix Multiplication
$A=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{bmatrix} $
$A= \begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ}\end{bmatrix} $
If $A= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} $ Here $\alpha=\frac{\pi}{3}$
$A^{2}= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} $
$= \begin{bmatrix} \cos 2 \alpha & \sin 2 \alpha \\ -\sin 2 \alpha & \cos 2 \alpha\end{bmatrix} $
$A^{30}= \begin{bmatrix} \cos 30 \alpha & \sin 30 \alpha \\ -\sin 30 \alpha & \cos 30 \alpha\end{bmatrix} $
$A^{30}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} =I$
$A^{25}= \begin{bmatrix} \cos 25 \alpha & \sin 25 \alpha \\ -\sin 25 \alpha & \cos 25 \alpha\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} $
$A^{25}=A$
$A^{25}-A=0$
