व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन
1. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय/वृत्ताकार फलनों के प्रमुख मान और डोमेन:
$P-2$
(मैं) $ \sin ^{-1}(\sin x)=x, \quad-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
(ii) $\cos ^{-1}(\cos x)=x ; \quad 0 \leq x \leq \pi$
(iii) $ \tan ^{-1}(\tan \mathrm{x})=\mathrm{x} ; \quad-\frac{\pi}{2}<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2}$
(iv) $ \cot ^{-1}(\cot \mathrm{x})=\mathrm{x} ; \quad 0<\mathrm{x}<\pi$
(वी) $ \sec ^{-1}(\sec x)=x ; \quad 0 \leq x \leq \pi, x \neq \frac{\pi}{2}$
(vi) $\operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} x)=x ; \quad x \neq 0,-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
$P-3 \quad$
(मैं) $ \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x, \quad-1 \leq x \leq 1 $
(ii) $\tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x, \quad x \in R$
(iii) $\cos ^{-1}(-x)=\pi-\cos ^{-1} x, \quad-1 \leq x \leq 1$
(iv) $\cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x, \quad x \in R$
$P-5$
(मैं) $ \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2},-1 \leq x \leq 1$
(ii)$\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}, x \in R$
(iii) $ \operatorname{cosec}^{-1} x+\sec ^{-1} x=\frac{\pi}{2},|x| \geq 1$
2. जोड़ और घटाव की पहचान:
मैं - 1
$(i) \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left[x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}\right], x \geq 0, y \geq 0 \hspace{1mm}$&$\tiny{\hspace{1mm} \left(x^{2}+y^{2}\right) \leq 1}$ $ =\pi-\sin ^{-1}\left[x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}\right], x \geq 0, y \ geq 0 \hspace{1mm} \hspace{1mm} x^{2}+y^{2}>1 $
$ (ii) \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^{2}} \sqrt{1-y ^{2}}\दाएं], x \geq 0, y \geq 0 $
$(iii)\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-x y}, x>0, y>0 \hspace{1mm} $ & $ \tiny{\hspace{1mm} x y<1}$
$ =\pi+\tan ^{-1} \frac{x+y}{1-xy}, x>0, y>0 \hspace{1mm} $ & $ \hspace{1mm} xy>1=\frac{\pi}{2}, x>0, y>0\hspace{1mm}\hspace{1mm} xy=1 $ $
मैं- 2
$(i)\sin ^{-1} x-\sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left[x \sqrt{1-y^{2}}-y \sqrt{1-x^{2}}\right], x \geq 0, y \geq 0$
$ (ii)\cos ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}\left[x y+\sqrt{1-x^{2}} \sqrt{1-y ^{2}}\दाएं], x \geq 0, y \geq 0, x \leq y $
$(iii) \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{x-y}{1+x y}, x \geq 0, y \geq 0$
अगर $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\tan ^{-1}\left[\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right]$ अगर, $x>0, y>0, z>0 \hspace{1mm}$ & $\hspace{1mm}(x y+y z+z x)<1$
$NOTE$
(i) यदि $\hspace{1mm} \tan^{1} x+\tan^{1} y+\tan^{1} z=\pi$ तब $x+y+z=x y z$
(ii) यदि $\hspace{1mm} \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$ तब $x y+y z+z x=1$
(iii) $\hspace{1mm} \tan { }^{1} 1+\tan ^{1} 2+\tan ^{1} 3=\pi$
(iv) $\hspace{1mm} \tan {}^{1}1+\tan {}^{1} \frac{1}{2}+\tan {}^{1} \frac{1}{3}=\frac{\pi}{2}$
| पड़ोसी का प्रकार | दूरी | नहीं। पड़ोसी का | |—-||——————————– –|——————| | निकटतम | $ 2 r =a \frac{\sqrt{3}}{2} $ | 8 | | $(next)^1$ | ए | 6 | | $ (next)^2 $ | $ a\sqrt{2} $ | 12 |
| पड़ोसी का प्रकार | दूरी | नहीं। पड़ोसी का | |—-||——————————–|— ————————————————| | निकटतम | $ \frac{a}{\sqrt{2}}$ | $ 12 = \big(\frac{3 \times 8}{2}\big) $ | | $(next)^1$ | ए | $ 6 = \big(\frac{3 \times 8}{4}\big) $ | | $ (next)^2 $ | $ a\sqrt{\frac{3}{2}} $ | 24 |
| पड़ोसी का प्रकार | दूरी | नहीं। पड़ोसी का | |—–|————|— ———–| | निकटतम | ए | 6 (4 घनों द्वारा साझा) | | $(next)^1$ | $ a\sqrt{2} $ | 12 (2 घनों द्वारा साझा) | | $ (next)^2 $ | $ a\sqrt{3}$ | 8 (अनसाझा) |
| संपत्ति | एससी | बीसीसी | एफसीसी | |———————————————— ———————————-|———————- ———————————|—————- ————————————————|—— ————————————————–| | (i) परमाणु त्रिज्या(r) a = किनारे की लंबाई | $ \frac{a}{2} $ | $\frac{\sqrt{3}}{4}a$ | $ \frac{a}{2\sqrt{2}} $ | | (ii) प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या(Z) | 1 | 2 | 4 | | (iii) सी.नं. | 6 | 8 | 12 | | (iv) पैकिंग दक्षता | 52% | 68% | 74% | | (v) नहीं, रिक्तियाँ $\newline$ (ए) अष्टफलकीय(जेड) $\newline$ (बी) टेट्राहेड्रल(2जेड) | $\newline$ $\newline$ $\quad$ __ $\newline$ $\quad$ __ | $\newline$ $\newline$ $\quad$ __ $\newline$ $\quad$ __ | $\newline$ $\newline$ $\quad$ 4 $\newline$ $\quad$ 8 |
