समझने के लिए अवधारणाओं
कंटेंट का हि संस्करण:
सेट्स
परिभाषा: एक सेट विभिन्न वस्तुओं का संग्रह होता है। प्रतिस्थापन: सेट्स को कर्वी ब्रेसेज {} का उपयोग करके प्रतिष्ठित किया जाता है। तत्व: सेट के तत्वों को कोमों द्वारा अलग किया जाता है।
उपसेट्स
परिभाषा: एक सेट का उपसेट वह सेट होता है जो मूल सेट के सभी तत्वों को सम्मिलित करता है। प्रतिष्ठापन: सेट A का उपसेट A ⊂ B के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण: A ⊂ {1, 2, 3} इसका अर्थ है कि सेट A सेट {1, 2, 3} का एक उपसेट है। गुण:
- पूर्वापेक्षी गुण: किसी भी सेट A के लिए A ⊂ A होता है।
- परस्परवर्ती गुण: यदि A ⊂ B और B ⊂ C है, तो A ⊂ C होता है।
यूनियन
परिभाषा: दो सेटों का यूनियन वह सेट होता है जिसमें दोनों सेटों के सभी तत्व शामिल होते हैं। प्रतिष्ठापन: दो सेट A और B का यूनियन A ∪ B के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण: A ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 5} इसका अर्थ है कि सेट A और सेट {1, 2, 3} का यूनियन सेट {1, 2, 3, 4, 5} है।
इंटरसेक्शन
परिभाषा: दो सेटों का इंटरसेक्शन वह सेट होता है जिसमें केवल उन तत्वों को शामिल किया जाता है जो दोनों सेटों में साझा हैं। प्रतिष्ठापन: दो सेट A और B का इंटरसेक्शन A ∩ B के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण: A ∩ {1, 2, 3} = {2} इसका अर्थ है कि सेट A और सेट {1, 2, 3} का इंटरसेक्शन सेट {2} है।
कंप्लीमेंट
परिभाषा: एक सेट A का कंप्लीमेंट, संपूर्ण सेट U के संबंध में वह सेट होता है जिसमें U के सभी तत्व A में नहीं होते हैं। प्रतिष्ठापन: सेट A का कंप्लीमेंट A’ के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण: यदि संपूर्ण सेट U = {1, 2, 3, 4, 5} और A = {1, 2, 3} है, तो A’ = {4, 5} इसका अर्थ है कि सेट A का कंप्लीमेंट संपूर्ण सेट U के संबंध में सेट {4, 5} है।
पावर सेट
परिभाषा: एक सेट A का पावर सेट वह सेट होता है जिसमें A के सभी उपसेटों का संग्रह होता है। प्रतिष्ठापन: सेट A का पावर सेट P(A) के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है। उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} है, तो P(A) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} इसका अर्थ है कि सेट A का पावर सेट सभी उपसेटों का संग्रह है, जिसमें शून्य सेट भी शामिल है।
कार्डिनैलिटी
परिभाषा: एक सेट की कार्डिनैलिटी सेट में तत्वों की संख्या होती है। प्रतिष्ठापन: सेट A की कार्डिनैलिटी |A| के रूप में प्रतिष्ठित की जाती है। उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} है, तो |A| = 3 इसका अर्थ है कि सेट A की कार्डिनैलिटी 3 है।
सेटों की गुणें
सामयिक गुण: A ∪ B = B ∪ A और A ∩ B = B ∩ A। ऐसोसिएटिव गुण: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) और (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)। वितर्कीय गुण: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) और A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)। आइडेंटिटी गुण: A ∪ ∅ = A और A ∩ U = A। कंप्लीमेंट गुण: A ∪ A’ = U और A ∩ A’ = ∅।
