निश्चित एकीकरण
निश्चित अभिन्न के गुण
1. $\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t$
2. $\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x$
3. $\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x$
5. $\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$
6. $\int_{0}^{a} f(x) d x=\int_{0}^{a} f(a-x) d x$
8. यदि $f(x)$ अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है $T$, तब
$ \int_{0}^{n T} f(x) d x=n \int_{0}^{T} f(x) d x, n \in z, $
$\quad \int_{a}^{a+n T} f(x) d x=n \int_{0}^{T} f(x) d x, n \in z, a \in R $
$ \int_{m T}^{n T} f(x) d x=(n-m) \int_{0}^{T} f(x) d x, m, n \in z, $
$\quad \int_{n T}^{a+n T} f(x) d x=\int_{0}^{a} f(x) d x, n \in z, a \in R $
$ \int_{a+n T}^{b+n T} f(x) d x=\int_{a}^{a} f(x) d x, n \in z, a, b \in R$
9. यदि $\psi(x) \leq f(x) \leq \phi(x)$ के लिए $a \leq x \leq b$, तब $\int_{a}^{b} \psi(x) d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} \phi(x) d x$
10. यदि $m \leq f(x) \leq M$ के लिए $a \leq x \leq b$, तब $m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)$
11। $\quad\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x$
12. यदि $f(x) \geq 0$ पर $[a, b]$ तब $\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0$
लीबनिट्ज़ प्रमेय:
अगर $F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) d t$, तब $\frac{d F(x)}{d x}=h^{\prime}(x) f(h(x))-g^{\prime}(x) f(g(x))$
