कार्य की सीमा
1. किसी फ़ंक्शन की सीमा $f(x)$ के रूप में अस्तित्व में बताया गया है $x \rightarrow a$ कब,
$\lim_{h \to 0^{+}} f(a-h) =\lim_{h \to 0^{+}} f(a+h)=$ कुछ सीमित मूल्य $M$
(बाएँ हाथ की सीमा)$\quad \quad \quad $ (दाहिने हाथ की सीमा)
2. अनिश्चित प्रपत्र:
$$ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \infty-\infty, \infty^{0}, 0^{0} \text {, और } 1^{\infty} \text {. } $$
3. मानक सीमाएँ:
$ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{tanx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{tan^{- 1}x}{x}= $
$ \lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\ell n(1+x)}{x}=1 $
$ \lim_{x \to 0} (1+x)^{1 / x}= \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}=e$,
$\lim_{x \to 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\log_{e} a$, $a>0$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^{n}-a^{n}}{xa}=na^{n-1} . $
4. विस्तार का उपयोग करने वाली सीमाएँ
(मैं) $ a^{x}=1+\frac{x \ln a}{1 !}+\frac{x^{2} \ln ^{2} a}{2 !}+\frac{x^{3} \ln ^{3} a}{3 !}+\ldots \ldots . . a>0$
(ii) $ \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=1+\frac{\mathrm{x}}{1 !}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{2 !}+\frac{\mathrm{x}^{3}}{3 !}+\ldots \ldots$
(iii) $\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\ldots \ldots \ldots .$. के लिए $-1<x \leq 1$
(iv) $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\ldots$
(वी) $ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots \ldots$
(vi) $ \tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}+\ldots \ldots$
(vii) $\tan ^{-1} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots$
(viii) $\sin ^{-1} x=x+\frac{1^{2}}{3 !} x^{3}+\frac{1^{2} \cdot 3^{2}}{5 !} x^{5}+\frac{1^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{7 !} x^{7}+\ldots$.
(ix) के लिए $|x|<1, n \in R(1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1)}{1.2} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^{3}+\text{……} \infty$
5. रूप की सीमा $1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$
इसके अलावा (1) प्रकार की समस्याओं के लिए हम निम्नलिखित नियमों का उपयोग कर सकते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=e, \quad \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}$, कहाँ $f(x) \rightarrow 1 \quad ; \quad g(x) \rightarrow \infty$ जैसा $x \rightarrow a=\lim _{x \rightarrow a}=e^{\lim ^{x \rightarrow a}[f(x)-1] g(x)}$
6. सैंडविच प्रमेय या स्क्वीज़ प्ले प्रमेय:
अगर $f(x) \leq g(x) \leq h(x) \forall x \hspace{1mm} $ & $ \hspace{1mm} \lim_{x \to a} f(x)= \ell = \lim_{x \to a} h(x)$ तब $\lim_{x \to a} g(x)=\ell$.
